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EJERCICIOS MATEMÁTICAS I – 1º BACHILLERATO
TEMA: DERIVADAS – PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. De entre todos los rectángulos de área 5 cm2, hallar el de perímetro mínimo
2. Dada la función f ( x)  x3  bx  c , hallar los coeficientes b y c sabiendo que la
función pasa por el origen de coordenadas y que tiene un mínimo en x = 1
3. De entre todos los rectángulos que cumplen que la base y la altura suman 30 cm,
hallar el de área máxima.
4. Hallar dos números tales que su suma sea 25, y que el doble del cuadrado de uno
más el triple del cuadrado del otro sea mínimo
5. Entre todos los rectángulos de perímetro 64, hallar el que tenga la mínima
diagonal
6. Se quiere construir un depósito de agua con forma cilíndrica y cuya área sea 500
m2. Hallar las dimensiones del depósito para que albergue el máximo volumen.
(Nota: recuerda que el área de un cilindro es 2(área de la base) + (área lateral))
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7. Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y  4 x tales que sus
distancias al punto 4,0 sean mínimas.
8. Descomponer el número 44 en 2 sumandos, de manera que el quíntuplo del
cuadrado del primero más seis veces el cuadrado del segundo resulte ser la
máxima suma posible.
9. Escribir la ecuación de la recta que, pasando por el punto 1,2 , determina en las
regiones positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima.
10. Entre todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20 cm., ¿cuál es el de
área máxima?
11. Calcular las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles de
10 m. de base y 15 m. de altura.
12. Un recinto está formado por un rectángulo y un semicírculo que tiene por
diámetro uno de los lados del rectángulo (ambas figuras están adosadas). El área
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del recinto es 5 m . Hallar las dimensiones del semicírculo y del rectángulo para
que el perímetro de la figura sea mínimo.
13. Un alambre de 10 m. se corta en un determinado punto. Con una de las partes del
alambre formamos un cuadrado, y con la otra una circunferencia. Se trata de
saber cuál debe ser el punto de corte del alambre para que la suma de las áreas
del cuadrado y del círculo sea mínima.
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14. Necesitamos fabricar un marco para una ventana de 2 m de superficie. El metro
lineal de madera para cercos horizontales cuesta 20 €, y para tramos verticales del
cerco cuesta 12 €. ¿Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco
resulte lo más barato posible?