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TEORÍA DE GRUPOS (Parte 2)
CARACTERIZACIÓN DE GRUPOS ABELIANOS
Sabemos que un grupo (G, ∗) es un grupo abeliano si
a∗b=b∗a
A continuación planteamos una caracterización para determinar si un grupo dado es abeliano.
Teorema: Sea (G, ∗) un grupo. (G, ∗) es un abeliano si y solo si (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 .
Demostración:
[⇒] Por potenciación, sabemos que
(a ∗ b)2 = (a ∗ b) ∗ (a ∗ b)
Asociando convenientemente, nos queda
(a ∗ b)2 = a ∗ (b ∗ a) ∗ b
y dado que (G, ∗) es un grupo abeliano, resulta
(a ∗ b)2 = a ∗ (a ∗ b) ∗ b
y asociando nuevamente, obtenemos el resultado deseado, esto es
(a ∗ b)2 = a2 ∗ b2
[⇐] Como (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 , entonces, aplicando la potenciación, tenemos
(a ∗ b) ∗ (a ∗ b)2 = (a ∗ a) ∗ (b ∗ b)
asociando y utilizando la propiedad de cancelación a la derecha e izquierda, tenemos
a∗b=b∗a
Como consecuencia inmediata, tenemos el siguiente
Corolario:
Si (G, ∗) es un grupo tal que x2 = e, para todo x ∈ G, entonces (G, ∗) es abeliano.
Demostración: De la hipótesis tenemos que (a ∗ b)2 = e y a2 = e, b2 = e por tanto
(a ∗ b)2 = e = a2 ∗ b2
y por el resultado anterior obtenemos que (G, ∗) es abeliano.
Ejemplos
1. El grupo de Klein se define como el conjunto de sı́mbolos {a, b, c, e} sujeto a las relaciones
a2 = b2 = c2 = e, b ∗ c = a, c ∗ a = b y a ∗ b = c.
∗
e
a
b
c
e a
e a
a e
b c
c b
b c
b c
c b
e a
a e
2. Todos los grupos finitos de orden menor que 6 son abelianos.
3. En (R+ , ∗) si definimos la operación binaria ∗ como:
a ∗ b = alnb
para todo a, b ∈ R+ , tendremos que (R+ , ∗) es un grupo abeliano. Invitamos al amigo lector
que demuestre que (R+ , ∗) es un grupo y acá comprobaremos que es abeliano. En efecto, si
a, b ∈ R+ , se tiene que
ln b
ln a
a ∗ b = aln b = eln(a ) = e(ln b)(ln a) = eln(b ) = bln a = b ∗ a
SUBGRUPOS
Definición: Sea (G, ∗) un grupo y H ⊆ G tal que H 6= ∅. Diremos que H es un subgrupo de G
si (H, ∗) es un grupo.
Para indicar que H es un subgrupo de G utilizaremos la notación H 6 G.
Todo grupo (G, ∗) tiene, al menos, los subgrupos: ({e}, ∗) y (G, ∗). A estos subgrupos los llamaremos subgrupos triviales de G.
Ejemplo:
Consideremos al grupo (C, +), donde + es la operación de adición usual. Como R ⊆ C y (R, +)
es un grupo, de la definición anterior concluimos que R 6 C, es decir, R es un subgrupo de C.
Teorema: Sea (G, ∗) un grupo y H 6 G. Si e es el neutro en (G, ∗), entonces e ∈ H.
Demostración:
Supongamos que e0 es el neutro en (H, ∗). Luego, como H ⊆ G, entonces e0 ∈ G. Como (G, ∗) es
un grupo, e0 es simetrizable en G con respecto a ∗, por lo que existe el elemento (e0 )−1 ∈ G. Ahora,
tenemos lo siguiente:
e0 ∗ e0 = e0 ⇒ (e0 )−1 ∗ (e0 ∗ e0 ) = (e0 )−1 ∗ e0 ⇒ (e0 )−1 ∗ e0 ∗ e0 = e ⇒ e ∗ e0 = e ⇒ e0 = e
Ası́, queda demostrado que e ∈ H.
Definición: Sea (G, ∗) un grupo y H 6 G. Diremos que H es un subgrupo propio de G si y solo
si H 6= G y H 6= {e}.
