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Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´atica
Departamento de Matem´atica Aplicada
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Carta al Estudiante
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MA-0292 Algebra
Lineal para Computaci´on
Ciclo I, 2015
Naturaleza del curso: Te´orico-pr´actico
Horas: 5
Cr´editos: 4
Requisito: Introducci´on a la Matem´atica para Computaci´on (MA-0291 o MA-0129)
Correquisito: ninguno
Antiguo nombre: MA-0429- Matem´atica para Computaci´on IV
Este es un curso introductorio de a´ lgebra lineal para los alumnos de la carrera de Ciencias de la Computaci´on e Inform´atica. Introduce elementos concretos (como matrices y determinantes) adem´as conceptos
abstractos (como espacios vectoriales y transformaciones lineales). Durante el semestre se estudian conceptos algebraicos y su relaci´on con la geometr´ıa, de manera que el estudiante comprenda el significado de
estos conceptos. El a´ lgebra lineal es una herramienta que permite modelar situaciones que se presentan en
diversas a´ reas de la actividad humana y de la naturaleza misma, lo cual contribuye en la formaci´on integral
del futuro profesional.
El curso inicia con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y su relaci´on con la teor´ıa de matrices.
Posteriormente se utilizar´an herramientas algebraicas en la resoluci´on de problemas de tipo geom´etrico y su
aplicaci´on en la programaci´on lineal. En la segunda parte del curso se llega al estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales en dimensi´on finita. Finalmente, se aplica el conocimiento adquirido
al estudio de las formas cuadr´aticas. En este curso se requiere que el estudiante mejore su capacidad para
el pensamiento abstracto. Se busca que desarrolle estrategias para resolver un problema, reconociendo las
hip´otesis planteadas, y utilizando los conceptos te´oricos en el planteamiento de la soluci´on de dicho problema. Para este fin ser´a necesario realizar algunas demostraciones simples y generalizar algunos conceptos
importantes. Se recomienda que el estudiante dedique el tiempo necesario a comprender los diferentes conceptos y los resultados te´oricos estudiados en la clase.
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La definici´on de cr´edito (disponible en http://www.cu.ucr.ac.cr/normativ/definicion-credito.pdf) conlleva por definici´on un valor de tres horas reloj semanales dedicadas por parte del estudiante por cada cr´edito
al trabajo en el curso. Lo anterior significa que este curso requiere por parte de cada estudiante al menos
12 horas de trabajo por semana. Aunque la asistencia a lecciones no es obligatoria y la acumulaci´on de
ausencias no determina su promoci´on ni tampoco influye en su nota de aprovechamiento, por la naturaleza
del curso y sus contenidos, se recomienda no faltar a ninguna de las clases.
Objetivos Generales
Contribuir a la formaci´on matem´atica del estudiante esencial para describir, entender y resolver problemas de su disciplina.
Contribuir en la habilidad del estudiante para interpretar y deducir anal´ıticamente resultados del a´ lgebra lineal y sus aplicaciones.
Fomentar el uso correcto del lenguaje de la matem´atica y desarrollar la habilidad para expresar ideas
de manera rigurosa.
Dominar los temas b´asicos del a´ lgebra lineal.
Objetivos Espec´ıficos
Lograr que el estudiante sea capaz de:
Aplicar algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y expresar el conjunto soluci´on de
un sistema de ecuaciones lineales.
Conocer el a´ lgebra de matrices y aplicar este conocimiento en el an´alisis de los sistemas de ecuaciones
lineales.
Determinar cuando existe la inversa de una matriz cuadrada y calcular esta matriz.
Conocer y aplicar las propiedades b´asicas del determinante de una matriz.
Aplicar el c´alculo de determinantes a la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales.
Conocer y aplicar conceptos elementales de geometr´ıa vectorial a diferentes tipos de problemas.
Identificar el conjunto Rn como un espacio vectorial con producto interno.
Conocer la geometr´ıa de los espacios Rn y adquirir las herramientas que permitan generalizar los
conceptos de l´ınea recta y plano.
Conocer y aplicar las propiedades b´asicas del producto vectorial.
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Conocer elementos b´asicos de programaci´on lineal. Comprender y aplicar el m´etodo geom´etrico para
resolver problemas de programaci´on lineal. Comprender y aplicar el m´etodo Simplex para resolver
problemas de programaci´on lineal.
Conocer la estructura de espacio vectorial. Determinar si se tiene un espacio vectorial, as´ı como el
caso de los subespacios vectoriales.
Determinar si un conjunto de vectores constituye una base para un espacio vectorial.
Obtener una base ortogonal a partir de una base dada de un espacio vectorial.
Determinar el complemento ortogonal de un subespacio de Rn .
Identificar los espacios vectoriales de dimensi´on finita con los espacios Rn .
Determinar si una aplicaci´on dada, de un espacio vectorial V en otro espacio vectorial W es una
aplicaci´on lineal.
Representar una aplicaci´on lineal por medio de una matriz.
