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CUADERNILLO DE
ANALISIS MATEMATICO
4º AÑO
EPET Nº 9
AÑO 2015
Prof: Patricia Baqué
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Programa ANALISIS MATEMÁTICO (Cursado)- 4º Año - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2015
UNIDAD Nº 1: FUNCIONES:
Concepto de función. Intervalos sobre la recta real: abiertos, semiabiertos, cerrados e infinitos.
Dominio e imagen, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intersecciones con los ejes
(raíces y ordenada al origen), máximos y mínimos, intervalos de positividad y negatividad. Paridad
de la función. Funciones periódicas. Corrimientos. Función inversa. Funciones inyectiva,
sobreyectiva y biyectiva. Funciones compuestas. Funciones por partes. Funciones especiales:
módulo, parte entera y mantisa.
Reconocimiento de las condiciones para que una relación sea función. Determinar intervalos sobre
la recta numérica real.
UNIDAD Nº2: LÍMITE - CONTINUIDAD
Límites: concepto de entorno. Limite de una función. Límite para x tendiendo a infinito. Significado
geométrico de límite. Diferencia entre el valor de la función y el límite. Cálculo del límite.
Indeterminaciones.
Continuidad de funciones: concepto de función continua. Condiciones de continuidad. Clasificación
de las discontinuidades. Propiedades de las funciones continuas.
Cálculo de límites en forma analítica y gráfica. Gráfico de funciones a partir de condiciones sobre
límites, dominio e imagen. Resolución de indeterminaciones de distintas clases. Análisis de
continuidad de funciones.
UNIDAD Nº 3: DERIVADAS
Derivada: Definición. Interpretación geométrica y física de la derivada. Cálculo de la derivada de
funciones elementales. Reglas de derivación. Derivada de función. Recta tangente. Función
compuesta. Derivada en cadena. Derivadas sucesivas. Regla de L´Hopital. Diferencial.
Resolución de derivadas de funciones aplicando reglas de derivación y propiedades. Aplicación de
cálculo de límites en la determinación de derivadas por definición. Interpretación del significado
físico y geométrico.
UNIDAD Nº 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Definición de puntos críticos de una función. Máximos y Mínimos. Concavidad y convexidad de una
curva. Puntos de inflexión. Criterios para la determinación de máximos, mínimos y puntos de
inflexión. Resolución de situaciones problemáticas aplicando derivadas.
UNIDAD Nº 5: INTEGRALES
Concepto de función primitiva. Propiedad elemental de las funciones primitivas. Integral indefinida
de una función. Tabla de integrales directas. Propiedades importantes de las integrales. Integral
definida de una función. Regla de Barrow. Cálculo de áreas.
Cálculo de integrales indefinidas a través de tabla. Resolución de problemas aplicando cálculo de
áreas.
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UNIDAD Nº 6: ANALISIS DE FUNCIONES
Estudio de una función y la construcción de su gráfica. Funciones exponenciales y logarítmicas.
Funciones polinómicas. Funciones racionales: gráficas y asíntotas. Funciones polinómicas,
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas: establecer su dominio, imagen, paridad e intervalos
de crecimiento y decrecimiento. Cálculo analítico de raíces y ordenadas al origen. Asíntotas
verticales, horizontales y oblicuas. Determinación de los puntos críticos y análisis de la concavidad,
crecimiento y extremos. Gráfico aproximado de una función usando estos puntos críticos.
OBJETIVOS PROMOCIONALES:
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Graficar sin dificultad funciones. Reconocer su dominio.
Interpretar el concepto de límite y continuidad, tanto en la expresión formal de los mismos
como en el gráfico.
Resolver límites finitos, infinitos, indeterminados y trigonométricos.
Analizar casos de continuidad y discontinuidad.
Interpretar formal y gráficamente el concepto de la derivada logrando asociarlo a conceptos
previos de física, química, etc.
Demostrar habilidad en la mecánica de la derivación.
Calcular áreas utilizando integrales.
Para aprobar la materia el alumno debe mostrar dominio de los contenidos promocionales
de Matemática de 1º, 2º y 3º año.
BIBLIOGRAFÍA:
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Cuadernillo de referencia elaborado por la docente y apuntes de clase.
Matemática Polimodal – Volúmenes 1 y 2 – Serie Activa- Adriana Berio y otros – Ed. Puerto
de Palos
Matemática Polimodal – Funciones 1 y 2 – Silvia V. Altman y otros – Ed. Longseller.
Matemática Polimodal – Análisis 1 y 2 – Silvia V. Altman y otros – Ed. Longseller.
Matemática 4º y 5º - Gustavo Barallobres y Myriam Sassano – Ed. Aique
Matemática I y II – Polimodal – Pablo J. Kaczor y otros – Ed. Santillana.
Matemática – Miguel Martínez y Margarita Rodríguez – Ed. Mc Graw Hill.
Matemática 2 – Polimodal – María Amalia Fones – Ed. Kapelusz.
Firma Alumno
Firma Padre
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Firma Profesor
Criterios para Acreditación de la materia:
 Aprobará la materia el alumno que tenga todos los objetivos promocionales (incluidos en el
programa de cursado) aprobados.
 Para aprobar los objetivos promocionales el alumno deberá aprobar las evaluaciones de cierre de
los temas/unidades correspondientes a dicho objetivo. La forma de evaluación será propia de
cada curso y tema, y será indicada durante el año. Los objetivos que contengan más de una
unidad/tema y cuyos contenidos hayan sido diseñados en forma espiralada , serán aprobados al
aprobar el último de los temas/unidades incluidas en el objetivo promocional.
 Las notas trimestrales son el resultado del cierre de los objetivos de cada trimestre
complementadas por el desempeño y participación en clase, las tareas extra áulicas, todo tipo de
trabajo complementario , la carpeta y el comportamiento del alumno. Se tomarán en cuenta,
entre otros valores, a la responsabilidad, el esfuerzo, la solidaridad y el respeto del alumno con
sus compañeros e institución. Si los tiempos y el nivel de participación lo permiten o ameritan
se harán recuperatorios antes del cierre del trimestre. Será condición para poder rendir dichos
recuperatorios tener la carpeta completa.
 Si el alumno no alcanza (con rendimiento regular) uno o más objetivos promocionales a fin de
año , se prevee que pueda recuperar uno de ellos, quedando (en caso de tenerlos) los demás
objetivos para recuperar en el POEC. No participan de esta instancia los alumnos que a fin de
año tienen desarrollos insuficientes.
 Participan del POEC los alumnos que:

Tengan al menos un objetivo aprobado y no tengan insuficiente en el resto de los objetivos.
 Forma de evaluación del POEC:
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Después de la semana de orientación, se tomarán evaluaciones de cada objetivo de manera similar a como
fueron evaluados en el año.
Se reservará un tiempo para una instancia de cierre del examen en forma oral.
 Participan de la instancia de evaluación de Febrero:
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Aquellos alumnos que durante el año no hayan aprobado todos los objetivos promocionales o que tengan
insuficiente la mayoría de ellos.
 Criterios de evaluación:

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
Jerarquización e integración de conceptos y procedimientos relativos a cada objetivo, teniendo en cuenta los
temas anteriores relacionados y a través de un ….
…. adecuado y suficiente nivel de operatoria numérica en el campo de los Q - R de acuerdo al programa de
cada año y lo visto en años anteriores.
Nivel alcanzado en el desarrollo de la verificación y autocontrol de producciones y/o errores
Integración a través de la interpretación e interacción de los lenguajes numérico, algebraico y gráfico en los
temas pertinentes
 Uso calculadora y TIC (tecnologías de la información y comunicación):

Se buscará el mayor desarrollo en los alumnos a través de la aplicación de reglas, procedimientos y algoritmos
específicos para cada tema. Para fomentar ello en las evaluaciones ( a menos que el tema lo requiera
indefectiblemente) no se usará calculadora. Sin embargo, el uso de la misma y de TIC son importantes, y muy
útiles en todas las etapas del aprendizaje. Ya sea para desarrollo de contenidos, verificación de resultado o
integración de lenguajes se tratará de mostrar su uso al alumno. En caso de permitirse estos instrumentos en las
evaluaciones, las mismas deberán contemplar efectivamente los criterios de evaluación, sobre todo en los dos
últimos.
Firma Alumno
Firma Padre
4
Firma Profesor
UNIDAD N°1: FUNCIONES
Es usual encontrar información presentada en forma de gráficos. Ellos nos muestran relaciones
entre distintas variables, como por ejemplo: la recaudación impositiva durante los meses de un
año, la esperanza de vida en cada país, el crecimiento de una población de bacterias en un
determinado período, entre otras. Muchas de estas relaciones son funciones; en algunos casos, es
posible describirlas a través de fórmulas matemáticas, las cuales permiten predecir
comportamientos.
Analicen los siguientes problemas
Problema 1
Observen el siguiente gráfico, extraído del diario La Nación del 6 de marzo de 2001, que
representa la producción y la venta de automóviles en nuestro país durante un año.
a. ¿En qué mes fue la máxima producción de autos?
b. ¿En qué período cayeron más las ventas?
c. ¿En qué meses hubo mayor diferencia entre la producción y la venta de automóviles?
Problema 2
Lean el prospecto de un remedio antitérmico para niños:
“Si la temperatura es menor que 38 grados (axilar), se recomienda tomar una dosis de 0,3 ml cada kg de
peso (equivalente a 6 mg/kg de ibupireno), cada seis a ocho horas. Si la temperatura es igual o mayor que
38 grados (axilar), se recomienda una dosis de 0,5 ml cada kg de peso.”
a. ¿Qué cantidad de remedio le darán a un bebe que pesa 5 kg y tiene 37,7° de temperatura?
b. ¿Cuánto pesa Nico, si debe tomar 12 ml cada 6 horas y tiene 38,2° de temperatura?
Problema 3
Los teléfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y números, por lo que a muchas
empresas que contratan el servicio de 0800 les asignan números fáciles de memorizar para sus
clientes. Así, por ejemplo, una escuela podría tener el 08003728352, que se corresponde con el
0800ESCUELA.
a. ¿Qué números habrá que marcar para comunicarse con el 0800HELADOS?
b. ¿A qué palabra corresponderá el 08001843367?
Algo más ...
Si analizamos detenidamente el gráfico del problema 1, vemos que los puntos marcados en él
indican la cantidad de automóviles vendidos o producidos en cada uno de los meses considerados.
Estos puntos son los únicos que representan la relación; en realidad, no hay puntos intermedios. Si
consideramos un punto perteneciente a un segmento determinado por dos de estos puntos, el
mismo no nos da ninguna información sobre la relación que estamos estudiando. Estos segmentos
se trazan con el objetivo de analizar la tendencia, es decir, si aumentó o disminuyó la producción o
la venta.
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Función
En todos los problemas anteriores se vinculan, en distintas situaciones, varias variables: el gráfico
del primer problema relaciona la producción, por un lado, y, por otro, las ventas en el mismo
período; en el prospecto se vincula la cantidad de remedio al peso del chico y su temperatura
axilar. En cada uno de estos problemas consideraremos dos variables; por ejemplo, la cantidad de
autos vendidos y cada mes del año. En este caso decimos que la cantidad de autos es la "variable
dependiente" del mes considerado, que es la ―variable independiente".
Vemos que en los dos primeros problemas podemos responder a las preguntas porque a cada
valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la dependiente. En cambio, en
el último esto sucede sólo con la relación que le asigna a cada letra el número que está en la
misma tecla, ya que no ocurre lo mismo con la correspondencia que a cada número le asigna una
letra de la misma tecla por haber varias posibilidades. Además, al 1 y al 0 no se les asigna
ninguna.
Nos interesa analizar ahora aquellas relaciones que vinculan todos y cada uno de los valores de la
variable independiente a un único valor de la dependiente.
Una relación entre dos variables es función si a cada valor la variable independiente le
corresponde un único valor de la variable dependiente.
Por ejemplo:
f (x) = x no es función porque a los números negativos no les corresponde ningún número real.
g(x) = x5 - 6x es función porque si a cualquier número real lo elevamos a la quinta y le restamos
seis veces ese mismo número, obtenemos siempre un número real.
Problema 4
Roberta tiene 2 m de varilla de madera para armar un marco rectangular. Consideren las posibles
medidas del marco y completen la siguiente tabla que vincula el ancho al largo del mismo
Largo del marco (metros)
Ancho del marco (metros)
0,4
1
0,5
1,5
Dominio e imagen de una función
El dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
independiente. Se denota Dom f o Df.
Por ejemplo, el dominio de la función del problema 4 es el conjunto de los números racionales
entre 0 y 1.
Si analizamos ahora los valores que puede tomar la variable dependiente en el problema anterior,
observamos que tiene las mismas limitaciones que la independiente. Por lo tanto, los valores que
puede tomar la variable dependiente son los números racionales entre 0 y 1.
La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.
Se denota Im f o If.
Por ejemplo, la imagen de la función que vincula el precio de venta de un artículo a su precio de
costo es el conjunto de los números positivos con dos cifras decimales.
El conjunto de llegada es un conjunto en el cual está incluida la imagen.
La ley de formación puede estar dada en el lenguaje natural, a través de una tabla, una fórmula o
un gráfico cartesiano.
Para definir una función deben darse el dominio, el conjunto de llegada y una ley de formación.
Analicemos el dominio de algunas funciones numéricas definidas por fórmulas:
f(x) = 3 x – 7
Todas las operaciones que se deben efectuar para hallar la imagen de un valor a través de esta
función son válidas para todo número real, por lo tanto, Dom f = .
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Analicemos su imagen: tomemos un número real y cualquiera. ¿Estará en la imagen? Para
responder a esta pregunta, debemos analizar si existe algún número x tal que:
y = f(x)  y = 3 x – 7  x =
Este x existe siempre para todo y porque las operaciones son válidas para cualquier número real.
Por lo tanto, la imagen de esta función es el conjunto de todos los números reales. Im f =
Veamos ahora la función:
g(x) =
Como la división por 0 no está definida, el dominio de esta función es el conjunto de todos los
números reales distintos de 0, simbólicamente: Dom g = - {0}.
Si llamamos y al valor que le corresponde a x a través de esta función, para hallar el conjunto
imagen tenemos que analizar qué valores toma y. Para ello escribimos:
y=  x=
Este número x existe para cualquier y distinto de cero. Por lo tanto, la imagen de esta función es:
Im g = - {0}.
Tal como lo hicimos en este ejemplo, es muy usual llamar y al valor que le corresponde a x a
través de una función. Por este motivo, cuando se define una función a través de su fórmula se
usa indistintamente f(x) o y.
Problema 5
La doctora Diet, nutricionista, registra una vez al mes, en un gráfico cartesiano, la variación del
peso en gramos de sus pacientes en función del tiempo.
Este gráfico corresponde a la señora Pacient, quien comenzó la dieta con 98 kg y realiza su
consulta a la doctora Diet una vez por mes.
a. ¿Cuánto pesaba en la tercera consulta?
b. ¿Cuánto aumento entre el cuarto y el quinto mes?
c. ¿En qué mes esta paciente alcanzó su menor peso? ¿Y el mayor?
d. ¿En qué períodos bajó de peso?
e. ¿En qué períodos subió de peso?
f. ¿Hubo algún momento en el que su peso no varió?
g. ¿En qué meses la paciente volvió a pesar lo mismo que al comenzar el tratamiento?
Ceros o raíces de una función
Los ceros o raíces de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero.
Por ejemplo, en el caso de la función que estamos estudiando, los ceros corresponden a los
meses en que la señora Pacient volvió a su peso inicial, es decir que la variación fue nula en esos
meses, lo que ocurrió al sexto, noveno y undécimo meses.
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¿Cómo hallamos los ceros en una función dada por su fórmula?
Analicemos la funcion f: — / f(x) = x2 - 4
Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale 0; por lo tanto, simbólicamente
escribimos:
f (x) = x2 - 4 = 0
Nos quedó planteada una ecuación que deberemos resolver para responder a la pregunta que nos
planteamos. En este caso los ceros de la función son
x=2yx=–2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a
mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la variable
dependiente. Simbólicamente escribimos:
 x  I,  a  I : si x > a  f(x) > f(a)
Un intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a
mayores valores de la variable independiente le corresponden menores valores de la variable
dependiente. Simbólicamente escribimos:
 x  I,  a  I : si x > a  f(x) < f(a)
Por ejemplo, si analizamos la función que relaciona la variación del peso de la señora Pacient con
el tiempo, los intervalos de crecimiento son (2; 3), (4; 8) y (9; 10), y los intervalos de decrecimiento
son: (0; 2), (8; 9) y (10; 18).
¿Cómo se lee?
f: A → B la función f está definida de A en B
(tiene dominio A e imagen contenida en B)
Algo más...
¿Cómo podemos ver en un gráfico si la relación representada es función? Como queremos
determinar si para cada valor de x existe un único valor de y, trazamos rectas verticales por
todos los valores x del dominio. Si todas cortan a la curva y lo hacen en un solo punto,
entonces la gráfica corresponde a una función.
Máximos y mínimos
La función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del todo x perteneciente al mismo, x
la imagen de x es menor que la de a. Simbólicamente escribimos:
a,
La función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a del todo x perteneciente al mismo, x
la imagen de x es mayor que la de a. Simbólicamente escribimos:
a,
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Por ejemplo, en el caso de la variación del peso de la señora Pacient, el máximo absoluto se
produce en el octavo mes y es de 750 g y, en 18, la función alcanza un mínimo absoluto que es de
- 3500 g.
La función f alcanza un máximo relativo en a si existe un intervalo que contiene a a tal que para
todo x perteneciente a dicho intervalo, x a, la imagen de x es menor que la de a. Simbólicamente
escribimos:
y
La función f alcanza un mínimo relativo en a si existe un intervalo que contiene a a tal que para
todo x perteneciente a dicho intervalo, x a, la imagen de x es mayor que la de a. Simbólicamente
escribimos:
y
Por ejemplo, en el caso de la variación del peso de la señora Pacient, la función alcanza un
máximo relativo en 10, que es de 500 g y alcanza un mínimo relativo en 2, que es de - 2500g.
Conjuntos de positividad y negatividad
El conjunto de positividad (C+) de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes
son números positivos.
Por ejemplo, en el caso de la señora Pacient, el conjunto de positividad es C+ = (6; 9) U (9; 11).
El conjunto de negatividad (C–) de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes
son números negativos.
Por ejemplo, en la función que estamos estudiando, los intervalos para los cuales las imágenes
son negativas son (0; 6), y (11; 18), es decir que C– = (0; 6) U (11; 18).
Funciones pares y funciones impares
Una función f es par si para todo valor de x perteneciente al dominio se verifica que f(x) = f(-x).
Por ejemplo:
La función f:
/ f(x) = x2 - 9 es par porque para todo x real se cumple:
f (-x) = (-x)2 - 9 = x2 - 9 = f(x)
Una función f es impar si para todo valor de x perteneciente al dominio se verifica que f(-x) = -f(x).
Por ejemplo:
La funcion f:
/ f (x) = 5x3 es impar porque para todo x real se cumple:
f(-x) = 5 (-x)3 = 5 (- x3) = - (5x3) = - f(x)
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Problema 6
El electrocardiograma es un estudio que registra, durante un tiempo, la actividad eléctrica del
corazón.
Observen el siguiente electrocardiograma:
Analicen la curva y describan las particularidades que observan.
Problema 6
Si observamos el gráfico, vemos que una parte de él se repite con regularidad. Cada veinte
cuadraditos, aproximadamente, se vuelve a repetir la misma curva. Decimos que esta es una
función periódica. En este caso el período es de poco menos veinte cuadraditos.
Funciones periódicas
Una función f es periódica si existe un número p tal que f(x + p) = f(x), donde p es el período.
Por ejemplo, la función f representada a continuación es periódica porque f(x + 8) = f(x), para todo
x perteneciente a su dominio. O sea, se repite cada ocho unidades.
Problema 7
Una aerolínea registró la altura a la que vuela un avión que parte de un aeropuerto ubicado a nivel
del mar, durante un viaje. Lo representaron de la siguiente manera:
a. Si el avión parte de un aeropuerto que está a 1000 m de altura respecto del nivel del mar y
realiza un viaje en las mismas condiciones que el anterior, ¿cómo será el gráfico de la función que
vincula su altura respecto del nivel del mar al tiempo?
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b. ¿Cómo será el gráfico de otro avión que sale desde el nivel del mar y realiza un viaje en las
mismas condiciones pero veinte minutos más tarde que el primero?
Problema 7
a. Como las variaciones de altura son iguales, la altura inicial será 1000 m mayor y lo mismo
sucederá con todas las alturas que alcance el avión durante el vuelo. Por lo tanto, el gráfico
tiene la misma forma pero está corrido 1000 m hacia arriba.
b. En este caso lo que se modifica es la hora de partida, por esto alcanzará exactamente las
mismas alturas que el primer avión pero 20 minutos después. En el gráfico quedará la misma
curva pero corrida 20 minutos hacia la derecha. Representemos en un mismo par de ejes los
tres gráficos para verlo mejor:
Corrimientos
Hemos representado la función a(t) que vincula la altura, a, del avión al tiempo expresado en horas
del día, t.
Cuando el avión sale a 1000 m sobre el nivel del mar, a cada valor de la variable dependiente le
sumamos los 1000 m iniciales, es decir, estamos representando
a(t) + 1000
En cambio, en el caso del avión que sale 20 minutos más tarde, se modifica la variable
independiente.
Si llamamos b(T) a la función que vincula la altura del tercer avión al tiempo de viaje de este avión,
¿qué relación hay entre el tiempo de viaje desde que parte este avión y el tiempo del primero?
Veámoslo en una tabla:
T
0
20
t
20
40
T = t – 20
Como las alturas son las mismas: b(T) = a (t - 20)
Analicemos otro tipo de corrimientos.
Problema 8
Un corredor está recorriendo una pista circular.
El siguiente gráfico representa la distancia hasta la largada en función del tiempo.
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a. ¿Cómo será el gráfico de otro corredor que está recorriendo la misma pista pero lo hace en
la mitad del tiempo?
b. Comparen este último gráfico con el anterior.
Problema 8
El nuevo gráfico se repite en la mitad del tiempo que el anterior, es decir que la gráfica se "afinó a
la mitad".
— 1° corredor f(t)
•••• 2° corredor g(t)
Llamemos f(t) a la función que vincula la distancia a la largada del primer corredor al tiempo y,
análogamente, g(t) a la función correspondiente al segundo corredor. Como vemos en el gráfico,
g(t) y f(t) toman los mismos valores en diferentes momentos. Analicemos las llegadas a la largada
o sea, los ceros de las funciones.
Ceros de f: 0, 6, 12, 18...
Ceros de g: 0, 3, 6, 9...
Vemos que el primer corredor tarda en dar una vuelta el doble de tiempo que el segundo. Por lo
tanto: g(t) = f(2t)
Conclusiones
 El gráfico de f(x - a) es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia la derecha sobre el
eje x.

El gráfico de f(x) + a es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia arriba sobre el eje
y.

