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Profesor Miguel Ángel De Carlo
PROBABILIDAD
Tercer año del Profesorado de Matemática
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M.A.D.C
Probabilidad
3er año
Cap.I
Definiciones de Probabilidad
3
Introducción
La probabilidad es uno de los instrumentos fundamentales de la estadística, los orígenes de la probabilidad son los juegos de azar que como implica su nombre tienen como acciones lanzar una moneda al aire, extraer una carta de un mazo, lanzar dados, girar una rueda, en donde el resultado es
incierto. Aunque de resultado incierto en algunos casos se puede predecir un resultado en un número de jugadas, siempre las predicciones son a largo plazo, negocio de las casas de juego.
Cuando realizamos un experimento, por ejemplo lanzar una moneda, existen dos tipos de fenómenos:
Deterministas: realizando el mismo experimento siempre en las mismas condiciones obtenemos el mismo resultado.
Aleatorios: realizando el mismo experimento siempre en las mismas condiciones, nunca
pedemos predecir el resultado.
Probabilidad clásica.
Está relacionada con los juegos de azar. Por ejemplo supongamos que queremos hallar la probabilidad del suceso obtener cara al lanzar una moneda ideal. Puesto que existen dos resultados cara o
ceca y dado que la moneda en cuestión está bien equilibrada, esperamos obtener cara y seca con la
misma frecuencia, así la probabilidad de obtener cara estará dada por el valor ½ . Este razonamiento
nos lleva a la siguiente definición.
Definición clásica de probabilidad:
Si un suceso puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente verosímiles y si nA
n
de estas poseen un atributo A, la probabilidad de A es la fracción A .
n
•
•
Espacio muestral: Es el conjunto formado por los posibles resultados de la experiencia aleatoria (Ej. {cara, ceca})
Suceso: Subconjunto del espacio muestral. (Ej. Para E = {cara, ceca}; suceso salir
cara A = {cara})
1. Suceso elemental: Es el formado por un solo elemento del espacio muestral
2. Suceso compuesto: Formado por varios elementos del espacio muestral.
3. Suceso imposible: Aquel cuyo elementos son el conjunto vacío, (sacar 7 al lanzar un dado)
Ejemplos sencillos de la definición clásica.
Si se lanza un dado, hay seis resultados posibles: puede caer hacia arriba cualquiera de las caras del
dado, estos resultados son mutuamente excluyentes. Supongamos ahora que queremos conocer la
probabilidad de que salga un número impar. Tendríamos entonces:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
A puede ocurrir de 3 maneras excluyentes nA = 3
E puede ocurrir de 6 maneras excluyentes n = 6
nA 3 1
= =
n 6 2
La probabilidad es de ½
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Probabilidad
3er año
Supongamos que sacamos una carta al azar de un mazo de 40 cartas. Cual es la probabilidad de sacar una carta de bastos.
nA 10 1
=
=
n 40 4
Calculemos ahora la probabilidad de sacar un 5 de cualquier palo.
nA
4
1
=
=
n 40 10
Supongamos ahora que se quiere conocer la probabilidad de obtener dos caras lanzando una moneda dos veces. Podría razonarse.
Los resultados posibles en las dos tiradas son: E = {dos caras, dos cecas, una cara y una ceca}. Razonando de esta forma tendríamos como resultado.
nA 1
=
n 3
Este razonamiento es Falso porque los tres resultados nos son igualmente verosímiles, vemos que
el tercer suceso puede ocurrir de dos maneras ya que la cara puede aparecer en la primer tirada y la
ceca en la segunda o la cara en la segunda y la ceca en la primera, por lo tanto analizando nuevamente los resultados posibles tenemos:
El espacio muestral correcto es entonces E = {CC, CX, XC, XX}. La probabilidad correcta es, por
1
consiguiente, .
4
nA
debe
n
ser una fracción propia ya que el total de resultados posibles utilizando la razón sería 1, que además
indica que el suceso ocurre con seguridad, y si el suceso no ocurre es 0.
Observemos que la probabilidad siempre es un número comprendido entre 0 y 1 la razón
Ejercicios
1.- Calcular la probabilidad de que al extrae una carta de una mazo de cartas de poker (52 cartas)
sea un as de corazón. Estas cartas tienen cuatro palos de 13 cartas cada uno.
2.- Calcular la probabilidad de que al extraer una carta de un mazo de poker sea un as o una carta de
corazón.
Chicos Chicas
3.En un colegio hay 1000 alumnos repartidos así:
Se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad que sea :
Usan anteojos
187
113
No usan anteojos 413
287
a) Chico; b) Chica; c) Use anteojos; d) No use anteojos; e) Sea una chica con anteojos; f) Se
elige alguno al azar y es una chica. Cuál es la probabilidad de que use anteojos.
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Cap.I
Definiciones de Probabilidad
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4.- Al tirar tres dados podemos obtener suma 9 de seis formas distintas y otra seis de obtener suma
10. Sin embargo, los jugadores experimentados dicen que es más fácil sacar suma 10 que suma 9.
¿Por qué?
5.- Si tiramos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de cada una de las posibles sumas?
