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Problemas de Algebra Moderna I
Lista 3
1. Sea G grupo, A, B, C, subgrupos de G tales que A ⊆ B ⊆ C con iC (B)
y iB (A) finitos. Demuestre que iC (A) = iC (B) · iB (A).
2. Sean A, B subgrupos de G con iG (A), iG (B) finito. Demuestre que
iG (A ∩ B) es finito.
3. Sean A, B subgrupos de G con iG (A), iG (B) finito. Demuestre que la
igualdad iB (A ∩ B) = iG (A) se cumple si y solo si G = A · B = B · A.
4. Sean A, B subgrupos de G y S = A ∪ B, suponga que (S) es grupo
finito. Demuestre que o(A) · o(B )˙ ≤ o((S)) · o(A ∩ B). Y que la igualdad
se cumple si y solo si A · B = B · A.
5. Sean A, B subgrupos de G con iG (A), iG (B) finito y primos relativos.
Demuestre que G = A · B = B · A y que iG (A ∩ B) = iG (A) · iG (B).
6. Sea G grupo; demuestre que si G/Z(G) es ciclico entonces G es Abeliano.
7. Sea G un grupo y S un subconjunto no vacı́o de G tal que para todo
s ∈ S y para todo g ∈ G se cumple que g · a · g −1 ∈ S . Demuestre que
(S) es subgrupo normal de G.
8. Sea G grupo. Demuestre que el subgrupo conmutador de G, D1 (G),
es subgrupo normal de G y que G/D1 (G) es Abeliano.
9. Sea G grupo.
a) Demuestre que la intersección de cualquier familia de subgrupos
normales de G, es subgrupo normal de G.
b) Si H y K son subgrupos normales de G, demuestre que H · K es
también subgrupo normal de G.
c) Suponga que H y K son subgrupos normales de G tales que H ∩
K = {e} , demuestre que h · k = k · h ∀ h ∈ H, ∀ k ∈ K.
10. Sea G un grupo y T un subgrupo cı́clico de G, tal que T G, demuestre
que todo subgrupo de T es también subgrupo normal de G.
11. Sea G un grupo y N subgrupo normal de G.
a) Si a ∈ G de orden finito. Demuestre que el orden de N · a ∈ G/N
divide a el orden de a.
b) Suponga además que G es grupo finito y que iG (N ), o(N ) son primos relativos. Demuestre que si g ∈ G tal que g o(N ) = e entonces
g ∈ N.
1
12. Sea G =
a b
0 d
1 b
| a, b, d ∈ R, a · d 6= 0 , y N =
|b∈R .
0 1
a) Demuestre que G es grupo con la multiplicación usual de matrices
y que N es subgrupo normal de G.
b) Demuestre que G/N es grupo Abeliano.
c) Encuentre Z(G).
13. Sea G grupo, H subgrupo de G, NG (H) el normalizador de H en G.
a) Demuestre que H NG (H).
b) Sea K subgrupo de G con H K. Demuestre que K ⊆ NG (H).
c) Demuestre que H G ⇔ NG (H) = G.
14. Sean H, M y N subgrupos de G tales que H G y M N.
a) Demuestre que H · M es subgrupo normal de H · N.
b) Si H es subrupo finito de G y K G con iG (K) finito y primo
relativo con o(H). Demuestre que H ⊆ K.
15. Sea D1 (G) el subgrupo conmutador de G.
a) Si N G tal que G/N es Abeliano, demuestre que D1 (G) ⊆ N.
b) Si H es subgrupo de G tal que D1 (G) ⊆ H, demuestre que H G.
16. Este ejercicio demuestra que en general esfalso que si
H K y K G
1 2 3
entonces H G. Sea G = S3 × S3 , ρ =
, L = (ρ), K =
2 3 1
L × L y H = {(I4, I4 ), (ρ, ρ), (ρ2 , ρ2 )} . Demuestre que K G, H K
pero H no es subgrupo normal de G.
17. Demuestre que el grupo de los cuaternos Q8 tiene la propiedad de que
todos sus subgrupos son normales.
18. Sea G grupo H subgrupo de G con iG (H) = 2, demuestre que H G.
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