Conocer las propiedades b´asicas de las aplicaciones lineales y su relaci´on con el a´ lgebra de matrices.
Determinar si una transformaci´on es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, invertible.
Determinar la inversa de una transformaci´on lineal.
Demostrar resultados y relaciones entre conceptos, relacionando los conocimientos adquiridos y las
bases que el estudiante tiene para realizar demostraciones.
Determinar bases para el n´ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal.
Representar una aplicaci´on lineal mediante una matriz, asociada a cualquier par de bases dadas de su
dominio y de su codominio respectivamente.
Determinar matrices de cambio de bases y relacionarlas con la representaci´on matricial de una aplicaci´on lineal.
Obtener los valores propios de una matriz y los espacios propios asociados a cada valor propio.
Determinar si una matriz u operador lineal, es diagonalizable o no. Adem´as, si es diagonalizable
ortogonalmente.
Aplicar los conceptos sobre ortogonalizaci´on al estudio de las ecuaciones cuadr´aticas en dos variables
con sus representaciones gr´aficas.
Redactar la soluci´on de ejercicios justificando la respuesta con argumentos matem´aticos.
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Contenidos
1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
a) Definici´on de las tres operaciones de filas. Reducci´on de matrices mediante las operaciones por
fila a una matriz escalonada reducida.
b) Sistemas lineales y a´ lgebra de matrices. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales mediante
el m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan. Tipos de soluciones. Sistemas de ecuaciones lineales
no homog´eneos y homog´eneos.
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c) Definici´on de una matriz. Algebra
de matrices. Propiedades. Matrices usuales: matriz cuadrada,
identidad, nula, transpuesta, sim´etrica, triangular superior e inferior, diagonal, matriz escalonada
reducida. Matrices equivalentes.
d) La inversa de una matriz y su relaci´on con sistemas lineales. M´etodo para hallar la inversa de
una matriz. Relaci´on de matrices invertibles con sistemas lineales. Rango de una matriz.
2. Determinantes
a) Definici´on y propiedades de los determinantes. Desarrollo por cofactores y aplicaciones.
b) C´alculo del determinante de una matriz triangular. Determinante de una matriz invertible. Determinante de la transpuesta de una matriz. C´alculo de determinantes aplicando operaciones
elementales sobre las filas o columnas de matriz. Matrices invertibles y sistemas lineales. Matriz transpuesta y sus propiedades. Regla de Cramer. Relaci´on entre el rango de una matriz y su
determinante. C´alculo de la inversa de una matriz usando la matriz adjunta.
3. Elementos de programaci´on lineal
a) El problema de la programaci´on lineal. Soluci´on geom´etrica.
b) El m´etodo simplex.
4. Geometr´ıa vectorial
a) Vectores en el plano y el espacio. Representaci´on geom´etrica.
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b) Algebra
de vectores. Suma y resta de vectores, su representaci´on geom´etrica y propiedades.
Producto escalar de vectores y sus propiedades. Norma de un vector. Producto cruz en R3 y sus
propiedades.
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c) Vectores ortogonales y paralelos. Proyecciones ortogonales. Angulo
y distancia entre vectores.
Rectas y planos. Ecuaciones vectorial, param´etrica y sim´etrica de una l´ınea recta. Ecuaci´on
vectorial y normal de un plano. Distancia de un punto al plano, entre dos planos, de un punto a
una recta, entre dos rectas. Planos paralelos, perpendiculares, intersecciones.
5. Espacios vectoriales
a) Espacios y subespacios vectoriales. Subespacios generados. Independencia lineal. Conjunto generador. Bases y dimensi´on. Rango y aplicaciones.
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b) Sistemas homog´eneos. Base para el conjunto soluci´on de un sistema homog´eneo.
c) Espacio fila y columna de una matriz. Rango y nulidad. Coordenadas de un vector con respecto
a una base. Intersecci´on y suma de subespacios vectoriales.
6. Transformaciones lineales
a) Transformaciones lineales. Composici´on de transformaciones lineales y aplicaciones inversas.
El n´ucleo y la imagen de una transformaci´on lineal. Inyectividad y sobreyectividad de una transformaci´on lineal. Relaci´on entre las dimensiones del dominio, el n´ucleo y la imagen de una
transformaci´on lineal.
b) La matriz de una transformaci´on lineal. Cambio de base y coordenadas para transformaciones
lineales.
7. Valores y vectores propios
a) Valores y vectores propios. Polinomio caracter´ıstico. Espacio propio. Multiplicidad algebraica
y geom´etrica de valores propios.
b) Diagonalizaci´on de matrices.
c) Conjuntos de vectores ortogonales. Bases ortonormales en Rn . Complemento ortogonal de un
subespacio. Proyecci´on ortogonal sobre un subespacio. M´etodo de ortonormalizaci´on de GramSchmidt para la construcci´on de bases ortonormales. Diagonalizaci´on de matrices sim´etricas.
d) Introducci´on a las secciones c´onicas: par´abolas, elipses e hip´erbolas.
e) Formas cuadr´aticas. Diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas. Rotaci´on y traslaci´on de las secciones c´onicas. Ejes principales y a´ ngulo de rotaci´on. Gr´aficas.