6.- Se lanzan simultáneamente cuatro monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener, por lo menos
una cara?
7.- Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma sea par?
8.- Una caja contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se sacan al azar 3 bolas simultáneamente, ¿Cuál es
la probabilidad de que todas sean blancas.
9.- De un grupo de 6 mujeres y 8 hombres se elige al azar un comité de 3 personas. Halle la probabilidad de que el comité consista a) de 3 mujeres; b) de tres hombres; c) de 2 mujeres y 1 hombre.
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Probabilidad
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Probabilidad frecuencial a posteriori
Suponemos que una moneda bien equilibrada fue lanzada 100 veces con los resultados de la tabla
Tabla 1 Resultados del lanzamiento de una moneda 100 veces
Resultado Frecuencia
Frecuencia relativa Frecuencia relativa
observada
esperada
Cara
56
0,56
0,50
Ceca
44
0,44
0,50
Total
100
1,00
1,00
Vemos que la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en torno a ½.
Frecuencia relativa
Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones en forma decimal.
Frecuencia porcentual
Es la frecuencia relativa expresada en tanto por ciento, es decir , es la frecuencia relativa
multiplicada por 100. Frecuencia relativa 0,56, frecuencia porcentual 56 %
A la Frecuencia Relativa también se le llama probabilidad empírica o a posteriori ya que en resultados confiables solo se obtienen después de realizar el experimento un gran numero de veces.
n
A medida que ese numero de veces que se repite el experimento aumenta, el cociente A se
n
aproxima un valor fijo que se conoce como probabilidad del evento A.
En otro ejemplo se lanza un único dado fue lanzado 300 veces recogiéndose los resultados en la
tabla 2.
Tabla 2
Frecuencia de números al lanzar un dado 300 veces
Resultado Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa esperada
0,1667
0,170
51
1
0,1667
0,180
54
2
0,1667
0,160
48
3
0,1667
0,170
51
4
0,1667
0,163
49
5
0,1667
0,157
47
6
Total
300
1,000
1,000
Observamos que la frecuencia relativa de obtener un 1 se aproxima a 1/6 y análogamente para los
demás números. Resultados que no son inesperados.
Vemos que la frecuencia relativa puede utilizarse en el caso de la moneda y en el del dado como
una aproximación de la probabilidad.
Si suponemos que la moneda está desequilibrada de tal forma que después de un examen de que los
sucesos cara y ceca no son igualmente verosímiles. Podemos aun en este caso postular la existencia
de un número p como probabilidad de obtener una cara o una ceca. Lo que si estamos seguros que
para encontrar el número p no podemos utilizar la definición clásica. Deberemos utilizar la forma
frecuencial.
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Definiciones de Probabilidad
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En las investigaciones científicas se realizan observaciones que tienen un elemento de incertidumbre que no puede predecirse. Si queremos conocer o predecir que el próximo niño que nazca en Tolosa es varón o mujer. Este suceso individual es incierto, pero si observamos con cierta regularidad
los registros vemos que en Tolosa nacen 51 niños cada 100 de los nacidos, es razonable que digamos que la posibilidad de que nazca un varón es 0,51 o que hay un 51% de posibilidad de que el
nacido sea varón. Esta forma de razonar también se denomina probabilidad estadística.
Ejercicios
1.- Se lanza 100 veces un dado y se obtiene:
Número
1 2 3 4 5 6
Frecuencia absoluta 12 17 18 16 18 19
Calcule la frecuencia relativa de los siguientes sucesos.
a) salir un 6.
b) salir número par
c) no salir par
2.- En una caja tenemos 3 bolas blancas, 1 amarilla y 2 rojas. Indique el suceso seguro y el suceso
imposible.
3.- ¿Cuál es la probabilidad de que salga 4 con un dado cargado si en 1000 tiradas salió 200 veces?
4.- De una tabla de mortalidad se extrae el dato de que de 78106 personas vivas a los 40 años de
edad mueren 765 antes de cumplir los 41 años. ¿Qué probabilidad tiene un hombre de 40 años de
morir dentro del año siguiente?
5.- En el censo del 2001 sobre un total de 5.412.855 mujeres de 14 años o más, se registra el siguiente número de hijos nacidos vivos.
Tabla 3 Número de Hijos
Ninguno 1.610.553
1
867.196
2
1.266.878
3
789.325
4
395.420
5
196.530
6
106.938
7
66.591
8
43.527
9
31.565
10 y más
38.322
Halle la frecuencia relativa de hijos nacidos vivos por mujer y el promedio de hijos por mujer.
6.- Cierto año sobre 500.000 automóviles registrados 3.300 fueron objeto de robo. Si una compañía
tiene asegurados 75.000 automóviles. ¿ Cuántos robos pueden corresponderles ese año?
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Probabilidad
3er año
Teoría de conjuntos.
Trataremos algunas ideas y conceptos elementales de la teoría de conjuntos que son necesarios en la
teoría de la probabilidad moderna. Definiremos también ciertas operaciones sobre el conjunto que
forma el espacio muestral formado por elementos con ciertas propiedades específicas. Un conjunto
podría ser una colección de automóviles, donde decimos que cada automóvil de la colección pertenece al conjunto, decimos a ∈ A .
