1. Educación

2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
88
2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
¿Cómo es la solución general de las ecuaciones homogéneas?
Si y1 , y2 ,..., yn es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea, entonces la solución de la ecuación en el intervalo es
y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)
(1)
Donde las ci , i = 1, 2,..., n son constantes arbitrarias. [15]
Solución General de una Ecuación Diferencial Homogénea de Orden Dos
La ecuación homogénea como y ′′ + py ′ + qy = 0 , siempre tiene dos soluciones linealmente
independientes. Solo necesitamos elegir y1 y y2 .
Podemos determinar, que dadas soluciones linealmente independientes y1 y y2
ecuación homogénea
y ′′( x) + p( x) y ′( x) + q( x) y ( x) = 0
de la
(2)
Se pueden expresarse como una combinación lineal de y1 y y2 , de tal manera que
y = c1 y1 + c2 y2
(3)
La ecuación (3), es la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.
Como sugieren las ecuaciones, la determinación de las constantes c1 y c2 depende de un
determinante de orden 2 , de valores y1 , y2 y sus derivadas.
Ejemplo 2.6.1 Siendo y1 = e x , y2 = e− x , soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea y´´− y = 0 en el intervalo (−∞, ∞) , por inspección las soluciones son
linealmente independientes en el eje x ., no podemos crear una función en base a la otra.
La figura 2.6.1 nos muestra las gráficas de las soluciones y1 = e x , y2 = e− x
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres
2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
89
30
−x
20
f(x)
e
x
e
10
10
0
10
x
Figura 2.6.1 Gráficas de las soluciones y1 = e x , y2 = e− x
Si observamos el wronskiano, podemos corroborar que el determinante es diferente de 0
W (e x , e − x ) =
ex
e
x
e− x
−e
−x
= (e x )(−e − x ) − (e− x )(e x ) = −2
El cual es diferente de 0 , para toda x , concluyendo que y1 , y2 , forman un conjunto
fundamental de soluciones, y en consecuencia, y = c1e x + c2 e− x es la solución general de la
ecuación en el intervalo .
Ejemplo 2.6.2 Si las funciones y1 = e x , y2 = e 2 x , y3 = e3 x satisfacen la ecuación diferencial,
determinar la solución general de
y´´´−6 y´´+11 y´−6 y = 0
(4)
La gráfica de las funciones se muestra en la figura 2.6.2.2
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres
2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
90
30
x
f(x)
e
20
2x
e
3x
10
e
5
0
5
x
Figura 2.6.2.2 Gráfica de y1 = e x , y2 = e 2 x , y3 = e3 x
Revisando el wronskiano de las funciones
ex
e2 x
e3 x
w(e x , e 2 x , e3 x ) = e x
ex
2e 2 x
4e 2 x
3e3 x
9e 3 x
Resolviendo el determinante
w(e x , e 2 x , e3 x ) = (e x 2e 2 x 9e3 x + e2 x 3e3 x e x + e x 4e2 x e3 x ) − (e x 2e 2 x e3 x + e x e2 x 9e3 x + 4e2 x 3e3 x e x )
Simplificando
w(e x , e 2 x , e3 x ) = 2e6 x
(5)
w(e x , e 2 x , e3 x ) ≠ 0 , por lo cual se concluye que son linealmente independientes, y forman
un conjunto fundamental de soluciones.
De tal manera que la solución de la ecuación diferencial sería
y = c1e x + c2 e 2 x + c2 e3 x
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
(6)
Amalia C. Aguirre Parres