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RADICALES
1.1 Radicales
1.2 Transformaciones de radicales
1.2.1 Teorema fundamental de la radicación
1.2.2 Simplificación de radicales
1.2.3 Reducción de radicales a índice común
1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario
1.3
Operaciones con radicales
1.3.1 Producto de radicales.
1.3.1.1
Extracción de factores fuera del signo radical
1.3.1.2
Introducción de radicales dentro del signo radical
1.3.2 Cociente de radicales
1.3.3 Potencia de un radical
1.3.4 Raíz de un radical
1.4
Racionalización de denominadores
1.4.1 Denominadores con monomios
1.4.1.1
Con una única raíz cuadrada
1.4.1.2
Con una única raíz n-ésima
1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados
1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes
1.1
Radicales
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si una potencia es:
an = b
La radicación es la operación que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa:
f : an = b 
→ f −1 : a = n b
Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya
potencia n-ésima es igual a b
b=a
n
 n b : es el radical

b : es el radicando

 n : es el índice
 a : es la raíz

Un radical puede llevar coeficientes que formen parte de el como por ejemplo 3n b
donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical.
Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice
Si n = 3, es la raíz cúbica
Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente
Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente
natural y base negativa tenemos que
•
Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando
3
8 = 2 ya que 2 3 = 8
− 8 = −2 ya que ( −2) 3 = −8
Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo
16 = ±4 ya que 4 2 = ( −4) 2 = 16
Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real
4
− 64
3
•
•
Ejercicios:
Calcula el valor de los siguientes radicales identificando en cada uno de ellos índice,
radicando y raíz:
1.
2.
3
3.
4.
5.
3
9
9.
−8
10.
64
11.
125
256
12.
13.
4
625
256
729
125
3 −
512
5
7776
3
0.064
1.2
6.
4
256
14.
7.
5
− 32
15.
8.
4
81
256
16.
5
1024
243
8
125
−
3
0.0004
Transformaciones de radicales
1.2.1 Teorema fundamental de la radicación
Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por
un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía.
Demostración
Sea el radical n A p = b
Por definición de raíz: A p = b n
( ) = (b )
Elevamos los dos términos de la igualdad a una potencia q: A p
o sea: A pq = b nq .
q
n q
Extraemos la raíz de índice n ⋅ q : A p⋅q = b nq = b
Luego queda demostrado (por definición de raíz)
nq
nq
n
Ap =
nq
A pq
(1)
Este teorema permite la simplificación de radicales, definir la potenciación de
exponente fraccionario y la reducción a índice común.
Ejemplos:
a)
3a = 4 (3a )2 = 4 9a 2 ;
c) 5 x 2 + y 2 = 10 ( x 2 + y 2 ) 2
b) 3 2 a 2 ( x 2 + y ) = 6 2 2 a 4 ( x 2 + y ) 2 ;
d) 4 36 = 4 6 2 = 6
e) 10 32 = 10 2 5 = 2
Ejercicios:
Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales:
17)
3xy
18) 3 2 x 2 z
19) 4 5 xy 2 z
20) 3 2ab 2
21) 4 3xy 3 z 2
22) 5
xy 2
z3
1.2.2 Simplificación de radicales
Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del
radicando por sus factores comunes (por el m.c.d).
Ejemplos:
a)
6
324 = 6 2 2 ⋅ 3 4 = 6 (2 ⋅ 32 ) 2 = 3 2 ⋅ 3 2 = 3 18
b)