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Objetivos de evaluaci´on
Con los objetivos propuestos se pretende que al concluir este curso el estudiante est´e en capacidad de:
1. Determinar si una ecuaci´on dada es lineal o no, respecto de las variables involucradas.
2. Identificar la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales.
3. Expresar en forma matricial un sistema de ecuaciones lineales, utilizando la matriz aumentada).
4. Aplicar operaciones elementales a las filas de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales para obtener el conjunto soluci´on del sistema.
5. Determinar el conjunto soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales.
6. Expresar el conjunto soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales.
7. Calcular la forma escalonada reducida de una matriz.
8. Determinar si dos matrices dadas son equivalentes por filas.
9. Determinar el rango fila de una matriz.
10. Determinar el tipode soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales comparando los rangos de la
matriz de coeficientes y de la matriz ampliada del sistema.
11. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales, homog´eneos o no, con coeficientes alfa num´ericos, determinando condiciones algebraicas sobre los coeficientes para que el sistema sea inconsistente, o tenga
soluci´on u´ nica, o tenga infinitas soluciones y en este u´ ltimo caso determinar el n´umero de par´ametros
libres de los cuales depende el conjunto soluci´on del sistema.
12. Reconocer una matriz, establecer su dimensi´on, identificar sus filas y sus columnas, referirse a sus
elementos de acuerdo al lugar que ocupan en la matriz.
13. Clasificar una matriz como cuadrada, triangular inferior, triangular superior, sim´etrica o diagonal.
14. Calcular la matriz transpuesta de una matriz.
15. Determinar cuando es posible sumar, restar, multiplicar dos matrices.
16. Sumar matrices, multiplicar matrices por n´umeros reales, identificar la matriz nula como elemento
neutro de la suma de matrices.
17. Multiplicar matrices y conocer la no conmutatividad del producto de matrices.
18. Identificar a la matriz identidad como elemento neutro para la multiplicaci´on de matrices.
19. Conocer y aplicar las propiedades de la suma de matrices.
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20. Conocer y aplicar las propiedades de la multiplicaci´on de matrices: asociatividad, distributividad
respecto de la suma de matrices, producto de un escalar por el producto de dos matrices. y aplicar
las propiedades de la trasposici´on de matrices en relaci´on con la suma y el producto de matrices y la
multiplicaci´on por escalar.
21. Conocer el concepto inverso multiplicativo de una matriz y su unicidad, cuando exista la matriz
inversa.
22. Determinar en qu´e casos una matriz cuadrada tiene inversa.
23. Calcular la inversa de una matriz, cuando e´ sta exista.
24. Resolver ecuaciones matriciales, aplicando las propiedades algebraicas de la suma y la multiplicaci´on,
de la transposici´on y de la inversi´on de matrices.
25. Aplicar la resoluci´on algebraica de matrices para obtener num´ericamente la matriz.
26. Reconocer una combinaci´on lineal de un conjunto de vectores en Rn e identificar el producto de una
matriz por un vector columna como una combinaci´on lineal de las columnas de dicha matriz.
27. Determinar si un conjunto de vectores en Rn es linealmente independiente asociando esto a determinar si un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo tiene soluci´on u´ nica y/o hallando el rango de la
matriz cuyas columnas (filas) es el conjunto de vectores dado.
28. Demostrar propiedades de las matrices utilizando razonamiento.
29. Aplicar propiedades de las matrices y/o los sistemas de ecuaciones lineales en demostraciones utilizando lenguaje formal matem´atico.
30. Calcular el determinante de una matriz.
31. Calcular el determinante de una matriz triangular.
32. Conocer las propiedades del determinante de una matriz respecto a las operaciones elementales sobre
sus filas o sus columnas.
33. Aplicar operaciones elementales sobre las filas y/o columnas de una matriz para calcular su determinante.
34. Conocer y aplicar la linealidad por filas (columnas) del determinante de una matriz.
35. Conocer y aplicar las propiedades del determinante respecto a la multiplicaci´on y la trasposici´on de
matrices.
36. Calcular el determinante de la matriz inversa de una matriz dada, invertible.
37. Determinar, calculando el determinante, si una matriz cuadrada dada es invertible o no.
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38. Conocer y aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales, con igual n´umero
de ecuaciones que de variables y matriz de coeficientes invertible.
39. Calcular la inversa de una matriz usando la matriz adjunta.
40. Determinar condiciones algebraicas en matrices y entradas de matrices para que cumplan con alguna
propiedad dada.
41. Determinar condiciones algebraicas en matrices y entradas de matrices para que cumplan con alguna
propiedad relacionada con determinantes dada.
