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Problemas de Algebra Moderna I
Lista 4
1. Sea G grupo finito, H subgrupo de G tal que iG (H) es el menor número
primo que divide a o(G). Demuestre que H G.
2. Demuestre que todo grupo no Abeliano de orden 6 es isomorfo a S3. .
3. Demuestre que el grupo de cuaternos Q8 no es isomorfo al grupo dihédrico
D4 .
4. Sea G grupo, J(G) el grupo de automorfismos internos de G. Demuestre que G/Z(G) ∼
= J(G).
a) Sea G grupo cı́clico finito de orden n. Demuestre que A(G) ∼
= Un .
b) Si G es grupo cı́clico infinito. Demuestre que A(G) ∼
= Z2 .
5. Demuestre que S3 ∼
= J(S3 ).
6. Para G = Z2 × Z2 , determine A(G).
7. Sea G grupo. Un subgrupo C de G se llama subgrupo caracterı́stico de
G si T (C) ⊆ C ∀ T ∈ A(G). Demuestre que:
a) Todo subgrupo caracterı́stico C de G es subgrupo normal de G.
b) Demuestre que el recı́proco de a) es falso.
c) Suponga que N G y que M es subgrupo caracterı́stico de N.
Demuestre que M G.
(a) Demostrar que el centro Z(G) es subrupo caracterı́stico de G.
8. Supóngase que el orden del grupo G es pm con p número primo tal que
p 6 |m, si H es un subgrupo normal de G de orden p, demostrar que H
es subrupo caracterı́stico.
9. Sea G grupo abeliano de orden o(G) = pn m con p número primo tal que
p 6 |m. Demostrar que si H es un subrupo de G de orden pn , entonces
H es subgrupo caracterı́stico.
10. Sea G grupo finito y T un automorfismo de G tal que T (g) = g ⇔ g = e.
Demuestre que todo elemento a ∈ G se puede escribir en la forma:
a = g −1 · T (g) para alguna g ∈ G que depende de a.
11. Sea G grupo Abeliano finito de orden 2n . Demuestre que G contiene
un subgrupo de orden 2n−1 .
12. Demuestre que para todo grupo G con o(G) > 2 se cumple que o(A(G)) >
1. (sugerencia: reduzca el problema al caso de G Abeliano con o(G) =
2n , g 2 = e ∀ g ∈ G, aplique inducción sobre n y el problema anterior.
13. Sea G grupo de orden 2 · n, suponga que la mitad de los elementos de
G son de orden 2 y que la otra mitad forman un subgrupo H de orden
n. Demuestre que n es impar y que H es Abeliano.
14. Para p número primo, demostrar que todo grupo de orden p2 tiene un
subrupo normal de orden p y concluı́r que debe de ser abeliano.
15. Demostrar que un grupo de orden 15 contiene subgrupos normales de
orden 3 y 5 y concluı́r que debe de ser abeliano.
16. Sea G un grupo abeliano de orden p1 · · · pk con los pi números primos
distintos a pares, demostrar que G es grupo cı́clico.
17. Sea G un grupo abeliano infinito, T = { g ∈ G| g es de orden finito }.
Demostrar que el grupo cociente G/T no contiene elementos de orden
finito excepto la identidad.