18
27 a 9 = 18 33 ( a 3 ) 3 = 18 (3a 3 ) 3 = 6 3a 3
9b 2
=
x2y4
c)
32 b2
=
x2 ( y2 ) 2
2
 3b 
(3b ) 2
3b
=  2  = 2
2 2
( xy )
xy
 xy 
Ejercicios:
25)
x2
y 20
16a 4
49b 8 c 2
28)
81a 2b 2c 8
144 x 2 y 6
125x 12
29) −
64( a − b) 9
30) 5 − 243( a + b) 10
31)
32) 6 8x 3 y 3
33) 9 64 x 3 y 6
34) 10 32a 5
16a 8
35)
81b 4
27 m3 n 6
36)
125a 6b 9
37) 5
23)
25a 4 b 6 c10
24) 3 27 a 3b 9c 12
26)
25m 2 n 6
81a10 x 4
27)
3
12
15
4
25x 2
−1
x 5 y 15
1.2.3 Reducción de radicales a índice común
Se opera de manera similar a la de reducción a común denominador en fracciones:
•
•
El índice común será el m.c.m de los índices.
Se divide el índice común por cada índice y el cociente se multiplica por el
exponente del radicando.
Ejemplos:
a) Reducir a índice común 3,
El m.c.m (2, 3, 4) = 12
12
12
12
=6
=4
=3
2
3
4
b) Reducir a índice común
El m.c.m (2, 6, 4) = 12
3
5,
4
7
⇒ 12 36 ,
12
54 ,
3ax 3 , 6 3( x − 2 a) y
12
4
73
5a 3 b 2
12
=6
2
12
12
=2
6
(3ax 3 ) 6 ,
12
12
=3
4
( 3( x − 2a )) 2 y 12 (5a 3b 2 ) 3 ⇒ 12 3 6 a 6 x 18 ,
12
3 2 ( x − 2a) 2 y
12
5 3 a 9b 6
Ejercicios:
Reduce a índice común los siguientes radicales:
38) m ,
3
m2 , 4 m3 , 6 m5 ,
8
40) 3 3x 2 y , 4 5xy 3 , 6 7 x 2 y 5 ,
42)
4
xy ,
6
m3
39) x , 5 2 x , 8 3 x 3 , 10 4 x 7 ,
6x5 y 4
9
20
3x 9
x , 5 x 3 , 15 x 2
41)
xy3 , 15 xy 2
1.2.3 Potenciación de exponente fraccionario
Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical
cuyo índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al
numerador del exponente
(2)
Ap n = n Ap
Demostración:
Si dividimos el índice y el exponente del radicando de un radical por el índice tenemos
que:
Ap = Ap n = Ap n
Esto nos permite poner los radicales en forma de potencias y operar con ellos utilizando
las reglas de la potenciación.
nn
n
Ejemplos:
2
3
a) 8 = 8
3
( )
2
b) ab
2
2 3
=
3
(ab )
2 2
= a b
3
2
4
c) x
−
1
3
1
1
=3
13
x
x
=
Ejercicios:
Escribe como potencias los siguientes radicales:
43) 2x ;
44) 3 x 2 ;
45) 4 ab 2 ;
46) 5
a +1
;
a −1
47) 3 x x ;
48)
2b3 3 x
3 x
Escribe como radicales las siguientes potencias:
2
49) 3 3
5
50) ( 2 − x) 2
51) 5
−
2
5
2
52) (−2) 3
53)
3 + 2 −1
3−4
−
1
5
1
54) 4 x 2 y
−
1
2
3
z4
1.3
Operaciones con radicales
1.3.1 Producto de radicales
a) De radicales homogéneos (de igual índice)
Sean los radicales de igual índice n A y n B . Se tiene que:
n A = r ⇒ r n = A
n
n
 B =s⇒ s =B
Multiplicando ordenadamente: r n ⋅ s n = (r ⋅ s )n = A ⋅ B
Extrayendo la raíz n-ésima: n ( r ⋅ s ) n = r ⋅ s = n A ⋅ B
Sustituyendo r y s por su valor:
n
A ⋅n B = n A⋅ B
(3)
El producto de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo
índice y por radicando el producto de los radicandos de los factores.
b) De radicales no homogéneos
Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común.
Ejemplos:
a) 3 5 ⋅ 3 7 = 3 35
b) 4 a ⋅ 4 a 2 = 4 a 3
Reducimos a índice común. m.c.m (2, 3, 4) = 12
c)
3 ⋅2
3
2 ⋅54 2
36 ⋅ 2 12 2 4 ⋅ 5 12 2 3 = 10 12 36 ⋅ 2 7
Observa que se multiplican por un lado los coeficientes (5 y 2) y por otro lado los
radicales
12
Ejercicios:
Efectúa los productos siguientes:
55) 2 ⋅ 3 ⋅ 5
56) a ⋅ a ⋅ a
2 ⋅3 3 ⋅3 5
2 3 2 4 3
62)
⋅
⋅
3 5 4
60) 6 3 ⋅ 3 4 ⋅ 4 5
x
y
63) 4 ⋅ 6 ⋅ 3 xy
y
x
59)
3
2
3
5
57)
a
b2
⋅
2b
a
58)
a ⋅ 3 a ⋅ 4 a3
61) 2 x ⋅ 3 3 x 2 ⋅ 6 x 5
64) 5 ab 2c 3 ⋅ 5 a 2 b 2 c 2 ⋅ abc
66) 33 a 2 b ⋅ 24 a 2b 2
