1. No category

INSTITUCION EDUCATIVA FRAY PLACIDO GRADO SEXTO
GRADO: SEXTO
TEMA O SUBTEMA: PROBABILIDAD
DOCENTES: HENRY SANCHEZ Y CARLOS CUELLAR
PROPOSITOS
Conocer la importancia de la probabilidad en el
desarrollo humano.
Aprehender procedimientos probabilísticos en el
desarrollo de experimentos aleatorios.
Apropiara los conceptos básicos de probabilidad.
PROPOSITO FASE AFECTIVA
1
-Valorar que las técnicas de conteo son una
herramienta de gran aplicación y utilidad en nuestro
diario vivir.
- Apreciar que los diagramas de árbol son una
herramienta que permite encontrar el número de
elementos de un espacio muestral.
-Descubrir la importancia de plantear, y resolver
problemas que involucren la probabilidad,
permutaciones y combinaciones.
PROPOSITO FASE COGNITIVA
• Aprehender el concepto de probabilidad para
experimentos aleatorios.
• Comprender las características de un espacio
muestral al realizar un experimento aleatorio.
PROPOSITIVA FASE EXPRESIVA
Emplear la técnica de conteo para analizar un
experimento aleatorio.
Elaborar el diagrama de árbol para encontrar el número
de elementos de un experimento aleatorio.
Estar en capacidad de interpretar adecuadamente
cuando un experimento aleatorio no se tiene en cuenta
la repetición ni el orden.
 ¿Qué sucede si lanzas una moneda 100 veces?
 ¿Cómo organizarías los sucesos de un
experimento aleatorio?
 ¿Qué diferencia hay entre una combinación y
permutación?
 ¿Qué diagramas se utilizan para experimentos
aleatorios?
 ¿Cómo calcular probabilidades sencillas?
PROBABILIDAD
El uso de la probabilidad y la estadística datan,
cuando muy tarde, de la época de los egipcios. Ya
en el viejo Egipto de 2600 antes de nuestra era
se solían hacer censos de población, recuentos de
productos almacenados y estadísticas de campos de
cultivo. Esto era especialmente importante, dado que
la cultura egipcia floreció en la angosta franja verde
alrededor
del
río
Nilo,
que
regaba
las tierras aledañas con las inundaciones que
anualmente se presentaban con las avenidas
del río. Una cuenta precisa del calendario y un registro
riguroso
de
las
provisiones
disponibles, así como de la tierra fértil, eran
indispensables para evitar hambrunas y para
el cobro adecuado de impuestos para el faraón. Desde el
año
550
antes
de
nuestra
era los romanos hacían de vez en cuando censos de
población.
Para
estas
civilizaciones
y para las que las siguieron era muy clara la importancia
de
mantener
datos
como
información fundamental para mantener una
organización en sus labores
de
gobierno.
Hacia finales del Siglo XVIII una gran parte de los países
tenían ya oficinas públicas responsables de las
estadísticas.
Fueron consideraciones sobre las oportunidades de
ganar
en
los
juegos
de
azar,
como
loterías o juegos de dados, las que condujeron al
desarrollo de la teoría de la probabilidad.
Fue en 1654 cuando De Méré le propuso a su amigo
Blaise
Pascal
dos
problemas,
alrededor de cuya solución sostuvieron Pascal y Pierre
de Fermat (1601-1665) una nutrida correspondencia,
en la que se hacían mutuamente propuestas de cómo
abordar el problema. Una de las preguntas planteadas
era la siguiente: ¿Qué cosa es más probable; que con
cuatro lanzamientos de un dado al menos salga un seis,
o que con 24 lanzamientos de dos dados salga al menos
un par simultáneo de seises? La otra pregunta propuesta
era cómo distribuir lo apostado al suspender antes de
tiempo un juego de azar. Este último problema de
distribución ya 461 Notas históricas era conocido desde
finales del Siglo XIV, pero la respuesta que se había dado
siempre había sido incorrecta.
FASE AFECTIVA (1 HORA)
FASE COGNITIVA
INTERES
Debemos tener algunas definiciones para lograr
comprender el concepto de probabilidades.
 Pensemos en un juego de cartas de póker y que
salga diamantes.
INSTITUCION EDUCATIVA FRAY PLACIDO GRADO SEXTO
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Un experimento
características:
aleatorio
tiene
las
siguientes
 Es posible repetir cada experimento en forma
indefinida sin cambiar las condiciones.
 Aunque, en general, no se puede indicar cuál
será el resultado particular, se puede describir el
conjunto de todos los posibles resultados.
 A medida que el experimento se repite un gran
número de veces, los resultados individuales
parecen ocurrir en forma caótica, sin embargo,
aparece un patrón definido o regularidad.