42. Demostrar propiedades de los determinantes utilizando razonamiento.
43. Aplicar propiedades de los determinantes en demostraciones, utilizando lenguaje formal matem´atico.
44. Interpretar flechas entre puntos de R como vectores.
45. Interpretar geom´etricamente la suma de dos vectores y el producto de un escalar por un vector.
46. Calcular el producto punto de dos vectores y la norma de un vector.
47. Determinar el coseno del a´ ngulo formado por dos vectores.
48. Conocer y aplicar la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
49. Determinar la proyecci´on ortogonal de un vector sobre otro.
50. Calcular el producto vectorial de dos vectores en R3 y conocer sus propiedades algebraicas.
51. Aplicar el producto vectorial en R3 para calcular a´ reas de paralelogramos y vol´umenes de paralelep´ıpedos.
52. Interpretar el valor absoluto del determinante de una matriz 3x3 como el volumen del paralelep´ıpedo
formado por sus vectores fila.
53. Aplicar los conceptos de la geometr´ıa vectorial para resolver problemas geom´etricos.
54. Demostrar propiedades de los elementos de Rn utilizando razonamiento.
55. Aplicar propiedades de los elementos de Rn en demostraciones, utilizando lenguaje formal matem´atico.
56. Determinar condiciones algebraicas en vectores y sus entradas para que cumplan con alguna propiedad dada.
57. Determinar una ecuaci´on vectorial para una l´ınea recta en R3 .
58. Determinar ecuaciones param´etricas para una l´ınea recta en R3 .
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59. Determinar ecuaciones sim´etricas para una l´ınea recta en R3 .
60. Determinar una ecuaci´on vectorial para un plano en R3 .
61. Determinar una ecuaci´on normal para un plano en R3 .
62. Generalizar el concepto de ecuaci´on normal para un plano en R3 al concepto de hiperplano en Rn .
63. Determinar intersecciones entre dos l´ıneas rectas, entre una l´ınea recta y un plano y entre dos planos.
64. Determinar la distancia entre dos puntos de Rn .
65. Determinar la distancia entre un punto y una l´ınea recta, entre dos l´ıneas rectas, entre una l´ınea recta
y un plano y entre dos planos.
66. Resolver problemas geom´etricos relacionados con l´ıneas rectas y planos.
67. Demostrar propiedades de los planos y rectas utilizando razonamiento.
68. Aplicar propiedades de los planos y rectas en demostraciones, utilizando lenguaje formal matem´atico.
69. Determinar condiciones algebraicas en los planos y rectas para que cumplan con alguna propiedad
dada.
70. Conocer elementos b´asicos de programaci´on lineal.
71. Comprender y aplicar el m´etodo geom´etrico para resolver problemas de programaci´on lineal.
72. Comprender y aplicar el m´etodo Simplex para resolver problemas de programaci´on lineal.
73. Modelar situaciones que se pueden resolver utilizando el m´etodo geom´etrico y/o el m´etodo Simplex
como herramientas de la programaci´on lineal.
74. Interpretar en el contexto de un problema los resultados obtenidos al resolver problemas de programaci´on lineal.
75. Conocer la estructura algebraica de espacio vectorial sobre R.
76. Determinar si una estructura algebraica dada, sobre un conjunto, lo hace espacio vectorial o no.
77. Reconocer a Rn , al conjunto de matrices de dimensi´on mxn , al conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, a conjuntos de funciones de valor real definidos adecuadamente y a otras estructuras
conocidas por los estudiantes, como espacios vectoriales sobre R.
78. Conocer las propiedades algebraicas b´asicas de un espacio vectorial.
79. Determinar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial.
80. Reconocer subespacios formados por las combinaciones lineales de un conjunto finito de vectores de
un espacio vectorial.
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81. Hallar un conjunto generador de vectores para un subespacio vectorial dado.
82. Conocer el concepto de base y dimensi´on de un espacio vectorial.
83. Hallar bases para los espacios fila y columna de una matriz.
84. Hallar bases para subespacios generados por un conjunto de vectores conocidos.
85. Determinar el vector coordenado de un vector de un espacio vectorial, con respecto a una base fija.
86. Determinar condiciones para que un conjunto de vectores, que dependen de uno o m´as par´ametros,
sea linealmente independiente.
87. Demostrar propiedades de los espacios vectoriales utilizando razonamiento.
88. Aplicar propiedades de los espacios vectoriales en demostraciones, utilizando lenguaje formal matem´atico.
89. Determinar condiciones algebraicas en objetos propios de los espacios vectoriales para que cumplan
con alguna propiedad dada.
90. Reconocer un conjunto ortogonal de vectores de un espacio vectorial con producto interno.
91. Reconocer un conjunto ortonormal de vectores de un espacio vectorial con producto interno.
92. Determinar el complemento ortogonal de un subespacio dado.
93. Obtener una base ortonormal a partir de una base dada de un subespacio.
94. Obtener el vector de coordenadas de un vector aplicando una base ortonormal de un subespacio.
95. Obtener la proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio vectorial.
96. Calcular la distancia de un punto a un subespacio vectorial.
97. Demostrar propiedades de los conjuntos y bases ortonormales utilizando razonamiento.
98. Aplicar propiedades de los conjuntos y bases ortonormales en demostraciones, utilizando lenguaje
formal matem´atico.