65) 2 a a ⋅ ab3 b ⋅ c5 abc
1.3.2.1
3
Extracción de factores fuera del signo radical
La expresión (3) nos permite simplificar radicales cuando uno de los factores
tiene raíz n-ésima exacta:
12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3
4
a 7 = 4 a 4 ⋅ a 3 = 4 a 4 ⋅ 4 a3 = a4 a3
•
•
•
Se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz.
El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical.
El resto de la división se escribe como exponente del factor dentro del radical.
Ejemplo:
5
x17
Hacemos la división 17/5 y obtenemos de cociente 3 y de resto 2 por lo tanto
5
x 17 = x 3 5 x 2
El proceso paso a paso sería:
•
separamos x 17 en dos factores , de tal forma que uno ellos sea el múltiplo del
índice más próximo al exponente del radicando
x 17 = 5 x 15 x 2
x 15 ⋅ 5 x 2
•
aplicamos la expresión (3)
•
simplificamos el primer radical:
5
5
55
x15 5 ⋅ 5 x 2 = x 3 ⋅ 5 x 2
Si el radicando tiene varios factores, se efectúa la división del exponente de cada factor
por el índice de la raíz
Ejemplos:
x 3 y 5 z 2 = xy 2 z xy
 3 ⇒ cociente1 resto1
 2
 5 2 ⇒ cociente 2 resto1
2
 2 ⇒ cociente1 resto 0
3x 5 y 8 z 15 = z 2 y 6 3 x 5 y 2 z 3 Observa que los factores 3 y x 5 quedan íntegros dentro del
radical por tener exponentes menores que el índice.
6
Si el radicando es un número, se descompone en factores primos y se procede como se
ha indicado.
Ejemplo:
3888 = 2 4 ⋅ 3 5 = 2 2 ⋅ 3 2 3 = 36 3
Ejercicios:
32
67) 3 16x 5
68) 4 64 x 5 y 6
69) 4 m 6 n 4
a 6b 9 c 12d 15
71) 2 a 4 b 6 c 2
72) 3 81a 6b 12c 3 d 4
73) 3 − a 9b 6 c 10
74) 5 5a14b 10c 5
75) 3a 5b 3c 2
76) 3 27 a 2b 3 c 4 d 5
77) 2 16a 3
78) 53 8 x 4 y 3 z 5
79) 3xy 8x 3 y 4 z
80) 2 xy 2 x 5 y 3
67)
70)
6
1.3.2.2
Introducción de factores dentro del signo radical
Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raíz, se
multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como
exponente del factor dentro de la raíz.
Demostración: a m n b = n (a m ) n ⋅ n b = n a nm b
Ejemplos:
a) a 3 a 4 = 3 a 3 a 4 = 3 a 7
b) 7 x 2 5 x 3 = 5 (7 x 2 ) 5 x 3 = 5 7 5 x 10 x 3 = 5 7 5 x 13
3
c)
2a 3 3b 2 3  2a  3b 2 3 2 3 a 3 3b 2
2a 3 3 6a
=  
=
=3
=
2
2
3
2 2
b 4a
b 2 a
b
b
 b  4a
Ejercicios:
81) 2 a 2 a
82) 3x 3 4 x 2
83) ( a + b ) ( a + b)
84) 3a 2 b ab 2
85) x 3 a 2bcx
86) − 2ab 5 a 2b
87) x 2 y 2 xy
88) a 2 bc 3 3 3a 2b
89) 2 a 5ab 2
90) 2 x
93)
2x 3y
3y 2x
94)
1
3x
a 3 2bc
2b a
96) ( x − y )
x+ y
( x − y)
97)
x+ y
x− y
99) ( a + b)
a −b
a2 −b2
100)
91)
2a 3 ab 2 c
3b 2d 3
95)
3 xyz
xy 6
x− y
x+ y
98) ( a + b)
92)
2 25 x
3
5 4y
1
a −b2
2
a +1 a −1
a −1 a +1
1.3.2 Cociente de radicales
a) De radicales homogéneos (igual índice)
Sean los radicales de igual índice n A y n B . Se tiene que:
n A = r ⇒ r n = A
n
n
 B =s⇒ s =B
n
rn  r 
A
Dividiendo ordenadamente: n =   =
s
B
 s
n
r
r 
Extrayendo la raíz n-ésima:   = =
s
s 
Sustituyendo r y s por su valor:
n
n
n
n
A
B
A
A
⋅=n
B
B
El cociente de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo
índice y por radicando el cociente de los radicandos .
(4)
b) De radicales no homogéneos
Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común.
Ejemplos:
3
16
16 3
a) 3 = 3
= 4
4
4
3 1
3 1
b)
:
=
: =
2
2
2 2
6
= 3
2
c) 2 : 2 = 2 : 2 =
6
3
6
3
2
6
23 6
= 2
22
Ejercicios:
101)
a 3 a
:
2b
b
104) 2 72 : 32
 2 3 3
102) 
⋅ 3  : 4
3
5 4