Dados dos conjuntos A y B si cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto
B, llamaremos al conjunto A subconjunto del conjunto B, escribimos A ⊂ B .
Dos conjuntos son iguales si cada uno está contenido en el otro, A = B entonces A ⊂ B y B ⊂ A .
Definición: En cada aplicación de la teoría, existirá un conjunto universal, el espacio muestral E
tal que todos los otros conjuntos que intervengan en el análisis son subconjuntos de E.
El complemento de un conjunto S, respecto al espacio muestral E, será el conjunto de elementos
que están en E pero no en S, se indicará E – S o directamente S .
Ejemplo: Sea E el conjunto de los naturales x tales que x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Escribiremos
E = {x/x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y si S ={x/x = 1, 3, 4},
S = {x/x = 2, 5, 6, 7}
Definición: Si un conjunto no tiene elementos, se denomina conjunto nulo o conjunto vacío y será
identificado por ∅ .
Resumiendo El conjunto E de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama el
espacio muestral. Un resultado particular, esto es, un elemento de E, se llama punto muestral o
muestra.
Un evento A es un conjunto de resultados, llamado subconjunto del espacio muestral E.
El evento {a} que consta de una muestra simple a ∈ E se llama evento elemental. El conjunto vacío
se denomina evento imposible. El espacio muestral E es también un evento llamado evento cierto.
Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones entre
conjuntos:
A∪ B
Es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos suceden
A∩ B
Es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.
A
(Complemento de A), es el evento que sucede si y sólo si A no sucede.
De las definiciones anteriores se desprenden los resultados siguientes, donde E es el espacio muestral, y A y B sucesos de E.
1. E = ∅
2. Si A y B no tienen puntos comunes son mutuamente excluyentes A ∩ B = ∅ , no pueden suceder simultáneamente.
3. A ∩ E = A
4. A ∪ E = E
5. A ∪ A = A
6. A ∩ A = A
7. E − A = A
Ejemplos: Experimento: lanzar un dado y observar el número qu aparece en la cara superior. El
espacio muestral será el siguiente:
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Definiciones de Probabilidad
9
E = {1, 2,3, 4,5, 6 }
Sean los eventos: A salir un número par, B salir impar, C = {2, 3, 5}
Tendremos que:
A ∪ C = {2,3, 4,5, 6} es el evento de que el número sea par o primo.
B ∩ C = {3,5} es el evento de que el número sea impar o primo
C = {1, 4,5} es el evento de que el número no sea primo
Vemos que los eventos A y B son mutuamente exclusivos A ∩ B = ∅ ; un número par y un número
impar no pueden ocurrir simultáneamente.
Definición: Un espacio muestral E se dice que es discreto si contiene un número finito de puntos o
un número infinito de puntos que pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los número
naturales (infinito numerable).
Definición: Un espacio muestral E se llama espacio muestral continuo si contiene un continuo de
puntos. (cualquier valor real).
Ejercicios:
1.- Lance una moneda al aire 3 veces y observe la serie de caras (X) y de cecas (Y) que aparecen.
Sean A el evento en que dos o más caras aparecen consecutivamente y B aquel en que todos los
resultados son iguales. ¿Qué operación entre A y B define el evento elemental en que aparecen caras solamente [HHH}?. ¿ Que tipo de evento es el que aparecen cinco caras?
2.-Sean los eventos A y B. Halle una expresión y represente el diagrama de Venn para el evento en
que: a) A ocurre pero B no, (sucede solamente A); b) A o B suceden pero no ambos, (sucede exactamente uno de los dos eventos).
3.- Sean los eventos A, B y C. Hallar una expresión y represente el diagrama de Venn para el evento
en que: a) suceden A y B pero no C; b) sucede A solamente.
4.- Lanzamos una moneda y un dado; sea el espacio muestral E que consta de 12 elementos. a) Exprese explícitamente los siguientes eventos A = { aparecen caras y un número par}; B = {aparece
un número primo}; C = {aparecen cecas y un número impar}.
b) Exprese el evento en que A o B suceden; B y C suceden , Sucede B solamente.
c) Cuales de los eventos A, B y C son mutuamente exclusivos.
5.- Supongamos un espacio muestral E que consta de cuatro elementos E = {a, b, c, d } .¿Qué función define un espacio de probabilidad E?
1
1
1
1
a) P( a ) = , P(b ) = , P( c ) = , P( d ) = ;
2
3
4
5
b) P( a ) =
1
1
1
1
, P(b ) = , P( c ) = , P( d ) =
2
4
8
8
6.- Sea E = {a, b, c, d } , y sea P una función de probabilidad de E.
1
Halle P(a) si: a) P(b ) = ,
3
1
P( c ) = ,
6
P( d ) =
1
;
9
2
b) P({b ,c}) = ,
3
1
P({b ,d}) = ,
2
P( b ) =
1
3
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Probabilidad
3er año
Desarrollo axiomático de la probabilidad.
Hemos desarrollado los conceptos de probabilidad clásica y frecuencial, para ayudar a la solución
de los problemas que se plantean desarrollaremos una teoría matemática de la probabilidad.
