1. No category

Solución de Ecuaciones Diferenciales tipo Bilaplaciano para la Simulación de
MEMS tipo acelerómetro
José D. ALANIS
División de Tecnologías de la Información y Comunicación, Universidad Tecnológica de Puebla
Puebla, Puebla, 72300, México
Blanca BERMUDEZ
Facultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Puebla, Puebla, 72570, México
y
José L. Hernández Rebollar
Facultad de Ciencias de la Electrónica, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Puebla, Puebla, 72570, México
RESUMEN
En este artículo se presenta la solución numérica de una
ecuación diferencial parcial del tipo bilaplaciano para simular el
comportamiento de la deformación de un MEMS (Micro
Electro Mechanical Systems, por sus siglas en inglés) del tipo
acelerómetro. El modelo físico de este dispositivo es una placa
rectangular simplemente apoyada, sujeta por los cuatro
extremos y se le aplica una fuerza inicial sobre toda la
superficie de forma sinusoidal y como resultado de la vibración
se tiene una deformación. Seguidamente se obtiene un modelo
matemático que resulta ser una ecuación diferencial parcial que
tiene un laplaciano elevado al cuadrado, es decir un
bilaplaciano.
La solución numérica de la ecuación diferencial parcial tipo
bilaplaciano se realizó usando el lenguaje de programación
Java, mediante el método de diferencias finitas aprovechando
las ventajas del paradigma orientado a objetos y la potencia del
lenguaje de programación.
Los resultados de la simulación numérica resultan aceptables
para este problema en particular y son un primer paso hacia la
simulación con visualización mediante la técnica de simulación
denominada modelado basado en física. Este mismo método se
puede utilizar como base para la simulación de otro tipo de
dispositivos, tomando como base este método.
Palabras Claves: MEMS tipo acelerómetro Ecuaciones
Diferenciales Parciales, EDP tipo Bilaplaciano. Modelado
Basado en Física.
1. INTRODUCCIÓN
Se puede definir a los MEMS (Micro Electromechanical
Systems: por sus siglas en inglés) como una forma de diseñar y
desarrollar sistemas electrónicos y mecánicos en una escala en
el orden de los micrómetros [2] Los efectos de la aplicación de
los MEMS en dispositivos más complejos ó adaptarlos como
sensores, actuadores, narices electrónicas, se pueden percibir
incluso a gran escala.
Lo anterior es utilizado para instrumentar soluciones que
generalmente son utilizadas en aparatos electrónicos que
obtienen medidas o parámetros del mundo real[2][4][1].En la
Figura 1 se puede observar un uso común del MEMS tipo
acelerómetro dentro de la industria de los dispositivos móviles
para controlar la orientación de la pantalla.
Figura 1 Aplicaciones del MEMS tipo Acelerómetro en la
Industria de los dispositivos móviles.
Existen en la literatura acerca del comportamiento de placas y
los materiales que las conforman, conocimientos que si bien no
son nuevos, aportan un entendimiento particular del tema en
cuestión, entre los que más se ha apoyado esta teoría esta
Timoshenko [6], en su obra el autor señala que es necesario
conocer la física, más precisamente la mecánica del
comportamiento de los placas que involucran fuerzas, tensiones
y presiones que se aplican sobre el material.
De esta forma se puede describir un MEMS tipo acelerómetro
de forma general, como una placa, similar a un plato elástico
delgado y forma rectangular, simplemente apoyada sujeta por
ambos extremos, la deformación del material se da en el plano
perpendicular es decir el eje Z. Esto es debido a que se tiene
una función de deformación en dos dimensiones x y y, por lo
tanto la deformación se mide en dirección de z [2][6].
La obtención de la deformación del material es importante para
la construcción de dispositivos del tipo acelerómetro e
implementar soluciones electrónicas más complejas. La
simulación de este fenómeno ahorra costos en la construcción
especializada de materiales, ahorro en tiempo y esfuerzos
necesarios para lograr buenos resultados.
