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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS,
industrial y de servicios No. 167
GUÍA DE ESTUDIO
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
MATERIAL ELABORADO POR LOS PROFESORES:
FELIPE CABELLO CASTAÑEDA Y VICTORIA AGUILAR LÓPEZ,
INTEGRANTES DE LA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.
[FEBRERO-JULIO 2015]
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS
Industrial y de Servicios No. 167
GUÍA DE ESTUDIO DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
PERIODO ESCOLAR FEBRERO-JULIO 2015
1.1. ORIGEN Y MÉTODOS
1. ¿Te parece interesante la forma como se ha desarrollado la geometría como ciencia?, 2. ¿Por qué?
3. ¿Qué importancia ha tenido la cooperación entre diferentes personas y culturas en el desarrollo de la
geometría?
4. Mencione algunas aplicaciones de la geometría en las diferentes ciencias.
5. ¿Cómo sería el mundo sin la geometría?
6. ¿Qué importancia tiene para un joven bachiller aprender geometría?
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1
1.2. ÁNGULOS.
1.2.1. NOTACIÓN
1.2.2. DIVERSIDAD, SISTEMA DE MEDICIÓN
1. ¿Qué es un ángulo?
2. ¿Cómo se clasifican los ángulos de acuerdo con su medida?
3. ¿Cómo se clasifican los ángulos de acuerdo con su posición?
4. ¿Cómo se miden los ángulos?
5. ¿Qué es el sistema sexagesimal?
6. ¿Qué es el sistema centesimal?
7. ¿Qué es el sistema cíclico?
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8. ¿Qué características tienen los ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante?
9. Complete la siguiente tabla con los valores de su ángulo complementario y suplementario.
ÁNGULO
ÁNGULO
COMPLEMENTARIO
ÁNGULO
SUPLEMENTARIO
10°
15°
22°
40°
45°
60°
70°
80°
90°
10. Un ángulo X mas su mitad forman un ángulo llano; determine el valor del ángulo x.
11. Un tercio de un ángulo X menos 10° dan un valor de 25°. Determine el valor del ángulo x.
12. La mitad de un ángulo X más la cuarta parte del ángulo X son ángulos complementarios. Determine el
valor de X.
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13. Los ángulos x + 20° y 3x + 10° son suplementarios. Determine el valor de esos ángulos.
14. Sume los siguientes ángulos:
a) 58° 25´ 00”
56° 28´ 41”
b) 34° 25´ 59”
56° 48´ 02”
c) 158° 25´ 00”
56° 28´ 41”
d) 78° 05´ 00”
56° 58´ 41”
e) 17° 25´ 21”
256° 28´ 41”
c) 158° 25´ 00”
56° 28´ 41”
d) 128° 05´ 00”
56° 58´ 41”
e) 117° 25´ 21”
90° 28´ 41”
15. Reste los siguientes ángulos:
a) 58° 25´ 00”
56°20´ 41”
b) 98° 25´ 59”
56° 48´ 02”
16. Dos ángulos son adyacentes y forman un ángulo de 131°; uno de ellos es 25° menor que dos veces el
menor. Determine la medida de esos ángulos.
17. Dos ángulos son suplementarios; uno de ellos es igual al triple del otro, más 8°. Determine la medida de
ellos.
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18. Dos ángulos son complementarios; uno de ellos es igual al triple del otro. Determine la medida de ellos.
19. Dos ángulos son complementarios; uno de ellos es igual a cinco veces el otro menos 8°. Determine la
medida de ellos.
1.2.3. CONVERSIONES
EJERCICIO
SOLUCIÓN
20. Convertir
42°
50´
00”
sexagesimales
a
grados
centesimales.
21. Convertir
52°
14´
12”
sexagesimales
a
grados
centesimales.
22. Convertir
134°
29´
58”
sexagesimales
a
grados
centesimales.
23. Convertir
77°
41´
09”
sexagesimales
a
grados
centesimales.
