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Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas
PAUTA Primera Prueba Solemne
Módulos 7-8 : Diurno
PRIMERA PARTE
1.
Un tanque contiene 10 galones de salmuera en los que hay disueltos 2 Kg de sal. A partir de
gal
un instante t = 0 se agrega más salmuera al tanque a razón de 2 min , con una concentración de 0.5
gal
Kg de sal por galón, y simultáneamente sale mezcla del tanque a razón de 2 min . Si la mezcla se
mantiene bien revuelta dentro del tanque, la cantidad de sal dentro del mismo a los 10 minutos es:
(a) 5 + 3e−2 Kg
¡
¢
( c) 5 − 3e−2 Kg
(b) −5 + 3e2 Kg
¢
¡
¡
¢
(d ) 5 + 3e2 Kg
¡
¢
Solución: Sea x( t) la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante t, por lo tanto el modelo
que representa a la mezcla de este problema es:
dx
x
= 1−
dt
5
; x(0) = 2
separando variables
dx
dt
=
5− x
5
integrando,
−ln(5 − x) =
t
+ C =⇒ 5 − x = C · e− t/5
5
despejando x( t) se obtiene que:
x = 5 + Ce− t/5
imponiendo la condición inicial x(0) = 2 se obtiene que C = −3, por lo tanto si queremos determinar
la cantidad de sal que hay a los 10 minutos debemos calcular
x(10) = 5 − 3e−10/5 = 5 − 3e−2
lo cual implica que la alternativa correcta es la ( c)
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, la solución de la ecuación diferencial
y
³
´
³
´
6x y2 + 2y dx + 3x2 y + 6y2 d y = 0
2. Dado el factor integrante µ( y) =
es:
(a) 6x2 y + 2x y + 3y3 = C
( c) 12x2 y + 4x + 12y3 = C
(b) 3x2 y + 2x y + 3y2 = C
(d ) 6x2 y + 4x + 6y2 = C
Solución: Aplicamos el factor integrante a la ecuación diferencial, obteniendo
³
´
(12x y + 4) dx + 6x2 + 12y d y = 0
Luego, como la ecuación generada es exacta podemos asegurar que existe una función f ( x, y) tal que:
Z
f ( x, y) = (12x y + 4) dx = 6x2 y + 4x + h( y)
derivando parcialmente con respecto a y,
∂ f ( x, y)
∂y
= 6x2 + 12y = 6x2 y + h 0 ( y) =⇒ h 0 ( y) = 12y
integrando,
h( y) = 6y2
esto implica que la solución de la ecuación diferencial es:
f ( x, y) = 6x2 + 4x + 6y2 = C
por lo tanto la alternativa correcta es la ( d ).
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SEGUNDA PARTE
1. La solución de la ecuación diferencial ( y − x + 1) dx + d y = 0 es y = C (x − 2) e−x
• Verdadero
• Falso
X
Justificación: Si resolvemos la ecuación diferencial utilizando el cambio de variable u = y − x se
obtiene que:
( y − x + 1)dx + d y = 0 ⇐⇒ (u + 1)dx + du + dx = 0
separando variables,
−
du
= dx
u+2
integrando
−ln(u + 2) = x + C
por lo tanto
u = Ce− x − 2
reemplazando u = y − x se concluye que la solución de la ecuación diferencial es:
y = Ce− x − 2 + x
por lo tanto la afirmación es falsa.
2.
La ecuación diferencial t + ye2yt + ate2t y
que a 6= 1.
dy
= 0 admite un factor integrante φ( t, y) siempre
dt
• Verdadero
• Falso
Justificación: Si la ecuación admite un factor integrante, entonces no es exacta. Por lo tanto, si
analizamos las condiciones de a para que la ecuación sea exacta podremos determinar la veracidad
de la proposición.
Si escribimos la ecuación de forma exacta se obtiene que:
³
´
x + ye2x y dx + axe2x y d y = 0
Luego, la condición establece que una ecuación es exacta siempre que:
¡
¢
¡
¢
∂ axe2x y
∂ x + ye2x y
=
=⇒ e2x y + 2x ye2x y = ae2x y + 2ax ye2x y
∂y
∂x
esto implica que:
e2x y · (1 − a) + 2x ye2x y (1 − a) = 0 =⇒ a = 1
Por lo tanto, la ecuación diferencial admite un factor integrante para cualquier valor de a 6= 1. Así
concluimos que la proposición es verdadera.
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TERCERA PARTE
Problema 1
En un tanque hay 400 litros de salmuera con 40.2 kilogramos de sal. A esta solución le entra
agua con una concentración de 0.1 kilogramos por litro, a una tasa de 12 litros/min y le sale la
mezcla a una tasa de 8 litros/min.
(a) Encontrar la cantidad de soluto en cualquier instante para la solución.
(b) Encontrar la concentración de soluto en cualquier instante para la solución.
Solución: considerando x( t) la cantidad de sal en un instante t tenemos que:
x( t)
dx
= 0.1 · 12 − 8 ·
dt
400 + 4t
;
x(0) = 40.2
Resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos que:
dx
2
+
· x( t) = 1.2
dt 100 + t
donde, el factor integrante asociado a la ecuación es:
Z
−
x0 ( t) = e
2
dt
100 + t
= ( t + 100)−2
Luego,
Z
−2
x( t) = (100 + t)
· 1.2 · (100 + t)2 dt
x( t) = 0.4 · (100 + t) +
C
(100 + t)2
imponiendo la condición inicial, tenemos que C = 2000. Esto implica que la cantidad de soluto en el
tanque esta dada por la función:
x( t) =
4 · (100 + t)
2000
+
10
(100 + t)2
y la concentración de soluto se puede determinar por la relación:
c ( t) =
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x( t)
1
500
=
+
V ( t)
10 (100 + t)3
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