99. Determinar condiciones algebraicas en objetos propios de los los conjuntos y bases ortonormales para
que cumplan con alguna propiedad dada.
100. Conocer el concepto de aplicaci´on (transformaci´on) lineal y sus propiedades b´asicas.
101. Determinar si una funci´on dada entre dos espacios vectoriales es una aplicaci´on o transformaci´on
lineal.
102. Reconocer los subespacios vectoriales: n´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal.
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103. Obtener bases para el n´ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal.
104. Determinar completamente una transformaci´on lineal, a partir de las im´agenes de los elementos de
una base de su dominio.
105. Determinar completamente una transformaci´on lineal a partir de las im´agenes de algunos objetos
geom´etricos dados.
106. Determinar si una aplicaci´on lineal es inyectiva.
107. Determinar si una aplicaci´on lineal es sobreyectiva.
108. Conocer y aplicar la relaci´on entre las dimensiones del dominio, el n´ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal.
109. Conocer que la suma de aplicaciones lineales, la multiplicaci´on por escalar de una aplicaci´on lineal y
la composici´on de aplicaciones lineales es una aplicaci´on lineal.
110. Conocer que el conjunto de todas las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales tiene estructura de espacio vectorial, con las operaciones usuales.
111. Reconocer que todo matriz de dimensi´on mxn determina una aplicaci´on lineal de Rn en IRm .
112. Obtener una representaci´on matricial para una aplicaci´on lineal dada de Rn con respecto a las bases
can´onicas, e identificar la acci´on de la aplicaci´on lineal como una multiplicaci´on de una matriz por
un vector.
113. Obtener una representaci´on matricial para una aplicaci´on lineal dada de Rn en Rm con respecto a
bases dadas para el dominio y el producto de matrices.
114. Reconocer una representaci´on matricial de la aplicaci´on identidad, como una matriz de cambio de
base.
115. Obtener distintas representaciones matriciales de una aplicaci´on lineal, mediante multiplicaci´on por
matrices de cambio de base.
116. Determinar si una transformaci´on lineal es invertible y en caso afirmativo obtener la transformaci´on
lineal inversa.
117. Conocer la relaci´on entre transformaciones lineales invertibles y matrices invertibles y aplicarlo a
obtener inversas de aplicaciones lineales inyectivas.
118. Demostrar propiedades de las transformaciones lineales utilizando razonamiento.
119. Aplicar propiedades de las transformaciones lineales en demostraciones, utilizando lenguaje formal
matem´atico.
120. Conocer los conceptos de valor y vector propio de una matriz cuadrada.
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121. Calcular el polinomio caracter´ıstico de una matriz cuadrada.
122. Identificar los valores propios de una matriz cuadrada con las ra´ıces de su polinomio caracter´ıstico.
123. Conocer el concepto de espacio propio correspondiente a un valor propio.
124. Determinar los espacios propios correspondientes a los distintos valores propios de una matriz cuadrada, obteniendo una base para cada uno de tales espacios propios.
125. Identificar la multiplicidad algebraica y geom´etrica de un valor propio.
126. Determinar si una matriz dada A es diagonalizable y en caso que lo sea obtener una matriz invertible
C tal que C −1 A sea diagonal.
127. Determinar si una matriz dada A es ortogonalmente diagonalizable y en caso que lo sea obtener una
matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal.
128. Conocer que una matriz real es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es sim´etrica.
129. Interpretar y aplicar todo lo desarrollado para matrices cuadradas a las transformaciones lineales sobre
Rn .
130. Demostrar propiedades de los conceptos de valor y vector propios, y conceptos relacionados, utilizando razonamiento.
131. Aplicar propiedades de los conceptos de valor y vector propios, y conceptos relacionados en demostraciones, utilizando lenguaje formal matem´atico.
132. Conocer el concepto de forma cuadr´atica.
133. Expresar una forma cuadr´atica en forma matricial.
134. Eliminar los t´erminos mixtos de una forma cuadr´atica, mediante la diagonlizaci´on ortogonal de la
matriz asociada y un cambio de variables apropiado.
135. Aplicar la diagonalizaci´on ortogonal de las formas cuadr´aticas a la representaci´on, en forma can´onica,
de las secciones c´onicas.
136. Dada una ecuaci´on cuadr´atica en dos variables, identificar la secci´on c´onica correspondiente, llevarla
a una representaci´on can´onica y representarla gr´aficamente, dibujando, en un mismo gr´afico, los ejes
correspondientes a las variables originales, los ejes correspondientes a la transformaci´on efectuada
para llevar la secci´on c´onica a su forma can´onica; e indicar el valor del a´ ngulo de rotaci´on de los ejes
originales (si hay rotaci´on), determinar si hay traslaci´on.
