1. No category

Q) Probabilidad
Q.1. Introducción
Q.2. Diagrama de árbol
Q.3. Tablas de contingencia
Q.4. Regla de Laplace
Q.5. Propiedades de la probabilidad
Q.6. Errores de creencia común sobre el azar
Q) PROBABILIDAD
Q.1. Introducción
Efectuar predicciones sobre determinados acontecimientos es una práctica
común en la vida cotidiana. Las realizamos cuando aventuramos el tiempo que
hará, o los resultados de los partidos de fútbol.
Algunas de estas predicciones se realizan de forma intuitiva y subjetiva; casi
siempre esperamos que suceda aquello que más nos favorece. Las
Matemáticas, mediante la teoría de Probabilidades, nos pueden ayudar a
realizar determinadas predicciones de forma objetiva y científica.
Al considerar un suceso correspondiente a un determinado fenómeno aleatorio
hay que considerar:
a) Casos favorables: son los sucesos elementales en que el suceso dado
puede descomponerse.
b) Casos posibles: son los sucesos elementales en que puede descomponerse
el suceso seguro correspondiente.
Ejemplo: en el fenómeno aleatorio de lanzar una moneda, estudiamos el
suceso consistente en obtener cara. Existe un único suceso favorable: obtener
cara. En tanto que hay dos casos posibles: obtener cara, obtener cruz.
Probabilidad: Probabilidad de un suceso es el cociente que resulta de dividir el
número de casos favorables a su realización por el número total de casos
posibles.
Si
n = Número de casos favorables
N = Número total de casos posibles
La probabilidad, que se representa por P, es P = n/N
Q.2. Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es muy utilizado para hacer toda clase de recuentos. En
los ejemplos vamos a ver la utilización que se puede hacer de él.
Ejemplo:
1. Con las cifras 1, 2 y 3 vamos a formar todos los números posibles de dos
cifras, repetidas o no. Para saber cuántos hay, podemos hacer un diagrama
como el siguiente:
Decenas
1
2
3
Unidades
Número
1
11
2
12
3
13
1
21
2
22
3
23
1
31
2
32
3
33
En este diagrama de árbol, así llamado por su forma, es difícil cometer errores
por omisión o por repetición de algún elemento, pues los casos se cuentan de
forma sistemática.
Las cifras se toman repetidas. Para las decenas se puede coger cualquiera de
las tres cifras, por ejemplo, 1, y una vez fijada ésta, las unidades pueden ser
tres cifras distintas: 1, 2 o 3.
Q.3. Tablas de contingencia
Una forma muy útil de presentar los datos obtenidos de un recuento es
mediante el empleo de tablas de contingencia, las cuales están divididas en
celdas que contienen números relacionados entre sí.
Ejemplo:
A los alumnos de una clase se les ha pedido que indiquen en una tarjeta su
sexo y si juegan al fútbol o no. Hecho el recuento de las tarjetas, las
frecuencias absolutas fueron:
F (Mujer futbolista) = 5; F (Hombre futbolista) = 11
F (Mujer no futbolista) = 7; F (Hombre no futbolista) = 2
Futbolista
No futbolista
Total
M
5
7
12
H
11
2
13
16
9
25
Mujeres futbolistas (del total) = 5/25.
Futbolistas (en general) = 16/25.
Del total de mujeres, cuántas son futbolistas = 5/12.
Del total de hombres, cuántos no son futbolistas = 2/13.
Las frecuencias se muestran en una tabla de doble entrada como la
representada. Las tablas de doble entrada proporcionan información por filas y
columnas simultáneamente.
Tablas como esta expresan muy bien los resultados de un recuento, cuando las
características estudiadas son dos o más de dos (en este caso el sexo y jugar
al fútbol) y conteniendo cada una modalidades excluyentes; en el ejemplo M y
H son excluyentes.
A este tipo de tabla se le llama tabla de contingencia. No es necesario que
nos proporcionen todos los datos para construirlas; se pueden ir completando a
partir de algunos de ellos. Las tablas de contingencia presentan la información
clasificada y de manera muy clara.
Q.4. Regla de Laplace
Si en un experimento, como el del lanzamiento de un dado, todos
los resultados, 1, 2, 3, 4, 5, 6, tienen la misma probabilidad, se dice
que los sucesos elementales son equiprobables.
Si se observan los juegos de azar, algunas veces hay equiprobabilidad y otras
no. Por ejemplo, con cualquier número de lotería hay la misma probabilidad de
que toque. No ocurre lo mismo con las distintas columnas de las quinielas de
fútbol, ya que en ellas interviene la calidad del equipo, el campo, etc.
En el caso de los sucesos equiprobables, hay una regla muy sencilla que
permite calcular la probabilidad de un suceso cualquiera. Vamos a comprobarlo
con el siguiente ejemplo:
Escribimos las letras de la palabra ARTE en unos papeles que introducimos en
una bolsa. A continuación, sacamos un papel al azar. Vamos a calcular la
probabilidad de que sea vocal:
Casos favorables: A, E, en total 2.
Casos posibles: A, R, T, E, en total 4
Como todos los resultados tienen igual probabilidad, se obtiene: p (vocal) = 2/4
= 1/2
Para los casos análogos a este ejemplo se puede enunciar la siguiente ley
general:
Regla de Laplace:
Si los sucesos elementales de un experimento aleatorio son
equiprobables y A es un suceso cualquiera, entonces la probabilidad
de A es:
p (A) = Número de casos favorables a A/ Número de casos
posibles.
