1. Bienes raíces

Ejercicios del capítulo 8 (módulos 20 al 24)
1.
Si el lado terminal de un ángulo D pasa por (6, 8), halle los valores de las funciones trigonométricas. RTA: sen D
cos D
3
; tan D
5
4
; cot D
3
3
5
; sec D
; csc D
4
3
4
;
5
5
.
4
2.
Si el lado terminal de un ángulo D en posición estándar pasa por (4, 7), halle los valores de las funciones
trigonométricas.
3.
Si cos D
1
8
y 270º d D d 360º , halle los valores de las restantes funciones trigonométricas. RTA: sen D ;
3
3
tan D 8; cot D 1
8
; secD 3; csc D 3
8
.
1
y 90º d D d 180º.
5
4.
Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de D si sen D
5.
Empleando las identidades trigonométricas fundamentales, encuentre los valores de las funciones trigonométricas
de un ángulo D si csc D = 7 y cos D < 0.
sec D 7
48
RTA: sen D
1
; cos D
7
48
; tan D
7
Encuentre los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo D tal que cos D
7.
Calcule ( sec D csc D ) si tan D 1.
8.
Calcule cos D sen D si cot D
9.
Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo D en términos de cos D.
10.
r
1
48
; cot D
48;
.
6.
tan D
1 cos 2 D
; cot D
cos D
r
3
y sen D 0.
5
RTA: 0.
1 .
cos D
1 cos D
2
; sec D
1
; csc D
cos D
Halle los valores de tan D , cot D , sec D sen D , si cos D
r
1
1 cos2 D
RTA: sen D
r 1 cos 2 D ;
.
3
y D está en el tercer cuadrante.
5
Álgebra y trigonometría 271
11.
Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo D en términos de csc D .
cos D
r
csc 2 D 1
; tan D
csc D
r
1
csc D 1
2
; cot D
r csc 2 D 1; sec D
r
12.
Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo D en términos de tan D .
13.
Si sen D
a
a 2 1
RTA: sen D
csc D
csc 2 D 1
1
;
csc D
.
con D en el segundo cuadrante, calcule las funciones trigonométricas del ángulo D en términos de a.
RTA: csc D
a2 1
; cot D
a
1
; tan D
a
a ; sec D
a 2 1; cos D
14.
Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo D en términos de sen D .
15.
Simplifique y evalúe la expresión (tan D tan D sen 2 D ) si cos D 16.
Si sec D
de a.
17.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
1
a2 1
.
4
12
y 180º < D < 270º. RTA: .
5
25
1 a 2 y D está en el cuarto cuadrante, calcule las funciones trigonométricas del ángulo D en términos
tan 2 x 1 cos x
.
sec 1 cos x
Sugerencia: transforme la tangente en términos de la secante y escriba la expresión en términos del coseno.
18.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
sen D cos D
19.
csc D sec D
.
sec D csc D
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
sen x cos x
tan 2 x 1
cos 2 x
.
sen x cos x
Sugerencia: escriba la tangente en términos del seno y el coseno y aplique la diferencia de cuadrados.
20.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
sec D csc D
tan 2 D
sen D cos D
272
1 csc 2 D .
21.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
sen x
sen x tan x
cos x
.
1 cos x
Sugerencia: divida el numerador y el denominador del primer miembro por sen x.
22.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
sen 4 D cos 4 D
23.
sen 2 D cos 2 D .
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
(sec x tan x ) ( csc x 1) cot x.
Sugerencia: exprese el primer miembro en términos de seno y coseno.
24.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
2
§ 1 tan 2 D ·
2
2
¨
¸ 4 sen D cos D
2
sec
D
©
¹
25.
1.
Muestre que (csc x cot x ) 4 ( csc x cot x) 4
1.
Sugerencia: aplique inicialmente la diferencia de cuadrados.
26.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
1 cos D
1 cos D
27.
csc D cot D .
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
sec4 x tan 4 x
1 sen 2 x
.
cos2 x
Sugerencia: aplique inicialmente la diferencia de cuadrados.
28.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
1 csc D
csc D 1
1 sen D
.
1 sen D
Álgebra y trigonometría 273
2 ( 3 1)
2 ( 3 1)
; .
4
4
29.
Calcule sen 165º y cos 165º utilizando las funciones trigonométricas de 60º y 45º. RTA:
30.
Calcule las funciones trigonométricas de 105º en términos de las funciones trigonométricas de 60º y 45º.
31.
Calcule sen ( 15º ) y cos ( 15º ) utilizando las funciones trigonométricas de 45º y 30º.
RTA: 2 ( 3 1)
;
4
2 ( 3 1)
.
4
32.
Calcule las funciones trigonométricas de 15º en términos de las funciones trigonométricas de 60º y 45º.
33.
Si sen D
4 6 5
2
1
.
y cos E , y los ángulos D y E están en el segundo cuadrante, calcule cot (D E ). RTA:
2 ( 30 1)
3
5
34.
Si sen D
4
y sen E
5
35.
Si sec D 2 y csc E 3, y los ángulos D y E están en el tercer cuadrante, calcule sen (D E ).
36.
Si tan D
37.
Demuestre que sen 2 D
2 y cot E
12
, calcule cos(D E ), si D y E son ángulos del primer cuadrante.
13
2 6 1
.
6
1, y si D y E están en el segundo cuadrante, calcule tan (D E ).
2 tan D
.
1 tan 2 D
Sugerencia: en la fórmula del seno del ángulo doble, reemplace sen D
del cuadrado de la secante.
38.
Demuestre que cot (D E )
39.
Demuestre que cot 2 D
40.
Demuestre que
274
RTA:
cot D cot E 1
.
cot D cot E
cot 2 D 1
.
2cot D
Sugerencia: reemplace E D en el problema 38.
cos D cos E
sen D sen E
csc D csc E sen (D E ).
tan D ˜ cos D y aplique la identidad trigonométrica
41.
Encuentre los valores de sen 2 x y cos 2 x si tan x
cos 2 x
42.
RTA: sen 2 x 24
y
25
x
1
y x es un ángulo del primer cuadrante. RTA: sen
2
3
3
;
3
3
y x está en el cuarto cuadrante.
4
7
.
25
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
tan (D E ) tan E
1 tan (D E ) tan E
tan D .
43.
Exprese sen (3x) en términos de sen x.
44.
Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:
tan 2 D tan 2 E
1 tan 2 D tan 2 E
RTA: sen (3 x)
tan (D E ) tan (D E ).
45.
Exprese cos (4x) en términos de cos x.
46.
Demuestre que sen D cos E
47.
Exprese tan (2x) en términos de cot(x). RTA: tan 2 x
48.
Demuestre que cos D cos E
49.
x
x
x
Calcule los valores de sen , cos y tan si cos x
2
2
2
cos
50.
x
2
x
6
; tan
3
2
3sen x 4 sen 3 x.
RTA: cos (4 x) 8 cos 4 x 8cos 2 x 1.
1
>sen (D E ) sen (D E ) @.
2
2 cot x
.
cot 2 x 1
1
>cos (D E ) cos (D E )@.
2
2
.
2
Demuestre que sen D sen E
1
>cos (D E ) cos (D E )@.
2
Álgebra y trigonometría 275