137. Demostrar propiedades de los conceptos de forma cuadr´atica, y conceptos relacionados, utilizando
razonamiento.
138. Aplicar propiedades de los conceptos de forma cuadr´atica, y conceptos relacionados en demostraciones, utilizando lenguaje formal matem´atico.
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Metodolog´ıa
Entre las estrategias principales para desarrollar el curso est´an la clase magistral, trabajo individual y
en grupos, para estas u´ ltimas es fundamental la participaci´on del estudiante. Se˜nalamos que el estudiante
requiere de muchas horas de estudio fuera de clase para trabajar ejercicios, como se indica al inicio por la
cantidad de cr´editos asignados al curso. En las lecciones en que se realice pr´actica es sumamente importante
la participaci´on del estudiante en la resoluci´on de problemas.
Se realiza un proyecto que relacione la teor´ıa y conceptos estudiados en el curso con alguna aplicaci´on de
e´ stos.
Con el fin de reforzar el aprendizaje del estudiante algunas actividades el estudiante las realizar´a ingresando
a la p´agina web del curso.
P´agina web del curso
Este semestre aprovechamos la p´agina web Moodle. Esta plataforma es muy rica y tiene varias posibilidades que pueden resultar provechosas para el estudiante. Aqu´ı tendremos el programa del curso, varios
ejercicios y el proyecto a desarrollar. Todo lo que tiene que hacer es ingresar a la p´agina
http://moodlenew.emate.ucr.ac.cr/course/view.php?id=50
o navegar desde la p´agina de la Escuela de Matem´atica. La clave de matriculaci´on es CursoMA0292 y solo
es necesaria la primera vez que se ingresa a la p´agina.
Programa de apoyo al estudiante
Para todos los cursos del Departamento de Matem´atica Aplicada, la secci´on del CASE desarrolla un
programa de apoyo al estudiante, que consiste en sesiones de trabajo que son atendidas por estudiantes
aventajados de las diversas disciplinas y que han aprobado los cursos con notas altas. Estos espacios de
ayuda se programan los d´ıas mi´ercoles, durante todo el d´ıa, en el aula 102 FM y se extienden durante todo
el semestre.
Evaluaci´on
El curso ser´a evaluado por medio de tres ex´amenes parciales, dos quices y un proyecto. El proyecto
tratar´a de aplicaciones de a´ lgebra lineal y ser´a explicado en detalle por su profesor cuando sea asignado.
Los ex´amenes tienen una ponderaci´on de 30 % para cada uno de los dos ex´amenes con notas mayores y
un 25 % para el que obtenga la nota m´as baja. Los quices y el proyecto tienen un valor total de 15 %. Las
fechas y contenidos a evaluar en las pruebas escritas son las siguientes:
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Examen
Parcial I
Rep. Parcial I
Parcial II
Rep. Parcial II
Parcial III
Rep. Parcial III
Ampliaci´on
Fecha
mi´ercoles, 15 de abril, 8 a.m.
s´abado, 2 de mayo, 8 a.m.
mi´ercoles, 27 de mayo, 8 a.m.
s´abado, 13 de junio, 1 p.m.
lunes, 6 de julio, 8 a.m.
mi´ercoles, 8 de julio, 8 a.m.
mi´ercoles, 15 de julio, 8 a.m.
Contenidos
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices;
Determinantes
Programaci´on lineal; Geometr´ıa vectorial; Espacios
vectoriales
Transformaciones lineales; Valores y vectores propios
Todos.
NOTA: La hora de las pruebas puede variar dependiendo de la disponibilidad de aulas (asignadas por la
Oficina de Registro) u otros motivos de fuerza mayor. En caso de que hubiera alguna modificaci´on ya sea
de hora o fecha de los ex´amenes, ser´ıa notificada oportunamente en el transcurso de las semanas previas a la
prueba, tanto en clase como en la pizarra del curso, ubicada en el segundo piso de la Escuela de Matem´atica.
Por esos mismos medios, se comunicar´a oportunamente las aulas y edificios en que se realizar´an las pruebas.
La nota de aprovechamiento debe redondearse a la unidad o media unidad m´as pr´oxima. Por ejemplo, 6; 24
se redondea a 6; 0 pero 6; 26 se redondea a 6; 5. En casos intermedios, cuando los decimales sean por ejemplo ”veinticinco cent´esimos”(; 25) o ”setenta y cinco cent´esimos”(; 75), se redondear´a a la media unidad o
unidad superior m´as pr´oxima. Por ejemplo, 5; 75 se redondear´a a 6; 0 y 9; 25 se redondear´a a 9; 5.
Todos los ex´amenes parciales y reposiciones de ex´amenes parciales ser´an colegiados y tendr´an una duraci´on
de 3 horas.
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AUSENCIAS A EXAMENES.