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Ejemplos:
1. Si (G, ∗) es un grupo de orden 3, es fácil verificar que G no tiene subgrupos propios.
2. El grupo (Z4 , +) tiene un subgrupo propio: {0, 2}
3. Los subgrupos propios del grupo de Klein son {e, a}, {e, b} y {e, c}.
4. Si nZ es el conjunto de los múltiplos enteros del número natural n (con n > 1), es decir,
nZ = {nx : x ∈ Z}, se tiene que (nZ, +) es un subgrupo propio de (Z, +).
RETÍCULO DE LOS SUBGRUPOS
Los subgrupos de un grupo (G, ∗) se pueden representar en un diagrama, que llamaremos retı́culo
de los subgrupos de (G, ∗). Si, por ejemplo, H1 y H2 son subgrupos de (G, ∗), H1 ⊆ H2 y no hay
ningún subgrupo entre H1 y H2 , dibujaremos:
H2
↑
H1
Los diagramas de los subgrupos de (Z4 , +) y del grupo de Klein están dadas a continuación.
Z4
↑
{0, 2}
↑
{0}
G
%
↑
{e, b}
↑
{e}
{e, a}
{e, c}
%
El siguiente teorema nos proporciona un criterio muy útil para determinar cuando un subconjunto
H de un grupo G es un subgrupo.
Teorema: Sea (G, ∗) un grupo y H ⊆ G tal que H 6= ∅. H 6 G si y sólo si se cumplen las
siguientes condiciones:
(1) Si a, b ∈ H, entonces a ∗ b ∈ H.
(2) Si a ∈ H, entonces a−1 ∈ H.
Demostración:
[⇒] Directo de la definición.
[⇐] Por (1) tenemos que ∗ es una operación binaria en H. Además, ∗ es asociativa por ser (G, ∗)
un grupo, por lo que solo falta comprobar que e ∈ H (al comprobar esto queda claro que todos
los elementos de H son simetrizables respecto a ∗ por (2)). En efecto, sea a ∈ H. Luego, por (2),
a−1 ∈ H y, por (1), tenemos que e = a ∗ a−1 ∈ H. Finalmente, queda demostrado que (H, ∗) es grupo
y, por tanto, H 6 G.
Una versión equivalente (y más simplificada) del resultado anterior la plantearemos en el siguiente
teorema, pero omitiremos su demostración.
3
Teorema: Sea (G, ∗) un grupo y H ⊆ G tal que H 6= ∅. H 6 G si y sólo si a ∗ b−1 ∈ H, donde
a, b ∈ H.
En los siguientes ejemplos veremos como utilizar los criterios anteriores para demostrar que un
subconjunto de un grupo dado es un subgrupo.
Ejemplos:
∗
1. Consideremos al grupo (Q , ·) y al conjunto H =
2a + 1
: a, b ∈ Z . Veamos que H 6 Q∗ .
2b + 1
Demostración:
0·2+1
∈ H y 0 ∈ Z.
0·2+1
2a + 1
2c + 1
(b) Sean x, y ∈ H. Luego, x =
e y=
, donde a, b, c, d ∈ Z. Observemos que:
2b + 1
2d + 1
−1
2c + 1
2(2ad + a + d) + 1
2m + 1
2a + 1
2a + 1 2d + 1
−1
·
·
=
=
,
x·y =
=
2b + 1
2d + 1
2b + 1 2c + 1
2(2bc + b + c) + 1
2n + 1
(a) H 6= ∅, ya que 1 =
donde m = 2ad + a + d ∈ Z y n = 2bc + b + c ∈ Z. Por tanto, x · y −1 ∈ H.
Ası́, queda demostrado que H 6 Q∗ .
2. Si H1 y H2 son subgrupos de un grupo (G, ∗), entonces H1 ∩ H2 6 G.
Demostración:
(a) Sea e ∈ G el elemento neutro para ∗. Como H1 y H2 son subgrupos de G, entonces e ∈ H1
y e ∈ H2 , por tanto, e ∈ H1 ∩ H2 y ası́ tenemos que H1 ∩ H2 6= ∅.