103)
105) 2 x 2 y 3 : 3 xy
106) 18 : 72
5
4 3
2 6 
8a bc :  a ab c 
2

107) 16 x 3 y 4 : 4 x 2 y 2
108) 5 a 2b 3c 4 : 5 ab 2c
109) 2 3 a 2b : 3 ab
110) 3 a 2bc 2 d : abcd
111) 3 a 2bc 3 : 4 a 2 bc 3
 3
3 2
112) 
: 3  ⋅ 4
5 3
 4
Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fracción se
realiza primero el cociente de radicales y después se extraen independientemente los
factores del numerador y del denominador.
Ejemplos
33
27
27
a)
=
=
16
16
2
4
5
8x y z
b)
=
4
81a b
2
3
3
3
4
2 y z
3
3 3
22
=
4
5
2 yz 3 yz
2
2 yz
=
=
3
4 4
3a
3a 3ab
3 a b
3
yz 2
3ab
Ejercicios:
113) 3x 2 y
117) 3
16 x 3 y 3
9
a 6 b8 c 10
27b 6
114)
2ab
5c
118) 3
25a 3 bc 5
4
− a 4 b 3c 2
12d 5 f 4
115)
3a 2bx 3
7c2
119) 5
49ab 3c 4
9x 6
116) 5
− a 6 b10
32b15
64a 6b 7 c 8
729 x 3 y 6 z 9
1.3.3 Potencia de un radical
Sea el radical r = n A .
Por definición de raíz r n = A
( )
Elevando los dos miembros a la potencia p: m r n
p
= A p ⇒ r np = A p ⇒ ( r p ) n = A p
Extrayendo la raíz n-ésima: n ( r p ) n = n A p ⇒ r p = n A p
Sustituyendo r por su valor:
( A)
p
n
= n Ap
(5)
Otra forma de obtener esta expresión es desarrollando la potencia
regla del producto de radicales:
( A)
n
p
( A)
n
p
y aplicando la
n
n
= n1A4⋅ n4A4⋅2
A
A = a1A4⋅ A
⋅2
A........
⋅3
A = n Ap
4.....
4⋅43
4
4
444
p veces
p veces
Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia
( )
n
Una potencia muy usada es: n a
cuadrada
( a)
Ejemplo:
a)
(
3ax
2
)
4
= n a n = a . Y en particular en el caso de la raíz
= a2 = a
= ( 3ax ) 4 = 81a 4 x 4
Ejercicios:
Calcula las potencias y simplifica el resultado haciendo:
• primos entre sí el índice y el exponente del radicando
• extrayendo todos los factores posibles
120)
(
(
2ab
(
)
3
2 3
124) 2a 3b c
3
2
121) 3a b
)
(
5
2 2 3
122) 3 2a b c
2
)
 2ab bc 2 
3
 126) ab 2 3 ( a − b)
125) 
 c
2a 