En primer lugar enunciaremos los axiomas propios de la teoría.
Dado un espacio muestral E, y un suceso A de E; es decir A es subconjunto de E. Diremos que P es
una función de probabilidad en el espacio muestral E si se satisfacen los siguientes axiomas.
Axioma 1.- P(A) es un número real tal que P(A) ≥ 0 para todo suceso A de E. De otra forma la
probabilidad de un suceso es siempre mayor o igual a cero.
Axioma 2.- La probabilidad de un suceso seguro es siempre la unidad P(E) = 1
Axioma 3.- Sean A1, A2, A3, ….., An sucesos mutuamente excluyentes de E, es decir, Ai ∩ A j = ∅
para i ≠ j
P( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P( An )
Estos axiomas están motivados por las definiciones de probabilidad clásica y frecuencial.
Teorema: La probabilidad que no ocurra el suceso A, ( A ) es P ( A) = 1 − P ( A) .
Demostración.
Tenemos que: P ( A ∪ A) = 1 por axioma 3, P ( A ∪ A) = 1 = P ( A) + P ( A) → P ( A) = 1 − P ( A)
Teorema: La función de probabilidad P, es 0 ≤ P(A) ≤ 1 para cualquier suceso A de E.
Demostración.
Por axioma 1, P(A) ≥ 0 y el axioma 2, nos indica que el mayor valor, (suceso seguro) es 1 por lo
tanto la probabilidad es un valor entre cero y uno.
( )
Teorema: Dado el espacio muestral E la probabilidad de su complemento es nula P E = 0 .
Demostración.
Como la probabilidad máxima es 1 y es justamente la del espacio muestral, la probabilidad de algo
que no está en el espacio muestra es nula.
Teorema si existe un conjunto vacío ∅ entonces la probabilidad P(∅) = 0
Demostración.
Sabemos que si A es un conjunto entonces: A ∪ ∅ = A debido a esto nos que la siguientes función,
P ( A) = P ( A ∪ ∅ ) = P ( A) + P (∅ )
Restando P(A) en la igualdad.
P ( A) − P ( A) = P ( A) + P (∅ ) − P ( A)
Nos queda.
P(∅) = 0
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Cap.I
Definiciones de Probabilidad
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Principio 1
Si un suceso A puede ocurrir de m maneras y un suceso diferente B puede ocurrir de n maneras, el
suceso A o B puede ocurrir de m + n maneras, siempre que A y B no puedan ocurrir simultáneamente.
Principio 2
Si un suceso A puede ocurrir de m maneras y un suceso diferente B puede ocurrir de n maneras, el
suceso A y B puede ocurrir de m.n maneras.
Ejemplo: Hacemos corresponder A a la extracción de un cuatro de la baraja, y B a la extracción de
un siete. Cada uno de estos sucesos puede realizarse de 4 formas, el número de maneras que puede
sacarse un cuatro o un siete es:
4+4=8
Para el segundo principio un cuatro y un siete dos cartas extraídas de la baraja de modo que una
sea un cuatro y la otra un siete, si hacemos un diagrama de árbol de la situación tendríamos:
Vemos que con el cuatro de oros podemos poner cualquiera de los 4 sietes, con e l4 de bastos
también y así sucesivamente para los demás
cuatros por lo tanto el número de maneras posibles es 4.4 = 16 maneras.
Teniendo en cuenta mas de dos sucesos por
ejemplo el suceso A o B o C puede ocurrir de m
+ n + p maneras, y el suceso A y B y C puede
ocurrir de A.B.C maneras.
Recordemos también que cuando tenemos un
conjunto de objetos y queremos calcular el número de disposiciones posibles empleamos la
combinatoria.
Si ahora queremos calcular la probabilidad que al extraer dos cartas del mazo una sea un cuatro y la
otra un siete?
Sabemos que el número de casos posibles es 16, para calcular el espacio muestral E utilizamos
40!
⎛ 40 ⎞
combinaciones dado que no se plantea un orden en la extracción ⎜ ⎟ =
= 780 .
⎝ 2 ⎠ 38!.2!
16
4
P ( A) =
=
780 195
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Probabilidad
3er año
Probabilidad condicional.
Sucesos dependientes y sucesos independientes.
Un suceso B se dice que es independiente de otro suceso A si la ocurrencia de A no modifica en
modo alguno la probabilidad de la ocurrencia de B. Por el contrario si la probabilidad de B es afectada por la ocurrencia previa de A, entonces se dice que el suceso B depende del A. También se
dice que la probabilidad de B es una probabilidad condicional.
Si la probabilidad de B esta condicionada a la probabilidad de A se escribe P(B/A), probabilidad de
que ocurra B dado A, siempre que P(A) > 0.
Ejemplo:
Imaginemos que en la experiencia de tirar un dado regular supiéramos de antemano que se ha obtenido un número par. Es decir, que se ha verificado el suceso: A = número par.
Pregunta: ¿Cuál es ahora la probabilidad de que se verifique el suceso mayor o igual a cuatro?
La probabilidad del suceso B = mayor o igual a cuatro se ha modificado, depende de la ocurrencia
del A = número par.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
B = {4, 5, 6}
Observemos, que al ocurrir A, el espacio muestral se reduce.