(b) Sean x, y ∈ H1 ∩ H2 , entonces x, y ∈ H1 y x, y ∈ H2 . Como H1 y H2 son subgrupos de G,
sabemos que x ∗ y −1 ∈ H1 y x ∗ y −1 ∈ H2 . Por tanto, x ∗ y −1 ∈ H1 ∩ H2 .
Ası́, queda demostrado que H1 ∩ H2 es un subgrupo de G.
3. La unión de subgrupos de un grupo no siempre es un subgrupo. En efecto, sabemos, por
ejemplos anteriores, que (8Z, +) y (3Z, +) son subgrupos de (Z, +). Si consideramos el conjunto
H = 8Z ∪ 3Z, podemos ver que 8, 3 ∈ H y, si H fuese un subrupo de Z, debe cumplirse que
8 + 3 = 11 ∈ H, lo cual es imposible ya que 11 no está en 8Z ni en 3Z.
Un ejercicio que podemos realizar consiste en demostrar que si H1 y H2 son sugbrupos de un
grupo (G, ∗), entonces H1 ∪ H2 es subgrupo de G si y solo si H1 ⊆ H2 ó H2 ⊆ H1 .
4. Sea (G, ∗) un grupo abeliano y H 6 G. Definimos al conjunto S(H) = {x ∈ G : x2 ∈ H}.
Verifiquemos que S(H) 6 G.
Demostración:
(a) En efecto, S(H) 6= ∅, ya que al ser H un subgrupo de G tenemos que e2 = e ∈ H y, por
tanto, e ∈ S(H).
4
(b) Sean x, y ∈ S(H). Luego, x2 , y 2 ∈ H y, nuevamente, como H es un subgrupo de G, tenemos
que x2 (y 2 )−1 ∈ H. Finalmente, como (G, ∗) es abeliano, se tiene:
(xy −1 )2 = x2 (y 2 )−1 ∈ H
Ası́, queda demostrado que xy −1 ∈ S(H).
5. Sea G un grupo y a un elemento cualquiera de G. Definimos al conjunto
C(a) = {g ∈ G : ga = ag}.
Comprobemos que C(a) 6 G. A este subgrupo se le conoce como subgrupo conmutador.
Demostración:
(a) C(a) 6= ∅, ya que ea = ae y, por tanto, e ∈ C(a).
(b) Sean x, y ∈ C(a). Luego, xa = ax y ya = ay. Ahora bien:
(xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = a(xy),
y esta cadena de igualdades nos permite asegurar que xy ∈ C(a).
(c) Sea x ∈ C(a). Luego:
xa = ax ⇒ x−1 (xa)x−1 = x−1 (ax)x−1 ⇒ ax−1 = x−1 a ⇒ x−1 a = ax−1
Esto significa que x−1 ∈ C(a).
Teorema de Lagrange:
Si G es un grupo de orden finito y H 6 G, entonces o(H)|o(G).
SUBGRUPOS CÍCLICOS
Ahora vamos a proporcionar un conjunto que nos permitirá obtener subgrupos, de cualquier grupo, de una manera muy sencilla.
Teorema:
Sea G un grupo y a ∈ G. El conjunto:
H = {an : n ∈ Z}
es un subgrupo de G. Además, H es el subgrupo más pequeño de G que contiene a a.
Demostración:
(a) Dado que a0 = e, entonces e ∈ H y, por tanto, H 6= ∅.
(b) Sean x, y ∈ H. Luego, x = am e y = an , donde m, n ∈ Z. Ahora bien:
xy = am an = am+n
y como m + n ∈ Z, podemos asegurar que xy ∈ H.
5
(c) Sea x ∈ H Luego, x = an , donde n ∈ Z. Ahora bien:
x−1 = (an )−1 = a−n
y como −n ∈ Z, podemos asegurar que x−1 ∈ H.
Luego H ≤ G.
Para comprobar la otra afirmación, consideremos al subgrupo H1 de G, tal que a ∈ H1 . Por ser
H1 un subgrupo, él es cerrado con la operación definida en G, por tanto an ∈ H1 , para todo n ∈ Z,
ası́ tenemos que H ⊆ H1 .