El gráfico de f(ax) es el gráfico de f(x) "afinado" o "ensanchado” a veces según sea a
mayor o menor que 1, respectivamente.
f(x + a), f(x) + a y f(ax) se llaman corrimientos de f(x).
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Problema 9
La siguiente tabla vincula las variables de la función f(x) = x2 + 5. Se le han borrado los datos de la
variable independiente.
Complétenla:
x
y
1
4
9
14
Problema 9
Para completar la tabla tenemos que resolver ecuaciones como las siguientes:
1 = x2 + 5 (no tiene solución)
9 = x2 + 5 (tiene dos soluciones)
La dificultad que encontramos es que hay valores que no pueden ser imagen de ningún número de
la variable independiente (por ejemplo, el 1) y para los otros tenemos dos valores posibles.
Si consideramos esta función de
en , resulta que hay valores de y que no son imagen de
ningún elemento del dominio: se dice que la función no es sobreyectiva.
También ocurre que hay valores de y que son imagen de dos elementos del dominio: se dice que
esta función no es inyectiva.
Clasificación de funciones
Una función inyectiva es aquella para la cual elementos diferentes del dominio se relacionan con
elementos diferentes de la imagen. Simbólicamente si a b f(a) f(b) o lo que es lo mismo, si
f(a) = f(b)
Por ejemplo la función f:
a = b.
/f(x) = x3 es inyectiva pues si f(a) = f(b)
a3 = b3
a=b
Una función es sobreyectiva si para todo y perteneciente al conjunto de llegada existe un x
perteneciente al dominio tal que y = f(x).
Por ejemplo, la función anterior es sobreyectiva pues todo número real es el cubo de otro número
real.
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Por ejemplo, la función que estamos estudiando f (x) = x3 es biyectiva porque es inyectiva y
sobreyectiva, como lo analizamos en los párrafos anteriores
Algo más...
¿Cómo podemos ver en un gráfico si la función representada es biyectiva?
Como queremos analizar a cuantos valores de x corresponde cada valor de y, trazamos rectas
horizontales por todos los valores y del conjunto de llegada. Si todas cortan a la curva en un solo
punto, entonces es biyectiva; si alguna la corta en varios puntos, no es inyectiva; si alguna no la
corta, no es sobreyectiva.
Problema 10
La siguiente tabla vincula las variables de la función f:
datos de la variable independiente. Complétenla:
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/ f(x) = x - 8. Se le han borrado los
x
y
1
4
9
14
Problema 10
A diferencia de la tabla del problema 9, ésta corresponde a una función biyectiva y, por lo tanto,
podemos hallar los valores de x conociendo los valores de y. Debemos buscar los valores de x
para cada y,
y=x–8 x=y+8
Nos queda definida, entonces, una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función anterior
y su imagen, el dominio de ésta.
A esta nueva función la llamamos función inversa de f y la denotamos f –1 .
En este caso f – 1 (y) = y + 8
Función inversa
Se llama función inversa de una función biyectiva f: A
si y sólo sí f(x) = y
Por ejemplo, la función f:
(x) =
.
B a la función f
–1
:B
/ f (x) = x3 es una función biyectiva y su inversa es f
A/f
–1
–1
:
(y) = x
/ f –1
Problema 11
En un laboratorio tienen un cultivo de bacterias. Se sabe que el número de bacterias, b, depende
de la temperatura ambiente, t, (en grados centígrados) de acuerdo con la siguiente fórmula:
b(t) = t2 + 120t + 1500
La temperatura depende, a su vez, del tiempo transcurrido desde el momento en que se comienza
el cultivo, en horas, h, de acuerdo con la siguiente ley:
t(h) = 3h + 9.
a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 2 horas?
b. Escriban una fórmula que vincule b a h.
Problema 11
En este problema tenemos dos funciones vinculadas entre sí y la primera depende de la segunda.
Para responder a la pregunta a. veamos primero cuál es la temperatura 2 horas después:
t(2) = 3 . 2 + 9 = 15
Ahora calculemos qué cantidad de bacterias hay cuando la temperatura es de 15°:
b (15) = 152 +120 . 15 + 1500 = 3525
Pero resulta mucho más práctico encontrar una fórmula en la cual se pueda reemplazar
directamente el número de horas transcurridas y obtener la cantidad de bacterias. En este caso,
como t depende de h, podemos reemplazar en la primera función t por su fórmula, y obtenemos:
b = (3h + 9)2 + 120 (3h + 9) + 1500
elevamos al cuadrado el primer término y aplicamos la propiedad distributiva en el segundo
b= 9 h2 + 54 h + 81 + 360 h + 1080 + 1500 sumamos
b = 9 h2 + 414 h + 2661
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Esta última fórmula nos permite hallar la cantidad de bacterias en función del tiempo transcurrido.
Si reemplazamos en esta fórmula h por 2 horas,
9 . 22 + 414. 2 + 2661 = 3525
es la cantidad de bacterias que habrá a las dos horas de comenzada la experiencia.
El procedimiento que utilizamos para resolver este problema se conoce como composición de
funciones.
Composición de funciones
La función compuesta de g con f es la función f
g(x) = f [g(x)].
Es decir que a un elemento del dominio de g:
x
g(x)
le aplicamos g y obtenemos
f [g(x)]
le aplicamos f y obtenemos
Observen que se aplica primero la función de la derecha, es decir, la que esta más cerca de la
variable independiente. Por ejemplo, si tenemos
f:
/ f (x) = x + 5 y g:
/ g(x) = x3 podemos hallar
f g:
/ f g(x) = f[g(x)] = f[x3] = x3+5
yg
f:
/g
Observen que f
f(x) = g[f(x)] = g[x + 5] = (x + 5)3
gyg
f son funciones diferentes.
¿Se puede componer cualquier par de funciones?
Veamos qué sucede si queremos componer las siguientes funciones:
f:
/f(x) = x + 2 y g:
Cuando queremos hallar g
/ g(x) =
f(x) resulta que si x = – 7, f (x) = – 7 + 2 = – 5
Por lo tanto, cuando buscamos la imagen de éste a través de g, g [f(x)] = g(– 5) =
, ésta no
existe, entonces g f(x) no es función. De aquí deducimos que no siempre es posible componer
dos funciones.
Para que sea posible componer dos funciones, los elementos de la imagen de la primera función
que se aplica deben pertenecer al dominio de la segunda función.
Actividades:
1. ¿Cuáles son las variables que se vinculan en el problema 3?
2. Identifiquen en los problemas 1, 2 y 3 las variables independiente y dependiente?
3. ¿Cuál/es de las siguientes tablas corresponden a funciones? ¿por qué?
a.
Talle
Precio ($)
2
9
4
9
6
10
15
8
10
10
12
12
12
b.
Contenido en
gramos
Precio ($)
100
200
400
2,45
4,50
8
c.
x
y
5
2
10
4
15
6
15
8
20
10
25
12
4. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones con dominio real? Justifiquen
sus respuestas.
5. Halla el dominio y la imagen de las siguientes funciones:
a. y = 3 x + 5
d. y =
g. y =
b. y = x2
e. y = 2x – 5
h. y =
c. y =
f. y =
i. y = cos (3 x –
6. La anorexia nerviosa es la tercera enfermedad crónica común en mujeres adolescentes.
La bulimia se ha incrementado a un paso más rápido que la anorexia en los últimos 5 años.
El 90% de los pacientes son mujeres.
El gráfico muestra la distribución por edades de las enfermedades que tienen que ver con
trastornos en la alimentación, respecto de las edades de las personas afectadas.
16
Obsérvenlo detenidamente y respondan:
a. ¿A qué edad se da el mayor porcentaje de personas afectadas?
b. ¿Qué edad aproximada tiene el 20% de los enfermos?
c. ¿Entre qué edades se da el crecimiento más abrupto en los porcentajes?
7. Hallen los ceros o raíces de las siguientes funciones:
a.
c.
b.
8. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones periódicas? Indiquen el
período correspondiente en las que lo son.
a.
b.
9. ¿Cómo serán las gráficas de f(x + a) y de f(x) – a respecto de la gráfica de f(x)?
10. ¿Qué relación hay entre la gráfica de f(x) y la de 2 . f(x)?
11. A continuación les presentamos el gráfico de la función f.
A partir de él grafiquen:
a. f(x) + 50 b.
b. f(5x)
12. Clasifiquen las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
13. ¿Por qué decimos que una función tiene que ser biyectiva para que exista su función
inversa?
14. Grafiquen en un mismo par de ejes cartesianos
y la recta y = x.
Repitan el procedimiento para
. ¿Hay alguna simetría entre
las gráficas? ¿Cuál? ¿Por qué?
15. Dadas:
hallen, cuando sea posible,
.
17
TIPOS DE FUNCIONES (según las operaciones entre las variables)
Funciones especiales
Funciones partidas o definidas por partes o por trozos
Problema 12
Daniela consiguió un nuevo trabajo como programadora de computadoras en una empresa de
electricidad. Su primera tarea es realizar un programa que permita calcular el precio que deberá
abonar un usuario conociendo su consumo bimestral. Para ello le entregan viejas boletas como la
que vemos en la figura. ¿Qué formula necesita Daniela para realizar el programa?
☼ Empresa Lucero
Talón cliente
Lectura del medidor
JUAN PEREZ
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CORRIENTES 1212 1º A
Última lectura
VENCIMIENTO 25/4/2012
15426437
Detalle de su cuenta
IMPORTE A PAGAR: $34,03
Descripción
Cargo fijo (da
derecho al uso
de 100 Kwh)
Cantidad
Cargo variable
Total
$463 Kwh
Importe
$16,90
$17,13
$ 34,03
Problema 12
Para empezar, Daniela calcula el precio del Kwh. Para ello sabe que 463 Kwh cuestan $ 17,13 por
lo que un Kwh le costará $17,13/463 = 0,03699784... Decide aproximar el valor del kwh y lo tomará
en $ 0,037. Analiza, además, que este señor utilizó en total 563 kwh, como se calcula por los datos
del medidor. Realiza luego una tabla de valores:
18
TABLA 1
kwh consumidos
Precio por abonar
50 100
150
600
855
16,9 16,90 18,75
35,40 44,875
0
Intenta realizar un gráfico de la situación planteada y se da cuenta de que no puede unir dichos
puntos con una única recta; entonces, no es una función lineal. Arma entonces una tabla con más
datos:
kwh consumidos
10
50
100
150
600
1000
16,90
16,90
16,90
16,90 + 0,037.50 =
16,90 + 0,037.500
50,20
18,75
= 35,40
Vemos que la fórmula cambia para distintos valores de consumo. Luego, deberíamos tener
distintas maneras de expresarlo. Dichas maneras cambiarán si el consumo es menor o mayor que
100. O sea que encontramos una única función pero separada en distintos tramos según los
valores de consumo. Llamemos x a los kilowatios hora consumidos en un bimestre 
16,90 si 0 < x < 100
f(x) =
16,90+ 0,037. (x -100)
si x > 100
¿Cómo graficamos esta situación?
Cada uno de los tramos es una parte de una recta tomando el dominio que le corresponde.
(kwh consumidos)
Observemos que esta fórmula así definida es una función dado que para cada valor x del dominio
(en nuestro ejemplo, los números reales mayores o iguales a cero) existe un único valor de y en la
imagen.
19
Funciones partidas
Una función partlda es una función tal que para definirla se necesitan distintas fórmulas para
distintos subconjuntos del dominio.
Función parte entera
Por ejemplo:
Una función conocida es la función f: IR+ → IR/ f(x) = [x] = parte entera de x = valor entero
inmediatamente anterior a x.
Gráficamente:
¿Cómo mostramos en el gráfico que f(2) = 2 y no a 1? Pondremos un punto "lleno" en (2, 2), dado
que ese punto pertenece a la función, y un "agujerito" en el punto (2,1) para mostrar que ese punto
no pertenece a la función.
Función signo
En el uso diario se utilizan muchas funciones que se deflnen en forma partlda. Algunas de ellas
son: La función signo definida como:
1 si x > 0
f(x) =
–
1 si x < 0
cuya representación gráfica es:
Función mantisa
Otra es la función mantisa, que es la que nos
dice los decimales de un número. Se define
como f(x) = x - [x], su dominio son todos los
números reales, su imagen es el intervalo [0;
1) y su representación gráfica es
20
Actividades:
1. Un psicólogo toma un test de rapidez mental para el ingreso a una universidad. El test consiste
en entregarle a cada individuo una lámina que tiene algunas imágenes que debe recordar. La
siguiente fórmula nos dice, de una lámina de x imágenes, cuántas imágenes recuerda, en
promedio.
x
f(x) =
-x + 4
8
si 0 < x < 5
si 5<x<15
si x > 15
a. Si la lámina tenía 15 imágenes, ¿cuántas recuerda el postulante?
b. Si el postulante recuerda 6 imágenes, ¿cuántas tenía la lámina?
c Grafiquen la situación planteada y verifiquen los puntos anteriores en el gráfico.
2. Encuentren la fórmula de una función cuyo gráfico sea:
Función módulo o valor absoluto
Problema 13
En un laboratorio están realizando un experimento con distintas sustancias químicas.
a. Una de ellas debe mantenerse a 0° aceptando solamente un error de
1
°. Los científicos
2
deberán prender el aire acondicionado frío/calor cada vez que la temperatura no sea la deseada,
para lo cual observan un gran termómetro puesto en la pared. ¿Cómo se dan cuenta de cuándo
prender el aparato?
b. Otra sustancia debe mantenerse a 5° aceptando un error de 1°. Los científicos deberan prender
el aire acondicionado frío/calor cada vez que la temperatura no sea la deseada, para lo cual
observan el mismo termómetro puesto en la pared. ¿Cómo se dan cuenta de cuándo prender el
aparato?
Problema 13
Los científicos deben prender el aparato cuando la temperatura es de
distancia entre la temperatura y el 0° es
1
.
2
21
1
1
º o de – º o sea, si la
2
2
1
y se lee módulo de x igual a
2
1
1
observamos la ecuación │x│=
, obtenemos como solución x =
ó x = 2
2
1 1
conjunto solución: S = {– , } Gráficamente:
2 2
Esto matemáticamente se escribe │x│=
1
, con lo cual si
2
1
y escribimos el
2
Se define la función módulo o valor absoluto
como:
f(x) = │x│ =
x si x ≥ 0
-x si x < 0
f: IR → IR+0
1)
Funciones de la forma: f(x) = │x + c│
• Si c > 0, la funcion │x│ queda desplazada c • Si c < 0, la funcion │x│ queda desplazada c
unidades hacia la izquierda.
unidades hacia la derecha.
f(x) = │x + 2│
2)
f(x) = │x – 3│
Funciones de la forma: f(x) = │x│ + b
• Si b > 0, la función │x│ queda desplazada
b unidades hacia arriba.
• Si b < 0, la función │x│ queda desplazada b
unidades hacia abajo.
f(x) = │x│ + 1
f(x) = │x│ – 4
22
Para graficar ciertas funciones, se deben redefinir las mismas aplicando la definición de valor
absoluto:
f(x) = – 3 │2x – 4│+ 1
a) 2 x – 4 ≥ 0
x≥2
f(x) = – 3 (2 x – 4) + 1 = – 6 x + 12 + 1
f(x) = – 6 x + 13
b) 2 x - 4 < 0
x ≥2
x<2
f(x) = – 3 (– 2 x + 4) + 1 = 6 x – 12 + 1
f(x) = 6 x – 11
x<2
– 6 x + 13 si x ≥ 2
f(x) =
6 x – 11 si x < 2
Ejercicios
1. Escriban debajo de cada uno de los gráficos la fórmula de la función correspondiente
2. Representen cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) = 2 │x – 1│ + 3
d) y = 2 │x – 3│– 1
b) f(x) = – │3 x + 2│ – 1
e) y = – 3 │x + 2│ + 5
23
c) f(x) = – │2 x – 1│ –
UNIDAD Nº 2: LIMITES Y
CONTINUIDAD
El concepto de límite
A partir del concepto de límite, podemos analizar el comportamiento de
una función tanto en intervalos muy pequeños alrededor de un número
real (que hasta podría no pertenecer al dominio) como cuando los
valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos permitirá tener
una idea más aproximada del gráfico de una función.
No siempre trabajar en Matemática significa realizar cálculos. Muchas
veces es necesario hacer especulaciones con respecto al
comportamiento de una función y justificar las afirmaciones realizadas,
lo cual no se reduce a cuentas, sino a razonamientos lógicos.
Problema 14
x2  4
Dada la función f(x) =
x2
a. Hallen el dominio de f (x).
b. Completen la siguiente tabla:
– 2,01
x
f(x)
– 2,0001
– 2,00001
– 1,99
– 1,999
– 1,9999
c. ¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x toma valores cada vez más cerca de – 2?
d. Realicen un gráfico aproximado de f(x).
Problema 14
a. La función f(x) es una función racional. Para hallar el dominio, debemos tener en cuenta que la
división no puede realizarse si el denominador es cero. Entonces, x + 2 ≠ 0.
Luego, x ≠ 2. Por lo tanto Dom f = IR – {– 2}.
b. Completemos la siguiente tabla:
x
f(x)
– 2,01
– 4,01
– 2,0001
– 4,0001
– 2,00001
– 4,00001
– 1,99
– 3,99
– 1,999
– 3,999
– 1,9999
– 3,9999
c. Observamos que a medida que x toma valores más próximos a – 2, f (x) toma valores cada vez
más cercanos a – 4. Esto se escribe matemáticamente de la siguiente manera:
y se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a – 2 es – 4.1
d. Para graficar f(x), analicemos su expresión:
si x ≠ – 2
1
¿Cómo se lee...?
: el límite cuando x tiende a x0 de f(x) es L o el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L.
24
Si consideramos la función g(x) = x – 2, f(x) y g(x) solamente difieren en x = – 2, pues f(-2) no
existe y g(-2) = -4. Observemos que en la simplificación, si no consideráramos que x
-2,
estaríamos diciendo que f(-2) = – 4 y eso no es cierto.
El gráfico de f(x) es, entonces, como el
gráfico de g(x) excepto en x = – 2, donde
para señalar la diferencia utilizamos un
"círculo vacío".
Observemos en el gráfico de f(x) que a
medida que x toma valores próximos a -2,
f(x) toma valores cada vez más próximos a
-4. Sin embargo, el punto (-2; -4) no
pertenece a la gráfica, debido a que -2 no
pertenece al dominio de f(x).
Límite de una función en un punto
Llamamos límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor xc al valor, L, al que se acerca
f(x) cuando x toma valores cada vez mas cercanos a x0.
Simbólicamente se escribe:
Continuemos analizando el gráfico de f(x).
Tomemos un intervalo abierto cualquiera en el eje y
alrededor de – 4. A este intervalo se lo llama entorno
de – 4 y, como puede tomarse simétrico respecto de –
4, dicho intervalo puede ser (– 4 – ε; – 4 + ε), donde ε
es un número real positivo. Como vemos en el gráfico,
en el eje x existe un entorno de –2, que también puede
tomarse simétrico respecto de –2; por ejemplo: (–2 – δ;
–2 + δ), donde δ es un número real positivo, que
verifica que para cualquier x en este entorno de –2,
salvo quizás para – 2, sus imágenes se encuentran en
el entorno de – 4.2
Notemos, además, que por más pequeño que sea ε, siempre será posible encontrar un δ que
verifique la condición que enunciamos en el párrafo anterior.
Conclusión
Decir que
equivale a decir que
Observemos que la función f(x) no existe en x = -2 y, sin embargo, si existe el límite de f(x)
cuando x tiende a -2. En otras palabras, hablar del límite en x0 no significa calcular la imagen
de la función en x0, sino averiguar que sucede con las imágenes cuando x toma valores
cada vez más cercanos a x0.
Cuando queremos indicar que x toma valores cada vez más cercanos a x0, decimos que x tiende a
x0 y escribimos x → x0.
Cuando queremos indicar que f(x) toma valores cada vez más cercanos a L, decimos que f(x)
tiende a L y escribimos f(x) → L.
2
Por eso hablamos de entorno reducido alrededor de un punto (en este ejemplo – 2), ya que no se toma
en cuenta que ocurre con la función en el punto, sino solo alrededor.
25
Problema 15
Consideren el siguiente gráfico de f(x) y determinen:
a. El dominio de f(x).
b.
Problema 15
a. Al observar el gráfico, vemos que f(x) está definida para todos los valores de x excepto para x =
2. Por lo tanto,
Dom f = IR - {2}.
b. Notemos, analizando el gráfico, que si x tiende a 0, entonces, f(x) tiende a 2, con lo cual
.
Miremos nuevamente el gráfico y analicemos el Iímite de f(x) cuando x tiende a 2. Deducimos que
f(x) → – 3 cuando x → 2; por lo tanto,
Analicemos ahora qué ocurre con la función cerca de x = 8. Si tomamos valores de x próximos a 8,
pero todos ellos menores que 8, observamos que f(x) tiende a 1. En cambio, si los valores cercanos
a 8 son todos mayores que 8, f(x) tiende a 4. La pregunta que nos hacemos es, entonces, ¿cuál es
el límite de f(x) cuando x tiende a 8, 1 ó 4? Para decidirlo utilicemos la definición de Iímite.
Si en el eje y tomamos un entorno de 1 con, por ejemplo, ε = , vemos que no es posible encontrar
un entorno de 8 de tal manera que para cualquier x de este entorno, sus imágenes estén en el
entorno de 1. Entonces, 1 no es el límite.
De la misma manera, si tomamos en el eje y un entorno de 4 con ε = , tampoco es posible encontrar
un entorno de 8 que verifique la definición de límite. Por lo tanto, 4 no es el límite.
26
Por lo tanto, no existe el límite de f(x) cuando x tiende a 8. Sin embargo, si sólo tomamos valores de
x menores que 8 y muy cercanos a él, el límite (por la izquierda) es 1, y si sólo tomamos valores de
x mayores que 8 y muy cercanos a él, el límite (por la derecha) es 4. A estos límites se los llama
límites laterales. Se escriben simbólicamente:
y
Límites laterales
Decimos que f(x) tiende a P cuando x tiende a x0 por la izquierda si a medida que x toma valores
cada vez más cercanos a x0, pero menores a él (x < x0, entonces, f(x) toma valores cada vez más
próximos a P. Simbólicamente escribimos:
Decimos que f(x) tiende a S cuando x tiende a x0 por la derecha si a medida que x toma valores
cada vez más cercanos a x0, pero mayores a él (x > x0), entonces, f(x) toma valores cada vez más
próximos a S. Simbólicamente escribimos:
Los límites anteriores se llaman límites laterales por izquierda y por derecha, respectivamente.
Los límites laterales no siempre coinciden. En el problema 2, los límites cuando x tiende a 8 por
izquierda y por derecha no coinciden; entonces, el límite cuando x tiende a 8 no existe. Sin embargo,
los límites laterales si coinciden, y son iguales al límite, cuando x tiende a 0 o cuando x tiende a 2.
En el primer caso, los límites laterales valen 2 y en el segundo caso valen -3. Es importante
destacar que el hecho de que los límites laterales cuando x tiende a x0 coincidan no significa que x0
pertenezca al dominio de la función.
Conclusión
Decimos que una función f(x) tiene límite cuando x tiende a x0 si y solo si los límites por izquierda y
por derecha en x0 coinciden. O sea:
Problema 16
Una fábrica de planchas de madera tiene una máquina que corta dichas planchas de forma
rectangular, todas del mismo grosor y la misma superficie, 1 cm2, pero de diferentes medidas.
a. Si una de las medidas de las planchas es de 10 cm, ¿cuál será la otra?
b. Si una de las medidas de las planchas es de 2 cm, ¿cuál será la otra?
c. Completen la siguiente tabla donde A es una de las medidas de la plancha y L es la otra.
27
A (en cm)
1
0,01
0,00001
0,00000001
L (en cm)
d. ¿Qué sucede con L a medida que A es cada vez más chico?
e. Completen la siguiente tabla:
A (en cm)
100
1000
100000
100000000
L (en cm)
f. ¿Qué sucede con L a medida que A es cada vez más grande?
Problema 16
Sabemos que las planchas son todas rectangulares y tienen 1 cm2 de superficie, con lo cual
L. A = 1; entonces, L = .
a. Si A mide 10 cm, la otra medida será de 0,1 cm.
b. Si A es de 2 cm, L mide 0,5 cm.
c. Completemos la siguiente tabla:
A (en cm)
L (en cm)
1
1
0,01
100
0,00001
100000
0,00000001
100000000
d. Notemos que a medida que A tiende a 0 por la derecha (dado que A > 0), la cuenta que permite
calcular L, L = , da por resultado un número cada vez mayor. En otras palabras, cuando A tiende a cero
por la derecha, es cada vez más grande y, entonces, decimos que tiende a infinito. Esto se escribe
simbólicamente:
Cuando tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos
encontrar un entorno de 0, por la derecha, de tal manera que
para todos los A en este entorno, la imagen de A, , es mayor
que M. Esto sucede para cualquier valor que elijamos de M por
más grande que sea.
Si en lugar de tomar una función solo definida para valores positivos tomamos la función
con dominio IR-{0}, al considerar en el eje y cualquier valor M > 0 podemos encontrar un entorno de
0 en el eje x tal que |f(x)| > M.
28
Límite infinito
Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a x0, si a medida que x toma valores
cada vez más próximos a x0, |f(x)| toma valores cada vez más grandes. En este caso, escribimos:
Simbólicamente estamos diciendo que
e. Completemos la siguiente tabla:
A (en cm)
L (en cm)
100
0,01
1000
0,001
100000
0,00001
100000000
0,00000001
f. Observemos en la tabla que a medida que A toma valores cada vez mayores (tiende a más infinito),
entonces, L tiende .a 0. Esto se escribe simbólicamente:
Analicémoslo gráficamente:
Al tomar en el eje y un entorno cualquiera de 0, podemos
encontrar en el eje x un N lo suficientemente grande para que las
imágenes de todos los x mayores que N se encuentren en el
entorno elegido de 0.
Decimos que una función f(x) tiende a un número L cuando x
tiende a infinito si a medida que x toma valores cada vez más
grandes, f(x) tiende a L. En este caso escribimos:
Simbólicamente estamos diciendo que
Notemos que en algunos casos hablamos de infinito y no distinguimos entre más y menos infinito.
Cuando ponemos
(sin signo), estamos suponiendo que puede ser
o
. Si en algún caso
debe distinguirse, le colocaremos el signo correspondiente.
Problema 17
Observen los siguientes gráficos y determinen los límites pedidos.
a)
b)
c)
d)
Problema 17
En estos casos, observamos que no es lo mismo que x tienda a - ∞ o a + ∞.
Al analizar los gráficos de f(x) y de g(x), obtenemos:
29
a)
b)
c)
d)
Analicemos los límites de los ítems a. y d., ya que estos casos no fueron estudiados hasta este
momento.
Para el límite del ítem a., en el gráfico podemos observar lo siguiente:
Si tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encontrar un N > 0 de tal manera que para
cualquier x menor que -N su imagen será mayor que M.
Para el límite del ítem d., en el gráfico podemos ver lo siguiente:
Si tomamos en el eje y cualquier valor M > 0, podemos encontrar un N > 0 de tal manera que para
cualquier x que sea mayor que N su imagen será mayor que M.
Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a más infinito, y escribimos
si a medida que x toma valores cada vez más grandes, |f(x)| toma valores cada vez más
grandes.
Simbólicamente:
Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a menos infinito, y escribimos
si a medida que x toma valores negativos cada vez más chicos, │f(x)│ toma valores cada
vez más grandes. Simbólicamente:
Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito, y escribimos
si a medida que x toma valores cada vez más grandes, |f(x)| toma valores cada vez más grandes.
Simbólicamente:
Actividades:
1.
Consideren la función
a.
Hallen el dominio de f(x).
b.
Completen la siguiente tabla:
30
X
f(x)
c.
qué.
d.
3,01
3,0001
2,99
2,99999
Simplifiquen, si es posible, la expresión de f(x) para cualquier valor de x. Si no es posible, expliquen por
2.
Determinen para qué valores de x se verifica que
3.
A partir de la observación de los siguientes gráficos de funciones, calculen, si es posible,
. Si no es posible expliquen por qué.
Realicen un gráfico aproximado de f(x).
.
4. Observen el gráfico de f(x) y calculen, si existe, lo indicado. Justifiquen sus respuestas.
d. f(0) =
h. f(1) =
l. f(4) =
5. Grafiquen una función f(x) cuyo dominio sea IR y que carezca de límite cuando x tiende a -8.
6. Realicen el gráfico de una función f(x) cuyo dominio sea IR y que carezca de límite cuando x
tiende a 8 y cuando x tiende a - 5, pero que tenga límite cuando x tiende a 3.
7. Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifiquen sus respuestas
utilizando gráficos:
31
8. Observen el gráfico de f(x). Si es posible, completen en los lugares indicados; si no es possible,
expliquen por qué.
9.
9. Para la función f(x) cuyo gráfico es el
siguiente calculen los siguientes límites:
Expliquen el motivo de sus respuestas.
10. Para cada uno de los siguientes gráficos, analicen el límite de la función cuando x tiende a +∞
y cuando x tiende a - ∞
32
11.
f(x) =
Consideren la siguiente función
si x < 0
2
si 0 ≤ x < 1
x 1
3 x – 1 si x ≥ 1
a.
b.
Grafiquen f(x).
Calculen los siguientes límites
33
Cálculo de límites:
Muchas veces el cálculo de los límites de las distintas funciones se facilita si se conocen las
diferentes estrategias algebraicas que existen para realizar este cálculo. A partir de estas
estrategias, se pueden calcular límites sin necesidad de confeccionar tablas ni realizar gráficos.
¡Ojo! Una vez que construyeron herramientas que les permiten resolver los ejercicios de manera
más económica, no olviden, al aplicarlos, verificar en cada paso que lo que están haciendo sea
válido.
Para comenzar...
En la primer parte de esta unidad nos propusimos entender qué significa calcular el límite de una
función en un valor x0 y en infinito. Nuestra tarea, ahora, es encontrar formas de calcular límites sin
necesidad de confeccionar tablas ni realizar gráficos.
Problema 18
Calculen los siguientes límites:
a.
b.
c.
d.
Problema 18
a. Para calcular el límite pedido, utilizaremos uno de los límites que hemos calculado en la
primera parte:
Observemos que en
a medida que x tiende a 1, x -1 tiende a cero y, entonces,
es la
división entre 1 y un número cada vez más próximo a cero. Es decir, debemos dividir el entero en
partes cada vez más pequeñas, o sea que tendremos cada vez más partes. Entonces:
.
Si el numerador, en lugar de ser 1, es cualquier otro número real distinto de cero, y el denominador
es cualquier función que tiende a 0, el razonamiento es análogo al que hemos realizado.
Conclusión 1
Si
, entonces, para cualquier número real k distinto de cero se verifica que
.
Esta conclusión también se cumple cuando x tiende a infinito.
¿Cómo se lee... ?
: x tiende a x0.
b. Para calcular
, observemos que si x tiende a 3, al restarle 1, x-1 tiende a 2. Utilizando
la propiedad de límites que dice que el límite de la división entre dos funciones es la división de los
límites de cada una de ellas (siempre que el límite del denominador no sea 0), obtenemos:
Con un razonamiento similar al que utilizamos en el ítem b calculamos
Si
34
Por lo tanto:
d. Para calcular
observemos que
Si
En este caso, cuando x tiende a 1, el numerador tiende a 8 y el denominador tiende a 0. Entonces,
no podemos utilizar la propiedad del álgebra de límites que usamos en los ítem b y c. Sin embargo,
podemos realizar un razonamiento similar al empleado en el ítem a.
En
, cuando x tiende a 1, el numerador tiende a un número distinto de 0, en este caso 8, y el
denominador tiende a 0. Entonces, tenemos números cada vez más próximos a 8 que se dividen
por números cada vez más pequeños. Por lo tanto, obtenemos por resultado números cada vez
mayores en módulo. Podemos decir, entonces, que
.
Este razonamiento lo podemos utilizar para cualquier cociente donde el numerador es una función
que tiende a un número distinto de 0 y el denominador es una función que tiende a 0.
Conclusión 2
Si
, donde k es un número real distinto de cero, y
entonces,
,
.
Esta conclusión también es válida cuando x tiende a infinito.
Problema 19
Hallen los siguientes límites:
a.
b.
Problema 19
a. En la primer parte de esta unidad, dedujimos que
calculemos
Si
. Utilizando este límite,
.
.
Por lo tanto, si a 1 lo dividimos cada vez en más partes, el resultado es cada vez más chico. O
sea:
.
Si el numerador en lugar de ser 1 es otro número y el denominador es cualquier función que tiende
a infinito, el razonamiento es análogo al que hemos hecho.
Conclusión 3
Si
., entonces, para cualquier número real k se verifica que
Esta afirmación también se cumple si x tiende a x0.
35
.
b. Para calcular
, analicemos el gráfico de la función g(x) = 0,5x. Como g(x) es una
función exponencial y 0,5 es mayor que 0 y menor que 1, su gráfico es el siguiente:
Observamos que cuando x toma valores positivos cada vez mayores, g(x) tiende a 0. Luego, en
el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a infinito, cuando x tiende a más infinito.
Entonces, tenemos un número cada vez más cercano a 3, que se divide cada vez en más partes.
Por lo tanto, el resultado será un número cada vez más próximo a 0. Es decir:
También podemos realizar el mismo razonamiento cuando el numerador es cualquier función que
tiende a un número y el denominador es una función que tiende a infinito.
Conclusión 4
Si
, donde k es un número real, y
, entonces
Esta afirmación también es válida cuando x tiende a x0.
Problema 20
Calculen los siguientes límites. En todos los casos, a es un número real positivo distinto de 1.
a.
c.
b.
d.
Problema 20
La forma del gráfico de la función f(x) = ax es distinta si a es mayor que 1 o si a está entre 0 y 1.
Si a > 1, el gráfico de f(x) es aproximadamente el siguiente:
En el gráfico, podemos observar lo siguiente:
y
36
.
Para resolver estos límites analíticamente, debemos considerar que si
y a > 1, entonces,
x
a será un número cada vez mayor, o sea,
En cambio, como
, si
–x
, entonces,
. Luego, como a > 1, a es un número cada vez más grande y,
entonces, ax > 0, o sea,
.
Si 0 < a < 1, el gráfico de f(x) es aproximadamente el siguiente:
Observando el gráfico, deducimos que
y
Para calcular estos límites analíticamente, cuando 0 < a < 1, debemos realizar un razonamiento
similar al que hicimos para a > 1.
Conclusión 5
0 si a > 1
si 0 < a < 1
si a > 1
0 si 0 < a < 1
Analicemos ahora la función
. Como esta función es la inversa de f(x) = ax, entonces,
también los gráficos son distintos si a es mayor que 1 o si está entre 0 y 1.
Analicemos el gráfico de g(x) para a > 1:
Luego, observamos que:
y
Si 0 < a < 1, entonces, el gráfico de g(x) es el siguiente:
37
En el gráfico podemos observar que:
y
Conclusión 6
si a > 1
si 0 < a < 1
si a > 1
si 0 < a < 1
Problema 21
Hallen los siguientes límites:
a.
b.
c.
Problema 21
a. Analicemos este límite:
.
Cuando x tiende a 1, tanto el numerador como el denominador de la función tienden a 0.
Considerando sólo el numerador, podríamos decir que la expresión que tiende a cero dividida por
otra que tiende a un número da por resultado 0.
Consideremos ahora sólo el denominador. Podríamos decir que si a una expresión que tiende a un
número la dividimos por otra cada vez más próxima a cero, el resultado es un número cada vez
más grande y, por lo tanto, el límite es infinito.
Entonces, ¿este límite es cero, infinito o algún otro número distinto de cero?
Este límite está indeterminado.
Límite indeterminado
Decimos que un límite está indeterminado cuando en un comienzo no podemos determinar cuál
es su resultado. Éste dependerá de cada caso.
Que un límite esté indeterminado en un principio no significa que no pueda calcularse, sino que no
está terminado. Hay que realizar algunas operaciones para lograr determinar su resultado.
38
La primera de las indeterminaciones es la división de una función que tiende a cero por otra que
también tiende a cero.
Conclusión 7
Si
y
, entonces,
es indeterminado.
Esta conclusión también se cumple cuando x tiende a infinito.
Calculemos
. Para ello realizaremos una tabla de valores:
0,99
0,999
0,9999
…
1,0001
1,001
1,01
1,99
1,999
1,9999
…
2,0001
2,001
2,01
Como podemos observar en la tabla, parece ser que el límite debería dar 2. Pero ¿por qué no
podría dar por resultado 2,0000001, que también es un número? Por lo tanto, sólo con una tabla
de valores no podemos determinar cuál es el límite. Trabajemos entonces con la expresión de la
función:
(la simplificación solo se puede hacer porque
).
Pudimos "salvar la indeterminación" cambiando la fórmula de la función por otra equivalente en
todos los valores del dominio. Es decir que las expresiones
y x +1 son equivalentes excepto
para x = 1. Observen que para obtener la expresión equivalente factoreamos los polinomios y
luego simplificamos. Esta simplificación es válida porque si x tiende a 1, entonces, x toma valores
cada vez más cercanos a 1, pero no es igual a 1 y, por lo tanto
.
b. Para resolver
, veamos qué ocurre con el numerador y el denominador de la
función cuando x tiende a 2.
Si
Tanto numerador como denominador son funciones que tienden a cero, o sea que estamos ante la
presencia de una indeterminación. Para salvarla, vamos a simplificar la expresión
factoreando los polinomios del numerador y del denominador.
Como 2 es raíz de ambos polinomios, podemos dividir en forma exacta los dos polinomios por x 2. Para ello usamos la regla de Ruffini:
1
2
1
-5
6
2
-6
-3
0
3
2
3
Luego:
x2 – 5 x + 6 = (x – 2) (x – 3)
39
-5
-1
-2
6
2
2
1
1
0
3 x3 – 5 x2 – x – 2 = (x – 2) (3 x2 + x + 1)
Por lo tanto:
Como
c. Calculemos ahora
.
En este caso, también el numerador y el denominador tienden a cero, cuando x tiende a 5.
Estamos en presencia de una indeterminación. Pero aquí el numerador no es un polinomio que
podamos factorear. Por lo tanto, simplifiquemos la expresión de la función:
multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador
factoreamos el polinomio del denominador 1
como
Problema 22
Calculen los límites:
a.
b.
c.
Problema 22
Para calcular el límite planteado en a., analicemos la función considerando por separado el
numerador y el denominador. Si x toma valores cada vez más grandes en módulo, entonces, el
resultado de 3x2 + 5 x +4 también es cada vez mayor. Luego, si lo dividimos por cualquier número,
el resultado será cada vez mayor en módulo. Con este razonamiento, estamos diciendo que el
límite debería dar .
Consideremos ahora sólo el denominador. Si x toma valores cada vez más grandes en módulo,
entonces, el resultado de 5 x2 + 3 x + 14 también será cada vez más grande. Luego, si dividimos
cualquier número por otro que en módulo es cada vez mayor, el resultado será cada vez más
cercano a 0. Con este razonamiento estamos diciendo que el límite debería dar 0. Estamos,
entonces, ante la presencia de una nueva indeterminación.
40
Conclusión 8
Si
y
, entonces,
es indeterminado.
Esta conclusión también es válida cuando x tiende a x0.
Para poder calcular el límite, buscamos una expresión equivalente a
común x2 (la mayor potencia de x) en el numerador y en el denominador:
Observemos que como x tiende a infinito, por la conclusión 4, resulta que ,
Por lo tanto, el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a 5. Entonces,
. Saquemos factor
,
y
tienden a 0.
Analicemos el límite planteado en b. utilizando el mismo razonamiento que en a. Como x tiende a
infinito, tanto el numerador como el denominador de
tienden a infinito.
Estamos, entonces, ante la misma indeterminación que en a. Para salvarla saquemos factor
común x3 (la mayor potencia de x) en el numerador y en el denominador:
Luego, cuando x tiende a infinito, el numerador tiende a 7 y el denominador tiende a 0. Por lo
tanto, utilizando la conclusión 2 resulta que:
Analicemos el límite del ítem c.:
.
Observemos en el numerador que si
. Luego, ¿a dónde tiende la
2
resta entre 3x y 5x? Tendería a cero si la resta fuera entre dos números iguales. Sin embargo,
no es un número, sino que significa que el resultado es en módulo cada vez más grande. Por lo
tanto, ésta es una nueva indeterminación. Esta indeterminación también se presenta entre 7x3 y
5x2 si
.
Conclusión 9
Si
y
, entonces,
es indeterminado.
Esta afirmación también se cumple si x tiende a x0.
Luego, podemos escribir 3x2 – 5x = x (3x – 5). Como éste es un producto entre expresiones que
tienden a infinito cuando x tiende a infinito, entonces, 3x2 – 5x tiende a infinito. Por lo tanto, para el
límite del ítem c. resulta que
Si
41
Otra vez el numerador y el denominador tienden a infinito. Salvemos esta indeterminación de la
misma manera que lo hicimos en b.: saquemos factor común x3 (la mayor potencia de x) en el
numerador y en el denominador.
Luego
el
numerador
tiende
a
cero
y
el
denominador
tiende
a
0.
Actividades:
1. Hallen los límites indicados:
a.
b.
e.
c.
f.
d.
(con
g.
(con
2. Obtengan el valor de los siguientes límites:
a.
b.
d.
c.
e.
f.
3. Calculen estos límites:
a.
d.
b.
c.
e.
f.
4. Resuelvan los límites indicados:
a.
b.
c.
d.
=
f.
g.
5. Hallen estos límites:
a.
e.
d.
b.
e.
c.
f.
42
7.
Por
lo
tanto,
6. Calculen, si existen, los siguientes límites. Para aquellos que no existan, justifiquen por qué.
a.
b.
c.
d.
7. Indiquen cuáles de los siguientes límites están, en principio, indeterminados y expliquen por
qué.
a.
b.
c.
d..
e.
8. Calculen estos límites:
a.
c.
b.
9. Si tienen que resolver el límite de una función racional donde el numerador y el denominador
tienden a cero, ¿es siempre posible factorear numerador y denominador, y simplificar? ¿Por qué?
10. Hallen el valor de los límites indicados:
a.
c.
b.
d.
e.
11. Resuelvan los siguientes límites:
a.
c.
b.
d.
43
Continuidad
Las funciones continuas poseen gran cantidad de propiedades que facilitan el estudio de sus
gráficos. Éste es el motivo por el cual estudiaremos en este capítulo en qué intervalos una función
cumple con la propiedad de ser continua.
Problema 23
Determinen, para la función f(x) representada en cada gráfico, los siguientes límites:
,
y
Comparen el límite de f(x) cuando x tiende a x0 con la imagen de f(x) en x0.
a.
b.
c.
d.
e.
Problema 23
En el gráfico a., observamos que
Como los límites laterales son distintos, entonces, no existe el límite de f(x) cuando x tiende a x0.
Sin embargo, está definida f(x0). Con respecto al gráfico b., podemos ver que
, y además,
En este caso, los límites laterales son iguales; entonces, existe el límite de f(x) cuando x tiende a
x0. Observemos que el valor de este límite es distinto de f(x0).
44
Para el gráfico c., resulta que
Los límites laterales no coinciden; entonces, no existe el límite de f(x) cuando x tiende a x0. Sin
embargo, existe f(x0).
En el gráfico d., observamos que
, y además,
En este caso, el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es infinito. Por lo tanto, la recta x = x0 es
asíntota vertical de f(x) y, entonces, la función no está definida en x0, es decir que no existe f(x0).
Para el gráfico e. es
, y además,
Los límites laterales coinciden y, además, su valor es el valor de la función en x0. Por lo tanto, el
límite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a f(x0).
Continuidad de una función en un punto
En los comienzos del cálculo, se definía como función continua aquella que tenía un gráfico que
podía ser recorrido sin levantar el lápiz en ningún momento. Sólo después de iniciado el estudio
infinitesimal, se resumió esa definición intuitiva utilizando el concepto de límite.
Una función f(x) es continua en x0 si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
i. existe f(x0)
ii.
iii.
L = f(x0)
donde
En el problema 23, la función del gráfico e. es continua en x0.
Se dice que una función que no es continua en x0, es discontinua en x0.
Las funciones que se plantean en el problema 23, excepto la del gráfico e., son discontinuas en x0.
Observemos que en cada uno de esos casos falla alguna de las condiciones de la definición de
continuidad de una función en un punto.
Algunas funciones discontinuas en la realidad
En la unidad 1, trabajamos con la función parte entera y la función mantisa, que son funciones
discontinuas. También estudiamos la función homográfica (racional), que es discontinua. También
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en lo cotidiano podemos encontrar funciones discontinuas, como, por ejemplo, la función taxi y la
función impuesto.
Función taxi
En el importe que debe pagarse después de un viaje en taxi consideremos como variable sólo los
kilómetros recorridos. Es decir que no tomaremos en cuenta el tiempo en el cual el auto está
detenido, que también es una variable que influye en la tarifa que se va a abonar. Entonces, el
importe que debe pagarse se calcula considerando $1,12 por la bajada de bandera y $0,14 por
cada 200 metros recorridos.
Definamos la función l(k), donde I es el importe expresado en pesos y k es la cantidad de metros
recorridos:
1,12
si 0 < k < 200
1,12 + 0,14
si 200 < k < 400
l(k) =
1,12 + 0,14 .2
si 400 < k < 600
…..
Luego:
l(k) = 1,12 + 0,14.
, donde
número mayor o igual que cero.
es la parte entera del resultado de la división y k es un
El gráfico de l(k) es el siguiente:
Observemos que cuando k toma como valor un múltiplo de 200, entonces, la función presenta
saltos de 0,14.
Función impuesto
Un determinado impuesto se calcula, entre otras variables, según el ingreso anual del
contribuyente y se define de la siguiente manera:
Ingreso anual hasta ($)
12000
24000
36000
48000
72000
96000
120000
144000
Cuota mensual ($)
55
94
130
173
249
339
373
519
El gráfico de la función es el siguiente:
Observemos que esta función presenta saltos en algunos múltiplos de 12000 y que, además, esos
saltos son diferentes entre sí.
Tipos de discontinuidad
Si en una función sucede que existe el valor del límite cuando x tiende a x0, pero no coincide con
f(x0) o no existe f(x0), entonces, la función tiene en x0 una discontinuidad evitable.
El hecho de llamarse evitable se debe a que si se cambia la definición de la función asignando
como valor de f(x0) el valor de
, se obtiene una función continua. Es decir que dicha
discontinuidad puede evitarse.
46
En el problema 23, la función del gráfico b. tiene una discontinuidad evitable en x0. Esta
discontinuidad se puede evitar considerando f(x0) = y1.
Si en una función sucede que el límite cuando x tiende a x0 no existe, pero los límites laterales
cuando x tiende a x0, tienen valores distintos, entonces, la función tiene en x0, una discontinuidad
esencial de primera especie con salto finito.
La función del gráfico a. del problema 23 tiene en x0 una discontinuidad esencial de primera
especie con salto finito.
Si en una función sucede que el límite cuando x tiende a x0 no existe y alguno de los límites
laterales cuando x tiende a x0 es infinito, entonces, la función tiene en x0 una discontinuidad
esencial de primera especie con salto infinito.
En el problema 23, las funciones de los gráficos c.y d tienen en x0 una discontinuidad esencial de
primera especie con salto infinito.
Observemos que en los casos de discontinuidades esenciales no es posible cambiar la definición
de la función para que sea continua sin alterarla esencialmente.
Si en una función sucede que uno de los límites laterales no existe, es una discontinuidad
esencial de segunda especie.
Problema 24
Determinen si las siguientes funciones son continuas en los valores de x0 que se especifican.
x–2
si x < – 2
x2 – 1
si x
x0 = - 2; x0 = – 4
a. f(x) =
2
si x < 1
b. g(x) =
x0 = 1; x0 = 0
2x–1
si x
2–3x
si x
1
c. h(x) =
x0 = 5; x0 = 3
si x > 3
Problema 24
a. Analicemos la continuidad de f(x) en x0 = – 2. La imagen de – 2 es f(– 2) = (– 2)2 – 1 = 3.
Calculemos el límite de f(x) para x tendiendo a – 2. Como la función cambia su expresión según x
tienda a – 2 por la izquierda o por la derecha, debemos calcular primero los límites laterales.
Por lo tanto, f(x) tiene en – 2 una discontinuidad esencial de primera especie con salto finito.
Estudiemos la continuidad de f(x) en x0 = – 4. Hallemos la imagen de – 4: f(– 4) = – 4 – 2 = – 6.
Para calcular el límite cuando x tiende a – 4, no es necesario hallar los límites laterales, ya que en
un entorno de – 4 la función tiene siempre la misma expresión. Luego:
47
Como el valor del límite de f(x) para x tendiendo a – 4 coincide con el valor de f(– 4), la función es
continua en – 4.
El gráfico de f(x) es el siguiente:
Observemos que para cualquier valor de x distinto de – 2 la función es continua, pues para esos
valores los tramos de f(x) corresponden a las funciones lineal y cuadrática.
El único valor en el que podríamos haber dudado acerca de la continuidad de f(x) es – 2, pues en
este valor la función cambia de expresión.
Propiedad
Las siguientes funciones son continuas en cualquier valor de su dominio:

polinómicas

exponenciales

logarítmicas

seno

coseno

tangente (en el intervalo
o en intervalos equivalentes a él)
b. Estudiemos la continuidad en x0 = 1, de la función
si x < 1
a. g(x) =
2x–1
x0 = 1; x0 = 0
si x
1
Hallemos la imagen de 1: g(1) = 2 . 1 – 1 = 1.
Para obtener el límite de g(x) cuando x tiende a 1, debemos calcular los límites laterales:
Entonces, g(x) no es continua en 1. La discontinuidad es esencial de primera especie con salto
infinito.
Al estudiar la continuidad de g(x) en x0 = 0, resulta que tanto el límite cuando x tiende a 0 como
g(0) son iguales a – 2. Por lo tanto, la función es continua en 0.
48
La función g(x) tiene el siguiente gráfico:
Observemos que para x < 1 el gráfico tiene trazo continuo y la expresión correspondiente de la
función es g(x) =
que es una función racional.
Propiedad
Las funciones racionales, cociente de dos polinomios, son continuas en cualquier número real que
sea distinto de las raíces del polinomio que figura en el denominador de la función.
c. Trabajemos con la función
2–3x
si x
h(x) =
x0 = 5; x0 = 3
si x > 3
La expresión de h(x) en x0 = 5 corresponde a una función racional. Como 5 no es raíz de x – 3,
entonces, por la propiedad anterior, h(x) es continua en 5.
Analicemos la continuidad de h(x) en x0 = 3.
Calculemos la imagen de 3: h(3) = 2 – 3 . 3 = – 7.
Para calcular el límite de h(x) cuando x tiende a 3, es necesario calcular los límites laterales:
Luego, la función h(x) es continua en 3. El gráfico de h(x) es el siguiente:
49
Continuidad de una función en su dominio
Una función es continua en todo su dominio si es continua en cada valor de su dominio.
¿Qué operaciones se pueden realizar con funciones continuas en x0 para que se mantenga la
continuidad en x0 de la función resultante?
Propiedades
Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x0, se cumple que
 (f + g) (x) es continua en x0.
 (f – g) (x) es continua en x0.
 (f . g) (x) es continua en x0.
 Si g(x0)
, entonces,
es continua en x0.


