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Undécimo grado
RADICALES
Objetivos:

Simplificar radicales.

Efectuar operaciones de suma, resta,
multiplicación y división con radicales

Racionalizar parte de una fracción
Notación
La raíz cuadrada de un número a, se representa por
a
En general, la raíz enésima de a se representa por:
n
a
El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el caso
de n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.
El símbolo
se conoce como radical.
La parte dentro del radical se conoce como radicando.
El número pequeño fuera del radical, se conoce
como índice.
Definición
La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número
no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a.
a b
si y solo si b2 = a
Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, es
inversa a la operación obtener la raíz cuadrada.
Ejemplos:
9  3 porque 32  9
64  8 porque 82  64
En general, la operación radicación es inversa a la operación
exponenciación. Decimos que: n
a b
Si y solo si bn = a & a y b tienen el mismo signo.
Se debe notar que
9
no es un número real porque no existe ningún número tal que
al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que
a
existe en los reales si a > 0.
Lo mismo sucede con todas las raíces de índice par.
Ejemplos:
a)
3
27  3
porque 33 = 27
b)
3
 64  4
porque (-4)3 = -64
c)
5
 32  2
porque (-2)5 = -32
 16
no es real porque ningún número real
elevado a la cuarta potencia puede ser
negativo.
d) 4
Ejercicios:
e)
4
81 
f)
3
 1000 
.01 
g)
h)
i)
3
1

8
4

9
Propiedad #1:
Si
n
a R y
n
b  R entonces,
n
a  n b  n a b
Demostración:
Si
n
a u
entonces, un = a
Si
n
b v
entonces, vn = b
Esto implica que:
ab = un vn = (uv)n
Por lo tanto,
n
a b
:aplicando las leyes de exponentes
= uv =
n
a
n
b
Propiedad #2:
n
Si
n
a R
y n
bR
entonces,
n
a
b

n
a
b
Demostración:
Si
n
a u
entonces, un = a
Si
n
b v
entonces, vn = b
Esto implica que:
a un  u 
 n  
b v
v
Por lo tanto,
n
:aplicando las leyes de exponentes
n
a u
 
b v
n
a
n
b
Ejemplos:
a)
b)
16
16

25
3
3
d)
4
3
2
1


3
1000
10
5
8

1000
3
c)
25
2
16

81

16
4
5

3
4
8
2

16
81
3

4
16
2
3
1
1

8
2
Ejercicios:
9
36
e)
f)
3
0.001
2
g)
18
h)
4
1
81
Sumas o restas en el radicando
Cuando tenemos una suma o una resta en un radicando,
hay primero que efectuar la operación de suma o resta,
para luego llevar a cabo la radicación.
Esto es así porque:
ab  a  b
Bastaría un contraejemplo para demostrarlo:
8  44  4  4  22  4
Sabemos que
84
por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto,
ab  a  b
Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.
Radicales semejantes
Decimos que dos radicales son semejantes si tienen
el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
Los siguientes pares de radicales son semejantes.
3 5
y
 23 3
54 2
8 5
43 3
y
y
4
2
Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es,
se pueden sumar o restar. Veamos como:
p n a  q n a  n a ( p  q)  ( p  q)n a
Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando
el término común de ambos términos. Finalmente, p y q
se suman, (o se restan si fuese el caso).
Ejemplos:
a) 5 2  2 2  (5  2) 2 
3 2
b)  83 3  53 3  (8  5)3 3  133 3
c)
4 5  3 5  (4  3) 5  7 5
d)
2 3  5 2  2 2  3 3  (2  3) 3  (5  2) 2  5 3  3 2
*En este último ejemplo, note que combinamos sólo los
radicales semejantes.
Suponga que tenemos el siguiente caso:
2 75  3 48
Como no son radicales semejantes, no podemos combinarlos.
Sin embargo, podemos simplificar cada uno de ellos. Veamos:
75  25  3  25  3  5 3
48  16  3  16  3  4 3
Por lo tanto, volviendo al ejercicio original,
2 75  3 48
=
2(5 3 )  3(4 3 )
=
10 3  12 3
=
22 3
Ejercicios:
e)
7 3 3 3 
f)
2 5 8 5 3 5 
g)
3 2 2 3 5 2 
h)
53 3  23 4  73 4  103 3
Simplificación de radicales
En ocasiones podemos descomponer un
radicando como el producto de otros números
de manera que alguno de los factores sea una
raíz exacta y por ende pueda salir del radical,
esto es, se pueda extraerse la raíz. Veamos el
siguiente ejemplo:
300  100  3  100  3  10 3
Explicación:
Como sabemos que 100 es un cuadrado
perfecto, y 100 es un factor de 300,
rescribimos 300 como 3 × 100 para poder
extraer el 100 de la raíz cuadrada.
Se puede notar, sin embargo que 300 es
también 4 × 75, de modo que:
300  4  75  4  75  2 75
Aunque esto también es correcto, no está
completamente simplificado porque 75 todavía
tiene un factor que es un cuadrado perfecto: 25.
300  4  75  4  75  2 75
2 25  3  2 25  3  2(5)  3  10 3
Ciertamente, este resultó más largo, pues no
hallamos desde el principio el factor de 300
mayor que fuese un cuadrado perfecto.
Para simplificar un radical, debemos factorizar el
radicando de manera que alguno de los factores
sea una raíz perfecta.
Ejemplos:
a)
b)
3
16
=
720 
3
8 2
= 3
8 3 2
=
23 2
72(10)  36(2)(10) 
36(4)(5) 
36(20) 
36 4 5  6(2) 5  12 5
En este último caso, note cómo hicimos la
descomposición por pasos hasta encontrar todos
los cuadrados perfectos que son factores de 720.
Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro
orden pero siempre vamos a encontrar los
mismos cuadrados perfectos.
Probablemente conviene repasar los cuadrados
y cubos perfectos.
Cuadrados perfectos
Cubos perfectos
12
=
1
13
=
1
22
=
4
23
=
8
32
=
9
33
=
27
42
=
16
43
=
64
52
=
25
53
=
125
62
=
36
63
=
216
72
=
49
82
=
64
92
=
81
102
=
100
Ejercicios
Simplifique:
c)
3
24 
d)
48 
e)
640 
f)
3
54 
Suma y resta de radicales
Como vimos anteriormente, la suma o la resta
de radicales consiste en sumar (o restar) los
radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay
que simplificar los mismos completamente.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplos
a)
5 50  2 8  7 18 
5 252  2 42  7 92 
5 25 2  2 4 2  7 9 2 
55
2  22 2  7 3 2 
25 2  4 2  21 2 
21 2  21 2  0
b)
53 16  3 45  33 54 
53 82  3 95  33 272 
53 8 3 2  3 9 5  33 27 3 2 
523 2  33 5  333 2 
103 2  9 5  93 2 
193 2  9 5
c)
53 16  3 45  33 54 
53 82  3 95  33 272 
53 8 3 2  3 9 5  33 27 3 2 
523 2  33 5  333 2 
103 2  9 5  93 2 
193 2  9 5
Ejercicios
f)
7 32  3 50  5 200 
g)
53 2  73 2000  4 50
h)
6 12  3 300 
Multiplicación de radicales
Anteriormente vimos, con la propiedad #1 que:
n
a  n b  n a b
Por lo tanto, podemos decir que cuando
multiplicamos radicales con el mismo índice, el
producto será un radical con el mismo índice y
el producto de los radicandos.
Ejemplos
a)
2 3 5 6   25