3

2
128)  3 x 2 y 3
9x2 y 2

)
2
2
(
3
3
3
a
123)  4 b 2c 3d 
2

)

1
127)  ( x − y )
x−y

3




2
10





 129)  4ab 3a  130)  5 2 x 





4b 


 y− z 
1.3.4 Raíz de un radical
Sea el radical r = m
n
A.
Por definición de raíz r m = n A
( )
Elevamos a la potencia n ambos miembros : r m
n
= A ⇒ r mn = A
Extraemos la raíz de índice m. n: r = nm A
Sustituyendo r por su valor:
m n
A = mn A
(6)
La raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número es la raíz mn-ésima de
dicho número.
Ejemplos:
3 12 3
=
5
5
b) Estos ejercicios se empiezan a resolver desde el radical más interior
a) 4
3
5 + 14 + 1 + 9 = 5 + 14 + 1 + 3 = 5 + 14 + 4 = 5 + 14 + 2
5 + 16 = 5 + 4 = 9 = 3
c) En estos ejercicios se combina la raíz de una raíz con la introducción/extracción de
factores del radical.
27 a 2 b
3
9a 4 b 2 = 27 a 2 b 3 3a 2b = 81a 4b 4 = 9a 2 b 2 (Extracción)
a 3 2a 2 =
3
a 3 2a 2 = 6 2 a 5 (Introducción)
Ejercicios
131)
2a 3
132)
3
3 5
ab
2
133) 4
3
2
ax
3
134) 20 + 21 + 8 + 64
135) 19 − 4 + 32 − 49
136) 5a + 21a 2 + 16a 4
137) 5 x 2 + 32 x 4 − 256 x 8
138) a 3 a
139) 16 8 4
140) ab 8ab 4a 2b 2
141) 2 2 2 2
142)
145) 2 2 2
1
2
3
146) 3 3
1 3
3
3
147) a 4
13
a
a
149) 3
a2
b
1.4
Racionalización de denominadores
b ⋅ b3
a2
b2
143) 2 a 5 a 2
16
150) 3
a
b2
b : b3
144) 3 ab 3 2a
148) x
a
b2
La racionalización de denominadores es la operación que elimina las
expresiones radicales que pueden aparecer en los denominadores.
13
x
x
1.4.1 Denominadores con monomios
1.4.1.1 Con una única raíz cuadrada
Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raíz que
aparece en el denominador.
a
a b
a b
a b
=
=
=
2
b
b
b⋅ b
b
Es conveniente extraer todos los factores posibles del radical antes de racionalizar.
( )
Ejemplos:
7
7 3
=
3
3
5
5 2
5 2 5 2
b)
=
=
=
6
3 2 3 2 2 3⋅ 2
2
2
2
2 3
2 3 2 3
c)
=
=
=
=
=
9
27
33 3 3 3 3 3 3⋅ 3
5
5 15
5 15
15
d)
=
=
=
15
3
15
15 15
3
3
3⋅ 5
15
e)
=
=
=
5
5
5
5⋅ 5
a)
Ejercicios:
151)
157)
163)
3
2
152)
6
3 5xy
158)
2 3a
3a a
164)
2
3
xy
5 zt
3a
5
2
3
153)
159)
2 xy
3x
2y x
3
3
2− x
155)
160)
x− y
2
161)
2 x+ y
2
166)
a b
b a
3 3y
165)
27
8
154)
167)
156)
162)
2 27
8
2 3xy
3 x
1.4.1.2 Con una única raíz n-ésima
Si el exponente del radicando es m se multiplica numerador y denominador por la raíz