Ejemplos:
a) Calcular la probabilidad del suceso consistente en que al arrojar dos
monedas, se obtenga en la primera cara y en la segunda cruz.
Casos favorables: cara, cruz (n =1)
Casos posibles: cara, cara; cara, cruz; cruz, cara; cruz, cruz (N = 4)
Probabilidad: P = n/N = 1/4
b) Consideremos el suceso consistente en que al extraer una carta de una
baraja se obtenga una figura.
Casos favorables: el total de figuras de la baraja (n =12)
Casos posibles: la totalidad de las cartas (N = 40)
Probabilidad P = n/N = 12/40 =3/10
Q.5. Propiedades de la probabilidad
Hasta ahora se ha comprobado que si un experimento se repite un número
elevado de veces, las frecuencias relativas de los resultados elementales se
van acercando cada vez más a un determinado número que hemos
denominado probabilidad.
Por ello, es fácil deducir que la probabilidad tiene las mismas propiedades que
tienen las frecuencias relativas, las cuales se expresan en la tabla siguiente:
Propiedades de las frecuencias
relativas
Propiedades de las probabilidades
La frecuencia relativa de un suceso es un número comprendido entre 0
y 1.
La suma de las frecuencias
relativas de todos los resultados
elementales de un experimento
aleatorio es igual a 1.
La frecuencia relativa de un suceso compuesto es igual a la suma de
las frecuencias relativas de los
resultados que lo componen.
La frecuencia relativa del suceso
seguro es 1.
La probabilidad del suceso seguro
es igual a 1.
La frecuencia relativa del suceso
imposible es igual a 0.
La probabilidad del suceso
imposible es igual a 0.
Si dos sucesos A y B, son
incompatibles, se verifica:
Si dos sucesos A y B son
incompatibles se verifica:
La probabilidad de un suceso es un
número comprendido entre 0 y 1.
La suma de las probabilidades de
todos los resultados elementales
de un experimento aleatorio es
igual a 1.
La probabilidad de un suceso
compuesto es igual a la suma de
las probabilidades de los resultados
elementales que lo componen.
Fr (A o B) = fr (A) + fr (B)
p[A o B] = p[A] + p[B]
Si dos sucesos A y B son
contrarios, se verifica:
fr (A) + fr (B) = 1
Si dos sucesos A y B son
contrarios, se verifica:
p[A] + p[B] = 1
La aplicación de estas propiedades es de gran utilidad para calcular las
probabilidades de determinados sucesos conociendo las probabilidades de
otros sucesos relacionados con ellos.
Ejemplos:
Al extraer una carta de una baraja española se dan las probabilidades
siguientes:
P[Rey] = 1/10; p[Caballo] = 1/10; p[Sota] = 1/10
¿Cuál es la probabilidad de que no salga una figura?
Solución:
En primer lugar hallaremos la probabilidad de que salga una figura pues,
teniendo en cuenta que los tres sucesos que nos dan son incompatibles dos a
dos, su cálculo resultará sencillo. El suceso F = “salir figura” se puede obtener
de los sucesos R = “salir rey”, C = “salir caballo”, S = “salir sota”, ya que:
F = (R o C o S)
Para calcular p[F] aplicaremos reiteradamente la sexta propiedad:
p[F] = p[R o C] + p[S] = p[R] + p[C] + p[S]
luego: p[F] = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10
En segundo lugar, el suceso F’ = “no salir figura” es contrario del suceso F =
“salir figura” y, por tanto, la suma de sus probabilidades tiene que ser igual a
uno:
p[F] + p[F’] = 1
luego p[F’] = 1 – p[F]
es decir: p[F’] = 1 – 3/10 = 7/10
El espacio muestral de un experimento aleatorio es E = a, b, c y las
probabilidades de los resultados a y b son p[a] = 1/2 y p[b] = 1/3.
Hallaremos la probabilidad del resultado c y las probabilidades de los sucesos
siguientes:
a) A = a, b.
b) B = a, c.
c) C = b, c
Solución:
a) Calculamos primero la probabilidad de c: p[c] = 1 – p[A]
Para conocer su valor previamente hay que calcular p[A], pero p[A] = p[a] + p[b]
= 1/2 + 1/3 = 5/6
Sustituyendo este valor en la fórmula primera quedará: p[c] = 1 – 5/6 = 1/6
b) Utilizando los datos anteriores obtenemos:
p[B] = p[a] + p[c] = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3.
c) De la misma forma se calcula p[C]:
p[C] = p[b] + p[c] = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
Q.6. Errores de creencia común sobre el azar
El gran error que la mayoría de las personas cometen con respecto al azar es
pensar o creer que éste “tiene memoria”. Este error se presenta en muchos
fenómenos que ocurren en la vida cotidiana.
Estos errores muchas veces provocan que se tomen decisiones equivocadas
sobre todo en los juegos, ya que si bien es cierto que el azar presenta una
serie de regularidades, no es menos cierto que cada experimento es
independiente del anterior y, por tanto, los objetos (dados, monedas, etc) que
participan en él “no recuerdan” los resultados anteriores.
También existe la falacia del jugador: consiste en pensar que si ha salido
muchas veces un resultado es más difícil que vuelva a repetirse. Esto no tiene
por qué ocurrir así.
A pesar de esto, la gente sigue teniendo sus manías y piensa que el azar sí
tiene memoria, lo cual puede llevar a equívocos.