En caso debidamente justificados, tales como la muerte de un familiar en
primer grado de consanguinidad, enfermedad del estudiante (con el correspondiente dictamen), choque con
otros ex´amenes (con constancia del coordinador respectivo), giras (reportadas por escrito y con el visto
bueno del o´ rgano correspondiente) u otro motivo de fuerza mayor; se le permitir´a al estudiante reponer la
prueba durante el per´ıodo lectivo. En cualquier caso, para solicitar la reposici´on, el estudiante debe pedir la
boleta correspondiente en la Secretar´ıa de la Escuela de Matem´atica, llenar todos los datos que en ella se le
solicitan y adjuntarle los documentos probatorios que hagan constar el motivo por el que no efectu´o el examen. Tanto la boleta como los documentos, deber´an ser depositados en el casillero 78, en el segundo piso
de la Escuela de Matem´atica, a m´as tardar tres d´ıas h´abiles despu´es de efectuada la prueba. La aprobaci´on
de la solicitud queda sujeta a la decisi´on de la c´atedra y una vez transcurrido el per´ıodo de solicitudes, se
publicar´a en la pizarra la lista de alumnos a los que se les aprueba la realizaci´on de la misma. Debido a la
programaci´on semestral de la pruebas, solamente en el caso de la reposici´on del tercer parcial el per´ıodo
de solicitud para su reposici´on, ser´a de un d´ıa h´abil, y se cerrar´a el mi´ercoles 7 de julio a las 5 p.m., hora a
la que se publicar´a la lista de solicitudes aprobadas; lo anterior debido a que la prueba se efectuar´a el 8 de
julio a las 8a.m.
Para la reposici´on de los ex´amenes se sigue lo estipulado en el Reglamento de R´egimen Acad´emico Estudiantil y debe entregar copia al respectivo profesor.
En el caso de que un estudiante asista a una prueba de MA-0293 y por esta causa no pueda presentarse
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a un examen de otro curso u otra actividad (clase, taller, gira, trabajo, etc.) debe solicitar en la Secretar´ıa de
la Escuela de Matem´atica una boleta para acreditar su asistencia a la prueba de MA-0293, llenar todos los
datos que se solicitan en ella y llevarla el d´ıa de aplicaci´on de la prueba, para que el encargado de coordinar
la prueba o alg´un profesor de la c´atedra la firme, haciendo as´ı constar su asistencia a la misma. Finalmente,
el estudiante debe llevar la boleta nuevamente a la Secretar´ıa de la Escuela de Matem´atica para que se le
ponga sello.
El per´ıodo de tiempo razonable para guardar los trabajos y ex´amenes de los estudiantes posterior a la
conclusi´on del ciclo lectivo es de seis meses, concluido este tiempo se pueden eliminar.
Seg´un el sistema de evaluaci´on de nuestra Universidad, el estudiante aprueba un curso cuando su nota
sea superior o igual a 7.0. Si el estudiante no aprueba el curso, pero obtiene una nota superior o igual a 6.0,
tendr´a derecho a presentar un examen de ampliaci´on en la fecha establecida. El estudiante debe obtener en
esa prueba una nota igual o superior a 7.0, lo que le permite aprobar el curso con nota final de 7.0. En caso
contrario, de obtener una nota inferior a 7.0 en el examen de ampliaci´on, la nota final del estudiante ser´a su
6.0 o 6.5 seg´un corresponda.
La calificaci´on final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Informaci´on, en la escala de cero a
diez, en enteros y fracciones de media unidad, seg´un redondeo ya mencionado.
Disposiciones para la realizaci´on de pruebas escritas
(1) Ning´un estudiante puede abandonar el recinto de examen hasta tanto no hayan transcurrido treinta
minutos luego de iniciada la prueba. No puede entrar ning´un estudiante despu´es de los treinta minutos.
(2) No se contestan preguntas durante la administraci´on de la prueba, salvo que e´ stas sean de car´acter
general, en cuyo caso se aclarar´an en voz alta.
(3) Hay que resolver todo el examen utilizando bol´ıgrafo azul o negro.
(4) Las pruebas parciales deben realizarse en un cuaderno de examen, sin utilizar hojas sueltas durante la
prueba.
(5) No se permite el uso de alg´un aparato electr´onico, como tel´efonos celulares, pero se permite el uso de
una calculadora cient´ıfica no programable.
(6) Se debe presentar la c´edula de identidad, o su equivalente legal.
(7) Cualquier intento de fraude en el examen ser´a sancionado de acuerdo con lo que estipula el reglamento
correspondiente.
(8) Debe presentarse puntualmente el d´ıa del examen en el aula que fue asignada a su grupo.
(9) No se permiten los cambios de grupo, todo estudiante debe realizar las evaluaciones en el grupo en que
est´a matriculado.
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Bibliograf´ıa
Las notas subidas al moodle del curso ser´an el material principal de apoyo para el curso.
El siguiente libro puede ser usado como gu´ıa durante el curso, en especial para ejercicios adicionales.