Definición: Al subgrupo H, descrito en el teorema anterior, lo llamaremos subgrupo cı́clico
generado por a. El elemento a lo llamaremos generador de H. Utilizaremos la notación:
H = hai
Ejemplos:
1. Consideremos al grupo (Z6 , +) y determinemos, por extensión, los subgrupos cı́clicos generados
por 2 y 3.
n
0
1
2
3
4
5
h2i = {2 : n ∈ Z} = {2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , . . .} = {0, 2, 4, 0, 2, 4, . . .} = {0, 2, 4}
n
0
1
2
3
4
5
h3i = {3 : n ∈ Z} = {3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , . . .} = {0, 3, 0, 3, 0, 3, . . .} = {0, 3}
2. En el grupo de Klein, los subgrupos cı́clicos generados por sus elementos son:
hai = {an : n ∈ Z} = {e, a}
hbi = {bn : n ∈ Z} = {e, b}
hci = {cn : n ∈ Z} = {e, c}
3. Consideremos al grupo de permutaciones (S3 , ◦) y determinemos,
por extensión, el subgrupo
1 2 3
cı́clico generado por la permutación σ1 =
.
2 3 1
n
1 2 3
n
:n∈Z
hσ1 i = {(σ1 ) : n ∈ Z} =
2 3 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
hσ1 i =
,
,
1 2 3
2 3 1
3 1 2
4. En el grupo diédrico de orden 4 D4 = {e, a, b, b2 , b3 , ab, ab2 , ab3 }, tenemos los subgrupos cı́clicos
hai = {e, a} y hbi = {e, b, b2 , b3 }
5. Consideremos el grupo multiplicativo
de las matrices cuadradas de orden dos con determinante
0 −1
distinto de cero y sea A =
. Determinemos, por extensión, el grupo cı́clico generado
1
0
por A.
n
0 −1
n
hAi = {A : n ∈ Z} =
:n∈Z
1
0
1 0
0 −1
−1
0
0 1
hAi =
,
,
,
0 1
1
0
0 −1
−1 0
6
6. Consideremos al grupo (Z, +). Determinemos el subgrupo cı́clico generado por 3.
h3i = {3n : n ∈ Z} = {0, ±3, ±6 ± 9, . . .}
Como vemos en los ejemplos anteriores, casi todos los subgrupos cı́clicos estudiados, son conjuntos
finitos, que están relacionados directamente con el generador del subgrupo. Establecemos, entonces,
la siguiente definición:
Definición:
Dado un grupo (G, ∗) y un elemento x ∈ G, definimos el orden de x (y lo denotaremos como
o(x)), como el número de elementos que posee el subgrupo cı́clico generado por x, si este es finito.
En caso contrario, diremos que el orden de x es infinito.
Teorema: Si (G, ∗) es un grupo y x es un elemento de G, el orden de x coincide con el menor
entero positivo n tal que xn = e. Además,
hxi = {x, x2 , x3 , . . . , xn−1 , xn = e}
y todos los elementos son distintos.
En virtud de este resultado, podemos decir, basándonos en los ejemplos anteriores que
0 −1
o
= 4 ; o(σ1 ) = 3
1
0
En (Z6 , +) tenemos que o(3) = 2 y o(2) = 3.
En el grupo de Klein, todos sus elementos tienen orden 2.
Definición:
Diremos que un grupo (G, ∗) es un grupo cı́clico, si existe al menos un elemento x ∈ G tal que el
subgrupo generado por x es G, es decir, hxi = G.
Ejemplos:
1. El grupo (Z6 , +), es cı́clico, en efecto:
n
0
1
2
3
2
3
h1i = {1 : n ∈ Z} = {1 , 1 , 1 , 1 , . . .} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Sin embargo, 1 no es el único generador de Z6 .
n
0
1
h5i = {5 : n ∈ Z} = {5 , 5 , 5 , 5 , . . .} = {0, 5, 4, 3, 2, 1}.
2. El grupo multiplicativo S = {1, −1, i, −i}, donde i es la unidad imaginaria (que satisface
i2 = −1) es un grupo cı́clico. En efecto:
hii = {in : n ∈ Z} = {i0 , i1 , i2 , . . .} = {1, i, −1 − i}.