Si f(x0) y g (x0) no son ambos iguales a cero, entonces, (fg) (x) es continua en x0.
Si g(x) es continua en x0 y f(x) es continua en g(x0), entonces, (f g) (x) es continua en x0.
Problema 25
A un grupo de científicos le indicaron que las distintas temperaturas de un paciente durante dos
días, en los que estuvo enfermo, pueden aproximarse mediante la siguiente función:
T(x) = 0,0005 (x – 5) (x – 24) (x – 40) + 37,5, donde x es la cantidad de horas que pasaron desde
la hora 0 del día miércoles y T es la temperatura del paciente expresada en grados centígrados.
a. ¿Cuál fue la temperatura del paciente a las 10 de la mañana del miércoles?
b. ¿Cuál fue la temperatura del paciente a las 3 de la tarde del jueves?
c. ¿En algún momento la temperatura del paciente fue de 38°?
Problema 25
La función T(x) es continua por ser producto y suma de funciones polinómicas que son funciones
contínuas en todos los números reales.
Para contestar la pregunta del ítem a., hallamos la imagen de 10 en la función T(x):
T(10) = 0,0005 (10 - 5) (10 - 24) (10 - 40) + 37,5 = 38,55
Desde la hora 0 del miércoles hasta las 3 de la tarde del jueves, transcurrieron 39 horas. Luego,
para responder al ítem b. reemplazamos en T(x) x por 39:
T(39) = 0,0005 (39 - 5) (39 - 24) (39 - 40) + 37,5 = 37,245
Para contestar la pregunta del ítem c., planteamos T(x) = 38.
Es decir: 0,0005 (x - 5) (x - 24) (x - 40) + 37,5 = 38.
Obtenemos así una ecuación de tercer grado que resulta difícil de resolver. Sin embargo, podemos
plantear que T(x) es una función continua que en 10 toma el valor 38,55 y en 39 toma el valor
37,245. Con lo cual T(x) pasa en forma continua de 38,55 a 37,245. Luego, como la función no
puede tener ningún salto, entonces, toma el valor 38, aunque sea una vez.
50
Por lo tanto, podemos afirmar que en algún momento entre las 10 de la mañana del miércoles y las
3 de la tarde del jueves el paciente tuvo una temperatura de 38°. Esto lo podemos afirmar debido
al teorema que presentamos a continuación.
Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo [a; b] y k es cualquier número que se encuentra
entre f(a) y f(b), entonces, existe por lo menos un número c entre a y b tal que f(c) = k.
Analicemos en forma gráfica lo que afirma el teorema. Se plantea que si el gráfico de f(x) debe
pasar de forma continua desde f(a) hasta f(b), entonces, obligatoriamente tendrá que pasar por k,
que se encuentra entre f(a) y f(b).
Corolario del Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo [a; b] y los signos de f(a) y f(b) son distintos,
entonces, existe por lo menos un número c entre a y b tal que f(c) = 0.
Este corolario es una consecuencia inmediata del Teorema de Bolzano pues si f(a) y f(b) tienen
distinto signo, entonces, uno es positivo y el otro es negativo, con lo cual O es un número que se
encuentra entre f(a) y f(b). El teorema afirma que, entonces, existe por lo menos un valor c entre a
y b para el cual f(c) = 0.
El corolario del Teorema de Bolzano es muy útil para aproxi-mar los valores donde una función se
anula o donde dos funciones continuas son iguales.
Teorema de la conservación del signo
Si una función es continua, entonces, entre dos ceros consecutivos la función no cambia de signo:
o es positiva o es negativa.
Demostremos este teorema.
Supongamos que f(x) es la función continua y que a y b son dos ceros consecutivos de f(x). Esto
quiere decir que
f(a) = f(b) = 0 y, además, f(c) 0 para cualquier número c que esté entre a y b.
Si el teorema no fuera cierto, entonces, entre a y b deberían existir por lo menos dos números x1 y
x2 tales que, por ejemplo, f(x1) > 0 y f(x2) < 0. Luego, por el corolario del Teorema de Bolzano
debería existir por lo menos un número c entre x1 y x2 tal que f(c) = 0. Como c también estaría
entre a y b, esto contradiría el hecho de que a y b son ceros consecutivos. Por lo tanto, la
suposición de que el teorema no es cierto es falsa. Concluimos, entonces, que el teorema es
cierto.
Problema 26
Una población de microorganismos colocados en un cultivo se reproduce según la función
P(x) = 200 [(x -1). 2-x + 2], donde x es el tiempo medido en horas y P es la masa de la población
medida en gramos.
51
Si la masa de los microorganismos es de 420 gramos, es necesario colocar un bactericida. ¿En
algún momento ocurre esta situación?
Problema 26
La función con la cual se calcula la masa de la población de microorganismos es
P(x) = 200 [(x -1). 2-x + 2].
Esta función es producto y composición de funciones continuas; por lo tanto, es continua.
Necesitamos saber si en algún momento la masa sobrepasa los 420 gramos.
En x = 0 la función toma el valor P(0) = 200. [(-1). 1 + 2] = 200.
Si encontramos un momento en el que la masa es superior a 420 gramos, por el Teorema de
Bolzano podremos afirmar que en algún momento será de 420 gramos.
En x = 5 la función toma el valor P(5) =200 [4.2-5 + 2] = 425. Por lo tanto, entre las 0 y 5 horas, en
algún momento, la masa de la población será de 420 gramos. Realicemos una aproximación del
momento en que esto ocurrirá. Para ello, confeccionemos una tabla:
X
P(x)
0
200
1
400
2
450
3
450
4
437,5
5
425
6
415,625
Podemos observar que la función valdrá 420 por lo menos dos veces: una vez para x entre 1 y 2, y
otra vez para x entre 5 y 6. Obtengamos valores de P(x) para x entre 1 y 2:
X
P(x)
1
400
1,1
409,3
1,2
417,4
1,3
424,4
1,4
430,3
1,5
435,4
1,6
439,6
1,7
443,1
1,8
445,9
1,9
448,2
2
450
Vemos que la función tomará el valor 420 para x entre 1,2 y 1,3. Mejoremos la aproximación:
X
P(x)
1,2
417,4
1,21
418,2
1,22
418,9
1,23
419,6
1,24
420,3
1,25
421
1,26
421,7
1,27
422,4
1,28
423,1
1,29
423,7
1,3
424,4
Por lo tanto, entre 1,23 y 1,24 horas la masa de la población de microorganismos será de 420
gramos.
Para x entre 5 y 6 podemos hacer un análisis similar al anterior De él llegaremos a concluir que la
masa de la población será de 420 gramos entre las 5,48 y 5,49 horas.
Lo que no se puede determinar por medio del Teorema de Bolzano es la cantidad de veces que la
función valdrá 420. Para hacerlo analizaremos el gráfico de P(x).
Observamos que la función toma el valor 420 sólo dos veces y que, además, tiene una asíntota
horizontal en y = 400.
Problema 27
Se toma la temperatura en grados centígrados de cierta sustancia durante un día, sabiendo que la
temperatura es 0° sólo cuatro veces a lo largo de la experiencia, y se confecciona la siguiente
tabla:
52
Tiempo (en horas)
Temperatura (en
grados centígrados)
0
2
5
7
10
15
17
20
10
0
-3
0
-7
12
0
3
¿Es posible determinar el signo de la temperatura en los siguientes momentos: 1 h; 6 h; 9 h; 13 h;
18 h y 22 h?
Problema 27
La sustancia tiene temperatura 0° sólo cuatro veces. Esto ocurre a las 2, a las 7 y a las 17 horas.
Observemos que la temperatura cambia de signo entre las horas 10 y 15. Luego, el cuarto valor
para el cual la temperatura es 0° está entre las 10 y 15 horas. Llamémoslo t y coloquemos los
datos en un gráfico:
Por el teorema de la conservación del signo y porque la temperatura vale 0°, sólo cuatro veces
podemos afirmar que la temperatura es positiva en [0; 2) U (t; 17) U (17; 24] y negativa en (2; 7) U
(7; t).
Por lo tanto, la temperatura es positiva a la hora 1,18 y 22, negativa a la hora 6 y 9, y no es posible
determinar el signo de la temperatura a las 13 horas.
Actividades
1. Calculen
a.
para la función f(x) representada en cada gráfico.
b.
c.
2. Los siguientes gráficos corresponden a distintas funciones. Para cada una de ellas, obtengan
.
a.
b.
53
3. Decidan si son continuas cada una de las funciones representadas en los siguientes gráficos.
Para las funciones que sean discontinuas, determinen en qué valor de x lo son y por qué.
a.
b.
c.
4. El Impuesto a las ganancias se calcula según la siguiente tabla:
Ganancia neta imponible
Más de ($)
a ($)
Pagarán ($)
Más el %
0
10000
---9
10000
20000
900
14
20000
30000
2300
19
30000
60000
4200
23
60000
90000
11100
27
90000
120000
19200
31
120000
En adelante
28500
35
Sobre el excedente de ($)
----10000
20000
30000
60000
90000
120000
Determinen si la función que permite calcular el impuesto que se va a pagar, en función de la
ganancia neta imponible, es continua.
5. Realicen el gráfico de una función que sea discontinua en cinco valores de x.
6. Propongan las fórmulas de dos funciones partidas, es decir, definidas por tramos, que sean
discontinuas en tres valores de x. Justifiquen sus propuestas.
7. Escriban la fórmula de una función definida por tres tramos, que sea continua en cualquier valor
de su dominio. Justifiquen su respuesta.
8. Clasifiquen las discontinuidades de las funciones de las actividades 1., 2., 3., 5. y 6.
9. Grafiquen la función
determinen si es continua en x0= 2 y x0=5.
10. Analicen si la función g(x) es continua en x0= 0 y en x0= 1. Para ello, realicen previamente su
gráfico.
si x > 0
g(x) =
2 x si x 0
11. Decidan si las siguientes funciones son continuas en los valores de x0 indicados:
3x+4
si x < 2
2x–1
si x > 2
10 x – 8
si x
a. f(x) =
b.
x0 = - 3; x0 = 2
g(x) =
2
x2 – 1
x0 = 3; x0 = 4; x0 = 7
si x > 4
54
12. a. Calculen el valor de a para que la siguiente función sea continua en 3.
si x
f(x) =
a
si x = 3
b. Para el valor de a hallado en el ítem anterior, determinen si f(x) es continua en
cualquier número real.
, es decir, en
13. Determinen, si es posible, el valor de a y de b para que f(x) sea continua en cualquier valor de
su dominio.
2 x + 1 si x < – 2
f(x) =
a x + b si – 2
4 x si x > 4
14. Propongan la fórmula de una función que tenga una discontinuidad esencial de primera
especie con salto infinito en 0 y en 7, una con salto finito en 1 y una evitable en 5. Justifiquen su
propuesta.
15. Para cada una de las funciones:
i. Hallen el dominio.
ii. Determinen, si existen, los valores de x en los cuales la función es discontinua.
iii. Clasifiquen las discontinuidades encontradas.
a. f(x) = 2 x2 – 3
c.
b.
16. Determinen si las siguientes funciones son continuas en todo su dominio. Si encuentran
valores de x en los cuales las funciones no son continuas, clasifiquen las discontinuidades.
a.
d.
b.
e.
c.
17. Encuentren, si es posible, la fórmula de una función f(x) que verifique que f(3) > 0 y f(5) < 0,
pero para la cual no exista un número c entre 3 y 5 tal que f(c) = 0. ¿Puede esa función ser
continua en todo su dominio?
18. Escriban, si es posible, la fórmula de una función f(x) que verifique que f(-2) < 0, f(2) > 0, f(1) =
0 y que no sea continua en todo su dominio. ¿Contradice esto el corolario del Teorema de
Bolzano?
19. En un laboratorio, se tomaron las temperaturas en grados centígrados de una sustancia y se
determinó que la temperatura llegó a 0° solo tres veces a lo largo del experimento. Con los datos
obtenidos, se confeccionó la siguiente tabla:
55
Tiempo (en horas)
0
2
4
5
7
9
11
13
15
17
19
20
Temperatura (en grados
centígrados)
10
20
7
0
–2
–7
0
4
6
3
0
–5
Determinen:
a. ¿En qué momentos la temperatura fue positiva?
b. ¿En algún momento la temperatura fue de 15°? ¿Y de – 15°?
56
UNIDAD N° 3: DERIVADAS
El concepto de derivada resulta muy útil en diferentes ciencias, como la economía y la física, entre
otros, pues permite estudiar la forma y la rapidez con que se producen los cambios.
El concepto de derivada fue desarrollado en el siglo XVII simultáneamente por dos matemáticos:
Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que trabajaron sobre los conceptos del cálculo. Esto generó una
gran disputa entre ellos, pues cada uno suponía que el otro había plagiado el concepto de
derivada.
Problema 28
Pablo visita a sus abuelos con frecuencia. Siempre parte de su casa a las 10 de la mañana y llega
a la casa de sus abuelos, que está a 400 kilómetros de la suya, a las 14 horas. Los siguientes
gráficos representan la distancia a la que se encuentra Pablo de su casa (d), en función del tiempo
(t), en distintas oportunidades en que fue a visitar a sus abuelos.
a. ¿Cuál fue la velocidad promedio en cada caso?
b. Para cada gráfico: ¿Qué pueden decir acerca de la velocidad con la que viajó Pablo? ¿Fue
siempre a la misma velocidad?
Problema 28
a. Como en todos los casos Pablo viajó 400 kilómetros en 4 horas, entonces, en todo el viaje su
velocidad promedio fue de
km/h, o sea, de 100 km/h. A la velocidad promedio se la llama
velocidad media.
Velocidad media
Si la función d(t) determina la distancia de un móvil a un cierto lugar en función del tiempo t,
llamamos velocidad media del móvil en el intervalo de tiempo a; b al cociente entre d(b) - d(a) y b a. Simbólicamente escribimos:
a. En el gráfico I la función que relaciona la distancia a la que encuentra Pablo de su casa con el
tiempo está representada por una recta. Entonces, para intervalos de tiempo iguales, recorrió
distancias iguales. Por lo tanto, Pablo viajó siempre misma velocidad.
El gráfico II presenta segmentos de recta. Para cada uno de podemos hacer un análisis similar al
realizado para el gráfico I. Por lo tanto, Pablo viajó a diferentes velocidades en los tres tramos,
siendo la velocidad constante en cada uno de ellos.
Como el gráfico III no corresponde a una función lineal, consideremos en él la distancia recorrida
por Pablo en cada intervalo de una hora.
57
En el gráfico anterior, podemos observar que en cada intervalo de una hora Pablo recorrió
diferentes distancias. Por lo tanto, la velocidad a la que viajó no se mantuvo constante. Lo mismo
sucede para el gráfico IV.
Problema 29
Una camioneta parte de un pueblo y se desplaza con trayectoria recta según la función:
d(t) = 35t + t2,
donde t es el tiempo de marcha medido en horas y d es la distancia de la camioneta al pueblo de
donde partió, medida en kilómetros.
A 144 km del pueblo hay un cruce de caminos muy peligroso. Por este motivo, se instaló allí un
dispositivo que controla que la velocidad de los vehículos no supere los 40 km/h. Si se excede este
límite, el dispositivo saca una foto de la patente del vehículo y registra la infracción. ¿Le
corresponde una multa a la camioneta? ¿Por qué?
Problema 29
Para responder a la pregunta, necesitamos conocer la velocidad de la camioneta en el instante en
que pasó por el lugar donde está el dispositivo. Para ello, primero debemos calcular en qué
momento la camioneta se encontraba a 144 km del pueblo desde el que partió. Es decir, tenemos
que resolver la siguiente ecuación:
144 = 35 t + t2, o sea,
Al aplicar la fórmula resolvente, obtenemos que t = 4 o t = -144. Pero como t debe ser positivo,
solamente consideramos t = 4. Luego, para determinar cuál era la velocidad de la camioneta a las
4 horas de viaje, debemos hallar qué marcaba el velocímetro de la camioneta en ese momento.
Para ello, calculamos las velocidades medias en intervalos de tiempo que incluyan a 4 y que sean
cada vez más pequeños. Por ejemplo, resulta que
;
Luego, en el intervalo de tiempo 4; b, con b > 4, la velocidad media es
Como queremos determinar la velocidad sólo en 4, hallamos el límite de la velocidad media entre 4
y b cuando b tiende a 4 por derecha.
58
Si hubiésemos calculado la velocidad media en el intervalo de tiempo 4; b, con b < 4, resultaría
que
y, entonces, obtendríamos el mismo valor que en el caso de b > 4.
Por lo tanto, cuando la camioneta estaba a 144 kilómetros del pueblo, a las 4 horas de salir, su
velocidad era de 37 km/h. Entonces, no le corresponde una multa, pues no superó los 40 km/h. La
velocidad de 37 km/h es la velocidad instantánea de la camione-ta en t = 4.
Velocidad instantánea
Llamamos velocidad instantánea en el momento a y lo denotamos Vi(a) al valor del límite de la
velocidad media en el intervalo de tiempo a; b cuando b tiende a a.
Simbólicamente escribimos Vi(a) =
.
Problema 30
El siguiente gráfico representa la distancia (d) de un auto, que transita por una ruta recta, a la
ciudad desde donde salió, en función del tiempo (t).
Hallen la velocidad instantánea del auto en el momento a.
Problema 30
En este problema, debemos utilizar un razonamiento similar al empleado en el problema 2. La
diferencia con ese problema es que en el problema 3 no conocemos la fórmula de la función que
vincula la distancia a la ciudad al tiempo, sino el gráfico de esa función.
Sabemos que la velocidad media en un intervalo de tiempo es el cociente entre la variación entre
las distancias al punto de partida y la variación del tiempo empleado. Pero ¿cómo interpretamos
ese cociente en el gráfico anterior? Consideremos en dicho gráfico un intervalo de tiempo a; b
cualquiera.
Entonces, la velocidad media del auto en el intervalo de tiempo a; b es
.
Si en el último gráfico trazamos la recta determinada por los puntos (a; d(a)) y (b; d(b)), obtenemos
el siguiente gráfico:
59
Por lo tanto, la expresión
es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a; d(a)) y (b;
d(b)).
Luego, para hallar la velocidad instantánea en a, debemos calcular el valor del límite de
cuando b tiende a a. Para ello, dibujemos las distintas rectas que pasan por (a; f(a)) y que quedan
determinadas para diferentes valores de b a medida que b se aproxima cada vez más a a.
En el límite, obtenemos una recta que pasa por el punto (a; d(a)) y cuya pendiente es el valor del
límite de
cuando b tiende a a. Esta recta recibe el nombre de recta tangente al gráfico de
la función en el punto (a; d(a)). La pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el
punto (a; d(a)) se llama derivada de la función en el valor a.
¿Cómo se lee...?
f‘(a): f "prima" en a o derivada de f(x) en a.
Derivada de una función en un valor
Llamamos derivada de la función f(x) en el valor a y lo denotamos f‘(a) al valor de
Es decir que
.
, siempre que este límite sea un número real.
Si consideramos x – a = h, obtenemos que x = a + h, con lo cual cuando x tiende a a, entonces, h
tiende a 0. Luego, resulta que
La expresión
se llama cociente incremental.
Para calcular la derivada de una función en un valor es, a veces, más práctico usar la expresión (2)
que la (1).
Recta tangente al gráfico de una función en un punto
Llamamos recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a; f(a)) a la recta que pasa por ese
punto y cuya pendiente es f‘(a).
60
Problema 31
Encuentren la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) = x2 + 3 x en a = 7, o sea, en el punto
de abscisa 7.
Problema 31
Para hallar la ecuación de una recta, necesitamos, por ejemplo, la pendiente de dicha recta y uno
de sus puntos.
Si a = 7, entonces, f(a) = f(7) = 72 + 3 . 7 = 70. Luego, la recta que buscamos pasa por el punto (7;
70).
Como la pendiente de la recta tangente es la derivada de f(x) en a = 7, debemos obtener el valor
del límite del cociente incremental cuando h tiende a cero, con lo cual en primer lugar tenemos que
hallar f(a+h), o sea, f(7+h). Para ello, reemplazamos en f(x) a x por 7 + h.
Como f(x) = x2+3 x
f(7+h) = (7+h)2 + 3 (7+h). Luego, resulta que
Entonces, la pendiente de la recta tangente es 17.
Por lo tanto, debemos encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 17 y pasa por el punto
(7; 70). Recordemos que la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b es
y = mx + b. Luego, si y = m x+ b
70 = 17 . 7 + b
b = – 49. Entonces, la ecuación de la recta
buscada es y = 17 x – 49.
Función derivable en un valor
Una función f(x) es derivable en un valor a si f‘(a) es un número real.
Por ejemplo, la función f(x) = x2 es derivable en a = 3, pues
, con lo cual f'(3) es un número real.
En cambio, la función f(x) = |x| no es derivable en a = 0, porque
, y como
, entonces,
y
no existe y, en consecuencia, f‘(0) no existe.
Problema 32
El siguiente gráfico corresponde a la función f(x). A partir de él, determinen si existe la derivada de
f(x) en los valores a, b, c, d y e.
61
Problema 32
Para hallar f'(a), debemos obtener el valor del límite del cociente incremental cuando h tiende a
cero. Pero en el gráfico observamos que en a la función es discontinua. Por lo tanto, debemos
considerar los límites laterales del cociente incremental.
Luego, resulta que
.
Como el numerador del cociente incremental tiende a M – f(a), que es un número distinto de 0, y el
denominador tiende a 0, entonces, obtenemos lo siguiente:
Por lo tanto, independientemente del resultado del otro límite lateral, podemos afirmar que f '(a) no
es un número real, con lo cual f'(a) no existe. Esto ocurre en cualquier discontinuidad de primera
especie con salto finito.
Analicemos qué sucede para el valor b.
Como la recta x = b es asíntota vertical de f(x), entonces, b no pertenece al dominio de f(x). Luego,
f(b) no existe. Por lo tanto, no es posible calcular la derivada de f(x) en b; es decir que f '(b) no
existe.
Para determinar si existe la derivada de f(x) en c, tracemos por (c; f(c)) las rectas que se
aproximan a la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (c; f(c)):
Observamos que tanto las rectas de color rosa (las de la izquierda) como las de color celeste (las
de la derecha) se aproximan cada vez más a una recta vertical. Ésta es la recta tangente al gráfico
de f(x) en el punto (c; f(c)). Pero como las rectas verticales no tienen pendiente, entonces, f'(c) no
existe.
Analicemos qué sucede para el valor d haciendo un razonamiento similar al realizado para el valor
c, es decir, tracemos por (d; f(d)) el mismo tipo de rectas que dibujamos para determinar la
existencia de f'(c).
62
Al trazar las rectas que pasan por el punto (d; f(d)) y se aproximan a la recta tangente, observamos
que por izquierda y por derecha obtenemos dos rectas (una de color rojo y la otra de color azul)
que tienen distinta pendiente. Entonces, los límites laterales del cociente incremental cuando h
tiende a cero son diferentes. Por lo tanto, el límite del cociente incremental cuando h tiende a cero
no existe y, en consecuencia, f'(d) no existe. A los puntos que poseen las características de (c; f(c))
y (d; f(d)) se los llama puntos angulosos.
En el caso del valor e, no existe f(e), ya que no está definida, con lo cual tampoco existe f'(e).
Conclusión
No existe la derivada de una función en los valores donde la función no es continua, tiene
puntos angulosos o la recta tangente es vertical.
Supongamos que una función f(x) es derivable en un valor a. ¿Será continua en dicho valor?
Analicemos esta cuestión.
Si f(x) es derivable en a, entonces,
es un número real.
Como x tiende a a, entonces, x – a tiende a 0. Si f (x) - f (a) no tendiera a 0, el límite sería infinito y
la función no sería derivable en a. Por lo tanto,
es continua en a.
Conclusión
Si una función es derivable en un valor a, entonces, es continua en ese valor. Por lo tanto, si
una función no es continua en un valor a, entonces, no es derivable en ese valor.
En cambio, si sabemos que una función es continua en un valor a, no podemos afirmar si es o no
derivable en dicho valor. Por ejemplo, en la página 18 analizamos la función f(x) = |x|, que es
continua en cualquier valor de su dominio, o sea, en , pero no es derivable en 0 a pesar de que
.
Hasta aquí, calculamos la derivada de una función en un valor. Es posible, también, hallar la
derivada de una función en cada uno de los valores donde dicha función está definida, obteniendo
una nueva función que calcula la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función dada en
cada uno de sus puntos. Esa nueva función se llama función derivada.
Función derivada
Llamamos función derivada de f(x), y lo denotamos f'(x), a
límite exista y no sea infinito. Es decir que
, siempre que este
.
El dominio de f'(x) está formado por todos los valores del dominio de f(x) para los cuales existe f
'(x). Por lo tanto, el dominio de f '(x) está incluido o es igual al dominio de f(x).
Existen diferentes notaciones para indicar la función derivada de una función.
Si consideramos f(x) = y, la función derivada de f(x) se puede escribir únicamente de cualquiera de
las siguientes maneras:
f‘(x), y‘, D(f(x)), Dy,
o Dxy.
Problema 33
Para la función f(x), hallen el dominio, la función derivada y el dominio de ésta, en cada uno de los
siguientes casos:
a. f(x) = m x + b
b. f(x) = x3
c.
d.
63
Problema 33
a. El dominio de f(x) = m x + b es Dom f = .
Como f(x) = m x + b, entonces, f(x + h) = m(x + h) + b.
Luego, resulta que
Por lo tanto, f '(x) = m para cualquier número real x, pues Dom f' = .
Hemos demostrado que si f(x) = mx + b, entonces, f '(x) = m. Luego, si m = 0, entonces, f(x) = b
y f'(x) = 0. Por lo tanto, Dom f = Dom f‘ = .
b. Para f(x) = x3 el dominio es Dom f =
.
Luego,
.
Entonces, f'(x) = 3 x2; en consecuencia, Dom f'=
c. El dominio de
es Dom f = [0;
Luego,
.
).
. Pero este límite está indeterminado. Para salvar la
indeterminación, multiplicamos y dividimos el cociente incremental por
Por lo tanto, f'(x) =
y Dom f‘ = (0;
dominio de f(x) porque 0
Dom f, pero 0
. Entonces,
). En este caso, el dominio de f'(x) no coincide con el
Domf‘.
d. Para la función f(x) = es Dom f = IR -{0}. Luego,
Por lo tanto
y Dom f‘(x) =
.
Después de haber resuelto el problema 33, podemos darnos una idea del trabajo que implica
calcular el límite del cociente incremental cuando h tiende a cero cada vez que es necesario hallar
la función derivada. Por este motivo, los matemáticos desarrollaron fórmulas que permiten facilitar
los cálculos.
64
Propiedades de las funciones derivables

