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EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA
UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA SIMPLE EN ESTÁTICA,
UTILIZANDO
LAS
ECUACIONES
DE
MAXWELL
EN
FORMA
INTEGRAL: NIVEL INTERMEDIO.
Problema 4
Se tiene una densidad de corriente J = J 0 1z en el volumen x < 2 ,
y < ∞, z < ∞.
a) ¿De cuál coordenada depende el campo magnético producido por esta
corriente? ¿Por qué H x = H z = 0 ?.
b) Calcular el campo magnético producido por esta corriente en todo el
espacio.
c) Realizar un bosquejo del campo magnético obtenido.
Solución.
a) Estudio de coordenadas y de componentes nulas.
Como la geometría de las corrientes sólo depende de x , y la densidad de
corriente es constante, el campo magnético sólo depende de x . Entonces
puede afirmarse que H = H z (x)1x + H y (x)1y + H z (x)1z .
Para determinar cuáles componentes del campo magnético son nulas, se
comienza aplicando la regla de la mano derecha. Dado que la densidad de
corriente sólo tiene componente en dirección z, el campo magnético no tiene
componente en esa dirección, es decir, Hz = 0.
Antes de continuar, debe establecerse el efecto de la simetría del
problema sobre el campo magnético.
Para ello se coloca un observador
Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003
Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
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ficticio a una distancia X a ambos lados del plano YZ, mirando hacia éste, y se
compara la forma en que observa las corrientes.
En función de esta
comparación se concluye con relación a la simetría del campo magnético. En
la figura 1 se muestra al sistema de corrientes y a los observadores en ambos
lados del mismo.
z
Hx(−X)
−X
Hy(X)
Hy(−X)
−2
0
2
Hx(X)
X
x
J
Fig. 1: Sistema de corrientes y simetría del problema 2.
El observador que está en x = X ve a la densidad de corriente hacia
arriba, y mide un campo magnético que tiene una componente que apunta
hacia él y otra que apunta hacia su izquierda. Mientras tanto, el observador
que está en x = −X también ve a la densidad de corriente hacia arriba, y debe
medir un campo magnético que tiene una componente que apunta hacia él y
otra que apunta hacia su izquierda, de las mismas magnitudes que las
componentes que mide el otro observador. Entonces, debe cumplirse que
H x (− X) = − H x (X) , y que H y (− X ) = − H y (X) .
Para demostrar que Hx = 0, se aplica la Ley de Gauss del campo
magnético en un paralelepípedo simétrico respecto al plano x = 0, como el que
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se muestra en la figura 2.
z
z2
V
z1
−x 1
−2
x
x1
2
0
J
Fig. 2: Volumen para demostrar que Hx = 0.
Al aplicar la Ley de Gauss, se tiene:
∫µ
z2 y2
0 H ⋅ da = 0 =
S=∂V
z2 y2
∫ ∫ µ H (x) dy dz
0
−
x
z1 y1
x= x1
z2 x1
+
z1 −x1
0
x (x) dy dz
z1 y1
x =− x1
z 2 x1
∫ ∫ µ H (x) dx dz
0
∫∫µ H
−
y
y= y2
∫ ∫ µ H (x) dx dz
0
y
z1 − x1
y=y1
Las dos integrales de la segunda línea se anulan entre ellas, por lo que
queda:
0 = µ 0 (z 2 − z1 )(y2 − y1 )[H x (x1 ) − H x (−x1 )]
= 2 µ 0 (z 2 − z 1 )(y 2 − y1 )H x (x1 )
De aquí se obtiene que Hx = 0, como se quería demostrar.
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b) Cálculo del campo magnético.
Después de las simplificaciones de la parte a), el campo magnético a
calcular es de la forma H(x) = 1y H y (x) . Para calcular el campo, deben
elegirse contornos cuya superficie sea atravesada por la corriente. Además,
debe elegirse un contorno para calcular el campo adentro y afuera de la
densidad de corriente. Para aprovechar la simetría del campo, esos contornos
se eligen simétricos respecto a la coordenada x. En la figura 3 se muestran los
contornos para el cálculo del campo magnético.
y
y2
L2
J
−x 2
−2
2
0
L1
−x 1
x1
y2
y1
x2
x
y1
Fig. 3: Contornos para el cálculo del campo magnético.
Al aplicar la Ley de Ampère al contorno L 1, se tiene:
∫ H ⋅ dl = I
L1 =∂S 1
y2 x1
S1 =
∫ ∫J
0 dx dy = 2 (y 2 − y1 ) x1 J 0
y1 -x1
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Luego de calcular la circulación del campo magnético, se tiene:
(y 2
[
]
− y1 ) H y (x 1 ) − H y (− x1 ) = 2 (y2 − y1 ) x1 J 0
Aplicando la condición de simetría del campo y despejando, queda:
H y (x) = x J 0 , para − 2 ≤ x ≤ 2, y < ∞, z < ∞
Al aplicar la Ley de Ampère al contorno L 2, se tiene:
∫ H ⋅ dl = I
L1 =∂S 2
y2 2
S2 =
∫∫J
0 dx dy = 4 (y 2 − y1 ) J 0
y1 -2
Luego de calcular la circulación del campo magnético, resulta:
(y 2
[
]
− y1 ) H y (x 1 ) − H y (−x1 ) = 4 (y 2 − y1 ) J 0
Aplicando la condición de simetría del campo y despejando, queda:
H y (x) = 2 J 0 , para x ≥ 2, y < ∞, z < ∞
H y (x) = − 2 J 0 , para x ≤ −2, y < ∞, z < ∞
Resumiendo, el campo magnético producido por esta corriente es:
− 1y 2 J , para x ≤ −2, y < ∞, z < ∞
0


H ( x) = 1y x J 0 , para x ≤ 2, y < ∞, z < ∞

1y 2 J , para x ≥ 2, y < ∞, z < ∞
0

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c) Dibujo del campo magnético.
En la figura 4 se muestra un dibujo del campo magnético producido por
las corrientes de este problema. Se eligió el plano XY como plano del dibujo
para poder observar la dirección del campo (y) y la variación del campo con x.
Se tuvo que ensanchar la región de la corriente para poder representar mejor la
variación del campo magnético en esa zona.
y
H
0
x
J
Fig. 4: Dibujo del campo magnético del problema 2.
Se observa que fuera de la corriente los campos son uniformes, lo cual
se representa manteniendo constante la separación de las líneas, mientras que
dentro de la corriente el campo varía de forma lineal, lo cual se representa
aumentando gradualmente la separación de las líneas del campo a medida que
uno se acerca a x = 0. También se observa que el campo es continuo en x = −2
y en x = 2.
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