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3. El conjunto Z con la adición usual es un grupo cı́clico generado por el 1 y el −1.
4. El grupo de Klein no es cı́clico ya que ninguno de sus elementos lo genera.
5. El grupo multiplicativo Z∗5 , es cı́clico, ya que 3 ∈ Z∗5 es un generador, pues:
0
1
2
h3i = {3 , 3 , 3 , . . .}
h3i = {1, 3, 4, 2}.
Teorema:
Todo grupo cı́clico es abeliano.
Demostración:
En efecto, si x, y ∈ G, entonces x = am e y = an , donde m, n ∈ Z. Ahora bien:
x ∗ y = am ∗ an = am+n = an+m = an ∗ am = y ∗ x.
Observación:
El recı́proco de la proposición anterior es falso, es decir, si G es un grupo abeliano, G no tiene
que ser cı́clico. Por ejemplo, sabemos que el grupo de Klein es abeliano, pero no es cı́clico.
Corolario del Teorema de Lagrange:
Todo grupo de orden primo es cı́clico.
CLASES LATERALES MÓDULO H
En esta sección daremos una generalización del concepto de congruencia módulo n, al considerar
dentro de un grupo G a la congruencia módulo H, donde H 6 G.
Sea G un grupo y H 6 G. Definimos la siguiente relación:
x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H
La relación definida anteriormente es una relación de equivalencia, en efecto:
1. R es reflexiva, dado que, como H 6 G, tenemos que e ∈ H y e = aa−1 . Por tanto, aa−1 ∈ H,
es decir, a ∼ a.
2. R es simétrica, ya que si a ∼ b, entonces tenemos que ab−1 ∈ H y al ser H ≤ G, tenemos que
ba−1 = (ab−1 )−1 ∈ H y de aquı́ concluimos que b ∼ a.
3. R es transitiva, pues si a ∼ b y b ∼ c, entonces tenemos que ab−1 ∈ H y bc−1 ∈ H, al ser
H ≤ G, es cerrado, por lo que ac−1 = (ab−1 )(bc−1 ) ∈ H y ası́ a ∼ c.
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Ahora, determinemos las clases de equivalencia que esta relación nos proporciona. Sabemos que
si a ∈ G:
a = {b ∈ G : b ∼ a}
y esto es:
a = {b ∈ G : ba−1 ∈ H}
Ahora bien, si ba−1 ∈ H, podemos asegurar que existe h ∈ H, tal que ba−1 = h, con h ∈ H, y de
acá nos queda que b = ha. Ası́, hemos comprobado que a ⊆ Ha, donde Ha es el conjunto dado por:
Ha = {ha : h ∈ H}
Por otra parte, si x ∈ Ha, se tiene que x = ha y al despejar a h, se tiene xa−1 = h ∈ H, de esta
manera tenemos que x ∼ a y por tanto x ∈ a, luego Ha ⊆ a. Ası́ concluimos que Ha = a.
Al conjunto Ha, lo llamaremos clase lateral derecha de a.
Dado que el grupo G no es necesariamente abeliano, definimos la clase lateral izquierda de a,
como el conjunto:
aH = {ah : h ∈ H}
Ahora veamos como determinamos las clases laterales para un grupo G y un subgrupo H de G.
Ejemplo:
Consideremos al grupo G = {a, b, c, d, e, f }, cuya operación binaria está dada por la siguiente
tabla de Cayley:
a
b
c
d
e
f
a
a
b
c
d
e
f
b c
b c
c a
a b
f e
d f
e d
d e
d e
e f
f d
a c
b a
c b
f
f
d
e
b
c
a
Consideremos al subgrupo H1 = {a, b, c}, las clases laterales derechas son:
H1 a = {ha : h ∈ H1 } = {aa, ba, ca} = {a, b, c} = H1
H1 d = {hd : h ∈ H1 } = {ad, bd, cd} = {d, e, f }
Las clases laterales izquierdas son
aH1 = {ah : h ∈ H1 } = {aa, ab, ac} = {a, b, c} = H1
dH1 = {dh : h ∈ H1 } = {da, db, dc} = {d, f, e}
Si consideramos al subgrupo H2 = {a, d}, las clases laterales derechas son:
H2 a = {ha : h ∈ H2 } = {aa, da} = {a, d} = H2
H2 b = {hb : h ∈ H2 } = {ab, db} = {b, f }
H2 c = {hc : h ∈ H2 } = {ac, dc} = {c, e}
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Las clases laterales izquierdas son:
aH2 = {ah : h ∈ H2 } = {aa, ad} = {a, d} = H2
bH2 = {bh : h ∈ H2 } = {ba, bd} = {b, e}
cH2 = {ch : h ∈ H2 } = {ca, cd} = {c, f }
Definición:
Sea G un grupo y H 6 G. El número de clases laterales de H en G se llama ı́ndice de H en G y
lo denotaremos por [G : H].