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables en el valor a, entonces, (f
valor a y, además, se verifica que (f g)' (a) = f '(a) g'(a).
g)(x) es derivable en el
Como a puede ser cualquier número real, entonces, podemos afirmar que (f
g'(x).
g)' (x) = f'(x)
Utilicemos la propiedad anterior en el siguiente ejemplo: si f(x) = x3 - sen x, entonces, de acuerdo
con los resultados obtenidos en el problema 6 y a la tabla de derivadas, es f'(x) = 3 x2 - cos x.

Si g(x), que no es una función constante, es una función derivable en el valor a y f(x) es una
función derivable en el valor g(a), entonces, la función (f g)(x) es derivable en el valor a y,
además, se verifica que (f g)'(a) = f'[g(a)]. g'(a).
Esta propiedad recibe el nombre de regla de la cadena.
Como a puede ser cualquier número real, podemos afirmar que (f
g)'(x) = f'[g(x)]. g'(x).
Veamos un ejemplo en el que aplicamos la regla de la cadena.
Consideremos la función m(x) = sen (x3) y busquemos su función derivada, o sea, m'(x).
Notemos que, dado un valor x cualquiera, para hallar m(x) primero debemos elevar x al cubo y
luego calcular el seno de ese resultado. Observemos esto en el siguiente esquema:
sen z
lo llamamos z
x
lo elevamos al cubo y obtenemos
La función m(x) es la función compuesta de g(x) = x3 y f(z) = sen z.
Es decir que m(x) = f [g(x)] = (f g)(x).
Luego, como g'(x) = 3 x2 y f '(z) = cos z, entonces,
m'(x) = (f g)'(x) = f‘ [g(x)] . g'(x) = cos (g(x)). 3 x2 = cos (x3). 3 x2

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables en el valor a, entonces, (f . g) (x) es derivable en el
valor a y, además, se verifica que(f . g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a).
Como a puede ser un número real cualquiera, resulta que
(f.g)'(x) = f’(x) . g(x) + f(x) . g'(x).
Por ejemplo, la función derivada de h(x) = sen x. (x3 + 3) es
h'(x) = (sen x)'. (x3 + 3) + sen x . (x3 + 3)' =
= cos x . (x3 + 3) + sen x . (3 x2+0)
Observemos que si en (f. g)(x) es f(x) = k, con k
,y g(x) es cualquier función, como f (x) = 0,
resulta que
(f. g)' (x) = (f(x). g(x))' = (k . g(x))' = 0 . g(x) + k . g'(x) = k . g'(x)

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables en cualquier valor de sus respectivos dominios y g(x)
para cualquier valor de x perteneciente al dominio de g(x), entonces, se verifica que
.
65
Funciones derivadas de funciones elementales



Si f(x) = k, con k
, entonces, f '(x) = 0.
Si f(x) = x, entonces, f '(x) = 1.
Si f(x) = In x, entonces, f '(x) = .






Si f(x) = cos x, entonces, f '(x) = – sen x.
Si f(x) = sen x, entonces, f '(x) = cos x.
Si f(x) = xn, con n
yn
1, entonces, f '(x) = n . xn-1.
x
x
Si f(x) = e , entonces, f'(x) = e .
Si f(x) = ax, con a > 0 y a 1, entonces, f'(x) = ax. In a.
Si f(x) =
, con > 0 y
, entonces, f'(x) =
.
Problema 34
La distancia en centímetros de un móvil a un cierto lugar está determinada por la función
, donde t es el tiempo de marcha medido en segundos.
a. ¿Qué velocidad alcanzó el móvil a los 4 segundos de marcha?
b. ¿Cuál era la aceleración instantánea del móvil a los 10 segundos de iniciada la marcha?
Problema 34
a. Sabemos que, conociendo la función que vincula la distancia a un punto al tiempo de marcha,
la velocidad instantánea del móvil a los 4 segundos se puede calcular a través de la derivada
de la función en t = 4.
Como
, entonces, d'(t) = -16. t –2 + 4.
Luego, el valor de d'(t) en t = 4 es el siguiente:
d‘(t) = – 16 .4–2 + 4 = – 16. + 4 = 3. Por lo tanto, a los 4 segundos de marcha la velocidad del
móvil fue de 3
.
b. La aceleración media de un móvil es el cociente entre la variación de la velocidad instantánea y
el tiempo transcurrido.
Si eI intervalo de tiempo transcurrido es cada vez más pequeño, es decir, tiende a cero, entonces,
la aceleración instantánea del móvil en un instante t cualquiera es la siguiente:
Pero, como Vi(t) = d'(t), entonces, a(t) =
.
O sea que la aceleración instantánea es la función derivada de la función derivada de d(t). Esa
nueva función derivada recibe el nombre de función derivada segunda de d(t) y se denota d"(t). Por
lo tanto, a(t) = d"(t).
En el problema 34, como d'(t) = – 16 . t –2 + 4, entonces,
d"(x) = – 16 . (– 2) t
0,032.
–2–1
+ 0 = 32 . t
–3
. Luego, cuando t = 10 resulta que d"(10) = 32 . 0,001 =
Por lo tanto, la aceleración instantánea del móvil a los 10 segundos era de 0,032
Observen que en el problema 34, la velocidad se mide en
.
y el tiempo está expresado en
segundos. Luego, como la aceleración es el cociente entre la variación de la velocidad y la
66
variación del tiempo, entonces, en el problema 34, la aceleración instantánea se mide en
sea en
,o
.
Funciones derivadas sucesivas
En el problema anterior, necesitábamos hallar la función derivada segunda. También, de una
función f(x) cualquiera se pueden calcular las funciones derivada tercera (hallando la función
derivada de
f "(x)), derivada cuarta (hallando la función derivada de f'"(x)) y así sucesivamente.
A estas nuevas funciones se las llama funciones derivadas sucesivas de la función f(x).
Por ejemplo, consideremos la función f(x) = x4 + 8 x2 + 9.
Algunas de las funciones derivadas sucesivas de f(x) son:
f'(x) = 4 x3 + 16 x (función derivada primera de f(x))
f "(x) = 12 x2 + 16 (función derivada segunda de f(x))
f'"(x) = 24 x (función derivada tercera de f(x))
Problema 35
Queremos calcular
y se rompió la calculadora. ¿Cómo podemos hallar un resultado
aproximado de ese cálculo sabiendo que
= 2?
Problema 35
Grafiquemos la función f(x) =
y la recta tangente a su gráfico en el punto cuya abscisa es 4.
En el gráfico, observamos que en un entorno de 4 la recta tangente es una aproximación de la
función f(x) =
. Es decir que para cualquier valor muy próximo a 4, su imagen a través de f(x) es
aproximadamente igual a la que se obtiene por medio de la recta tangente.
Por lo tanto, para obtener un resultado aproximado de
, debemos hallar la ecuación de dicha
recta tangente. Para ello, calculemos primero su pendiente. Como f'(x) =
, entonces, la
pendiente de la recta tangente es f'(4) = . Luego, la ecuación de la recta tangente es y = x + b,
donde b es la ordenada al origen. Además, la recta tangente pasa por el punto (4; f(4)), es decir,
por el punto (4; 2), con lo cual para x = 4 es y = 2.
Luego, reemplazando estos valores en y = = x + b, obtenemos que 2 = = . 4 + b b = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es y = = x + 1.
Luego, si x = 4,1, entonces, su imagen a través de la recta tangente es y = = . 4,1 + 1 = 2,025.
Este valor es una aproximación de
. Por lo tanto, resulta que
2,025.
¿Cómo se lee…?
: es aproximadamente igual a.
Consideremos una función f(x) cualquiera, un valor a, otro valor b muy cercano a a, las imágenes
de ambos valores a través de f(x) y la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a; f(a)).
Grafiquemos la situación.
67
¿Cuál es el error cometido al calcular la imagen de b a través de la recta tangente al gráfico de f(x)
en (a; f(a)), en lugar de calcularla a través de f(x)?
La pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a; f(a)) es f'(a). Luego, la ecuación
de la recta tangente es y = f ‗(a) (x – a) + f(a)
El error cometido al calcular la imagen de b a través de la recta tangente es el siguiente:
error = valor real - valor aproximado, o sea,
error = f(b)
–
[f‘(a) . (b - a) + f (a)] (1)
Como b es un valor cercano a a, llamamos x (delta de x) al valor que sumado o restado a a da b.
Luego, si b = a + x (2)
b - a = x (3). Reemplazando las expresiones (2) y (3) en la expresión
(1) resulta que:
error = f(a + x) - [f'(a). x + f(a)] = f(a + x) -f(a) -f'(a). x
Luego, si b es cada vez más próximo a a, entonces, el error cometido tiende a cero, con lo cual
f(a + x) - f(a) es aproximadamente igual a f'(a). x
O sea, f(a + x) - f(a) f ‗(a). x. La expresión f'(a). x se llama diferencial de f(x) en el valor a y
se denota df(a). Es decir que df(a) = f'(a). x (4).
Al realizar la interpretación geométrica de df(a), obtenemos el siguiente gráfico:
Consideremos la función f(x) = x y calculemos su diferencial en cualquier valor de x.
Como f'(x) = 1 para cualquier valor de x, entonces, df(x) = f'(x). x = 1. x = x (5). Luego, por ser
f(x) = x es df(x) = dx (6). De las expresiones (5) y (6) resulta que x = dx.
Por lo tanto, la expresión (4) resulta df(a) = f'(a). dx.
Diferencial de una función en un valor
Llamamos diferencial de la función f(x) en el valor a, y lo denotamos df(a), a f‘(a) . dx. Es decir
que df(a) = f’(a).dx.
¿Cómo se lee?
dx: diferencial de x.
68
DIFERENCIAL
Supongamos que la función y = f (x) es derivable sobre el segmento [a, b]. En un punto x del
segmento [a, b] la derivada de esta función se determina por la igualdad
Cuando
, la razón
tiende a un número determinado f‘(x) y, por tanto, se diferencia de la
derivada f‘ (x) en una magnitud infinitamente pequeña:
,
donde
, cuando
.
Multiplicando todos los términos de la última igualdad por x, obtenemos:
(1)
Dado que en el caso general
, entonces, cuando x es constante y
, el producto
es una magnitud infinitamente pequeña de primer orden respecto a x. El producto
es siempre una magnitud infinitamente pequeña de orden superior a x, ya que
Así, pues, el incremento
de la función se compone de dos sumandos, de los cuales el primero
recibe el nombre [cuando
] de parte principal del incremento, que es lineal con relación a
x. El producto
se denomina diferencial de la función y se designa por dy o df(x).
De modo que, si la función y = f(x) tiene derivada f'(x) en el punto x, el producto de ésta por el
incremento x, del argumento se llama diferencial de la función y se designa con el símbolo dy, o
sea,
dy = f (x) x. (2)
Hallemos la diferencial de la función y = x. En este caso
y' = (x)' =1,
y, por tanto, dy = dx = x o dx = x. De este modo, la diferencial dx de la variable independiente x
coincide con su incremento x. La igualdad dx = x podría ser considerada como definición de la
diferencial de una variable independiente, y, en este caso, el ejemplo examinado demostraría que
ello no contradice a la definición de diferencial de la función. En cualquier caso la fórmula (2) se
puede escribir así:
dy = f‘ (x) dx
Pero de esta correlación se desprende que
Por tanto, la derivada f‘ (x) puede ser considerada como razón de la diferencial de la función
respecto a la diferencial de la variable independiente.
Teniendo en cuenta la fórmula (2), escribamos la fórmula (1) así:
.
(3)
Así, pues, el incremento de la función difiere de la diferencial de ésta en una magnitud
infinitamente pequeña, de orden superior respecto a x. Si
,
es una infinitesimal de
orden superior también respecto a dy, y, por tanto:
69
Esto nos permite, a veces, utilizar en los cálculos aproximados la igualdad aproximada
,
(4)
o, en su forma desarrollada,
,
(5)
con lo cual se abrevian los cálculos.
Ejemplo 1. Calcular la diferencial
1) para valores arbitrarios de y
2) para valores
.
y el incremento
de la función
:
,
Solución: 1)
2) Si
= 20 y
= 0,1 entonces:
El error que resulta de la sustitución de
por
es igual a 0,01. En muchos casos se le puede
despreciar, por considerarlo pequeño en comparación con
= 4,01.
El problema examinado se ilustra en la figura:
En cálculos aproximados se usa también la igualdad aproximada que se obtiene de la ecuación
(5):
(6)
Ejemplo 2. Supongamos f(x) = sen x. Entonces, f´(x) = cos x
En este caso, la igualdad aproximada (6) tomará la forma
(7)
Calculemos el valor aproximado de sen 46°. Haciendo x = 45°= , tenemos
Introduciendo en (7) los valores calculados, obtenemos
o sea,
= 0,7071 + 0,7071 0,017 = 0,7194.
70
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE LA DIFERENCIAL
Examinemos la función
y = f(x)
y su correspondiente curva.
Tomemos en la curva y = f(x) un punto arbitrario M (x, y), tracemos una tangente a la curva en este
punto y designemos por
el ángulo formado por la tangente y la dirección positiva del eje x.
Demos a la variable independiente un incremento x; entonces la función recibirá el incremento
NM1. A los valores
,
corresponderá en la curva y = f (x) el punto M1 (
.
En el triángulo MNT encontramos:
NT = MN tg .
Como
tg = f ´(x), MN = ,
tenemos
NT = f ´(x) x.
Pero, según la definición de diferencial, f ´(x)
A.
. Entonces, NT = dy.
B.
Esta igualdad significa que la diferencial de la función f (x), correspondiente a los valores dados de
x y , es igual al incremento de la ordenada de la tangente a la curva y = f (x) en el punto dado x.
En la figura A se ve que
Según lo demostrado antes,
No siempre
M1T =
, cuando
.
es mayor que dy. Así, como se deduce de la fig.B ,
,
es decir,
.
Actividades:
1. Daniel suele ir a la casa de unos amigos que viven a 80 kilómetros de la suya. Los siguientes
gráficos representan la distancia a la que se encuentra Daniel de su casa, en función del tiempo,
en distintas ocasiones en que visitó a sus amigos.
Para cada gráfico, analicen si Daniel realizó el viaje a velocidad constante. Justifiquen sus
respuestas.
a.
b.
71
2. Calculen la velocidad media de todo el viaje para cada uno de los gráficos de la actividad 1.
3. Un automóvil hizo un viaje en cuatro etapas. En la primera, recorrió 100 km en una hora y media
En la segunda etapa, 150 km en 2 horas. En la tercera, recorrió 200 km en 1 hora 40 minutos, y en
la cuarta etapa, hizo 70 km en tres cuartos de hora. ¿Cuál fue su velocidad media durante todo el
viaje? ¿Y durante los primeros dos tramos?
4.
La distancia al suelo de un proyectil que fue lanzado verticalmente está dada por la función
a(t) = - 5 t2 + 100 t, donde t es el tiempo medido en segundos, y a es la altura que alcanza el
proyectil, medida en metros.
Calculen la velocidad del proyectil cuando está por primera vez a 375 metros de altura.
5.
A partir de la función d(t) = - t2 + 20 t, que vincula la distancia en kilómetros de un móvil a
un punto determinado (d) al tiempo de marcha (t) expresado en horas, obtengan las siguientes
velocidades:
a.
b.
c.
d.
6.
a.
Calculen la derivada de estas funciones en el valor de a indicado.
f(x) = 3 x + 2 en a = 2
b. g(x) = 2 x3 en a = 1
c. h(x) =
7.
Escriban la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) = 4 x2 + 3 en a = 5
en a = 4
8.
Completen las siguientes afirmaciones para que resulten verdaderas. Justifiquen sus
respuestas.
a.
Si la recta tangente al gráfico de g(x) = x2 + 3 x + 2 en el punto (a; g(a)) es paralela al eje y,
entonces, es a=…………..
b.
Si la recta tangente al gráfico de h(x) =
en el punto (a; h(a)), con a < 0, es perpendicular
a la recta y = 9 x + 3, entonces es a = ……………………………
9.
Analicen si cada una de las siguientes funciones es derivable en el valor de a que se indica.
Justifiquen sus respuestas.
a. f(x) = x3 + 2 en a = 1
b. g(x) =
en a = – 1
10. Determinen si las funciones que figuran a continuación son derivables en el valor de a indicado.
Justifiquen sus respuestas.
a. f(x) = |x| en a = -2
b. f(x) =
en a = 5
c. f(x) = |x + 2|en a = -3
11. Observen el siguiente gráfico, correspondiente a f(x), y analicen si existe la derivada de f(x) en
los valores a, b, c, d y e.
72
12. Indiquen si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifiquen sus
respuestas.
a. La función f(x) =
no es derivable en 3 porque no es continua en ese valor.
b. La función g(x) = |x + 2| es derivable en -2 porque es continua en dicho valor.
c. La función h(x) =
es derivable en cada valor de su dominio, o sea, en todo su dominio.
13. Hallen la función derivada de cada una de estas funciones utilizando las propiedades de las
funciones derivables y las funciones derivadas obtenidas en el problema 6 o en la tabla de
derivadas.
a.
b.
c.
14. Obtengan la función derivada de las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena y las
funciones derivadas halladas en el problema 6, o en la tabla de derivadas.
a.
b.
e.
f.
c.
d.
g.
15. Determinen la función derivada de estas funciones usando las propiedades de las funciones
derivables y las funciones derivadas obtenidas en el problema 6 o en la tabla de derivadas.
a.
h(x) = sen x. In x
d.
b.
e.
c.
f.
16. Hallen la función derivada de cada una de las siguientes funciones y redúzcanla a la mínima
expresión.
a.
d.
b.
e.
c.
f. f(x) = tg x
17. Obtengan las funciones derivadas primera, segunda y tercera de cada una de las funciones
que se indican a continuación. Además, calculen el dominio de cada función y el de cada función
derivada sucesiva.
a. f(x) = x5 + 3 x4
b. g(x) = ex
c. h(x) = ln x
d. i(x) = sen x
73
18. Calculen un valor aproximado de sen 46°, sabiendo que sen 45° =
. Recuerden que 45°
corresponde en radianes a .
19. Obtengan un resultado aproximado de
utilizando que
.
20. Hallen aproximadamente el valor de In 3 si ln e = 1.
Ejercicios “Extra”
1.Trazar la recta que es tangente al punto indicado en cada curva.
2. Observando las anteriores curvas, responder si son Verdaderas o Falsas las siguientes
afirmaciones. Justificar.
a) Si una recta es tangente a una sinusoide (seno, coseno, tangente), entonces tiene infinitos
puntos en común con la curva.
b) Toda recta que tiene un solo punto en común con una curva es tangente a la misma en dicho
punto.
c) Algunas rectas tangentes a una curva tienen un solo punto en común con dicha curva.
3. Hallar "por definición" la función derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = x3
b) f(x) = (3 . x + 2)2
c) f(x) =
x +1 ( para resolver: multiplicar al Iímite por
d) f(x) =
x2 1
x  x  x
x  x  x
e) f(x) = 3 x2 – 2.x + 5
74
)
4. Calcular, aplicando reglas de derivación, la funcion derivada de (usar tabla):
a) f(x) = (x – 1)
e) f(x) =
2
x
x 1
i) f(x) = ex . log x
x3  2
d) f(x) =
x 1
2 3
b) f(x) =  3
x x
2x  5
c) f(x) =
x2
f) f(x) = sen x . cos x
g) f(x) = x . cos x
j) f(x) =
cos x
x 1
m) f(x) = (x+3) (x2 + 5)
k) f(x) = x . ln x
h) f(x) = ln x . 3x
l) f(x) =
ex
x5
n) f(x) = 2 x . [sen (x) . ln (x)]
5. Calcular, aplicando la Regla de la Cadena, la función derivada de:
b) f(x) = (3.x +1)4
a) f(x) = sen (2.x)
d) f(x) = cos (ln x)
h) h(x) =
x3
x 1
k)
e) f(x) =
ex
3
1
i) f(x) = log5 (x2 + 3x)
c) f(x) = sen2(2.x)
f) f(x) = 2cos x
j) f(x) =
g) g(x) =
3
cos x
3x  8
(2 x  4) 2
I) g(x) = (senx)2 x+5 m) f(x) = ln[sen(x3 - 5.x - 4)]
6. Calcular las derivadas sucesivas (hasta 4° orden) de:
a) f(x) = x5 + 3.x+ 2
b) f(x) = x5 -2.x3 + x – 3
c) f(x) = cos x
75
d) f(x) = x . ex
UNIDAD N° 4: APLICACIONES DE LA
FUNCIÓN DERIVADA
Al modelizar situaciones en disciplinas como economía, biología o arquitectura, entre otras, se
utilizan funciones cuyo comportamiento es necesario conocer. El análisis de las funciones
derivadas de esas funciones permite realizar un estudio adecuado y, en consecuencia, tomar
decisiones concernientes a la disciplina en cuestión.
Al terminar de resolver un problema, es importante que analicen si la respuesta que obtuvieron
verifica todas las condiciones establecidas en el enunciado del problema. De esta manera, podrán
detectar errores y, entonces, revisar el procedimiento empleado para intentar subsanar el error
cometido.
Problema 36
Una función f(x) tiene el siguiente gráfico:
A partir del gráfico de f(x), determinen lo siguiente:
a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b. Los máximos y los mínimos relativos y absolutos de f(x).
c. Los valores de x en los cuales f(x) no es derivable.
d. Los puntos en donde la recta tangente al gráfico de f(x) es horizontal.
e. Las abscisas de los puntos en los cuales la recta tangente al gráfico de f(x) tiene pendiente
positiva.
f. Los valores de x en los cuales la función derivada de f(x) es negativa.
Problema 36
Antes de comenzar a resolver el problema 36, recordemos las siguientes definiciones que hemos
enunciado en la unidad 1 de Funciones.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Un intervalo abierto I es un intervalo de crecimiento de la función f(x) si I está incluido en el
dominio de f(x) y, además, para cualquier par de valores a y b pertenecientes a I, con a < b, se
verifica que f(a) < f(b).
Un intervalo abierto I es un intervalo de decrecimiento de la función f(x) si I está incluido en el
dominio de f(x) y, además, para cualquier par de valores a y b pertenecientes a I, con a < b, se
verifica que f(a) > f(b).
76
Máximos y mínimos
La función f(x) alcanza un máximo relativo en x = c, si existe, en el dominio de f(x), un intervalo I
al que pertenece c y en el cual para cualquier valor de x distinto de c se verifica que f(x) < f(c).
La función f(x) alcanza un mínimo relativo en x = c si existe, en el dominio de f(x), un intervalo I al
que pertenece c y en el cual para cualquier valor de x distinto de c se verifica que f(x) > f(c).
La función f(x) alcanza un máximo absoluto en x = c si c pertenece al dominio de f(x) y para
cualquier valor de x perteneciente al dominio pero distinto de c se verifica que f(x) < f(c).
La función f(x) alcanza un mínimo absoluto en x = c si c pertenece al dominio de f(x) y para
cualquier valor de x perteneciente a dicho dominio pero distinto de c se verifica que f(x) >f(c).
El valor c es un extremo relativo/absoluto si es máximo o mínimo relativo/absoluto.
Observemos el gráfico de la página 76 y utilicemos las definiciones anteriores para resolver el
problema 36.
Recordemos que...
Una recta con pendiente positiva es creciente.
Una recta con pendiente negativa es decreciente.
a. La función f(x) es creciente en (- 5 ; - 1) U (1; +
) y es decreciente en (-
; - 5) U (- 1; 1).
b. En x = 1 la función alcanza un mínimo relativo y en x = - 5, un mínimo absoluto. Además, que
f(x) tiene un máximo relativo en x = - 1 y no posee máximo absoluto.
c. En el gráfico de f(x) observamos que (- 1 ; f(-1)) es un ―punto anguloso‖, con lo cual f(x) no es
derivable en – 1. En los demás valores del dominio, la función f(x) es derivable.
d.La recta tangente es horizontal en los puntos (-5; f(-5)), (1; f(1)) y (3; f(3)). Estos puntos se
llaman puntos estacionarios.
Punto estacionario
El punto (c; f(c)) es un punto estacionario de la función f(x) si f ‗(c) = 0.
De los ítem b., c. y d. podemos concluir que en las abscisas de los puntos estacionarios y en los
valores donde la función no es derivable hay "posibles" máximos o mínimos. Decimos que son
posibles pues (3; f(3)) es un punto estacionario y, sin embargo, en x = 3 la función no tiene un
máximo ni un mínimo.
Valor crítico
Llamamos valor crítico al valor en el cual posiblemente la función tiene un máximo o un mínimo.
77
e. Para poder determinar lo que se pide en el ítem e., tracemos varias rectas tangentes al gráfico
de f(x):
Observamos que las rectas tangentes con pendiente positiva, es decir, crecientes, son rectas
tangentes al gráfico de f(x) en puntos cuyas abscisas pertenecen al intervalo (-5; -1) o al intervalo
(1; + ), o sea, al conjunto (-5; -1) U (1; + ). Notemos que estos intervalos coinciden con los
intervalos de crecimiento de f(x).
f..Para determinar los valores de x en los cuales f'(x) es negativa, debemos tener presente que la
derivada de f(x) en un valor a es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a;
f(a)). Por lo tanto, debemos hallar los valores de x que son abscisas de los puntos en donde la
recta tangente al gráfico de f(x) tiene pendiente negativa, es decir, es decreciente.
Observando el gráfico anterior, obtenemos que los valores de x buscados son los que pertenecen
al conjunto (- ; -5) U (-1; 1). Notemos que estos intervalos coinciden con los intervalos de
decrecimiento de la función.
Conclusión