24. Convertir
52°
54´
12”
sexagesimales
a
grados
centesimales.
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5
25. Convertir
47°
59´
25”
centesimales
a
grados
sexagesimales.
26. Convertir
36°
48´
19”
centesimales
a
grados
sexagesimales.
CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES:
27. Convertir 18° a radianes.
28. Convertir 115° a radianes.
29. Convertir 320° a radianes.
30. Convertir 25° 30´ a radianes.
31. Convertir
radianes.
57°
17´
44”
a
32. Convertir 137° 56´ 44” a
radianes
33. Convertir
radianes.
74°
11´
36”
a
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6
34. Convertir
grados.
35. Convertir
grados.
36. Convertir
grados.
37. Convertir
grados.
38. Convertir
grados.
9π
CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES:
radianes a
13 π radianes a
5 π radianes a
4 π radianes a
2 π radianes a
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE.
Determine la medida de los ángulos agudos y obtusos de las siguientes figuras:
39.
12x - 5
5x + 7
40.
2x + 20°
X + 10°
100°
41.
X+y
3x – 2y
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7
42.
3x + 5°
2x + 15°
43.
2x – 20°
2x
44.
150°
X – 2y
X – 2y
7x
45.
3x
88°
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8
46.
4y
X + 2y
ENCUENTRE LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS QUE SE PIDEN A CONTINUACIÓN:
47.
4X
X + 20
48.
X
3
X
2
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9
49.
2x
x
3x
5x
50.
6x
2x
x
1.3. TRIÁNGULOS:
51. Determine la medida de cada ángulo del triángulo de la figura.
B
3x + 4°
A
6x
2x
52. Determine la longitud de los lados de cada triángulo.
C
E
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10
DATOS:
AB = 12
DB = 9
AC = x + 6
DE = x + 3
BC =
BE =
B
A
D
53. Utilizando el teorema de Pitágoras obtenga la medida de cada uno de los lados del siguiente triángulo.
X+7
18 - x
X+5
54. Calcule la medida que falta en el siguiente triángulo.
15
x
9
55. Calcule la medida de los lados faltantes del siguiente triángulo.
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11
a=x+1
b=x-1
c=5
56. Calcule los lados del siguiente triángulo.
x
5x
2x
57. Obtenga la medida de los ángulos del siguiente triángulo.
C
X
3
A
X
5
X
7
B
58. Calcule el lado faltante del siguiente triángulo.
7
X
4
59. Calcule el lado faltante del siguiente triángulo.
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12
21
X-4
6
60. Calcule el lado faltante del siguiente triángulo.
34
2x - 2
22
61. Calcule la longitud del lado faltante del siguiente triángulo.
X+5
9
14
62. Calcule la longitud del lado faltante del siguiente triángulo
3x - 4
13
19
63. Calcule la longitud del lado faltante del siguiente triángulo.
14.55
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x
13
11.65
64. Calcule la longitud del lado faltante del siguiente triángulo.
35
12
3x - 2
65. Calcule la medida de los lados del siguiente triángulo.
X+8
X+3
X+6
MEDICIONES INDIRECTAS
66. Calcular la distancia AB a partir de los datos de la figura sabiendo que AB // DE
B
Lago
C
D
A
E
DATOS:
AC = 12 metros.
CD = 4 metros.
DE = 3 metros.
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14
67. Calcule la longitud de los lados faltantes de los triángulos de la figura.
D
DATOS:
AB = 9
AC = 12
E
X+6
X+3
A
C
B
68. Calcule la altura de un edificio si proyecta una sombra de 25 metros en el instante en que una
astabandera de 5 metros de altura proyecta una sombra de 9 metros.