´
Arce, C.; Castillo, W. y Gonz´alez, J., Algebra
Lineal, 3a edici´on, Editorial UCR, 2004.
Los siguientes libros son sugerencias adicionales:
´
Arce, C., Ejercicios Resueltos de Algebra
Lineal, Editorial UCR, 2003.
´
Lay, D., Algebra
lineal y sus aplicaciones, 3a edici´on, Pearson, 2007.
´
Anton, H., Introducci´on al Algebra
Lineal, 3a edici´on, Limusa, 2004.
´
Grossman, S., Algebra
Lineal con Aplicaciones, 5a edici´on, McGraw-Hill, 1996.
´
Kolman, B., Algebra
Lineal con Aplicaciones y Matlab, 6a edici´on, Prentice-Hall, 1999.
Nota Importante
Para todos los cursos del departamento, la secci´on del CASE desarrolla un programa de apoyo al estudiante. Son secciones de trabajo que son atendidas por estudiantes aventajados de las diversas disciplinas y
que han aprobado los cursos con notas altas. Esos espacios de ayuda se programan para los d´ıas mi´ercoles,
durante todo el d´ıa, en el aula 102 FM y se extienden durante todo el semestre.
Profesores
Cualquier otro aspecto que no se haya tomado en cuenta aqu´ı, ser´a sometido a consideraci´on de la
C´atedra para su soluci´on. Esperando el mejor de sus e´ xitos en el curso, cordialmente,
grupo 1 y coordinador: Prof. Luis Diego Rodriguez Hidalgo. [email protected]. Of: 257IF.
grupo 2 y 3: Prof. Ronald Z´un˜ iga [email protected]. Of: 329 Edificio Nuevo de Matem´atica, Finca 2.
Cronograma
Esta es una posible distribuci´on de temas por semanas pero cada profesor puede seguir un order distinto
siempre y cuando se cubran los temas para cada examen. En el curso se cubren todos los objetivos y
contenidos propuestos, el cronograma es una gu´ıa.
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Semana
9-13 marzo
16-20 marzo
23-27 marzo
30 marzo-3 abril
6-10 abril
QUIZ I
13-17 abril
20-24 abril
27-30 abril
Se asigna proyecto
4-8 mayo
11-15 mayo
18-22 mayo
Entrega: Proyecto
25-29 mayo
1-5 junio
8-12 junio
15-19 junio
22-26 junio
QUIZ II
29 junio-3 julio
Temas
Definici´on de una matriz. Matriz escalonada reducida. Definici´on de las
tres operaciones de filas. Reducci´on de matrices mediante las
operaciones por fila, a una matriz escalonada reducida. Sistemas de
ecuaciones lineales y soluci´on mediante el m´etodo de eliminaci´on
Gauss-Jordan. Tipos de soluciones.
´
Algebra
de matrices. Propiedades. Matrices usuales: matriz cuadrada,
identidad, nula, transpuesta, sim´etrica, triangular superior e inferior,
diagonal. La inversa de una matriz y sus propiedades.
M´etodo para hallar la inversa. Rango y relaci´on con conjunto soluci´on de sistemas.
Relaci´on de matrices invertibles con sistemas lineales.
Definici´on de determinante por cofactores. Propiedades de determinantes.
Semana Santa.
No se imparten lecciones.
Determinante del producto.Adjunta.
Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones.
Pr´actica para el Examen Parcial I. EXAMEN I
Problema de la programaci´on lineal
SEMANA UNIVERSITARIA
Soluci´on geom´etrica y m´etodo simplex.
´
Vectores en el plano y el espacio. Representaci´on geom´etrica. Algebra
de
vectores. Producto escalar y vectorial. Desigualdades de Cauchy-Schwarz
y triangular. Vectores ortogonales y paralelos. Proyecciones.
´
Angulo
y distancia entre vectores.
Rectas y planos. Distancia de un punto al plano, planos paralelos,
perpendiculares. Intersecciones.
Espacios vectoriales y ejemplos. Subespacios vectoriales.
Independencia lineal y conjuntos generadores.
Bases y dimensi´on.
Sistemas homog´eneos. Base para el conjunto soluci´on de un sistema
homog´eneo. Espacio fila y columna de una matriz. Rango y nulidad.
Pr´actica para el Examen Parcial II. Examen Parcial II
Transformaciones lineales.
Transformaciones lineales y ejemplos. Composici´on e inversa de una
transformaci´on lineal. El n´ucleo y la imagen de una transformaci´on lineal.
Coordenadas respecto a una base. La matriz de una transformaci´on lineal.
Cambio de base para una transformaci´on lineal.
Valores y vectores propios. Multiplicidad algebraica y geom´etrica de valores
propios. Diagonalizaci´on de matrices.
Bases ortonormales. Gram-Schmidt. Diagonalizaci´on ortogonal de matrices
sim´etricas. Introducci´on a las c´onicas: par´abolas, elipses,
hip´erbolas. Rotaci´on de c´onicas.
Pr´actica para el Examen Parcial III.
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