Una función f(x) es creciente en un intervalo I de su dominio si y sólo si para
cualquier valor c que pertenece a I la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el
punto (c; f(c)) es positiva. Esto quiere decir que f '(c) > 0 para cualquier valor c que
pertenece a I.

Una función f(x) es decreciente en un intervalo I de su dominio si y sólo si para
cualquier valor c que pertenece a I la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el
punto (c; f(c)) es negativa. Esto quiere decir que f '(c) < 0 para cualquier valor c que
pertenece a I.

En el valor c donde la función f(x) tiene un extremo (absoluto o relativo) se verifica
que f '(c) = 0 o f '(c) no existe.
Por lo tanto, podemos analizar el crecimiento y el decrecimiento de una función a partir del estudio
de los valores de x en los cuales la función derivada es positiva o negativa, o sea, a partir del
estudio de los intervalos de positividad y de negatividad de la función derivada.
Problema 37
La función T(x) = 2 x3 – 21 x2 + 60 x - 6 permite calcular la temperatura, expresada en grados
centígrados, de una sustancia en función del tiempo, expresado en minutos.
a. Determinen cuándo aumenta la temperatura y cuándo disminuye.
b. ¿En qué momentos la temperatura alcanza un máximo o un mínimo relativo?
c. Grafiquen aproximadamente la función T(x).
Problema 37
En este problema debemos tener en cuenta que como x es el tiempo, entonces, Dom T = [0; + ).
78
a. Utilicemos la conclusión anterior para determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de T(x). Es decir, hallemos los intervalos de positividad y de negatividad de T'(x).
Al calcular la función derivada de T(x) obtenemos lo siguiente: T'(x) = 6 x2 – 42 x + 60
Luego, para determinar los intervalos de positividad y de negatividad de T'(x) buscamos sus ceros
y, por ser T(x) una función continua en cualquier valor de su dominio porque es una función
polinómica, utilizamos el teorema de la conservación del signo.
Recordemos que el teorema de la conservación del signo establece lo siguiente:
Si una función es continua, entonces, entre dos ceros consecutivos la función no cambia de signo.
O es positiva o es negativa.
Una función no sólo puede cambiar de signo en sus ceros, sino también en los valores en los que
es discontinua.
Si T'(x) = 0
6 x2 – 42 x + 60 = 0
x = 2 o x = 5. Por lo tanto, T'(x) puede cambiar de signo en x =
2 y en x = 5.
Consideremos, en el dominio de T(x), los intervalos [0; 2), (2; 5) y (5; + ), y hallemos la derivada
de T(x) en un valor cualquiera de cada intervalo, por ejemplo, en 1, en 3 y en 6. Luego, obtenemos
que T'(1) > 0, T'(3) < 0 y T'(6) > 0. Usando esta información y las definiciones de intervalo de
crecimiento e intervalo de decrecimiento, confeccionamos la siguiente tabla:
T‘(x)
0
60
T(x)
-6
[0;2)
+
positiva
2
0
(2;5)
negativa
46
(crece)
5
0
(5;+
+
positiva
19
(decrece)
(crece)
Luego, la temperatura aumenta donde T(x) crece, o sea, en [0; 2) U (5; + ), y disminuye donde
T(x) decrece, es decir, en (2; 5).
b. Como Dom T = [0; + ) y a partir de x = 0 la función comienza a crecer, entonces, en x = 0 la
función T(x) alcanza un mínimo relativo.
Por lo tanto, una función también posee valores críticos en los extremos del intervalo cerrado en el
cual está definida. En un entorno de 2, la temperatura aumenta para valores menores que 2 y
disminuye para valores mayores que 2. Por lo tanto, la temperatura alcanza un máximo relativo en
x = 2. En un entorno de 5, la temperatura disminuye para valores menores que 5 y aumenta para
valores mayores que 5. Por lo tanto, la temperatura alcanza un mínimo relativo en x = 5.
c. Como T(x) es una función continua en cualquier valor de su dominio, entonces a los puntos (0; 6), (2; 46) y (5; 19) los podemos unir mediante un trazo continuo, teniendo en cuenta los intervalos
de crecimiento y decrecimiento hallados en el ítem a. Sin embargo, a pesar del dato que
proporcionan esos intervalos, podemos dibujar la función de diferentes maneras.
De los gráficos anteriores, ¿cuál es el que le corresponde a T(x)?
Observemos que el gráfico I. posee un punto anguloso. Por lo tanto, dicho gráfico no puede
corresponder a T(x), pues esta función, por ser polinómica, es derivable en todos los valores de su
dominio. Luego, debemos decidir cuál de los dos gráficos restantes le corresponde a T(x). Para
ello, necesitamos determinar la forma de la curva que une los puntos anteriores.
79
Función cóncava y función convexa
Una función es cóncava o cóncava hacia arriba en un intervalo I de su dominio si en dicho
intervalo el gráfico de la función tiene la siguiente forma:
Una función es convexa o cóncava hacia abajo en un intervalo I de su dominio si en dicho
intervalo el gráfico de la función tiene la siguiente forma:
Consideremos una función f(x) cóncava hacia arriba y tracemos rectas tangentes al gráfico de f(x)
en varios de sus puntos.
Observamos que las pendientes de las rectas tangentes aumentan a medida que consideramos
valores de x cada vez mayores. Entonces, la función f'(x), que permite obtener la pendiente de
cada una de las rectas tangentes al gráfico de f‘(x), crece. Por lo tanto, la función derivada de f'(x)
es positiva, es decir que f"(x) > 0.
Analicemos una función f(x) cóncava hacia abajo.
Al trazar las rectas tangentes al gráfico de f(x) en algunos de sus puntos, obtenemos lo siguiente:
Observamos que las pendientes de las rectas tangentes disminuyen a medida que consideramos
valores de x cada vez mayores. Por lo tanto, la función f'(x) decrece y, en consecuencia, la función
derivada segunda de f(x) es negativa, es decir que f "(x) < 0.
Conclusión
 Una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo I de su dominio si y sólo si se
verifica que f "(x) > 0 para cualquier valor de x que pertenece a I.
 Una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo I de su dominio si y sólo si se
verifica que f "(x) < 0 para cualquier valor de x que pertenece a I.
Continuemos con la resolución del ítem c. del problema 2. Para determinar cuál es el gráfico de
T(x), analizamos los intervalos de positividad y de negatividad de T"(x). Para ello buscamos los
ceros de T"(x) y utilizamos el teorema de la conservación del signo.
Como T'(x) = 6 x2 – 42 x + 60, entonces, T"(x) = 12 x - 42.
80
Si T"(x) = 0
12 x - 42 = 0
.
Considerando, en el dominio de T(x), por ejemplo, a 2 y a 4, es decir, a un valor menor que y a
otro mayor que él, obtenemos que T"(2) < 0 y T"(4) > 0. Luego, utilizando estos datos y la
conclusión anterior confeccionamos la siguiente tabla:
0
T‖(x)
T(x)
-
42
6
-
En la tabla anterior observamos que en el punto
llama punto de inflexión de la función.
0
+
la T(x) cambia la concavidad. Ese punto se
Punto de inflexión
El punto (c; f(c)) es un punto de inflexión de la función y sólo si en un entorno de c la función
cambia la concavidad a la izquierda y a la derecha de c.
Comparemos la concavidad que figura en la tabla anterior con la que se observa en los gráficos ll.
y lll. de la página ¿46?.
Podemos afirmar que el gráfico II. es el que corresponde a la función T(x) del problema 2. Por lo
tanto, el gráfico de T(x) es el siguiente:
Observando el gráfico podemos asegurar que la función tiene un mínimo absoluto en x = 0 y que
no posee un máximo absoluto.
Problema 38
El siguiente gráfico corresponde a la función derivada de una función f(x).
a. A partir del gráfico de f'(x) indiquen los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
máximos y los mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de f(x).
b. Realicen un gráfico aproximado de una posible función f(x).
81
Problema 38
a.
En el gráfico observamos que f'(x) existe para todos los valores pertenecientes al intervalo
[-6; 12]. Por lo tanto, f(x) es una función continua en cualquier valor de ese intervalo.
Analicemos el crecimiento y el decrecimiento de f(x). Para ello, debemos determinar los intervalos
de positividad y de negatividad de f'(x). Al observar el gráfico de f'(x), podemos afirmar que f'(x) > 0
en [-6; -5) U (-2; 1) U (3; 10) U (10; 12] y f'(x) < 0 en (-5; -2) U (1; 3). Utilizando estos datos
confeccionemos el siguiente esquema:
f(x)
Por lo tanto, f(x) crece en [-6; -5) U (-2; 1) U (3; 10) U (10; 12] y decrece en (-5; -2) U (1; 3). Luego,
la función f(x) tiene máximos relativos en x = -5, x = 1 y x = 12. En este último valor, hay un
máximo relativo porque a dicho valor la función "llega creciendo". Además, f(x) posee mínimos
relativos en x = -2, x = 3 y x = -6. En este valor, hay un mínimo relativo porque a partir de dicho
valor la función f (x) comienza a crecer.
Para analizar la concavidad de f(x), tenemos que determinar los intervalos de positividad y de
negatividad de f"(x). Para ello, debemos tener en cuenta, de acuerdo con lo analizado en las
páginas 47 y 48, que f"(x) es positiva en los valores de x para los cuales f'(x) crece y que f "(x) es
negativa en los valores de x para los cuales f'(x) decrece. Luego, observando el gráfico de f'(x)
obtenemos que f'(x) crece en (-3; 0) u (2; 7) u (10; 12] y decrece en [-6; -3) u (0; 2) u (7; 10).
Usando esta información, realizamos el siguiente esquema:
f(x)
Por lo tanto, f(x) es cóncava hacia abajo en [-6; -3) U (0; 2) U (7; 10) y cóncava hacia arriba en (-3;
0) U (2; 7) U (10; 12]. Luego, los puntos de inflexión de la función f(x) son (-3; f(-3)), (0; f(0)), (2;
f(2)), (7; f(7)) y (10; f(10)).
Utilizando todos los datos que hemos obtenido acerca de f(x), confeccionamos los siguientes
esquemas:
f(x)
f(x)
Al no conocer la fórmula de f(x), no es posible marcar con exactitud los puntos que pertenecen a
su gráfico. Sin embargo, usando la información de los esquemas anteriores, podemos determinar
la forma aproximada del gráfico de f(x). Luego, el gráfico de f(x) tiene aproximadamente la
siguiente forma:
82
Problema 39
Una fuente chata, de forma rectangular, puede apoyarse sobre un posafuentes de 50 cm de
diámetro sin sobresalir de él. ¿Cuáles son las dimensiones de la fuente si ésta debe tener la mayor
área posible?
Problema 39
Para resolver este problema, primero debemos encontrar una función que relacione al área de la
fuente con las dimensiones de ésta y luego obtener el máximo relativo de dicha función.
Llamemos x e y a las dimensiones de la fuente y realicemos un dibujo para representar la situación
planteada en el problema.
Si llamamos A al área del rectángulo, entonces, resulta que A = x . y (1).
En el dibujo anterior, observamos que la diagonal del rectángulo es diámetro del círculo. Utilizando
el teorema de Pitágoras, obtenemos que x2 + y2 = 502.
Luego, como x > 0, debido a que x es una de las dimensiones del rectángulo, resulta que:
(2)
Reemplazando la expresión (2) en la (1), obtenemos la función que relaciona el área del
rectángulo con las dimensiones de éste, o sea,
A( ) = .
Esta función tiene por dominio al intervalo [0; 50], pues debe ser 2500 - y2 > 0 y, además, por ser y
una de las dimensiones del rectángulo, debe ser
.
Para encontrar el máximo relativo de la función A(y), analizamos su crecimiento y decrecimiento. O
sea determinamos los intervalos de positividad y de negatividad de A'(y).
La función derivada de A(y) es la siguiente:
A‘(y) = 1 .
con lo cual obtenemos que
83
A‘(y) =
Al buscar los ceros de la función A'(y), resulta que:
si A‘(y) = 0
, pues y
Entonces, y = 25
, o sea, y
0.
35,36.
Utilicemos el teorema de la conservación del signo considerando, en [0; 50], los números 2 y 40,
es decir, un valor menor que 35,36 y otro mayor que él, pero ambos pertenecientes al dominio de
A(y). Luego, obtenemos que A'(2) > 0 y A'(40) < 0. Usando estos datos, realizamos la siguiente
tabla:
A‘(y)
A(y)
0
50
0
(0; 25
+
)
25
0
3250
(25
; 50)
-
Por lo tanto, si y = 25
, entonces, el área del rectángulo es la máxima posible. Al calcular la otra
dimensión del rectángulo, reemplazando en la expresión (2) a y por 25 , resulta que
Luego, la fuente tiene aproximadamente 35,36 cm de ancho y 35.36 cm de largo. Por lo tanto, la
fuente es cuadrada.
Observen que para resolver el problema 4, debimos buscar el máximo relativo de una función y,
para hallarlo, analizamos el crecimiento y el decrecimiento de dicha función.
Veamos ahora una forma más económica de encontrar máximos y mínimos relativos, en la cual no
es necesario determinar el crecimiento y el decrecimiento de la función.
Si la recta tangente al gráfico de una función f(x) en un punto (c; f(c)) es horizontal, entonces, su
pendiente es cero y, en consecuencia, f'(c) = 0.
Supongamos que para una función f(x) es f'(c) = 0 y f"(c) > 0, es decir, que en un entorno de c la
concavidad de f(x) es hacia arriba. El gráfico de la función f(x) será aproximadamente:
Por lo tanto, en x = c la función f(x) tendrá un mínimo relativo. En cambio, si suponemos que f'(c) =
0 y f'(c) < 0, o sea, que en un entorno de c la concavidad de f(x) es hacia abajo, entonces, el
gráfico de la función f(x) será aproximadamente:
Por lo tanto, en x = c la función f(x) tendrá un máximo relativo.
84
Teorema de la función derivada segunda
Si f(x) es una función derivable en un valor c. para el cual f'(c) = 0 y, además, se verifica que
• f "(c) > 0, entonces, f(x) tiene un mínimo relativo en x = c
• f "(c) < 0, entonces, f(x) tiene un máximo relativo en x = c
Problema 40
Se necesita fabricar una lata cilíndrica de 350 cm3 de capacidad utilizando la menor cantidad de
hojalata posible. ¿Qué dimensiones debe tener la lata?
Problema 40
Dibujemos un cilindro que representa una lata:
Llamemos r al radio de la base y h a la altura del cilindro. Como el volumen del cilindro es igual al
área de la base de éste por su altura y la lata tiene 350 cm3 de capacidad, entonces, podemos
escribir
(1).
Para que la cantidad de hojalata sea la mínima necesaria, el cilindro debe tener la menor área
posible. Luego, tenemos que determinar la función área del cilindro. Al desarmar el cilindro,
obtenemos dos círculos y un rectángulo cuya base se encontraba bordeando a uno de los círculos.
Por lo tanto, la medida de la base del rectángulo es igual a la de la longitud de la circunferencia.
Entonces,
(2)
área de los
dos círculos
área del rectángulo
Debemos buscar el mínimo relativo de esta función área. Pero como esa función tiene dos
variables, r y h, entonces, de la condición (1) despejamos, por ejemplo, h y sustituimos la
expresión de h en (2).
Entre todos los rectángulos que cumplen las condiciones anteriores, hallen las dimensiones del
que tiene área máxima y del que tiene área mínima.
Luego, resulta que
. (3)
Reemplazando la expresión (3) en la (2) obtenemos la siguiente función:
, o sea,
La función A(r) es continua en los valores positivos de r. Luego, para hallar el mínimo relativo de
dicha función, calculamos los ceros de la función derivada A'(r) y utilizamos el teorema de la
función derivada segunda.
La función derivada de A(r) es A'(r) =
.
Entonces, resulta que si A'(r) = 0
85
(4)
.
La función derivada segunda de A(r) es A"(r) = 4
+
(5).
Luego, reemplazando la expresión (4) en la (5) obtenemos
, con lo cual es
> 0. Por lo
tanto, el área del cilindro es mínima si el radio de los círculos es aproximadamente de 3,82 cm.
Para hallar la altura del cilindro, sustituimos (4) en (3). Resulta entonces que h =
, es
decir que h = 7,64.
Por lo tanto, las dimensiones que debe tener la lata de 350 cm3 de capacidad son
aproximadamente 3,82 cm de radio de la base y 7,64 cm de altura.
Regla de L'Hópital
Esta regla, que es una aplicación de la función derivada, permite calcular algunos límites
indeterminados sin necesidad de salvar la indeterminación"', utilizando métodos algebraicos.
Regla de L'Hópital