Edificio
Astabandera
69. Calcule la longitud PQ de acuerdo con los datos de la figura sabiendo que PQ // RS.
Q
S
80
45
N
Pantano
35
R
P
70. Calcule el ancho de la autopista de acuerdo con los datos de la figura y sabiendo que AB // DE.
B
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15
A
C
28
8
D
3
E a lo largo de
71. Para mantener un buen acondicionamiento físico, un deportista nada diariamente 25 veces
una alberca rectangular que tiene una diagonal de 18.0277 metros y de ancho 10 metros. ¿cuántos
metros nada al día?
10
18. 0277
72. Un futbolista da un total de 200 pasos para recorrer en diagonal una cancha de futbol. Para recorrer uno
de los lados de la cancha dio 120 pasos. ¿cuántos pasos se requieren para recorrer el otro lado de la
cancha?
120
200
73. Una escalera de bomberos tiene una longitud de 12 metros. ¿A qué distancia de una pared debe
colocarse si se desea que alcance una altura de 8. 5 metros?
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8. 5
16
12
74. El diámetro de la base de un silo de forma cónica es de 10 metros y su altura de 10 metros. ¿cuál es el
diámetro a una altura de 4 metros?
x
75. Para sostener una antena de 72 metros de altura se desea poner tirantes de 120 metros. Si se quiere
tender sus tirantes desde la parte más alta. ¿A qué distancia de la base de la antena se deben construir
las bases para fijar los tirantes?
76. Para sostener una antena de 100 metros de altura se desea poner tirantes de 100 metros. Si se desea
tender los tirantes desde tres cuartas partes de su altura. ¿a qué distancia de la base de la antena se
deben construir las bases para fijar los tirantes?
77. La figura representa la estructura para la techumbre de un gimnasio. ¿cuánto mide la altura h?
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17
8.50
h
7.20
1.3.2. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
78. Describa la altura de un triángulo.
79. ¿Cómo se puede ubicar el ortocentro de un triángulo?
80. ¿Qué son las medianas de un triángulo?
81. ¿Cómo se puede ubicar el baricentro de un triángulo?
82. ¿En qué consiste la mediatriz de un lado de un triángulo?
83. ¿Cómo se puede ubicar circuncentro de un triángulo?
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84. ¿En qué consiste la bisectriz de un ángulo?
85. ¿Cómo se puede ubicar el incentro de un triángulo?
1.4. POLÍGONOS
86. Describa los siguientes triángulos ilustrándolos a mano alzada.
Triángulo escaleno
Triángulo acutángulo.
Triángulo equilátero.
Triángulo obtusángulo.
Triángulo isósceles.
Triángulo rectángulo.
87. ¿cuánto mide cada ángulo interior de un triángulo equilátero?
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88. Los ángulos de los extremos de la base de un triángulo isósceles miden 35° cada uno. ¿cuánto mide el
tercer ángulo?
89. Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 40°. ¿qué ángulos forman las bisectrices de los otros dos
ángulos en su base?
90. ¿Cuál es la suma de ángulos interiores de un octágono regular?
91. ¿cuál es la suma de ángulos interiores de un octágono regular?
92. ¿Cuál es la suma de ángulos exteriores de un octágono regular?
93. ¿Cuánto mide un ángulo interior de un octágono regular?
94. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un octágono regular?
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95. Al trazar las diagonales a un octágono regular; ¿cuántos triángulos se forman?
96. Al unir un punto interior de un octágono regular con sus vértices; ¿cuántos triángulos se forman?
97. ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar en un octágono regular?
98. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular?
99. ¿Cuántas diagonales en total se pueden obtener de un heptágono?
100. ¿Cuál es la suma de ángulos interiores de un endecágono?
101. ¿Cuántos lados contiene un icoságono?
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102. ¿Cuántos grados mide un ángulo interior de un eneágono regular?
103. ¿Cómo se puede saber cuándo un polígono es convexo?
104. ¿Cómo se puede saber cuando un polígono es cóncavo?
105. ¿Qué propiedades tiene un polígono regular?
106. ¿Cuándo se dice que un polígono es equilátero?
107. ¿Cuándo se dice que un polígono es equiángulo?