ESPACIO MUESTRAL
2
Conjunto formado por todos los posibles resultados que
se pueden dar en el experimento aleatorio. Se simboliza
con la letra S y es el conjunto universal del experimento.
Un
suceso
es
cualquier
subconjunto
del
espacio muestral, se verifica cuando ocurre
cualquiera de los sucesos elementales que lo
forman.
Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso
seguro que es el mismo espacio muestral.
EXPERIMENTO ALEATORIO
Al extraer una carta de una baraja, lanzar una
moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos,
no podemos saber de antemano el resultado que se
va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos
en los que no se puede predecir el resultado y de ellos
se trata aquí.
Es una acción en la cual se conoce el procedimiento que
se va a seguir para desarrollarla, se conocen los posibles
resultados, pero no se sabe con certeza cuál será el
resultado final.
NOTA: Si en un experimento se conoce el resultado no se
llama experimento aleatorio y no se considera en el
estudio de probabilidad. Por ejemplo, determinar el día
de la semana que será mañana. Por lo tanto el
experimento se convierte en determinista.
EVENTO
Es un conjunto que se define dentro de un espacio
muestral, por lo tanto, está formado por los elementos
del espacio, que tiene una caracteristica definida. Los
eventos se nombran con las letras mayúsculas.
MODELACIÓN
Luisa tiene para escoger tres camisetas y dos pantalones
para su traje del día de hoy.
Determinar de cuántas maneras las puede escoger.
S=
{(𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎,
𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑑𝑜), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙 ),
(𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑑𝑜), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒,
𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒)}
E1: Escoger un pantalón azul
En el espacio muestral, cada expresión del paréntesis es
un evento, formado por una camiseta y un pantalón; en
particular el evento que consiste en escoger un pantalón
azul.
MODELACIÓN El espacio muestral del experimento
aleatorio “Lanzamiento de un dado”
es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; pero podemos observar
subconjuntos de E:
• “Salir un número par” A = {2, 4, 6}
• “Salir un múltiplo de 3” B = {3, 6}
• “Salir un número primo” C = {2, 3, 5}
A estos subconjuntos o partes del espacio muestral se
los llama sucesos y se designan con
letras mayúsculas: A, B, C…
INSTITUCION EDUCATIVA FRAY PLACIDO GRADO SEXTO
MODELACIÓN Sea el experimento aleatorio “Lanzar un
dado numerado
del 1 al 6”.
a) Calcula el espacio muestral.
b) Indica un suceso imposible.
c) Indica dos sucesos equiprobables.
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Suceso imposible: A = ”Salir un número mayor de 6”.
No es un resultado posible del experimento aleatorio.
c) Dos sucesos equiprobables son
A=”Salir número par”= {2, 4, 6} y
3 B =”Salir un número mayor que 3”= {4, 5, 6}.
Los dos tienen la misma probabilidad de salir, porque
los dos tienen tres elementos de E.
Existen diferentes tipos de sucesos:
• Suceso elemental. Es el que está formado por un solo
resultado del espacio muestral.
• Suceso compuesto. Es el que está formado por dos o
más resultados del espacio
muestral.
• Suceso seguro o cierto. Es el que se verifia siempre.
Está formado por todos los
resultados posibles del experimento y, por tanto,
coincide con el espacio muestral.
Se designa con la letra E.
• Suceso imposible. Es el que nunca se realiza. Se
representa así: Ø.
• Sucesos equiprobables. Son los que tienen la misma
probabilidad de salir.
El diagrama de árbol se utiliza para calcular el espacio
muestral de un experimento aleatorio.
Si tenemos 2 pantalones y 2 camisas, y escogemos 1
pantalón y 1 camisa, el espacio
muestral es:
probabilidad de 1 o 100%. Un evento que no tiene
ninguna posibilidad de ocurrir tiene una
probabilidad de 0 o 0%. Eventos que "podrían ocurrir"
tienen probabilidades entre 0 y 1 o entre
0% y 100%. En general, mientras más probable que un
evento ocurra, mayor su probabilidad.
PROBABILIDAD P(Evento)=# 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
# 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑎𝑡𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
• Cuando es imposible de que ocurra un evento, su
probabilidad es 0.
• Cuando se está seguro de que ocurrirá un evento, su
probabilidad es 1.
MODELACIÓN
Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca
una canica de la
bolsa al azar, ¿cuál es P(azul)?
P(azul) es la probabilidad de sacar una canica azul.
Hay 3 maneras de sacar una canica azul.
Hay 4 + 3 ó 7 resultados posibles.
P(azul) = 3/7 ó como un decimal, 0.42
EJERCITACIÓN
1. ¿Cuál es la probabilidad de que se tire un
cubo numerado y el resultado sea 3 ó 4?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que se lance
una piedra y caiga en el primer
cuadro de un tablero de 8 cuadros?