3 6  10 18 
10 92  10 9 2  103 2  30 2


b)
23 5 33 25  233 5 3 25  63 125  65  30
c)
 5  15  6  
5156 
2592 
55332 
25 9 2  53 2  15 2
Es importante reconocer que sólo se pueden multiplicar de
esta manera, radicales con el mismo índice. Más adelante,
en otra sección se verá el procedimiento para multiplicar
radicales con distinto índice.
Ejercicios
d)
e)
f)
 
2 65 8
5 4 3 4 
3
3
6 45 8
División de radicales
De la misma forma, la propiedad #2
nos indica que:
n
n
a
b

n
a
b
Esto en palabras diría que, si tenemos dos
radicales con el mismo índice y se están
dividiendo, el resultado será un radical con el
mismo índice y con la división de los radicandos.
Ejemplos
a)
48

3
b)
2 15
5
c)
48

3
21
12


16  4
15
2

5
37 

34
2 3
37  
34
7
4

7
2
De la misma forma, tenemos que hacer énfasis
en que esto aplica sólo a radicales con el mismo
índice.
Ejercicios
d)
50
10
e)
5 24
3
f)

15
18


Operaciones combinadas
Ahora veamos algunos ejemplos donde se
combinan las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división de radicales.
Suponga que tenemos el siguiente ejercicio:
(3 2  5 3 )(3 3  2 2 )
En este caso, utilizamos la propiedad distributiva,
al igual que la usamos si tuviésemos la
multiplicación de dos binomios.
Tenemos entonces,
3 2 (3 3  2 2 )  5 3 (3 3  2 2 ) :propiedad distributiva
(3 2 )(3 3 )  (3 2 )( 2 2 )  (5 3 )(3 3 )  (5 3 )( 2 2 )
9 6  6 4  15 9  10 6
:multiplicando
9 6  6(2)  15(3)  10 6
:raíces exactas
 6  12  45
:términos semejantes
 6  33
:combinando términos
Ejercicios
a)
7  2 3 2
37
b)
2  3 2  3 
c)
5  7 3  7 
d)
2 3 6 5 5
e)

1  3 2 


2 5

Racionalización
3
La fracción
2 representa un número irracional
pues no se puede escribir de forma
equivalente como una división de dos números
enteros. Aunque el numerador es racional, el
denominador es irracional. En ocasiones se
necesita que el denominador de una fracción
sea racional. Podemos cambiar la fracción a
una equivalente con el denominador racional.
Esto podemos hacerlo usando el principio visto
anteriormente, en donde
a ak

b bk
En otras palabras, podemos multiplicar
numerador y denominador por un mismo
número (distinto de cero) y la fracción que se
obtiene es equivalente.
En este caso, tenemos que buscar por cual
número multiplicar el denominador, 2
para que se vuelva entero.
Si multiplicamos
3
2

3
2

2
2

3 2

2
4
3 2
queda racionalizado el denominador.
Hay que tener claro, que la fracción seguiría
siendo irracional. Antes, había radical en el
denominador, y ahora está en el numerador.
A este proceso se le llama racionalizar el
denominador.
La razón por la que escogimos multiplicar al
numerador y denominador por 2
es porque así sabemos que el denominador
sería 4  2 que es un número racional
porque es entero.
Ejemplos
Racionalice el denominador de las siguientes
fracciones:
a)
5
8

5 2
8 2

5 2

4
16
5 2
En este caso pudimos haber multiplicado por
8
y también lo lográbamos pero luego tendríamos que
simplificar.
Verifíquelo usted mismo.
b)
3
5
3 5

5 5

3 5

5
25
3 5
En el siguiente ejemplo veremos una fracción
con raíz cúbica.
c)
2
3
3

2 3 9
3
3 9
3

2 3 9
3
27

2 3 9
3
En este caso, no podemos juntar los dos
radicales del numerador en una sola fracción
porque tienen diferente índice.
Ejercicios
d)
4
6
e)

7
50
f)
5 2
3
4