1.4.4. PERÍMETROS Y ÁREAS
108. Calcule el área de un círculo de 4 metros de radio.
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109. Hallar el área del hexágono regular de la figura.
DATOS:
Longitud por lado: 8 metros.
8
8
8
110. Calcule el área de la corona circular de la figura.
DATOS:
Círculos.
r1 = 2.35 metros.
r2 = 1.54 metros.
r1
r2
111. Calcule el área del octágono regular de la figura.
DATOS:
Longitud por lado: 3.8268 metros.
Radio: 5 metros.
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5
5
3.8268
112. Calcule el área del pentágono regular de la figura.
6
Datos.
Radio: 6 metros.
Longitud por lado: 7.0534 metros.
6
7.0534
113. Calcule el área de la corona circular que tiene como radio exterior 6 metros y como radio interior 3
metros.
114. Deduzca cuál de las siguientes expresiones algebraicas expresa el área sombreada de la figura.
a) Área = a2 – x2
b) Área = x2 – a2
a
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c) Área = (x – a)2
d) Área = (a – x)2
x
a
x
115. Mediante la fórmula de Herón, calcule el área del triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 12 metros
respectivamente.
116. Un rectángulo tiene 96 m2 de área y 44 metros de perímetro. Hallar sus dimensiones.
117. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho y su área es de 288 metros cuadrados. Calcule sus
dimensiones.
118. El área de un rectángulo es de 216 metros cuadrados y su largo es 6 metros mayor que su ancho.
Calcule sus dimensiones.
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119. La diagonal de un rectángulo mide 10 metros y su ancho 6. Calcule su área.
120. Calcule el área de un cuadrado cuya diagonal mide 4√(2)
121. Si se aumentaran 2 metros al lado de un cuadrado, su área aumentaría en 36 metros cuadrados.
Determine la medida del lado.
122. Una fábrica de papel realizará tarjetas publicitarias en forma rectangular de 135 cm2, de tal forma que el
largo del rectángulo es 6 centímetros mayor que el ancho. ¿cuánto debe medir cada tarjeta?
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123. Se desea construir una alberca como se muestra en la figura. ¿cuántos metros cuadrados de mosaico se
necesitan para recubrir el fondo de la alberca sabiendo que el radio del semicírculo de los extremos es de
2.5 metros y la parte rectangular tiene un largo de 8.60 metros?
EJERCICIOS DIVERSOS
124. Analice cuidadosamente la figura e identifique los datos que se proporcionan sabiendo que el ángulo 1
mide 70° y que los ángulos 8 y 9 son iguales.
2
4
3
1
9 8
7
6
5
Con la información que se proporciona en el gráfico llene la siguiente tabla.
ÁNGULO
1
2
3
MEDIDA
ÁNGULO
4
5
6
MEDIDA
ÁNGULO
7
8
9
MEDIDA
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Con base en los resultados anteriores identifique cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas:
a) Ángulo 1 + ángulo 2 = ángulo 8
b) Ángulo 2 + ángulo 3 + ángulo 4; forman un ángulo obtuso.
c) Ángulo 6 + ángulo 7 = 180°
d) Ángulo 4 = ángulo 5
e) Ángulo 8 = ángulo 9 = 90°
f)
Ángulo 2 + ángulo 3 + ángulo 4 = 180° - ángulo 3 – ángulo 7.
125. Trace todas las diagonales posibles desde un mismo vértice como se muestra en las figuras:
Con base en sus observaciones, registre en la tabla la Información que se pide de acuerdo al ejemplo
resuelto.
POLÍGONO
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
…
Eneágono
NÚMERO DE
LADOS
NÚMERO DE
TRIÁNGULOS
3
1
EXPRESIÓN PARA OBTENER LA SUMA DE ÁNGULOS
INTERIORES.
180° (3 – 2)
126. Un carpintero tiene una tabla de 90 pulgadas de longitud y la corta en tres partes. La parte más larga es
el doble de la mediana y la parte más corta, es 15 pulgadas más pequeña que la de tamaño mediano.