Ejemplos:
Retomando el ejemplo anterior podemos ver que [G : H1 ] = 2 y [G : H2 ] = 3.
Teorema:
Si G un grupo finito y H 6 G, entonces |G| = [G : H] · |H|.
SUBGRUPOS NORMALES
Si G es un grupo y H 6 G, no es cierto en general que aH = Ha, donde a ∈ G, aunque es claro
que esto si sucede cuando G es abeliano. En realidad, existen subgrupos de un grupo G que cumplen
esto mismo sin necesidad de que G sea abeliano. En esta sección, vamos a caracterizar tales subgrupos.
Definición:
Sea G un grupo y N 6 G. Diremos que N es un subgrupo normal de G si y solo si gN = N g para
todo g ∈ G. Este hecho lo denotaremos como N C G.
Equivalentemente, tenemos que N C G si y solo si gN g −1 = N .
Ejemplos:
En el ejemplo anterior, se tiene que H1 C G ya que
aH1 = {a, b, c} = H1 a
bH1 = {a, b, c} = H1 b
cH1 = {a, b, c} = H1 c
dH1 = {d, e, f } = H1 d
eH1 = {d, e, f } = H1 e
f H1 = {d, e, f } = H1 f
Sin embargo, H2 6 G (esto es, H2 no es un subgrupo normal de G) ya que, por ejemplo:
bH2 = {b, e} =
6 {b, f } = H2 b
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Teorema (Caracterización de subgrupos normales):
Sea G un grupo y N 6 G. Entonces,
N C G ⇔ (∀g ∈ G)(∀n ∈ N )(gng −1 ∈ N )
Teorema:
Todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal.
Demostración:
En efecto, supongamos que G es un grupo y que N 6 G. Consideremos g ∈ G y n ∈ N . Si e
es el neutro de G, aplicando el teorema anterior y apoyándonos en el hecho de que G es abeliano,
tendremos que
gng −1 = ngg −1 = ne = n ∈ N
Luego, N C G.
Teorema:
Si G un grupo finito, N 6 G y [G : N ] = 2, entonces N C G.
GRUPOS COCIENTES
Sea G un grupo y N C G. El conjunto de las clases laterales izquierdas de N en G, el cual
denotaremos por G/N , se puede dotar de estructura de grupo si definimos en el mismo una operación
de “multiplicación” como sigue:
(aN )(bN ) = (ab)N
donde a, b ∈ G.
Este grupo recibe el nombre de grupo cociente de G sobre H.
Ejemplo 1:
Retomando el ejemplo desarrollado en el tema de “clases laterales módulo H”, tenemos que H1 CG
y, además:
aH1 = bH1 = cH1 = {a, b, c}
dH1 = eH1 = f H1 = {d, e, f }
La tabla de Cayley correspondiente al grupo cociente G/H1 con su multiplicación es:
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Ejemplo 2:
Consideremos el grupo (Z12 , +) y uno de sus subgrupos: N = h4i = {0, 4, 8}. Como (Z12 , +) es
abeliano, N C Z12 , luego, podemos definir al grupo cociente Z12 /N . Sus elementos son:
0N = 4N = 8N = {0, 4, 8} = N
1N = 5N = 9N = {1, 5, 9}
2N = 6N = 10N = {2, 6, 10}
3N = 7N = 11N = {3, 7, 11}
La tabla de Cayley correspondiente al grupo cociente Z12 /N con su multiplicación es:
Propiedad:
Si G un grupo y N C G, entonces o(G/N ) = [G : N ].
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