En general, dado un experimento y su espacio muestral asociado, queremos determinar cómo afecta
a la probabilidad de B el hecho de saber que ha ocurrido otro evento A.
Si se a verificado el suceso A tendremos tres números 2, 4, 6 y para que se verifique el suceso B los
números son 4 y 6, ya que sería par y mayor que cuatro.
Lógicamente, el resultado sería: 2/3.
Evidentemente, ha pasado de ser 1/2 (cuando no tenemos ninguna información previa) a ser 2/3
(cuando sabemos que se ha verificado el suceso A).
Anotaremos P (B/A), que se lee como probabilidad de B condicionada al suceso A.
Así, en este ejemplo, P (B/A) =
A∩ B 2
= .
A
3
Si lo analizamos con un diagrama de Venn
Vemos que la posibilidad de la ocurrencia depende de la
relación entre la intersección de los conjuntos y el primer
conjunto considerado.
P ( B / A) =
A∩ B
.
A
Si queremos establecer una función de probabilidad para
verificar que cumple con la axiomática establecida tenemos:
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Definiciones de Probabilidad
13
P (B/A) depende de la probabilidad e ocurrencia de la probabilidad de P(A∩B) =
dad de A P(A) =
2
y la probabili6
3
6
2
P( A ∩ B) 6 2
= = .
P( B / A) =
3 3
P( A)
6
Por lo tanto podemos decir entonces que la probabilidad condicionada de B con la ocurrencia de A
es.
P ( B / A) =
( A ∩ B)
A
ó
P( B / A) =
P( A ∩ B)
P( A)
Ejemplo: En una empresa con 200 empleados 100 hombres y 100 mujeres se debe seleccionar entre
el personal para formar una comisión para supervisar las decisiones de la directora, como esta tiene
cierto temor a que el comité tenga mayoría de hombres, propone que los miembros del comité sean
no fumadores. Teniendo en cuenta que los empleados se distribuyen según la tabla adjunta, que
expectativas tiene la directora de formar un comité con mayoría de mujeres.
Hombres
Mujeres
Total
Fuman
70
10
80
No fuman
30
90
120
Total
100
100
200
Probabilidad de seleccionar un no fumador y sea hombre P ( H / nof ) =
Probabilidad de seleccionar un no fumador y sea mujer
30
1
=
120
4
P ( M / nof ) =
90
3
=
120
4
Crecen las posibilidades de formar una comisión con mayoría de mujeres.
En el siguiente ejemplo la tabla nos muestra probabilidades
Una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios: es o no portador de HIV
y pertenece o no a cierto grupo de riesgo que denominaremos R. La correspondiente tabla de probabilidades es:
Portador (A)
0,3 %
Pertenece a R (B)
0,3 %
No pertenece a R ( B )
0,6 %
No portador ( A )
1,7 %
97,7 %
99,4 %
2,0 %
98,0 %
100 %
Estas probabilidades se pueden trabajar directamente ya que la fórmula lo permite
En esta población, la probabilidad de que un individuo sea portador es P(A)=0,6 %y la probabilidad
de que sea portador y pertenezca al grupo de riesgo R es P(A ∩ B)=0,3 %.
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14
Probabilidad
3er año
Dado que una persona seleccionada al azar pertenece al grupo de riesgo R, ¿cuál es la probabilidad
de que sea portador?
P( B / A) =
P( A ∩ B)
0,3
=
= 0,15
2
P( A)
Es decir que 150 de cada 1000 individuos del grupo de riesgo R, son “probablemente” portadores
de HIV.
Calculemos ahora la probabilidad de que una persona sea portadora de HIV, dado que no pertenece
al grupo de riesgo R.
P( B / A) =
P( A ∩ B)
0,3
=
= 0,00306
P( A)
98
Es decir que sólo 3 de cada 1000 individuos no pertenecientes al grupo de riesgo R, son “posibles”
portadores de HIV.
Propiedades de la Probabilidad condicional:
Dado un suceso A fijo tal que P(A) > 0, P(Β|A) es una probabilidad, en el sentido que satisface los
axiomas de probabilidad y por lo tanto todas las propiedades que se deducen a partir de ellos. Por
ejemplo:
Propiedad 1. P (B/A) ≥ 0 para todo suceso B. Satisface el axioma ya que ambos valores son ≥ 0
Propiedad 2. P (E|A) = 1.
Demostración
P ( E / A) =
E∩A A
= =1
A
A
Satisface el axioma 2
Propiedad 3. P((A1 ∪ A2) | A) = P(A1 | A) + P(A2 | A) – P((A1 ∩ A2) | A)
El axioma 3 dice que P( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P( An )
Sabemos que: la suma de los cardinales de dos conjuntos A y B es igual al cardinal de la unión si y
sólo sí los conjuntos son disjuntos
la probabilidad de que ocurra un suceso A o el suceso B o ambos, es
igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A, más la probabilidad
de que ocurra el suceso B, menos la probabilidad de que ocurra A y B
simultáneamente.