n-ésima del radicando elevado a n-m.
a
n
bm
=
a
n
n
b n− m
b m ⋅ n b n −m
=
a
n
n
b n −m
b m ⋅ b n− m
=
a
n
n
b n− m
b m+ n− m
=
a
n
b n −m
n
bn
a n b n− m
=
b
2− x
2+ x
Ejemplos:
a) 4
b)
3 4 2 4−1
3 4 23 3 4 23 3 4 23
3
=
=
=
=
4
2
2 4 2 ⋅ 4 2 3 4 2 ⋅2 3
24
6x
5
c) 5
6 x 5 ( ab 2 x 3 ) 4
=
ab 2 x 3
5
=
ab 2 x 3 ⋅ 5 ( ab 2 x 3 ) 4
3 5 2 4 10 3 5 ⋅ 10 ( 2 4 ) 2
=
=
2
2
3
=
2
10
6 x 5 a 4b 8 x12 6 xbx2 5 a 4b 3 x 2 65 a 4b 3 x 2
=
=
ab 2 x 3
ab 2 x 3
ab
35 ⋅ 28
2
Ejercicios:
168)
173)
3
2
3
4
7 xa
3
2
5
x a b
2 2
179) 8
25
3
169)
2
3
x y
xy
174)
4
180) 7
2
3
6 xy
170)
5
3
3x + y
171)
2
3
9x y z
( x − y)
2
3
172)
6
2
3
177)
3
5
2
( x + y )5
7
175) 4 x −3
176) 5 4 x −4
xy z
178)
6
1
x5
3
x2
8
23
1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados
Estaremos en este caso cuando el denominador sea un binomio con radical de
índice dos. Se eliminan los radicales del denominador multiplicando numerador y
denominador por el conjugado del denominador.
Pares conjugados: (a + b) y (a - b) son expresiones conjugadas entre sí. Tienen
la propiedad de que su producto es igual a la diferencia de los cuadrados de a y b con lo
que si a o b son radicales de índice dos, las raíces desaparecerán al realizar el producto.
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − ab + ba − b 2 = a 2 − b 2
Ejemplos:
a) Si el denominador es 2 + 3 ,su conjugado es 2 − 3 y el producto de conjugados
dará como resultado:
(2 + 3 )⋅ (2 − 3 ) = 2 − ( 3 )
2
2
= 4−3=1
con lo que desaparece el radical.
b) Si el denominador es 2 − 3 , su conjugado es
( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3) =
c) Si el denominador es
conjugados:
( 2)
2
2 + 3 y el producto de conjugados
− 3 = 2 − 9 = −7
2
2 − 3 su conjugado es
( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3 ) =
2 + 3 y el producto de
( 2) − ( 3)
2
2
= 2 − 3 = −1
d) Si el denominador es 3 2 + 2 3 , su conjugado es 3 2 − 2 3 y el producto de
conjugados:
( ) − (2 3 )
(3 2 + 2 3 ) ⋅ (3 2 − 2 3 ) = 3 2
2
2
= 32
( 2)
2
− 22
( 3)
2
= 9 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 18 − 6 = 12
Ejercicios:
3
5
6
2
1
2
182)
183)
184)
185)
186)
2−2
3− 2
5 +1
3+ 7
2− 3
3− 5
3− 2
3− 2
2−2
x
2− 3
187)
188)
189)
190)
191)
2 −5
2+ 3
2 2+3 3
2− x
2+ 3
x+ y
2y
3 2+2 3
3 3
192)
193)
194)
195)
3 2−2 3
2− 3
2− y
