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Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Llamamos:
a: cantidad de científicos del grupo A
b: cantidad de científicos del grupo B
c: cantidad de científicos del grupo C
Sabemos que:

a + b + c = 100


20.000 a + 8.000 b + 10.000 c = 1.360.000
20.000

a = 8.000 b

5
o el sistema equivalente:
a + b + c = 100


10 a + 4 b + 5 c = 680

a = 2b

Lo resolvemos?
El CONICET recibió una donación de
$1.360.000 para realizar investigaciones
sobre métodos de prevención de posibles
ataques bacteriológicos.
El dinero se dividió entre 100 científicos
de 3 grupos de investigación: A, B, C.
Cada científico del grupo A recibió
$20.000; cada científico del B $8.000 y
cada uno del C recibió $10.000.
El grupo de investigación B recibió 1 / 5
de los fondos del grupo A.
¿Cuántos científicos pertenecen a cada
grupo?
a = 2b
b = 20
a = 40
9 b = 180
 3 b + c = 100

24 b + 5 c = 680
24 b + 5 ( 100 – 3b ) = 680
c = 40
c = 100 – 3b
Solución: { ( 40, , 20 , 40 ) }
Respuesta: Al grupo A pertenecen 40 científicos, 20 pertenecen al B y 40 al C.
DEFINICIÓN
Un sistema de tres ecuaciones lineales con
tres incógnitas es un sistema de ecuaciones
de la forma:
a 1 x + b1 y + c1z = d1

a 2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
 3
3
3
3
ai , bi , ci , di ∈ R
i = 1, 2, 3
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EJEMPLO
x + y + z = 10


 x + 4 y + 5z = 6

x + 23 z = - 7

Recuerda que si a, b y c son tres números reales no simultáneamente
nulos, la gráfica de la ecuación ax + by + cz + d = 0 es un plano en el
espacio R3 .
El sistema de tres ecuaciones lineales
con tres incógnitas
 a 1 x + b1 y + c1 z = d1

a 2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
 3
3
3
3
determina en R3 tres planos que
pueden
tomar
las
siguientes
posiciones:
1- Los tres planos se intersecan
en un punto. En este caso el
sistema tiene como solución
única la terna de números
reales ( x0 , y0 , z0 ) que
representan las coordenadas del
punto P.
El sistema de ecuaciones es
compatible determinado.
2- Dos de los planos son coincidentes ó bien los tres se cortan según una recta.
El sistema tiene infinitas soluciones, todas las ternas (x, y, z ) que representan
las coordenadas de los puntos de la recta.
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.
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3- Dos de los planos son paralelos ó dos tienen una recta en común y el otro los
corta.
El sistema no tiene solución.
El sistema de ecuaciones es incompatible.
4- Los tres planos son paralelos.
El sistema no tiene solución.
El sistema es incompatible
5- Los planos son coincidentes.
El sistema tiene infinitas soluciones,
todas las ternas (x, y, z ) que
representan las coordenadas de los
puntos del plano.
El sistema es compatible indeterminado
Cómo representarías esta
situación geométrica?
Como vemos, nuevamente, hay sólo tres casos posibles de soluciones:
J
Solución única.
J
Infinitas soluciones.
J
No tiene solución.
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Resolución de algunos sistemas
Sea el sistema
 x + y+z =2

 2x - y = 0 .

y+ z=-3

Despejamos y de las
tres ecuaciones
x+y+z=2
2x - y = 0
y + z = -3
y=2–x-z
y = 2x
y = -3 - z
2 - x – z = 2x
2 – x – z = -3 - z
Igualamos
 2-x =-3

2x + z = - 3
Queda determinado un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas
y=2–x-z
2 x = -3 - z
z = - 13
z = -3 – 2x
 x =5

z = - 3 - 2 x
x=5
y = 10
El sistema es compatible determinado. Su solución es: { ( 5, 10, -13 ) }
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EJERCICIOS
1- Resolver:
a)
x + y + z = 2

 2y - z = 1
 4y - 2z = 3

b)
 x + y-z =2

 2x + 2y - 2z = 3
 -x-y+z =4

2- Don Osvaldo había comprado una gran partida de huevos de gallina, de pato y de
pavo. Enterada de la novedad Haydée corrió hasta el almacén de aquél y le dijo:
“Me contó una vecina que tiene usted para vender huevos de todas clases, se me ha
ocurrido un plato de comida original. Me tiene que ayudar, aquí tiene $ 22 y quiero
22 huevos surtidos.”
Don Osvaldo se rascó la cabeza, hizo unos cuantos números y luego le entregó los
22 huevos “surtidos” a Doña Haydée.
¿Cuántos de cada clase había en el paquete, si los de gallina costaban $6 la docena,
$ 24 los de pato y $36 los de pavo?
Exactamente
debo
darle: 16 de gallina,
4 de pato y 2 de
pavo.
Los sistemas de ecuaciones lineales de más de tres
ecuaciones y
más de tres incógnitas no se pueden
representar geométricamente, pero en ellos se verifica
también que son compatibles determinados, compatibles
indeterminados o incompatibles.
Para su resolución hace falta sistematizar los métodos, esto
se desarrolla en el curso de Matemática C.
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