Podemos escribir A ∪ B = A ∪ ( A ∩ B ) . {2,4,5,6} = {2,4,6}∪ {5}
En la figura A = {2,4,6} ; B = {4,5,6} ; A = {1,3,5} ; A ∩ B = {5} Vemos que A y A ∩ B son
disjuntos por axioma 3 tenemos:
P(A ∪ B) = P[A ∪( A ∩ B)] = P(A) + P( A ∩ B)
A su vez B = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ B)
como los dos conjuntos(A ∩ B) y ( A ∩ B) son disjuntos
P(B) = P((A ∩ B) ∪ ( A ∩ B)) = P(A ∩ B) + P( A ∩ B) despejando P( A ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B)
Sustituyendo P(A ∪ B) = P(A) + P( A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
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Cap.I
Definiciones de Probabilidad
15
Ejercicios:
1.- Lanzamos dos dados y la suma de los mismos es 6, halle la probabilidad de que uno de los dados
sea 2.
2.- Si lanzamos dos dados y aparece un cinco en el primer dado, halle la probabilidad de que la suma de los dados sea 10 o mayor que 10.
3.- halle la probabilidad de que la suma de dos dados sea 10 o mayor que 10 si al lanzarlos aparece
por lo menos un 5 en uno de los dados.
4.- Se lanzan tres monedas corrientes. Halle la probabilidad de que sean todas caras si, a) la primera
de las monedas es cara, b) una de las monedas es cara.
5.- Se tiran un par de dados. Si los dos números que aparecen son diferentes, halle la probabilidad
de que, a) la suma sea seis, b) aparezca un as, c) la suma sea menor o igual a cuatro.
6.- En la ciudad hay tres clubes: Student, Gymnastic, Deportivo. Se efectúa un referéndum para
decidir el cierre de uno los clubes de fútbol. En la tabla se reflejan los resultados en función del club
al que votó cada ciudadano.
Student
Gymnastic Deportivo Total
SI
15 %
25 %
12 %
NO
25%
5%
8%
Total
a) Cual es el porcentaje de votantes por club.
b) Que probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado SI.
c) Calcule la probabilidad de que si una persona voto SI sea de Gymnastic
d) Que club tiene mayor probabilidad de cierre.
7.- Se escogen al azar los dígitos del 1 hasta 9. Si la suma es par, halle la probabilidad p de que ambos números sean impares.
8.- En un colegio 25 % de los estudiantes adeudan matemáticas, 15 % adeudan química y 10 %
adeudan las dos. Si se selecciona un estudiante al azar.
a) Si adeuda química, ¿cuál es la probabilidad de que también adeude Matemática?
b) Si debe matemática, ¿cuál es la probabilidad que también adeude química?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que adeude matemática o química?
9.-Sean los eventos A y B con P(A) =
a) P(A/B);
1
1
1
, P(B) = y P(A ∩ B) = . Halle:
2
3
4
b) P(B/A);
c) P(A ∪ B)
10.- Calcule P(A/B) y P(B/A) con los datos del ejercicio anterior.
Prof. Miguel Ángel De Carlo
16
Probabilidad
3er año
Ley multiplicativa de las probabilidades.
Dados dos sucesos A y B ambos distintos de cero. La probabilidad de los sucesos Ay B es igual a la
probabilidad condicional de B, en el supuesto de que ha ocurrido A, multiplicada por la probabilidad de A.
En Símbolos despejando de la ecuación de probabilidad condicional queda:
P(A ∩ B) =P(A).P(B/A)
P(A ∩ B) =P(B).P(A/B)
En la figura tenemos un espacio muestral finito donde cada punto
tiene la probabilidad 1/n, siendo n el número de puntos de la figura, m1 es el número de puntos del conjunto A (incluyendo los que
son comunes a B), m2 el número de puntos de B y m3 el número
de los puntos comunes a A y B. Suponiendo que m1 y m2 son mayores que cero.
P(A ∩ B) =
P( A / B) =
m3
;
n
P(A) =
P( A ∩ B) m3
=
;
P( B)
m2
m1
;
n
P( B / A) =
P(B) =
m2
n
P( A ∩ B) m3
=
P( A)
m1
De donde se deduce:
m
m1 m3
.
= 3
n m1
n
m
m m
P(A ∩ B) =P(B).P(A/B) = 2 . 3 = 3
n m2
n
P(A ∩ B) =P(A).P(B/A) =
Ejemplo:
De una urna que contiene 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que la
primera bola extraída sea roja y la segunda blanca. (La primera no se devuelve a la urna).
P(A) es la probabilidad de extraer una bola roja en una sola extracción =
4
9
P(B/A) es la probabilidad de extraer una bola blanca cuando ya se ha sacado una roja =
P(A ∩ B) =
3
8
4 3
1
. =
9 8
6
Ejercicios:
1.- Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se toman tres estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad
de que sean todos niños.
2.- Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. Se toman al azar tres artículos del lote uno tras otro.
Halle la probabilidad de que sean todos buenos.
3.- A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que todas sean diamantes.
4.- Calcule la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas de una baraja de 40 naipes?