2− y
181)
196)
1
2− 3+ 5
197)
2− 3
2+ 3+ 5
DE AHORA EN ADELANTE EN TODOS LOS EJERCICIOS DE
RADICALES LOS RESULTADOS APARECERÁN SIMPLIFICADOS
AL MÁXIMO, ESTO QUIERE DECIR QUE:
•
•
•
El índice y el exponente del radicando serán primos entre sí (1.2.2)
Extraer del radical todos los factores posibles
Racionalizar denominadores
1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes
Para sumar o restar radicales estos han de ser semejantes.
Son radicales semejantes los que tienen el mismo índice y el mismo radicando
Son semejantes:
4
2a 3 ; x 5 2a 3 ( y − z )5 2a 3
También son semejantes
2 y
8 ya que
8 = 23 = 2 2
La adición o sustracción de radicales semejantes da como resultado otro radical
semejante, cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los
radicales
Si los radicales no son semejantes, se deja la operación indicada.
Para buscar radicales semejantes usaremos la simplificación, la extracción de factores,
la introducción y la racionalización de denominadores.
Ejemplos:
1 4
, 9 , 54
3
1 4 2
3
3, 2 2 3, 2 33 ,
, 3 , 33 ⋅ 2 ⇒ 3, 2 3, 2 6 ,
, 3 ,3 6
3
3
Son semejantes por un lado:
1
3 4
3, 12 = 2 3 ,
=
, 9 = 3,
3
3
y por otro:
24 = 2 6 y 54 = 3 6
a) Agrupa los radicales semejantes:
3, 12 , 24 ,
b) 2 3 + 3 3 − 3 + 4 3 = ( 2 + 3 − 1 + 4) 3 = 8 3
c)7 50 − 2 32 − 3 2 − 4 18 =
7 2 ⋅ 52 − 2 25 − 3 2 − 4 32 ⋅ 2 = 7 ⋅ 5 2 − 2 ⋅ 22 2 − 3 2 − 4 ⋅ 3 2 =
35 2 − 8 2 − 3 2 − 12 2 = (35 − 8 − 3 − 12) 2 = 12 2
d) 5ab 3 + 4a 2b 2 + 8ab 5 + 32a 3b 5 = b 5ab + 2ab + 2b 2 2ab + 4ab 2 2ab =
b 5ab + 2ab + ( 2b 2 + 4ab 2 ) 2 ab
Ejercicios:
1
3
2
1
5+
5−
5+
5
3
5
3
5
198) 8 2 − 4 2 + 2 2 − 2
199)
13
1
2
2+ 3 2− 3 2
2
4
3
202)4 18 + 2 8 − 3 32
201) 2 5 − 3 45 + 3 20
204) x 8 x − 3 50 x 3 + x 18 x
205) 2 a 3a − 27 a 3 + a 12a
200)
203) 7 3 16 + 33 54 − 2 3 128
206) 5a 3 − 3 3a 2 + 12a 2
207)2 3 16x 5 − x 3 54 x 2 + 6 256 x 10
3
1
2
4
208) 3 7 − 2 5 + 4 7 + 20 − 28 + 45 209)
xy −
4 xy +
9 xy −
xy
2
3
5
3
y
y
y
1
210) 18 y −
+
−
211) 5 6 8 − 3( 4 + 10 32 ) − 8 8 16 +
2
8
18
8
9x
x
2
1
212) 3 x − 4 x + 2 36 x − 5 x −
213)
+
−
+ 8x
25
2
x
2x
2x
3x
6x
125x
x
3x
214) 3 3
−2 3
+53
215) 6 3
−9 3 + 5 3
9
4
125
9
9
125
3
2
1
5a
5b
a
5
ab
216)
+
− 6+
217)
−
+
+
−
2
3
6
b
a
5b
ab
5
218) ( x − y)
x+y
x + y 25 xy 2 − 25 y 3
+ 9x 2 − 9y 2 +
x−y
x−y
x+ y