¿cuál es la longitud de cada parte?
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127. Lea cuidadosamente el siguiente problema y resuélvalo.
La figura muestra un tabique cuyo peso es de 1 kg.
a) Si al tabique se le duplican dos de sus dimensiones (largo y ancho) ¿cuánto pesará?
b) Si al tabique se le reducen sus dimensiones a la mitad. ¿Cuánto pesará?
128. Ayuda a tu vecino a elegir el terreno con mayor área para construir una granja, si los terrenos que le
ofrece el agente de bienes raíces son:
Terreno A
Terreno B
2a
a
2h
h
129. Construya con una cartulina un cubo de 8 cm. De arista que quede abierto por una de sus caras, y ocho
cubos de cuatro cm. De arista e insértelos dentro del cubo grande.
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a) ¿Cómo son las dimensiones (largo, ancho y alto) del cubo grande con respecto a las
dimensiones de los cubos pequeños?
b) ¿Cuántos cubos chicos caben en el grande?
c) ¿Qué sucede con el volumen de un cubo de los pequeños cuando se duplica cada una de sus
tres dimensiones?
d) Si se modifica solo una de las dimensiones de un cubo ¿qué sucede con el volumen?
e) Si se alteran dos de las dimensiones de un cubo ¿Qué sucede con el volumen y con la forma?
130. Lea cuidadosamente el problema y resuélvalo.
Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos iguales. Los puntos obtenidos se unen
definiendo un punto en el centro. ¿Cuál es la razón del área de la parte blanca con respecto de la parte
rayada?
131. Un estanque de 6 metros de largo, 4 metros de ancho y 3 metros de alto se encuentra a dos tercios de su
capacidad: si se introducen al estanque cinco bloques de mármol de un metro cúbico cada uno, ¿qué
volumen de agua se necesita para llenar en estanque?
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132. Un depósito de forma cilíndrica se encuentra lleno de trigo. Sus dimensiones son de radio y 8 metros de
altura. ¿cuántos tambos se pueden llenar, si el radio y alto de cada uno de ellos son la mitad de las del
depósito?
133. Un block de los usados en la construcción pesa 4 kg. ¿cuánto pesará un ladrillo de juguete hecho del
mismo material cuyas dimensiones sean cuatro veces menores?
134. Si los cuerpos de las figuras son del mismo material. ¿cuál pesa menos?
1 metro
1 metro
1 metro
1 metro
1 metro
1 metro
1 metro
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31
1 metro
1 metro
135. Mediante la fórmula de Herón calcule el área del triángulo de la figura.
a = 11.705
b = 5.657
C=7
136. El terreno de un campesino tiene la forma y medidas representadas en la figura. Ayude a ese campesino
a calcular el área de su terreno.
25.50
36.06
I
41.23
III
47.43
45.28
II
20.62
35.36
IV
30.41
20.00
137. Calcule el volumen de una pirámide triangular cuya base es un triángulo equilátero de cuatro metros por
lado y cuya altura es de 6 metros.
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32
4
4
4
138. Calcule el volumen de una pirámide de base hexagonal de 4 metros por lado y 7 metros de altura.
139. Calcule el volumen de una pirámide de base pentagonal de 7.0534 metros por lado y 8 metros de altura.
140. Calcule el volumen de una pirámide de base octagonal de 3.8268 metros por lado y 7 metros de altura.
141. Calcule el volumen de un cono de 3.5 metros de radio y una altura de 6 metros.
Vol. Del cono = 1 πr2 h
3
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33
142. Determine la pintura necesaria para pintar un silo de forma cónica de 4.5 metros y 9.5 metros de altura,
sabiendo que el rendimiento de la pintura es de 1.9 metros cuadrados por litro.