(sacamos las cartas una a una sin reposición)
M.A.D.C
Cap.I
Definiciones de Probabilidad
17
Independencia
Si P(A/B) no depende del suceso B, diremos que los sucesos A y B son independientes. Esto se expresa por la siguiente definición:
Definición.- Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral E. Se dice que estos dos sucesos son
independientes si se satisface cualquiera de las siguientes igualdades:
a)
P(A/B) = P(A)
b)
P(B/A) = P(B)
c)
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Ejemplos:
Suponemos que se lanza un dado dos veces y que deseamos hallar la probabilidad de que los resultados sean dos y tres en ese orden.
P(B/A) = P(B) = 1/6
al lanzar el segundo dado no hay influencia del primero.
Se lanza una moneda tres veces y consideramos los eventos:
A = {Primeros lanzamientos son caras}
B = {Segundos lanzamientos son caras}
C = {Exactamente se lanzan dos caras seguidas}
Cuáles son eventos independientes entre sí.
A simple vista vemos que A y B son independientes, porque el hecho de que la primer moneda sea
cara o no influye en la ocurrencia de B segundo lanzamiento sea cara.
Lo mismo ocurre al comparar A con C, ya que si el primer lanzamiento es cara la segunda moneda
puede ser cara o no.
En cambio si el segundo lanzamiento no es cara la consigna de C no se cumple, deben ser dos caras
seguidas y para lograrlo la segunda debe ser necesariamente cara.
Ubicaremos los conjuntos y analizaremos las posibilidades:
E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}
P ( A) =
4 1
= ;
8 2
P( B) =
4 1
= ;
8 2
P (C ) =
2 1
=
8 4
P(A) = {CCC, CCX, CXC, CXX}.
P(B) = {CCC, CCX, XCC, XCX}.
P(C) = {CCX,XCC}
P(A ∩ B) =
2 1
=
8 4
P(A).P(B) =
1 1 1
. = Son independientes
2 2 4
P(A ∩ C) =
1
8
P(A).P(C) =
1 1 1
. = Son independientes
2 4 8
P(B ∩ C) =
1
4
P(B).P(C) =
1 1 1
. = Existe dependencia
2 4 8
Prof. Miguel Ángel De Carlo
18
Probabilidad
3er año
Regla de Bayes (Teorema de Bayes)
En el Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de
que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
En el Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
Desarrollaremos la fórmula a través del siguiente ejemplo.
Ejemplo: Dadas tres cajas A, B y C que contienen bolitas de colores, en A hay 3 rojas y 5 negras,
en B 2 rojas y 1 negra y en C 2 rojas y 3 negras. Si tomamos una de las bolitas al azar de cualquiera
de las cajas, si la bolita es roja cual es la probabilidad de que provenga de la caja A.
Un diagrama de árbol ayuda a ver la composición de la probabilidad.
La probabilidad total de obtener rojo, se obtiene de ponderar
globalmente las probabilidades de elegir una caja y luego de
sacar una bolita roja. Tendríamos entonces viene de la caja A
y es roja o viene de la caja B y es roja o viene de la caja C y
es roja en símbolos tenemos:
P(R) = P(A) P( R|A) + P(B) P( R|B) + P(C) P( R|C)
1 3 12 12
= 0,48
P( R) = . +
+
3 8 33 35
Pero como queremos calcular que si la bolita es roja proviene
de la caja A, aplicando la regla del producto será:
P(A∩R) = P(A).P(R|A)
P( A ∩ R) =
13
= 0,125
38
Finalmente la probabilidad de que la bolita roja provenga de A será el cociente entre P(A∩R) y la
probabilidad total.
P( A | R) =
P( A).P( R | A)
0,125
=
= 0,26
P( A).P( R | A) + P ( B).P ( R | B) + P(C ).P( B | R ) 0, 48
Deducimos entonces que si la bolita es roja existen un 26% de posibilidades de que sea de la caja A.
Ejercicios
1) Tres máquinas A,B,C producen el 45%, 30% y 25 % respectivamente del total de las piezas de
una fábrica, los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son el 3%, 4% y 5%.
a) Seleccionamos una pieza al azar, calcular la probabilidad de que sea defectuosa.
b) Tomamos al azar una pieza y resulta defectuosa calcule la probabilidad de que provenga
de la máquina B.
c) Que máquina tiene la mayor probabilidad de producir una pieza defectuosa.
2) En el Instituto el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres tienen más de 1,75 m de altura.
Además 60% de los estudiantes son mujeres. Si seleccionamos un alumno al azar y más alto de de
1,75 m ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
M.A.D.C
Cap.I
Definiciones de Probabilidad
19
3) El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Efectivamente el fin de semana ocurre un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que estuviera nevando en el momento del accidente?
4) La caja A contiene nueve cartas numeradas del 1 al 9 y la caja b cinco cartas numeradas de 1 a 5.
Se escoge una caja al azar y se saca una carta . ¿Si el número es para, que probabilidad hay de que
la carta sea de la caja A.
Variables aleatorias
A menudo es ventajoso asociar un conjunto de números Reales con el resultado de un experimento
aleatorio.
Si representamos con E el espacio muestral y en el definimos una función de probabilidad. Sea x
una función de valores reales definida en E (la función transforma puntos de E en puntos del eje x).