Si f(x) y g(x) son funciones derivables en un entorno de un valor x0, g’(x)
x0, en dicho entorno,
y existe

finito entonces se verifica que
Si f(x) y g(x) son funciones derivables en un entorno del valor x0, g'(x)
y existe
para x
para x
x0,
finito, entonces, se verifica que
La regla de L' Hópital también se cumple cuando x, en lugar de tender a x0, tiende a infinito.
86
Actividades:
1. El gráfico que figura a continuación corresponde a una función f(x).
Observando el gráfico de f(x), contesten las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el dominio de f(x)?
b. ¿En qué valores de x la función no es continua?
c. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene f(x) en esos valores?
d. ¿Para qué valores de x la función derivada de f(x) es 0?
c. ¿Cuáles son los valores de x en los cuales la función no es derivable?
e. ¿En qué valores de x la función f(x) tiene máximos o mínimos relativos?
f. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x)?
2. Una función f(x) tiene el siguiente gráfico:
A partir del gráfico de f(x) determinen:
a. Los valores de x para los cuales f'(x) > 0.
b. Los valores de x en los cuales f(x) <0.
c. Los puntos estacionarios de la función f(x).
d. Los extremos relativos de f(x).
3. El gráfico de la función derivada de una función f(x) es el siguiente:
Observando el gráfico, decidan si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.
Justifiquen sus respuestas.
87
a. La función f(x) es creciente en .
b. En x = 2, la función f(x) tiene un mínimo relativo.
4. El gráfico que figura a continuación corresponde a la función derivada de una función f(x).
Analizando el gráfico obtengan:
a. Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x).
b. Los valores de x en los cuales la función f(x) tiene máximos o mínimos relativos.
5. Determinen si el siguiente gráfico puede ser el de la función derivada de una función que es
decreciente en todo su dominio. Justifiquen su respuesta.
6.Consideren el siguiente gráfico que corresponde a una función f´(x), es decir, a la función
derivada de f(x).
¿Es posible que el gráfico de la función f(x) sea el que figura a continuación? Justifiquen su
respuesta.
El siguiente gráfico corresponde a la función aceleración de un móvil respecto del tiempo (t).
Observando el gráfico contesten las siguientes preguntas:
88
a. ¿En qué periodos de tiempo la velocidad instantánea disminuye?
b. ¿En qué períodos de tiempo la velocidad instantánea aumenta?
7. Demuestren que si f(x) es una función polinómica de grado 3, es decir que f(x) = a x3 + b x2 + c x
+ d, entonces, tiene exactamente un punto de inflexión.
8. Demuestren que la función h(x) = x16 + 3 x6 + x2 no tiene puntos de inflexión y es cóncava hacia
arriba en todo su dominio.
9. El costo de producir una cantidad x de artículos se calcula por medio de la función c(x) = 2100 +
135 x - 900 .
La ganancia obtenida después de la venta de los artículos es la diferencia entre el dinero que
ingresa debido a dicha venta y el dinero que demanda el costo de la producción de dichos
artículos.
Si se venden todos los artículos que se producen y el precio de venta de cada uno de ellos es de
$90, ¿cuántos artículos se deben producir para que la ganancia sea la máxima posible?
10. Hallen los puntos del gráfico de la función f(x) = x3 + x + 8 en los cuales la recta tangente al
gráfico de f(x) tenga la mínima pendiente posible.
11. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de menor perímetro entre todos los rectángulos de
1 m2 de área?
12. El gráfico que figura a continuación muestra un rectángulo inscripto en el gráfico de f(x) = 32 –
2 x2 en el primer cuadrante.
¿Cuál es el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en las condiciones anteriormente
mencionadas?
13.Hallar los puntos (x; y) donde la recta tangente al gráfico de f(x) = x2 + 4.x – 1 es:
a.
paralela a la recta y = 2.x – 3
b.
perpendicular a la recta
c.
horizontal
14. ¿Existe algún punto (x; y) donde la recta tangente al gráfico de
es horizontal?
Justificar
15. Calculen los valores de a y b para los cuales la recta y = 3.x-2 es tangente al gráfico de f(x) =
(x-a)2 +b en el punto x = 1.
16. Escriban las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de f(x}=
en los puntos donde f(x)
se corta con g(x) =
17. Se lanza un proyectil al aire desde un puente y su altura y (en metros) sobre el suelo, x
segundos después de haberla lanzado, está dada por:
89
y = f(x) = - 4,9 . x2 + 20 . x +100
a) ¿A qué altura está del suelo el puente?
b) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad y de la aceleración?
c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra (idea: usar la ecuación de la velocidad)?'
18. Determinar la velocidad de un cuerpo en el instante t = 2 seg., si la función del movimiento es
x = f(t) = 3 . t + 6 . t2
19. Determinar la aceleración de un avión que realiza un viaje siguiendo la función:
x= f(t) = 3.t2 +2 t y obtener la velocidad en el instante t=2 s.
20. Sea un circuito RC, la carga Q de un capacitor (condensador) respecto de un tiempo t viene
dada por:
Sabiendo que la Corriente
, obtener la ecuación de la corriente respecto del tiempo i(t).
21. En los generadores y motores la ecuación del flujo de energía viene dada por:
y la fem alterna viene dada por
, encontrar la ecuación de
la fem. (Ley de inducción de Faraday, N = n° de vueltas de la espira, B = campo magnético, A =
área de la espira,
frecuencia angular,
= cte.de fase)
22. Si observamos las "Oscilaciones de un circuito LC" (inductor -bobina-, capacitor), la carga
como función del tiempo viene dado por: Q(t) = Qm.cos(
y la corriente es
la función de la corriente en función del tiempo.(Qm = Carga máxima,
, obtener
frecuencia angular,
=
cte.de fase)
23. Resolver los siguientes problemas:
a)
Un campesino tiene 100 metros de alambre y quiere delimitar una superficie rectangular.
¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el área sea máxima? (Derivar el área )
b) De todos los rectángulos de 25 cm2 de superficie. ¿Cuál es el de menor perímetro?
c) Hallar los números positivos tales que sumados a su inverso multiplicativo da por resultado una
suma mínima.
d) Determinar la altura máxima de un cuerpo, si la función del movimiento es
e) Teorema de máxima transferencia de potencia:
90
Dado un circuito activo alimentando una carga RC, determinaremos la relación entre las
resistencias, para obtener la transferencia de potencia del generador a la carga: Para ello
deberemos encontrar la potencia máxima. Calcular el valor de RC para obtener la máxima
potencia. (tomando a Vg = constante, Rg = constante y RC = variable).
91
UNIDAD N° 5: EL CONCEPTO DE
INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
Desde tiempos remotos, el hombre se esforzó por calcular áreas de distintas figuras geométricas.
Dicho cálculo resultaba sencillo si la forma de las figuras geométricas era regular; en cambio, se
tornaba engorroso cuando las figuras tenían formas no regulares. En el siglo XVII, Newton y
Leibniz lograron dar una respuesta a esa cuestión.
En esta unidad, estudiaremos cómo calcular áreas de figuras no regulares.
Problema 41
Un auto parte de una ciudad ubicada a 20 kilómetros de Buenos Aires rumbo a Mar del Plata. La
función
relaciona la velocidad instantánea del auto (v), medida en kilómetros por
hora, con el tiempo de viaje (t), medido en horas.
a. ¿Cuál es la velocidad del auto después de 3 horas de viaje?
b. Encuentren una función que permita calcular la distancia a la que el auto se encuentra de
Buenos Aires en cada instante del viaje.
Problema 41
a. Para responder a la pregunta, debemos reemplazar t por 3 en
.
Luego,
. Por lo tanto, a las 3 horas de viaje, la velocidad del auto es de 89
kilómetros por hora.
b. Como vimos en la unidad de derivadas, la velocidad instantánea de un móvil es la función
derivada de la función que determina la distancia del móvil a un cierto lugar, en nuestro caso a
Buenos Aires. Por lo tanto, para obtener lo pedido en b., debemos hallar una función d(t) cuya
función derivada sea
. Sabemos que al derivar una función polinómica, es decir, al
hallar su función derivada, su grado se reduce en uno, y además que para derivar una suma hay
que derivar cada término. Busquemos, entonces, una función que al derivarla dé
, y otra, que
dé 8. Para que
sea la función derivada de una función, ésta debe ser de la forma
, con
. Luego, al derivar
e igualar el resultado a
resulta que (
)' =
=
. Por lo tanto, una de las funciones que buscamos es 3
pues
.
Para que 8 sea la función derivada de una función, ésta debe ser de la forma b. t, con b
0.
Entonces, al derivar b . t e igualar a 8 obtenemos (b t)'= b = 8. Por lo tanto, la otra función buscada
es 8 t, pues (8 t)' = 8.
Luego, resulta que d(t) = 3 t3 + 8t.
Sin embargo, también podría ser d(t) = 3 t3 + 8 t + 7 o d(t) = 3 t3 + 8 t + 2, pues en ambos casos la
función derivada también es v(t).
Es decir, podemos considerar d(t) = 3 t3 + 8 t + k, con k
.
Como el auto parte a 20 kilómetros de Buenos Aires, entonces, es d(0) = 20 y, en consecuencia,
es k = 20. Luego, la función que permite calcular, en cada instante, la distancia del auto a Buenos
Aires es d(t) = 3 t2 + 8 t + 20.
Primitiva de una función
Llamamos primitiva de una función f(x) a otra función F(x) que verifica que F'(x) = f(x).
Conclusión

Si f(x), que es una función continua en cualquier valor de su dominio, tiene una
primitiva, entonces, existen infinitas primitivas de f(x).
92

Si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x), entonces, existe un número real k
distinto de cero tal que F(x) = G(x) + k.
Problema 42
Para cada uno de los siguientes casos, hallen todas las funciones primitivas de f(x).
a.
b.
c.
Problema 42
Antes de comenzar a resolver el problema 2, establezcamos las funciones primitivas de algunas
funciones elementales de las cuales conocemos su derivada.
Funciones primitivas de funciones elementales

Si f(x) = xn, donde n
- { - 1}, entonces, F(x) =
+ k, pues
.




Si f(x) = sen x, entonces, F(x) = - cos x + k, porque (- cos x + k)' = - (-sen x) = sen x.
Si f(x) = cos x, entonces, F(x) = sen x + k, ya que (sen x + k)' = cos x.
Si f(x) = ex, entonces, F(x) = ex + k, pues (ex + k )' = ex.
Si f(x) = , entonces, F(x) = ln |x| + k.

Si f(x) =
, donde
, entonces, F(x) = In |x - a| + k, ya que usando la regla de la
cadena y la afirmación anterior resulta que (In |x-a| + k)' =
.1=
Establezcamos también, a partir de las propiedades de las funciones derivables, propiedades de
las funciones primitivas.
Propiedades de las funciones primitivas

Si F(x) es una primitiva de f(x) y G(x) es una primitiva de g(x), entonces, F(x) + G(x) es
una primitiva de f(x) + g(x).
Esta propiedad es cierta porque
(F(x) + G(x))' = F(x) + G'(x)=f(x) + g(x).

Si F(x) es una primitiva de f(x) y G(x) es una primitiva de g(x), entonces, F(x) - G(x) es
una primitiva de f(x) - g(x).
Esta propiedad se puede comprobar utilizando un razonamiento similar al empleado para verificar
la propiedad anterior.

Si F(x) es una primitiva de f(x) y c es cualquier número real, entonces, c . F(x) es una
primitiva de c . f(x).
Esta propiedad se verifica porque (c. F(x))' = c. F'(x) = c . f{x).
Resolvamos el problema 42 utilizando estas propiedades y las funciones primitivas de las
funciones elementales.
a. Para la función f(x) =
obtenemos que
93
Verifiquemos que, para cada valor de k, la función F(x) es una primitiva de f(x).
Al hallar la función derivada de F(x) obtenemos lo siguiente:
b. Para
su función primitiva, para cada valor de k, es
.
Al comprobar si
es
resulta que
.
c. Para la función
Al verificar, para cada valor de k, si
obtenemos que
es una primitiva de
, resulta que
Problema 43
Claudio necesita calcular, en kilómetros cuadrados, el área de su campo, que tiene la siguiente
forma:
Al intentar encontrar el área que busca, como la forma del campo no es regular, decide introducir
la figura de su campo en una computadora. Por medio de ella, logra averiguar que la función
correspondiente al lado curvo del campo es la siguiente:
en el intervalo [1; 6]
Si estuviéramos en el lugar de Claudio, ¿cómo podemos hacer para calcular el área del campo si
sólo disponemos del dato brindado por la computadora?
Problema 43
Dibujemos la figura de campo en un sistema de ejes cartesianos
94
Para resolver el problema, tenemos que calcular el área de esta figura, que no es ninguna figura
geométrica conocida. O sea, debemos calcular el área de la región determinada por el gráfico de
f(x) y el eje x, entre x = 1 y x = 6, es decir, en el intervalo [1; 6]. Observemos que f(x) es una
función continua y positiva en cualquier valor de x perteneciente a [1; 6]. Luego, para hallar el área
que buscamos, podemos comenzar por aproximarla construyendo rectángulos que estén incluidos
en la figura anterior de la siguiente manera:
Es decir, dividimos al intervalo [1; 6] en cinco subintervalos de igual longitud y sumamos las áreas
de los cinco rectángulos cuyas bases son respectivamente cada uno de esos subintervalos y
cuyas alturas corresponden en cada caso al mínimo valor que toma la función en el subintervalo.
Para realizar una mejor aproximación del área, dividimos el intervalo [1; 6] en más subintervalos,
de igual longitud, de la siguiente forma:
La suma de las áreas de los rectángulos obtenidos se llama aproximación del área por defecto.
Al dividir el intervalo [1; 6], también podemos considerar rectángulos que sobrepasen la figura de la
siguiente manera:
La suma de las áreas de los rectángulos así obtenidos se llama aproximación del área por
exceso.
Consideremos simultáneamente rectángulos que estén incluidos en la figura y rectángulos que la
sobrepasen, de la siguiente forma:
A medida que dividimos el intervalo [1; 6] en más subintervalos, las aproximaciones por defecto y
por exceso que obtenemos dan valores cada vez más cercanos al área buscada.
95
Área de la región limitada por el gráfico de una función positiva
Si una función f(x) es continua en cualquier valor del intervalo [a; b] y positiva en el intervalo (a; b),
entonces, el área de la región limitada por el gráfico de f(x), el eje x, x = a y x = b es el valor del
límite de las aproximaciones del área por defecto y por exceso cuando la cantidad de subintervalos
de igual longitud en que se divide el intervalo [a; b] tiende a infinito.
Es decir que el área de una región es el valor que resulta de sumar las áreas de infinitos
rectángulos, determinados por defecto y por exceso, en los cuales la base es cada vez más
pequeña en cada nueva subdivisión del intervalo [a; b].
La notación que se utiliza para indicar el área (A) de la región limitada por el gráfico de f(x), el eje
x, x = a y x = b es la siguiente:
, o sea, A =
. Esta notación se debe a que

El símbolo
es una deformación de la letra S asociada a la palabra "suma" y significa
que sumamos infinitos términos, cada uno de los cuales es el área de un rectángulo.

El símbolo dx (diferencial de x) representa la variación que en el eje x tiene el valor de la
base de cada rectángulo.

El producto f(x). dx simboliza al área de cada rectángulo.

Los valores a y b se llaman límites de integración e indican el intervalo en el que
calculamos el área de la región.
¿Cómo se lee…?
: integral entre a y b de f(x) diferencial de x, o integral de f(x) diferencial de x entre a y b.
Como no es posible determinar los infinitos rectángulos a través de cuyas áreas podríamos
calcular el área de la figura del campo, busquemos la función que nos permita hallar esa área. Es
decir, tratemos de encontrar la función área.
Consideremos A(t) =
, es decir, llamemos A(t) a la función que permite obtener el área de
la región limitada por el gráfico de la función f(x), que es continua en cualquier valor de [
b] y
positiva en (
), el eje x, x = y x = t, con
, y hallemos la función derivada de A(t).
Resulta, entonces, que
Calculemos en principio este límite cuando t tiende a t0 por derecha, siendo
.
A la expresión
la podemos representar gráficamente de la siguiente manera:
Luego, la diferencia
es el área de la región limitada por el gráfico de f(x), el eje x, x =
t0 y x = t. Como podemos observar en el siguiente gráfico:
96
A la región antes mencionada la podemos incluir en un rectángulo cuya base mide t – t0 y cuya
altura mide M, que es el máximo valor que toma f(x) para cualquier valor de x entre t0 y t. También,
dicha región incluye al rectángulo cuya base mide t – t0 y cuya altura mide m, que es el mínimo
valor que toma f(x) para cualquier valor de x entre t0 y t. Por lo tanto, resulta que
m.(t – t0)
A(t) – A(t0)
M.(t – t0)
Luego, dividiendo toda la expresión anterior por t – t0, obtenemos, debido a que t > t0, que
Como la función f(x) es continua en cualquier valor del intervalo [t0; t], cuando t
y
Es decir que la expresión
comprendida entre dos funciones que tienden a f(t0) cuando
t0+ resulta que
está
.
O sea que
De manera similar podemos demostrar que
Luego, resulta que
. Por lo tanto, A'(t0) = f(t0) para cualquier valor de t0
entre a y b. Entonces, podemos afirmar que para
es A'(t) = f(t).
Conclusión
Teorema fundamental del cálculo
Si A(t), con
, es la función que permite calcular el área de la región limitada por el
gráfico de la función f(x), que es continua en cualquier valor de [a; b] y positiva en (a; b), el
eje x, x = a y x = t, entonces, A'(t) = f(t). Es decir que la función área, o sea, A(t), es una
primitiva de f(t).
Por lo tanto, para hallar la función área correspondiente a la región encerrada por el gráfico de f(x)
con el eje x, entre a y b, debemos encontrar una primitiva de f(x). Pero sabemos que hay infinitas
primitivas de una misma función. ¿Cuál de todas ellas será la función área?
Si G(t) es una primitiva cualquiera de f(t), entonces, G'(t) = f(t). Luego, la diferencia entre A(t) y G(t)
es un número real. Es decir que para cualquier valor de t, con
se verifica que A(t) = G(t)
+ k, donde k es un número real.
Si consideramos t = a, entonces, A(a) = G(a) + k . Pero como A(a) es el área de la figura limitada
por el gráfico de f(t) y el eje x, entre a y a, entonces, es A(a) = 0. Luego, obtenemos lo siguiente:
0 = G(a) + k
97
k = – G(a)
Por lo tanto, si G(t) es una primitiva de f(t), la función A(t) = G(t) – G(a) es la función que permite
obtener el área de la región encerrada por el gráfico de f(x) y el eje x, entre a y t.
O sea que A(t) =
= G(t) – G(a), donde G(t) es una primitiva cualquiera de f(t). Entonces,
al calcular el área entre a y b obtenemos
= G(b)-G(a).
Conclusión
Regla de Barrow
Si G(x) es una primitiva cualquiera de f(x), que es continua en cualquier valor del intervalo
[a; b] y positiva en (a; b), entonces,
La expresión G(b) -G(a) se puede escribir como G(x)
, con lo cual resulta que
= G(b) – G(a).
G(x)
Calculemos, entonces, el área que debía hallar Claudio utilizando las propiedades y las funciones
primitivas de la página 93. Luego, obtenemos lo siguiente:
Observemos que al realizar el cálculo del área, el número real k se cancela. Por este motivo, no
importa cuál es la función primitiva de f(x) considerada, pues con cualquiera de ellas obtendremos
la misma área. Luego, el área del campo de Claudio es 8,9583 km2.
Problema 44
Consideren la función f(x) = x3 – 5 x2 – 4 x + 20 y calculen el área (A) de la región que determina el
gráfico de f(x) con el eje x en cada uno de estos casos:
a. Entre x = – 1 y x = 2.
b. En el intervalo [2; 3].
c. Entre x = – 1 y x = 3.
Problema 44
Grafiquemos la función f(x), continua en
. Dicho gráfico es:
98
a. Como f(x) es una función positiva entre x = -1 y x = 2, el área pedida es:
=
b. En el gráfico de f(x) observamos que entre x = 2 y x = 3 la función es negativa. Por lo tanto, no
podemos calcular el área utilizando el mismo razonamiento que el empleado en el ítem a.
Consideremos la función |f(x)|, que es positiva en , y dibujemos las regiones que determinan los
gráficos de f(x) y |f(x)| respectivamente con el eje x en el intervalo [2; 3]. El gráfico que obtenemos
es:
Observemos que las dos regiones que quedan determinadas tienen la misma área. Por lo tanto,
considerando la función positiva |f(x)|, en lugar de f(x), podemos hallar el área correspondiente a
[2; 3] utilizando el mismo razonamiento que el empleado en el ítem a. Luego, como |f(x)| = -f(x)
entre x = 2 y x = 3, entonces, el área buscada es la siguiente:
c. En el gráfico de f(x) podemos observar que en el intervalo [-1; 3] la función f(x) es positiva para
algunos valores de ese intervalo y negativa para otros. Luego, para hallar el área pedida podemos
calcular el valor de
.
Pero para quitar las barras de módulo y colocar la función correspondiente, debemos determinar
en qué valores de [-1; 3] la función f(x) es positiva o negativa. Como vemos en el gráfico entre -1 y
2, la función f(x) es positiva y entre 2 y 3 es negativa. Por lo tanto, debemos calcular las dos áreas
por separado.
99
Integral definida
Si la función f(x) es continua en cualquier valor del intervalo [a; b], llamamos integral definida de
f(x) entre los valores a y b al valor de
, con
, donde G(x) es una
primitiva de f(x).
Esta definición es independiente de la positividad o negatividad de f(x). Comprobémoslo
calculando la integral definida de f(x) = x3 – 5 x2 - 4x + 20 entre 2 y 3.
Al hallar el valor de dicha integral obtenemos lo siguiente:
Este valor no es el área, debido a que es negativo. Sin embargo, coincide en valor absoluto con el
área que hallamos en el ítem b. Por lo tanto, el valor de la integral definida de f(x) entre los valores
a y b coincide con el área de la región determinada por el gráfico de f(x) con el eje x en [a; b]
solamente si la función f(x) es continua en [a; b] y positiva en (a; b).
Problema 45
Calculen el área (A) de la región sombreada en cada uno de los siguientes casos:
Problema 45
a. El área que debemos hallar corresponde a una región comprendida entre dos funciones. Por lo
tanto, lo primero que tenemos que determinar es entre qué valores de x estamos trabajando. Para
ello, calculamos los valores de x de los puntos de intersección de las funciones f(x) y g(x).
Entonces resulta que
g(x)= x2 + 1
f(x) = - x2 + 3
Es decir, debemos trabajar con valores de x entre -1 y 1.
Si dibujamos la región ubicada debajo del gráfico de f(x) pero sobre el eje x, entre x = -1 y x = 1
obtenemos lo siguiente:
100
Al calcular el área de la figura sombreada resulta lo siguiente:
Pero no necesitamos la región hasta el eje x, sino hasta g(x). Dibujemos el sector que no
necesitamos de la región anterior
Observemos que ese sector se encuentra debajo del gráfico de g(x) pero sobre el eje x, entre x = 1
y x = -1. Luego, el área de dicho sector es la siguiente:
.
Por lo tanto, el área buscada es
A los cálculos que hicimos para hallar el área pedida, los podemos escribir mediante una única
expresión de la siguiente manera:
b. La región dibujada en el gráfico b. posee un sector por sobre el eje x y otro por debajo de él.
Esto resulta un inconveniente para poder utilizar el razonamiento empleado en el ítem a.
Traslademos, entonces, hacia arriba las funciones f(x) y g(x), sin cambiar el área buscada, hasta
que la región quede toda por sobre el eje x. Para ello, sumemos a ambas funciones un mismo
número. Luego, como g(x)
para cualquier valor de x, para que toda la región quede por
sobre el eje x hay que sumar a ambas funciones por lo menos 1. Consideremos las funciones
y
, y dibujemos la región encerrada entre sus gráficos. El
gráfico que resulta es el siguiente:
Como lo único que hicimos fue correr hacia arriba las funciones f(x) y g(x), el área de la región
encerrada entre los gráficos de f(x) y g(x) es la misma que la que se encuentra entre los gráficos
de f1(x) y g1(x), pero con la ventaja de que estas nuevas funciones son positivas entre x = – 3 y
x = 3, que son las abscisas de los puntos de intersección entre f(x) y g(x) y entre f 1(x) y g1(x).
Luego, al hallar el área de la región pedida resulta que
101
Observemos que el 1 que sumamos a f(x) y a g(x) se cancela en la operación.
Conclusión
Si a y b son las abscisas de dos puntos consecutivos de la intersección entre las funciones
f(x) y g(x), continuas en cualquier valor de [a; b], entonces, el área (A) de la región encerrada
entre sus gráficos es:
Algo más...
Hasta ahora siempre hemos calculado el área de regiones encerradas entre el eje x y el gráfico de
una función continua en un intervalo cerrado.
Analicemos qué sucede si la función tiene una discontinuidad de primera especie con salto finito
en una determinada cantidad de valores de x.
Por ejemplo, calculemos el área (A) de la región encerrada entre el eje x y el gráfico de la función.
si
si
El gráfico de la región comprendida entre el gráfico de f(x) y el eje x es:
Si bien la función f(x) tiene en x = 3 una discontinuidad esencial de primera especie con salto finito,
podemos calcular el área de la región dividiendo dicha región en dos regiones cuyas áreas,
respectivamente, son:
Luego el área buscada es:
Por lo tanto, cuando la función tiene una discontinuidad de primera especie con salto finito en un
intervalo [a, b], podemos calcular el área de la región correspondiente a [a, b] dividiendo dicha
102
región en distintas regiones, cada una de ellas correspondiente a un subintervalo de [a, b] en
cuyos valores la función sea continua.
Integral indefinida
Llamamos integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de f(x). Para
simbolizarlo, escribimos
,
¿Cómo se lee...?
integral indefinida de f(x) diferencial de x.
Utilizando las funciones primitivas de la página 93, podemos, determinar las siguientes integrales
indefinidas:

, donde
y

, con

, donde

, con

, donde

con
y
Además, por las propiedades de las funciones primitivas de la página 93 podemos establecer las
siguientes propiedades de las integrales indefinidas:



, donde
Como la función derivada de una multiplicación de funciones no es la multiplicación de las
funciones derivadas de esas funciones y como tampoco esto sucede con la división, debemos
encontrar otros caminos para resolver las integrales para las cuales no se pueda utilizar
directamente alguna de las primitivas que hemos enumerado en esta página.
Actividades:
1. Para un móvil que parte del reposo, la función v(t) = 9 t permite determinar su velocidad (v),
medida en kilómetros por hora, respecto del tiempo de marcha (t), medido en horas.
a. ¿Cuál es la velocidad del móvil des-pués de 15 horas continuas de marcha?
b. Encuentren una función que permita calcular el espacio recorrido por el móvil después de t
horas de marcha.
c. ¿Cuántos kilómetros recorre el móvil después de 15 horas de estar en continuo movimiento?
2. Para cada uno de los siguientes casos, verifiquen si F(x) es o no una función primitiva de f(x).
a.
c.
y
b.
y
y
103
d.
y
e.
y
3. Determinen si alguna de las siguientes funciones es una función primitiva de g(x) = x2 sen x.
a. G(x) = 2x cos x
b. G(x) = – x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + 8
c. G(x) = 2x cos x – 5
d. G(x)=
e. G(x) = 2x sen x – x2 cos x + 2 cos x
4. Encuentren una función F(x) que sea una primitiva de f(x) =
y que además verifique
que F(1) = 8.
5. Obtengan una función H(x) que cumpla las siguientes condiciones: la función H(x) es una
primitiva de h(x) =
y el punto (4; 5) pertenece a H(x).
6. Hallen las funciones primitivas de las siguientes funciones:
a. a(x) =
b. b(x) =
c. c(x) =
d. d(x) =
e. e(x) =
7. Para cada uno de los siguientes casos, grafiquen la función f(x) y hallen el área de la región
determinada por el gráfico de f(x) con el eje x.
a. f(x) = – x2 + 5x – 6
b. f(x) = – x4 + 1
8. El gráfico que figura a continuación es f(t) = t 2 + 10. Encuentren la función que permita calcular
el área de la región sombreada para cualquier valor de x.
9. Calculen el valor de a si a < 8 y el área de la región encerrada por el gráfico de g(x) = x2 + 1, el
eje x, x = a y x = 8 es de
.
10. Para cada uno de los siguientes casos, grafiquen la función y obtengan el área de la región
que se indica.
a. Región limitada por el gráfico de a(x) = cos x, el eje x, x = 0 y x =
.
b. Región comprendida entre el gráfico de b(x) = |x +1|, el eje x y el eje y.
c. Región determinada por el gráfico de c(x) = x3 - 4x con el eje x en [-2; 0].
11. Calculen las siguientes integrales definidas:
a.
b.
c.
104
12. Para cada uno de los casos que se indican a continuación, determinen si la integral definida
coincide con el área de la región comprendida entre el gráfico de f(x), el eje x, x = a y
x = b. Justifiquen sus respuestas.
a. f(x) =
,a=0yb=9
b. f(x) = 2x, x = – 1 y x = 8
13. Teniendo en cuenta que para la región sombreada siguiente el área es 5 y que g(x) es una
función cuadrática, obtengan el siguiente valor:
14. Grafiquen la región comprendida entre el gráfico de f(x) = 4x, el de g(x) = , x = e y el eje x.
Hallen además el área de la región anterior.
15. Considerando que el área de la siguiente región sombreada es 25, calculen el siguiente valor:
105
UNIDAD N° 6: ANALISIS DE FUNCIONES
Asíntotas
Cuando se trabaja con funciones que describen un fenómeno físico, biológico o económico, resulta
muy útil aproximar los valores de la función estudiada a los de una recta porque facilita el trabajo.
En esta parte de la unidad 2, analizaremos qué características deben tener las funciones para que
esto sea posible.
Cuando analizamos funciones, muchas veces nos resulta de gran ayuda representarlas
gráficamente para visualizarlas me-jor, pero para realizar cualquier afirmación sobre su
comportamiento, debemos desarrollar una justificación analítica.
La palabra asíntota proviene del griego y significa "sin encontrarse, sin tocarse".
Esta palabra fue utilizada por primera vez por Apolonio para referirse a líneas que no se juntan en
ninguna dirección. Este matemático griego nació en Perga, importante centro de la cultura de la
época, en el año 190 a. C. Estudió en Alejandría con los seguidores de Euclides. Si bien no se
conoce mucho sobre su vida, sus trabajos tuvieron gran influencia en el desarrollo de la
matemática. Fue conocido como ―el gran geómetra". En su famoso libro Cónicas, introdujo
términos que en la actualidad son muy conocidos, como ―parábola‖, "hipérbola" y "elipse".
Problema 46
En el siguiente gráfico, está representada la forma en la que se reproducen dos especies de
ciertos animales unicelulares en función del tiempo, expresado en días. El crecimiento se mide
contando el número de animales por cm2.
a. Analicen qué sucede con el número de animales de cada especie a medida que transcurre el
tiempo.
b. Si la experiencia continúa sin variaciones, ¿podrían anticipar cuántos animales de cada especie
habrá aproximadamente a los 50 días? ¿Y a los 100 días?
c. ¿Qué día habrá 150 animales de la especie B por cm2?
d. ¿Cuántos animales de la especie A por cm2 habrá aproximadamente a los 20 días?
Problema 46
a. En el gráfico, observamos que la especie A aumenta durante los primeros seis días y luego
comienza a disminuir. En cambio, la especie B crece con el transcurso del tiempo, pero no
superará los 100 animales por cm2 y se acercará cada vez más a ese valor.
b. A los 50 días, casi no habrá animales de la especie A y se contarán alrededor de 100 animales
por cm2 de la especie B. Lo mismo ocurrirá a los 100 días de comenzada la experiencia si se
mantienen las condiciones.
c. Podemos anticipar que en ningún momento habrá 150 animales de la especie B por cm 2, ya que
con el transcurso del tiempo su gráfico se acerca cada vez más a 100 animales por cm2, pero
nunca supera esa cantidad. Por lo tanto, podemos deducir que, si no se modifican las condiciones,
106
para valores muy grandes de la variable t (tiempo), habrá aproximadamente 100 animales de la
especie B por cm2. O sea,
, donde f(t) es la función correspondiente a la especie
B.
d. A los 20 días, el número de animales por cm2 será menor que 1. La cantidad de animales de la
especie A por cm2 se va extinguiendo con el transcurso del tiempo. Es decir que, si no varían las
condiciones,
, donde g(t) es la función correspondiente a la especie A.
En el gráfico, podemos observar que, para valores muy grandes de la variable tiempo, ambas
funciones se acercan cada vez más a sendas rectas horizontales.
Si una función se acerca cada vez más a una recta cuando la variable independiente tiende a
infinito, esta recta recibe el nombre de asíntota horizontal.
Entonces, las asíntotas que corresponden a las funciones del problema 1 son y = 0 para la especie
A e y= 100 para la especie B.
Asíntota horizontal
La recta
es asíntota horizontal de una función f(x) si
.
Problema 47
El siguiente gráfico representa el aumento producido por una lupa (cociente entre el tamaño del
objeto aumentado y el tamaño real), donde x es la distancia de la lupa a la que se coloca el objeto,
medida en decímetros.
a. Analicen, a partir del gráfico, ¿qué sucede si la distancia entre el objeto y la lupa es un número
muy próximo a 5 pero menor que él? ¿Y si es muy próximo a 5 pero mayor que él?
b. Leyendo el gráfico, ¿se puede obtener información de lo que ocurre si el objeto está a 5 dm de
la lupa?
Problema 47
Podemos observar en el gráfico que, cuando x tiende a más infinito, o sea, cuando más alejado de
la lupa está el objeto, los valores de y tienden a cero, o sea que el aumento producido por la lupa
tenderá a cero. Pero el aumento es el cociente entre el tamaño aumentado y el real, con lo cual,
como el tamaño real es fijo, estamos diciendo que el tamaño del objeto en la lupa disminuye cada
vez más. Llegará un momento en que no pueda verse con nitidez el objeto. Gráficamente la
función que representa el aumento se acerca cada vez más a la recta y = 0, que es la asíntota
horizontal. En el gráfico vemos que el aumento toma valores negativos. Esto significa que la
imagen del objeto aparece invertida en la lupa.
Si la distancia entre el objeto y la lupa (x) es un número muy próximo a 5 dm, observamos que el
tamaño del objeto se ve cada vez mayor cuando dicha distancia es menor que 5 y se ve cada vez
más grande, pero invertido, cuando la distancia es mayor que 5. Gráficamente la función que
representa el aumento se acerca cada vez más a la recta x = 5. Si lo planteamos en términos de
límite, cuando x (distancia entre el objeto y la lupa) tiende a 5 por la derecha, y (aumento
producido por la lupa) tiende a menos infinito, y cuando x tiende a 5 por la izquierda, y tiende a
más infinito. Por lo tanto, podemos decir que
, donde f(x) es el aumento producido
por la lupa.
107
Asíntota vertical
La recta x = a es asíntota vertical de una función f(x) si
Problema 48
Para cada una de las siguientes funciones:
a.
b.
d.
c.
e.
f.
Hallen el dominio y, si existen, las asíntotas:
i. verticales
ii. horizontales
Problema 48
Recordemos que...
Una función racional es toda función cuya fórmula es un cociente de polinomios, o sea,
, donde P(x) y Q{x) son polinomios.
El dominio de la función racional f(x) es Dom f =
reales excepto las raíces de Q(x).
- {x / Q(x) = 0}, es decir, todos los valores de x
Un tipo de función racional es la función homográfica, o sea, la función de la forma
con c
. Su dominio es
Dom f =
, y su conjunto imagen es Im f =
,
a. Analicemos la función
El dominio de esta función es Dom f = IR - {-1} pues debe ser
.
i. Para analizar si existen asíntotas verticales, tenemos que buscar valores de x para los cuales el
límite sea infinito. Para ello, en este caso, donde la función es racional, el denominador debe
tender a cero y el numerador no. Por lo tanto, las posibles asíntotas verticales serán rectas de la
forma x = a, donde a Dom f. Entonces, debemos calcular el límite de f(x) cuando x tiende a -1.
Si
Luego:
, como vimos en la conclusión 2 de la parte de cálculo de límites.
Por lo tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = – 1.
ii. Para determinar si existen las asíntotas horizontales de una función, de acuerdo con la
definición, debemos hallar el límite de la función para x tendiendo a infinito. Pero, por la conclusión
8 de la parte de cálculo de límites, este límite está indeterminado. Luego:
, por la conclusión 3 de la parte de cálculo de límites.
108
Entonces, la función tiene una asíntota horizontal en y = 3.
El gráfico de la función es el siguiente:
b. El dominio de la función
.
es Dom g =
dado que debe ser
y
i. Calculamos el límite de g(x) cuando x tiende a -1 pues es el valor que no pertenece al dominio:
, por la conclusión 2 de la parte de cálculo de límites.
Luego, la función tiene una asíntota vertical en x = -1.
ii. Hallamos el límite de g(x) cuando x tiende a infinito:
=
por una de las propiedades del álgebra de límites
Luego,
cuando
Además
pues por la conclusión 3 de la parte de cálculo de límites,
y
.
y
y
. Por lo tanto:
.
Entonces, la función g(x) no tiene una única asíntota horizontal. Posee una asíntota horizontal para
en y = 1 y otra para
en y = -1. Veamos esto en el siguiente gráfico de g(x):
109
Observemos que la función corta a una de sus asíntotas horizontales pues la imagen de x = 0 es
y = 1, lo cual nos muestra que es posible que una función y su asíntota horizontal tengan algún
punto de intersección. Esto no ocurre con las asíntotas verticales pues son rectas que pasan por
valores que no pertenecen al dominio de la función.
c. Analicemos la función
El dominio de h(x) es Dom h =
- {-3} pues debe ser x + 3
0.
i. Para hallar la posible asíntota vertical, como -3 no pertenece al dominio de la función, calculamos
el límite de h(x) para x tendiendo a -3.
Pero, por la conclusión 7 de la parte de cálculo de límites, este límite está indeterminado. Para
salvar la indeterminación, factoreamos en h(x) el numerador, que es un polinomio de grado 2 con
raíces en -3 y 2.
Luego:
.
Por lo tanto, x = -3 no es asíntota vertical de la función pues el límite de h(x) cuando x tiende a -3
no es infinito.
Analicemos el gráfico de la función h(x).
Observemos que h(x) =
=
para
. Es decir, su gráfica es una recta
con un ―agujero‖ en x = - 3, y en y = - 5. Al punto (-3; -5) se lo llama comúnmente ―bache‖ de la
función.
Por lo tanto, que un valor no pertenezca al dominio de la función no significa que en él exista una
asíntota vertical. El gráfico de h(x) es:
ii. Como
por las conclusiones 3 y 2 de la parte de cálculo de límites, entonces, la función h(x) no tiene
asíntota horizontal pues el resultado del límite no es un número.
110
d. Estudiemos la función
.
Para hallar el dominio de i(x), buscamos los valores de x que anulan el denominador. Es decir que
debemos resolver la siguiente ecuación: 3 x2 – 9 x - 30 = 0. Si aplicamos la fórmula que permite
resolver una ecuación cuadrática (fórmula resolvente), obtenemos lo siguiente:
. Entonces, x1= 5 y x2 = -2. Luego, Dom i = IR - {-2; 5}.
i. Calculamos el límite de i(x) cuando x tiende a – 2 y cuando x tiende a 5, pues estos valores no
pertenecen al dominio de i(x). Por la conclusión 1 de la parte de cálculo de límites, resulta que
y
.
Por lo tanto, la función tiene dos asíntotas verticales: x = – 2 y x = 5.
ii. Al hallar la asíntota horizontal, resulta que
, por la conclusión 3 de la parte de cálculo de límites.
Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
El gráfico de i(x) es el siguiente:
e. Analicemos la función .
.
Para encontrar el dominio, buscamos las raíces del denominador de j(x). O sea, resolvemos la
ecuación x2 - 9x + 30 = 0. Al utilizar la fórmula resolvente, resulta que
en
i.
ii.
. Pero ocurre que 81 -120 < 0. Por lo tanto, la ecuación cuadrática no tiene solución
. Luego, el dominio de la función j(x) es .
Como no existen valores de x que no pertenezcan al dominio, entonces, la función no tiene
asíntotas verticales.
Hallamos la asíntota horizontal:
, por la conclusión 3 de la parte de cálculo de límites.
Luego, la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
El gráfico de j(x) es el siguiente:
111
Conclusión
Si el dominio de una función es
f. El dominio de la función
i.
, entonces, la función no tiene asíntotas verticales.
es Dom k =
, pues debe ser
.
Por la conclusión 2 de la parte de cálculo de límites, resulta que
. Por consiguiente, la función tiene una asíntota vertical en x = 5.
ii. Busquemos la asíntota horizontal de la función k(x):
, por las conclusiones 3 y 1 de la parte de cálculo de límites.
Entonces, la función no tiene asíntota horizontal.
La función k(x) tiene el siguiente gráfico:
Observemos que hay una recta oblicua a la cual la función se acerca cada vez más cuando x
tiende a infinito. En otras palabras, la diferencia entre los valores que van tomando las ordenadas
de la función k(x) y las de la recta oblicua se acerca cada vez más a cero.
Asíntota oblicua
La recta y = m x + b es asíntota oblicua de una función f(x) si
112
.
Si la recta y = m x + b es asíntota oblicua de la función f(x), entonces,
m=
yb=
.
Problema 49
Hallen las asíntotas de la función
.
Problema 49
El dominio de la función f(x) es Dom f =
- {5}. Luego,
. Por lo tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = 5.
Además,
. Por lo tanto la función f(x) no tiene asíntotas
horizontales.
Observemos el gráfico de f(x):
Podemos ver que existe una asíntota oblicua. Para hallar la asíntota oblicua, calculamos la
pendiente y la ordenada al origen:
Luego:
Entonces:
y = x + 5 es la ecuación de la asíntota oblicua
Problema 50
Hallen, si existen, las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones.
a.
b.
113
c.
d.
Problema 50
a. Para hallar la asíntota horizontal, observemos que en
es una función
exponencial con base mayor que 1. Luego, por la conclusión 5 de la parte de cálculo de límites,
y
Entonces:
y
.
Por lo tanto, f(x) tiene una asíntota horizontal en y = – 8 cuando
La función no tiene asíntotas verticales porque su dominio es .
.
b. Para trabajar con
, debemos tener en cuenta que
es una función
exponencial cuya base es mayor que 0 y menor que 1. Con lo cual, por la conclusión 5 de la
parte de cálculo de límites,
y
.
Entonces:
y
.
Por lo tanto, g(x) tiene una asíntota horizontal en y = 1 cuando
La función no tiene asíntotas verticales pues su dominio es .
.
c. La función h(x)= ln (x-3) es logarítmica y su base es > que 1. Además, su dominio es Dom h=
(3;
pues debe ser x – 3 > 0.
Para hallar la asíntota horizontal, sólo consideramos
pues, de acuerdo con el dominio, no
tiene sentido calcular el límite de h(x) cuando
. Luego, por la conclusión 6 de la parte de
cálculo de límites,
.
Por lo tanto, h(x) no tiene asíntota horizontal.
Teniendo en cuenta nuevamente el dominio de h(x), analizamos qué sucede con la función cuando
x toma valores cada vez más cercanos a 3 por derecha:
de acuerdo con
la conclusión 6 de la parte de cálculo de límites.
Entonces, la recta x = 3 es asíntota vertical de h(x), pero desde la derecha.
Si bien todos los valores menores o iguales a 3 no pertenecen al dominio de h(x), la asíntota
vertical solamente puede estar en x = 3 dado que no es posible que x tienda a un valor menor que
tres.
d. Cuando estudiamos la función
, debemos tener en cuenta que la base del
logaritmo es mayor que 0 y menor que 1 y, además, que Dom i = (0; + ) pues debe ser x > 0.
Para hallar la asíntota horizontal calculamos sólo el límite de i(x) cuando
acuerdo con el dominio de la función, no tiene sentido hallar el límite cuando
Luego
porque, de
.
, por la conclusión 6 de la parte de cálculo de límites.
Entonces, i(x) no tiene asíntota horizontal.
Analicemos, debido al dominio de la función, qué sucede con i(x) cuando
114
:
por la conclusión 6 de la parte de cálculo de límites.
Entonces, i(x) tiene una asíntota vertical en x = 0 desde la derecha.
Actividades:
1. Una madre registró, en un gráfico, la estatura de su hijo cada año desde su nacimiento hasta los
19 años. El siguiente es el gráfico que confeccionó:
a. ¿Cuál era su estatura a los 18 años?
b. ¿En qué momento su estatura será de 1,83 m?
2. Determinen si las funciones representadas a continuación tienen asíntotas verticales y
horizontales. Si existen, escriban las ecuaciones de esas rectas.
a.
b.
c.
.
3. Propongan el gráfico de una función que presente una asíntota vertical en x = -2 y una asíntota
horizontal en y = 0.
4. Realicen el gráfico de una función para la cual x = 4 sea asíntota vertical e y = -2 sea asíntota
horizontal.
5. Dibujen el gráfico de una función que tenga asíntotas en x = 4, x = -1 e y = 1.
115
6. Hallen las asíntotas vertical y horizontal de cada una de las funciones que se indican a
continuación:
a.
b.
c.
d.
e.
7. Escriban la fórmula de una función que posea una asíntota horizontal en y = -1. Verifiquen su
respuesta utilizando la definición de asíntota que corresponde.
8. Para cada una de las siguientes funciones obtengan, si existen, las asíntotas verticales y
horizontales.
a.
b.
c.
9. Investiguen si las funciones de la actividad anterior cortan a sus asíntotas. Si esto sucede,
encuentren los puntos de intersección.
10. Propongan la fórmula de dos funciones diferentes que tengan simultáneamente asíntotas en
e
Verifiquen sus respuestas utilizando la definición de asíntota correspondiente.
11. Escriban la fórmula de dos funciones distintas que posean simultáneamente asíntotas en x = 2
e y = -2. Corroboren sus respuestas usando la definición de asíntota que corresponda.
12. Propongan la fórmula de dos funciones diferentes para las cuales las rectas x = 2, x= -1 e y = 0
sean asíntotas. Verifiquen sus respuestas utilizando las definiciones de asíntota correspondientes.
13. Obtengan, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones:
b.
b.
c.
14. Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justifiquen sus respuestas.
a. Una función puede tener varias asíntotas verticales.
b. Una función puede tener varias asíntotas horizontales cuando
.
c. Una función puede cortar a alguna de sus asíntotas.
d. Una función puede tener varias asíntotas oblicuas cuando
.
15. Dibujen el gráfico de una función que tenga asíntotas en y = x y en x = 3.
16. Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus respuestas.
a. La función
tiene asíntota en x = 3 e y = x.
b. La función
no tiene asíntotas horizontales.
c. La función
tiene asíntotas verticales.
d. La función
no tiene asíntotas verticales ni horizontales.
116
17. Determinen, si existen, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de estas funciones:
a.
b.
c.
18. ¿Puede una función tener una asíntota horizontal y otra oblicua? ¿Por qué?
19. Obtengan, si existen, las asíntotas vertical y horizontal de las siguientes funciones:
a.
b.
d.
Parte II: Aplicaciones de la derivada: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos. Punto
de inflexión. Concavidad.
1) Encontrar la recta tangente y la recta normal en el punto indicado en cada función. Graficar la
función y las rectas.
a) f(x) = x2 + 2.x en x0 = 1
b) f(x) = x3 en x0 = 0
c) f(x) =
d) f(x) = 2 x – 1 en x0 = 2
en x0 = 1
2) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
a) f(x) = x4 – 2 . x2 + 1
b)
c)
3) Hallar los extremos relativos (máximos y mínimos) y construir la gráfica aproximada de las
siguientes funciones.
a) f(x) = x4 + 2 x2 – 1
b) f(x) = (x- 2)2
c) f(x) = x3 - x2
d) f(x) = x2 + 5 . x
Atencion: Para realizar estos ejercicios es conveniente seguir algunos pasos:
I) Encontrar f'(x).
II) Determinar los puntos donde f'(x)=0
III) Analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
IV) Hallar cuando f(x)=0 (corta a los ejes)
V) Se traza la grafica aproximada.
6. Para cada una de las funciones que se indican, hallen el dominio, los intervalos de positividad y
de negatividad, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y mínimos
relativos.
a. f(x) = x5 – 8 x2
b. g(x) = (x – 2)2 (x + 1)2
c. h(x) = 2 x3 + 4 x2 – 2 x – 4
7. Consideren el siguiente gráfico que corresponde a una función f'(x), es decir, a la función
derivada de f(x).
¿Es posible que el gráfico de la función f(x) sea el que figura a continuación? Justifiquen su
respuesta.
117
8. a. Determinen los intervalos de concavidad de las funciones de la actividad 6.
b. Grafiquen aproximadamente cada una de las funciones anteriores utilizando la información
obtenida en el ítem a y en la actividad 6.
9. Grafiquen una función f(x) que tenga como dominio a Dom f =
- {-3}, que sea derivable en
todos los valores de su dominio y que verifique simultáneamente las siguientes condiciones:
f(2) = 0, f(5) = 0,
,
,
,
,
,
y
10. Consideren la función g(x) =
y determinen lo siguiente:
a. El dominio de g(x).
b. Las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen.
c. Los ceros de la función y los intervalos de positividad y negatividad.
d. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos.
e. Los intervalos de concavidad.
f. Un gráfico aproximado de g{x).
11. Consideren las siguientes funciones
a.
b.
Para cada una de las funciones anteriores obtengan lo siguiente:
I. El dominio.
II. Las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen.
III. Los ceros y los intervalos de positividad y negatividad.
IV. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos.
V. Los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
VI. Un gráfico aproximado de la función.
118