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TEMA 1.- PROBABILIDAD
1.1.- Definición axiomática de probabilidad.
Consecuencias de los axiomas.
1.2.- Probabilidad condicionada.
1.3.- Independencia de sucesos.
1.4.- Teoremas de la Probabilidad Total y de
Bayes
1.1.INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE
PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS.
 El Cálculo de Probabilidades es la ciencia que permite analizar de
manera adecuada los fenómenos que presentan incertidumbre,
llamados fenómenos aleatorios y que son el objeto de estudio de
este tema.
 La axiomática de Kolmogorov nos permite definir una medida de
la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso asociado a
un fenómeno aleatorio, medida a la que llamaremos probabilidad
del suceso.
 Los fenómenos aleatorios se estudian mediante experimentos,
llamados, experimentos aleatorios.
DEFINICIONES
Definición 1: Llamaremos experimento aleatorio a un experimento que
cumple:
a) Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del
mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles del experimento.
b) El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas
condiciones.
Definición 2: Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio y lo denotaremos por Ω, al conjunto de todos los posibles
resultados del experimento. Cada uno de estos resultados posibles se
llama suceso elemental.
El espacio muestral puede ser finito, infinito numerable e incluso infinito
no numerable.
Definición 3: Llamaremos suceso compuesto o simplemente suceso, a
cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. Los sucesos se denotan
con letras mayúsculas: A, B, C,,…Los elementos con minúsculas: a,b,..
Llamaremos suceso seguro al que se verifica siempre (notación: Ω).
Llamaremos suceso imposible al que no se verifica nunca (  ).
Definición 4: Se llama espacio de sucesos al conjunto S formado por
todos los sucesos (elementales y compuestos) incluidos el suceso
imposible y el suceso seguro. Este conjunto es el conjunto de las partes
del conjunto Ω y lo designaremos por S  P    . Este conjunto puede ser
finito, infinito numerable o infinito no numerable.
OPERACIONES CON SUCESOS
Sean A y B dos sucesos cualesquiera de Ω asociados a un experimento
aleatorio, entonces:
a) Llamamos suceso unión de A y B y lo designamos por A  B , al
suceso que resulta cuando ocurre A o B o ambos a la vez.
b) Llamamos suceso intersección de A y B y lo designamos por
A  B , al suceso que resulta cuando ocurren a la vez A y B.
Decimos que A y B son disjuntos o incompatibles si A  B   .
c) Llamamos suceso contrario o complementario de A y lo
designamos por A , al que se verifica cuando no lo hace A.
d) Llamamos suceso diferencia de A y B y lo designamos por A-B al
que resulta cuando ocurre A y no ocurre B. Observemos que
A B  A B .
e) Decimos que A está contenido en B (A implica B) y lo
designamos por A  B , si siempre que ocurre A ocurre B.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS
 Conmutativa : A  B  B  A
A B  B  A
 A    A; A    

 Asociativa:
 A  B  C  A   B  C 
 A  B  C  A   B  C 
 A  A  A; A  A  A
 Distributiva:
A   B  C    A  B   A  C 
A   B  C    A  B   A  C 
 A  A  ; A  A  
Leyes de De Morgan:
A B  A B
A B  A B
 A    ; A    A
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD
Definición Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio y sea S el espacio de sucesos asociado. Diremos que la
aplicación P : S   0,1 es una PROBABILIDAD si verifica los
siguientes axiomas:
 Axioma 1 P     1
 Axioma 2  Si  Ai iI  , son sucesos incompatibles dos a dos, es decir,
Ai  A j   i  j , entonces


P   Ai    P  Ai 
,
 iI  iI
donde I puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable .
La terna (Ω, S, P) se llama ESPACIO PROBABILÍSTICO.
La función probabilidad asigna a cada suceso A un número entre 0 y 1: si
P(A) es cercana a 0, esto indica que la posibilidad de que ocurra el suceso
A es pequeña; si P(A) es cercana a 1 indica que la posibilidad de que
ocurra el suceso A es alta. Si P(A) = 0, es imposible que ocurra A
mientras que si P(A) = 1, A ocurre con total seguridad.
PROPIEDADES CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS
Propiedad 1 Si A   , entonces 0  P  A  1
Propiedad 2 P  A   1  P  A  ( también se escribe P  A   1  P  A  )
Propiedad 3 P     0
Propiedad 4 Si A es un suceso cualquiera, siempre se verifica que
P  A  P  A  B   P  A  B 
siendo B cualquier suceso.
Propiedad 5 P  A  B   P  A  B   P  A  P  A  B 
Propiedad 6 Si A, B   son tales que A  B , entonces
o P  A  P  B 
o P  B  A  P  B   P  A .
Propiedad 7 Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces
P  A  B  C   P  A  P  B   P  C 
 P  A  B  P  A  C   P  B  C   P  A  B  C 
Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos
Propiedad 8 (Regla de Laplace) Sea Ω un espacio muestral finito
   A1 , A2 ,..., An  asociado a un experimento aleatorio. Si se asignan
probabilidades a cada suceso elemental  Ai  i  1,2,..., n entonces para
cualquier subconjunto B de Ω, la probabilidad de B se calcula como
P  B 
 P  A  
A j B
j
En concreto, si los sucesos  Ai  i  1,2,..., n son igualmente posibles,
entonces,
P  B 
k nº de elementos de B
casos favorables a B


n nº de elementos de  casos posibles del experimento .
Para poder aplicar la regla de Laplace necesitamos saber contar el número
de elementos de un conjunto. Necesitaremos utilizar el Análisis
Combinatorio.
COMBINATORIA
Si tengo n elementos y quiero contar cuántos grupos de k elementos
puedo hacer, debo de responder a tres preguntas:
 P1: ¿Importa el orden de los k elementos dentro del grupo?
 P2: ¿Se pueden repetir los elementos dentro de un grupo?
 P3: ¿ k < n, k = n ó k > n?
Variaciones
P1
P2
P3
SI
NO
k<n
Vn ,k 
 n   n  1  ...   n  k  1
Variaciones Combinaciones Combinaciones Permutaciones
con
con repetición
repetición
SI
NO
NO
SI
SI
NO
SI
NO
k < n, k = n
k<n
k < n, k = n ó
k=n
ók>n
k>n
VRn ,k  n k
n
n!
Cn ,k    
 k  k ! n  k  !
No se usará
Pn  n !
Permutaciones
con repetición
SI
SI
k=n
PRkn1 , k2 ,..,kr 
n!
k1 ! k2 ! ...  kr !
con k1  k2  ...  kr  n
EJEMPLOS COMBINATORIA
1.- Una caja contiene 2 bolas rojas y 2 negras. Calcular de cuántas maneras se
pueden sacar dos bolas al azar sin reeemplazamiento.
2.- ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden obtener con los dígitos del
1 al 9?
3.- Calcular el número de resultados posibles al lanzar un dado verde y otro rojo.
4.- ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra VAMOS?
¿De cuántas las de la palabra PATATA?
EJEMPLOS REGLA DE LAPLACE
1.- Una caja contiene 2 bolas rojas y 2 negras. Se sacan dos bolas al azar sin
reeemplazamiento. Calcular la probabilidad de que:
a) Las dos sean rojas.
b) Al menos una sea negra.
2.- Lanzamos dos dados. Calcular la probabilidad de:
a) Sacar un tres y un cinco.
b) Sacar algún número mayor o igual que 5.