Actualmente se cuenta con software especializado para realizar
la simulación de la deformación de materiales, sin embargo son
costosos computacionalmente hablando, y el pago de licencias,
aplicaciones adicionales y capacitación han vuelto prohibitivo
contar con esta clase de herramientas para modelar y simular los
materiales ó los dispositivos [2][5].
Por todo lo anterior y mediante el uso de la técnica de
simulación del modelado basado en física, utilizando software
libre para generar una propuesta de solución que abata los
costos computacionales, pago de licencias y esfuerzos, logrando
así una implementación que simule la deformación con
visualización del problema planteado.
Para lograr la simulación ya descrita, es necesario obtener un
modelo matemático derivado del estudio de la deformación del
acelerómetro sujeto a una fuerza bidimensional. Este modelo
matemático es generalmente una ecuación diferencial parcial [4]
[6]
En este trabajo se presenta la solución numérica de una
ecuación diferencial parcial del tipo bilaplaciano, mediante el
método de diferencias finitas, implementado en Java.
Primeramente se describe un modelo matemático representado
por una ecuación diferencial parcial y de la cual se tiene un
resultado analítico con el que se puede comparar los resultados
obtenidos numéricamente.
En la Sección 2 se presenta el modelo matemático que es la
ecuación diferencial parcial que describe la deformación del
acelerómetro, con las condiciones iniciales para dicho
dispositivo.
En la Sección 3 se describe el método de diferencias finitas
aplicado a esta ecuación diferencial, como base para la
simulación numérica de la mencionada ecuación y sus
parámetros que son necesarios para la solución numérica.
En la Sección 4 se presentan los resultados obtenidos en la
simulación numérica, dada la instrumentación de la solución
realizada en la sección anterior.
En la Sección 5 se presentan las conclusiones y trabajos
actuales y futuros del trabajo que se está realizando.
2.
MODELO MATEMATICO
Un acelerómetro es una placa indeformable que puede ser
rectangular ó cuadrada, que se sujeta en un extremo ó en todos
sus extremos [1] [2] [6]. Para entender un acelerómetro sujeto
por todos sus extremos y que recibe un impulso eléctrico que lo
hace vibrar, de tal forma que ese impulso provoca la
deformación en el eje de las z, que es el principal objeto de
estudio para casi todos los MEMS [1][2][6] como se puede
apreciar en la Figura 1 la cual representa un acelerómetro
simulado.
De esta manera la ecuación que gobierna la deformación del
movimiento de un MEMS de tipo acelerómetro, como el que se
ha mencionado viene dada como [1][6]:
2
1
Donde es la deformación del material y q es la intensidad de
la fuerza que se aplica a la placa. Dicha fuerza se puede
describir en términos de la siguiente ecuación[4][6]:
sin
2 Donde
es la fuerza en el centro del plato, el parámetro , es
la rigidez que el material opone a la flexión, y está determinado
como sigue[6]:
1
3
De la ecuación (3), tenemos los siguientes significados [6]:
E es el modulo de Young ó modulo de tracción, es una
medida de caracterización de los materiales que mide el grado
de rigidez de un material elástico.
I es el momento de inercia, esto es la resistencia de un
material a la flexión, de acuerdo a esto, el mayor momento de
inercia se da antes de que el material se doble por completo.
v es el radio de Poisson, que es la relación de contracción a la
tensión transversal al eje donde se ejerce la tensión o impulso.
Para este problema utilizaremos los siguientes parámetros para
la solución de la ecuación diferencial, merece la pena
mencionar que no son resultado de otras simulaciones, sino más
bien proceden de la experimentación en el ICBUAP1, y a
continuación se presentan en la tabla1 [1][2][6]:
Silicio
Modulo de Young
13 x1010
Momento de Inercia
2330
Radio de Poisson
0.28
Tabla 1. Medidas iniciales para el cálculo del parámetro D,
en el lado derecho de la ecuación (1)
Figura 2. Placa de un acelerómetro simulada con COMSOL
A continuación, en la Figura 3, se ilustra algunas de las fuerzas
que intervienen en un acelerómetro, que en este caso van a
provocar la deformación de la placa en cuestión, dada la
aplicación de un impulso electrónico en el eje Z.