Se dice que x es una variable aleatoria unidimensional.
Si es e un punto del espacio E y x una variable aleatoria x(s) es el valor de la variable aleatoria en e.
Ejemplo: Tirar dos veces una moneda. El espacio muestral esta formado por cuatro puntos.
e1= (c,c), e2 = (c,x), e3 = (x,c), e4 = (x,x)
Sea x una variable aleatoria, podemos definir xi como el número de tiradas caras en ei.
Puntos de E
e1
e2
e3
e4
x(e)
2
1
1
0
Podemos escribir:
P(x=0) para designar P(e / x(e) = 0) = P(e4) = ¼
P(x=1) para designar P(e / x(e) = 1) = P(e2 ∪ e3) = ½
P(x=2) para designar P(e / x(e) = 2) = P(e1) = ¼
P(xi) = ¼ + ½ + ¼ = 1
Una variable aleatoria se dice discreta si toma solamente un
número finito o una cantidad numerable de valores.
La variable es continua si toma un continuo de valores.
Prof. Miguel Ángel De Carlo
20
Probabilidad
3er año
A veces una variable aleatoria unidimensional no resulta adecuada para nuestros propósitos y debemos seleccionar variables de más dimensiones.
Definición: Dado el espacio muestral E, sean x e y dos funciones de valores reales en E. El par (x,y)
recibe el nombre de variable aleatoria bidimensional. Transforma puntos de E en puntos del plano
(x, y).
Una definición similar es válida para la distribución conjunta de n variable s aleatorias, siendo n
cualquier número natural.
Tomaremos el conjunto de tiradas del ejemplo anterior considerando el número de caras en la primer tirada y el número de caras en la segunda tirada, en dos tablas
x: número de caras en la primer tirada
Puntos de E
x(s)
(c, c)
(c, x)
(x, c)
(x, x)
1
1
0
0
Definimos por:
x: número de caras en la segunda tirada
Puntos de E
x(s)
(c, c)
(c, x)
(x, c)
(x, x)
1
0
1
0
La variable aleatoria bidimensional (x, y ) está definida por:
Puntos de E
(c, c)
(c, x)
(x, c)
(x, x)
Valores (x, y)
(1, 1)
(1, 0)
(0, 1)
(0, 0)
P (1, 1) = ¼
P (1, 0) = ¼
Vemos que P (xi, yi) ≥ 0
P (0, 1) = ¼
P (1, 1) + P (1, 0) + P (0, 1) + P(0, 0) = 1
P(0, 0) = ¼
Ejemplo: Se lanza un par de dados, dado el espacio finito equiprobable E (espacio muestral con un
número finito de valores con igual probabilidad) que consta de 36 pares ordenados de números entre 1 y 6.
E = {(1, 1), (1, 2), ….., (6, 6)}
X(e) una variable aleatoria con imagen x(e) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calcule la distribución de f(xi) si x
hace corresponder a cada punto de E el máximo de sus números.
P(x = 1) es P(1, 1) = 1/36
P(x = 2) es P{(1, 2), (2, 1), (2, 2)} =3/36
M.A.D.C
xi
1
2
3
4
5
6
P(xi)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
Cap.I
Definiciones de Probabilidad
21
Si en cambio hacemos corresponder a cada punto de E la suma de los dos dados:
x(a, b) = a + b
tendremos un nuevo espacio muestral que será:
X (E) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(xi)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Distribución y esperanza de una variable aleatoria finita
Si x es una variable aleatoria de E con el conjunto imagen finito. x(e) = {x1, x2, …, xn} la probabilidad de xi es P(x = xi) que podemos escribir f(xi) definida como f(xi) = P(x = xi) se llama función de
distribución o probabilidad de x. que satisface f(xi) ≥ 0 y
n
∑ f ( xi) = 1 , de acuerdo a esto decimos
i =1
que la esperanza o valor esperado de x VE(x) será:
n
VE(x) = x1.f(x1) +x2.f(x2) + …+xn.f(xn) =
∑ x . f (x )
i =1
i
i
Ejemplo. Un jugador tira un dado. Si sale un número primo gana su valor en dólares, pero si no
sale primo pierde su valor en dólares. ¿Le conviene el juego al jugador?
Si el jugador gana los valores del dado serán : A= {2, 3, 5}
Si el jugador pierde los valores del dado serán: B={1, 4, 6}
Para todos los casos la probabilidad es 1/6.
Acomodando los valores y poniendo en negativo a aquellos por los cuales pierde la tabla será:
xi
f(xi)
2
1
6
3
1
6
5
1
6
-1
1
6
-4
1
6
-6
1
6
El valor esperado:
1
1
1
1
1
1
1
1
VE(xi) = (2. + 3. + 5. ) + (-1. - 4. -6. ) = [(2+3+5) + (-1-4-6)] = 6
6
6
6
6
6
6
6
No le conviene el juego al jugador ya que tiene una esperanza negativa del 17%
Prof. Miguel Ángel De Carlo
22
Probabilidad
Ejercicios.
1.- Sean A, B, C sucesos (subconjuntos) de un espacio muestral E, definido por
M.A.D.C
3er año