Enuncia la probabilidad de cada resultado en forma de
fracción, decimal y porcentaje.
3. Se escoge aleatoriamente una persona vestida de
rojo de un grupo de 5 personas
que visten de rojo y 4 personas que visten de azul.
4. Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que
contiene 4 pelotas verdes,
7 amarillas y 5 blancas.
5. Un mes escogido al azar comienza con la letra A.
6. Un número de un dígito positivo elegido al azar es
par.
Estos números se han escrito separadamente en
tarjetas y los han puesto
juntos en un sombrero: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9,
10. Una persona saca
un número al azar sin mirar dentro del sombrero.
Calcula la probabilidad
de cada resultado.
7. P(1) 8. P(3 ó 10) 9. P( 5) 10. P(6)
E = {A1, A2, B1, B2}
PROBABILIDAD: La probabilidad de que un evento
ocurra. Las probabilidades se pueden escribir
como fracciones, decimales o porcentajes. Un evento
que está garantizado a pasar tiene una
Un modo de calcular el número posible de resultados es
a través de un diagrama de árbol. También puedes
calcular el número total de resultados al multiplicar
usando el principio de contar.
PRINCIPIO Si un evento M puede ocurrir de m
DE
maneras y lo sigue un evento N que
CONTAR
puede ocurrir de n maneras, entonces el
evento M seguido del evento N puede
ocurrir de m n maneras.
INSTITUCION EDUCATIVA FRAY PLACIDO GRADO SEXTO
La Donna va a adoptar un perrito del centro de refugio
de animales. El centro de refugio
de animales agrupa a sus perros según su género
(macho o hembra) y según su tamaño
(pequeño, mediano o grande). Usa un diagrama de
árbol y el principio de contar para
calcular el número de selecciones o posibles resultados
que tiene La Donna.
a) Forma el diagrama en árbol. ¿Cuántos resultados se
obtienen?
b) Calcula la probabilidad de que salgan cara y número
par.
Usamos diagrama de árbol
Moneda
GENERO TAMAÑO
4 hembra
SOLUCIÓN
A)
RESULTADO
dado
1
Pequeño
hembra pequeña
Mediano
hembra mediana
Grande
hembra grande
2
C
3
4
macho
Pequeño
macho pequeño
Mediano
macho mediano
Grande
macho grande
5
6
1
2
Usamos el principio de contar.
selecciones
selecciones
resultados
de género X de tamaño
2
X
3
=
X
3
4
6
Hay 6 posibles resultados
5
EJERCITACIÓN
6
1. Un restaurante ofrece tres ensaladas diferentes y seis
tipos de aderezos
de ensalada. ¿Cuántas selecciones de ensalada con
aderezos hay?
Usa un diagrama de árbol o el principio de contar para
calcular el
número de posibles resultados.
2. Juan puede escoger de entre una camiseta negra,
café o azul y unos pantalones negros, azules o grises.
3. Luisa escoge semillas de millo, avena, abrojo o girasol
para sus comederos de gorriones, pinzones o palomas.
4. Un restaurante ofrece huevos cocidos de tres
diferentes maneras con una selección de papas fritas o
croquetas.
5. Olga tiene las opciones de cinco bolígrafos de
colores para caligrafía y papel simple, de hilo o
pergamino. ¿Cuántas selecciones
posibles de bolígrafos y papel tiene?
A 15
B8
C 10
D 12
6. Se lanzan una moneda y un dado cúbico con las caras
numeradas del 1 al 6.
C = cara
X= cruz
E = {(C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (X, 1); (X, 2);
(X, 3); (X, 4); (X, 5); (X, 6)}
b) p(cara y número par) = p(cara).p(número par)=
13 3 1
= =
2 6 12 4
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos. Halla las
siguientes probabilidades:
a) Obtener dos cincos.
b) Obtener un 2 y un 3.
c) La suma de las caras sea igual a 8.
E = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 2); (2, 3);
(2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 4);
(4,5); (4, 6); (5, 5); (5, 6); (6, 6)}
2
a) P(obtener dos cincos) = 21
b) P (obtener un 2 y un 3) =
1
21
3
c) P(suma de las caras igual a 8)= 21
INSTITUCION EDUCATIVA FRAY PLACIDO GRADO SEXTO
MENTEFACTO
ESTADISTICA
P1. Experimento aleatorio
P2. Espacio muestral
P3. Evento
P4. Técnicas de conteo
P5. Principios de
multiplicación.
P6. Diagramas de árbol.
PROBABILDAD
ANALISIS DE
DATOS
5
Según orden y
repeticiones
Forma de conteo
ordenada y sin
repeticion
PERMUTACIONES
No se tiene en
cuenta la
repetición y el
orden
COMBINACINES