Figura 3. Fuerzas que intervienen en acelerómetro en dos
dimensiones
Dadas las ecuaciones anteriores, ahora se muestran las
condiciones iniciales y de frontera del problema en cuestión,
primeramente se sabe que el acelerómetro está sujeto por los
cuatro extremos, lo que describe las siguientes condiciones de
frontera para una placa simplemente apoyada [6]:
0,
0# $ 0 4
0,
0# $ 0 4
En este caso las dimensiones de los lados están denotadas como
a y b, luego los extremos son x=a y y=b, como ya se dijo lo
anterior denota que la placa esta simplemente apoyada y sujeta
en sus extremos [1] [6].
1
Los autores agradecemos al Dr. Salvador Alcántara los datos proporcionados en
su tesis doctoral y su experimentación con estudiantes del ICBUAP, CIDS (Centro
de Investigación en Dispositivos Semiconductores)
Sea I el momento de inercia dado por:
<⁄12 , donde t es el
grosor (thickness) del material que se trate y tomando en
consideración que
20# [1] [6] realizando los cálculos el
>
correspondientes el valor de ?, es el siguiente:
Las condiciones de frontera vienen dadas como sigue:
0&'
0# $ 0 5
0&)
0# $ 0 5
@
Donde &' &) son los momentos de flexión que se observan
cuando el material es sometido a la fuerza que ya se mencionó
en el sentido del eje z [6] [1].
3.
INSTRUMENTACIÓN POR DIFERENCIAS
FINITAS
Sea *0,1+*0,1+ y sea ,
,'
,) .
AB
C
7.0544289198926322450270970902522I104J
El lado derecho queda de la siguiente forma:
K
7.054428919892632245027097090I104J sin
T
3
3 6
7
V6 W6
>?
@
Para el dominio
T
>?
U9 @
sin
sin
/
-6.
-' 6
-9.
-' 9
.123 4.1,5
∆.
∆'
(6)
∆'
/
.123,5 4.1,5 7.183,5
/
.126,5 4 .123,5 7:.1,5 4 .183,5 7.186,5
(7)
∆' 6
-9.
-' 6 -) 6
∆' 9
/
.126,523 4 .123,523 7:.1,5 4 .183,5837.186,583
∆' 9
(8)
(9)
La ecuación (1) discretizada entonces, queda como sigue:
-9 ;
2
-9 ;
-9;
NO
(12)
U'
X
sin
U)
(13)
Y
sin
(14)
RESULTADOS
Una vez que se tiene el sistema de ecuaciones lineales se
resuelve para ∆ =1/16 mediante SOR, y se compara con la
solución analítica en Matlab[3][1], obteniendo la siguiente
tabla:
Para la discretizacion, se usan las siguientes fórmulas:
-'
M
la solución analítica está dada por:
4.
-.
L
Sea
el número de puntos en el eje ,
el número de puntos
en el eje , dada la discretización ya mencionada se tiene que
1, … ,
, Q 1, … , , por último R 1, … ,
∗
. En
Timoshenko et al. [6], se presenta la solución exacta a este
problema que viene dada por:
U9 Figura 1. Discretización del Dominio para usarlo en
diferencias finitas.