143. Analice la siguiente figura:
C
73°
D
A
¿Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas?
a) Ángulo A + ángulo D = 73°
b) Ángulo A + ángulo D + 73° = 180°
c) Ángulo A + ángulo C = 73°
d) 180° - ángulo C = ángulo A + ángulo D
e) 180° - 73° = 108° - (ángulo A + ángulo D)
144. Se tiene una fuente luminosa y se coloca un cuerpo de 125 cm. De altura a una distancia de 7.5 metros
de dicha fuente. ¿de qué tamaño proyectará su imagen en una pantalla colocada a 25.5 metros de dicho
cuerpo?
Imagen en la
pantalla
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INTEGRANTES DE LA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.
34
125 cm.
7.5 m.
25.5 m.
145. Dos buitres acechan a un conejo parados en dos árboles que se encuentran a una distancia de 20 metros
uno de otro. El árbol del primer buitre mide 12 metros de altura y el del segundo 10 metros. Ambos
buitres se lanzan sobre él atrapándolo al mismo tiempo.
a) ¿A qué distancia estaba el conejo de ambos árboles?
b) ¿A qué distancia estaba el conejo de ambos buitres?
d1
12 m
d2
10 m
x
20 - x
20 m
146. Exprésense las funciones trigonométricas sen A, cos A, tan A, cot A, sec A y csc A, de los siguientes
triángulos después de calcular la longitud del lado faltante.
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35
C
b
3
B
A
6
147. Exprésense las funciones trigonométricas sen A, cos A, tan A, cot A, sec A y csc A, de los siguientes
triángulos después de calcular la longitud del lado faltante.
C
10
a
A
B
8
148.. Exprésense las funciones trigonométricas sen A, cos A, tan A, cot A, sec A y csc A, de los
siguientes triángulos después de calcular la longitud del lado faltante.
C
25
a
B
A
24
149. Exprésense las funciones trigonométricas sen A, cos A, tan A, cot A, sec A y csc A, de los siguientes
triángulos después de calcular la longitud del lado faltante.
MATERIAL ELABORADO POR LOS PROFESORES: FELIPE CABELLO CASTAÑEDA Y VICTORIA AGUILAR LÓPEZ,
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36
C
22
a
A
18
B
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
150. Calcular los elementos faltantes de los siguientes triángulos rectángulos y realice las comprobaciones
correspondientes:
B
a
C
b=9
c=8
A
151. Se quiere construir una autopista de manera que cada 1000 metros se eleve 85 metros; calcúlese el
ángulo de elevación  y la longitud de la carretera en ese tramo.
Solución:

x
85
1000
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152. El piloto de un avión voló 1100kilómetros hacia el oeste desde la ciudad “A” hasta la ciudad “C”. Desde
la ciudad “C” voló hacia el sur 1500 kilómetros hasta la ciudad “B”.
Calcúlese el ángulo  y la distancia en línea recta desde “B” hacia “A” para planear por esa ruta su regreso.
:
OESTE
ESTE
SUR
153. Desde lo alto de una torre de 50 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión en que se localiza
un barco es de 35°. ¿cuál es la distancia horizontal entre el barco y la base de la torre?
1100
C
A
35°
1500
50
x

B
154. Un globo aerostático que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 12° 48´30”. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
12° 48´30”
800 m
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155. Una liebre que se encuentra en el bosque observa con un ángulo de elevación de 48º
26´50”, que una águila vuela a 1500 m de altura, ¿qué distancia debe volar en descenso el
águila para atrapar a la liebre?
?
1500 m
48º 26´50”
156. Un albatros que se encuentra volando a 150 m de altura observa un cardumen de
sardinas con un ángulo de depresión de 18º 29´42”, s i desciende en picada, a ¿cuántos
metros del cardumen se encuentra?
18º 29´42”
150 m
¿?
158. Un papalote que está sujeto al suelo por un hilo de 100 m de largo, forma con la
horizontal del suelo un ángulo de 15º 29´47”, suponiendo que el hilo esta tenso, calcular a
que altura se encuentra el papalote.
100 m
¿?
15ᵒ 29´47”
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