(11)
h
(∆Z ∆[
1/16
Error
Absoluto
0.000006547
Error
Relativo
0.2999
Tabla 2 Cálculo del error para los resultados que se obtienen
mediante el uso del tamaño de paso ∆
1/16
Se puede observar que el error relativo es del 30%
aproximadamente. Tomando en consideración la función exacta
de la ecuación (1) y (2) se tiene la siguiente gráfica:
/
-' 9
-' 6 -) 6
-) 6
.126,5 4 .123,5 7:.1,54 .183,5 7.186,5 7.126,5234 .123,5237:.1,54 .183,583 7.186,583
7.1,5264 .1,5237:.1,5 4 .1,583 7.1,586
∆' 9
(10)
Resulta entonces un sistema de ecuaciones lineales de la forma
Ax=b, donde A tiene la siguiente forma:
Figura 4 Forma de la matriz A
Figura 5 Gráfica de la Solución Exacta realizada por Matlab [4]
Luego se muestra en la Figura 6 la gráfica de la solución
numérica obtenida mediante la implementación en diferencias
finitas como se ve a continuación:
Figura 8 Gráfica de la Solución Numérica de la
instrumentación de Java, con ∆
1/32 [4]
5.
Figura 6 Gráfica de la Solución Numérica de la
instrumentación de Java en Matlab con ∆
1/16 [4]
Con el objetivo de disminuir el error se tomó ∆
obteniendo los siguientes resultados:
h
(∆Z ∆[
1/32
Error
Absoluto
0.00000621910
1/32
Error
Relativo
0.2849
Tabla 3 Cálculo del error para los resultados que se obtienen
mediante el uso del tamaño de paso ∆
1/32
Como se puede observar mediante la disminución proporcional
en el tamaño de paso produce una reducción de un margen de
error del 1%, se prevé que una disminución en el tamaño de
paso en mayor medida se obtengan mejores resultados.
La Figura 7 muestra la solución exacta:
En este trabajo se ha presentado la solución numérica de una
ecuación diferencial del tipo bilaplaciano, que representa el
comportamiento de un MEMS tipo acelerómetro obteniendo
buenos márgenes de error aceptables para este problema en
particular, mediante el método de diferencias finitas. Al
disminuir en forma proporcional el tamaño de paso, los
márgenes de error disminuyen en una cantidad igualmente
proporcional.
La implementación del método se ha realizado explotando en
mayor manera las capacidades del software libre, en particular
de la programación orientada a objetos que provee elementos
flexibles, adaptables y que ayudan en el manejo de la memoria
principal. Estos resultados se utilizarán en los trabajos
subsecuentes para lograr la simulación con visualización
mediante modelado basado en física y constituyen el primer
paso para lograr renderizar los resultados por medio de esta
técnica.
El método de diferencias finitas resulta adecuado para resolver
numéricamente esta clase de ecuaciones. Se considerará realizar
este mismo problema mediante el método de elemento finito,
con el fin de estudiar la variación del error con respecto al
número de elementos utilizados.
6.
Figura 7. Gráfica de la Solución Exacta realizada mediante
Matlab[4]
Por último se muestra la gráfica de la solución obtenida
mediante Java en la Figura 8, que se presenta a continuación:
CONCLUSIONES
REFERENCIAS
[1] Alanís José D., Bermúdez B., Hernández José L., Solución
de Ecuaciones Diferenciales Parciales tipo Bilaplaciano en la
Simulación numérica de MEMS tipo acelerómetro, 1°
Conferencia Iberoamericana de Instrumentación y Ciencias
Aplicadas 2013 SOMI XXVIII CCADET UNAM, Campeche,
Campeche, México, ISBN Pendiente.
[2] Maluf, Nadim, An Introduction to Microelectromechanical
Systems Engineering, Artech House Publishers, USA 2000.
[3] Matworks and Simulink Manuales y Ayuda en Línea para
desarrollo
en
Matlab
disponible
en:
http://www.mathworks.com/help/
[4] Pelesko, John A., Berstein David H., Modeling MEMS and
NEMS, Chapman & Hall/CRC Press Company, USA, 2003
[5] Reddy, J.N., An Introduction to the Finite Element Method
3rd Edition, McGraw-Hill; USA 2005.
[6]Timoshenko, S, Woinowsky Krieger, Theory of Plates and
Shells, McGraw hill International Book Company, USA
1984.