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Regla de Bayes
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Probabilidad Total
La estadística bayesiana es un conjunto de
herramientas que se utiliza en un tipo especial de
inferencia estadística que se aplica en el análisis de
datos experimentales en muchas situaciones
practicas de ciencia e ingeniería. La regla de Bayes
es una de las normas más importantes de la teoría
de probabilidad, ya que es el fundamento de la
inferencia bayesiana.
Teorema
Si los eventos B1, B2,... Bk constituyen una
partición del espacio muestral S, tal que P(Bi) ≠ 0
para i = 1, 2,..., k, entonces, para cualquier
evento A de S,
𝑘
𝑃(𝐴) =
𝑘
𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴) =
𝑖=1
𝑃(𝐵𝑖)(𝐴|𝐵𝑖)
𝑖=1
Ejemplo 1
Tres maquinas de cierta planta de ensamble, B1,
B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% de los
productos, respectivamente. Se sabe por
experiencia que 2%, 3% y 2% de los productos
ensamblados por cada maquina,
respectivamente, tienen defectos. Ahora bien,
suponga que se selecciona de forma aleatoria un
producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de
que este defectuoso?
Ejemplo 1
Solución:
Considere los siguientes eventos:
A: el producto esta defectuoso,
B1: el producto fue ensamblado con la maquina B1,
B2: el producto fue ensamblado con la maquina B2,
B3: el producto fue ensamblado con la maquina B3.
Podemos aplicar la regla de eliminación y escribir:
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3).
Ejemplo 1
% Montaje
x máquina
%
defectuoso
P(A|B1)=0.02
P B1 P A B1 =(0.3)(0.02)=0.006
P(A|B2)=0.03
P B2 P A B2 =(0.45)(0.03)=0.0135
P(B1)=0.3
P(B2)=0.45
P(B3)=0.45
P(A|B3)=0.02
P B3 P A B3 =(0.25)(0.02)=0.005
P(A) = 0.006 + 0.0135 + 0.005 = 0.0245
Ejemplo 2
Resolver el Ejemplo 1:
¿Cuál es la probabilidad
defectuoso?
de
que
este
Ejemplo 2
% Montaje
x máquina
%
defectuoso
P(A|B1)=0.02
P(B1)=0.3
P(B2)=0.45
P(A’|B1)=0.98
P(A|B2)=0.03
P(A’|B2)=0.97
P(B3)=0.45
P B1 P A′ B1 =(0.3)(0.98)=0.294
P B2 P A′ B2 =(0.45)(0.97)=0.4365
P(A|B3)=0.02
P(A|B3)=0.98
P B3 P A′ B3 =(0.25)(0.98)=0.245
P(A) = 0.294 + 0.4365 + 0.245 = 0.9755
Teorema
(Regla de Bayes) Si los eventos B1, B2,..., Bk
constituyen una partición del espacio muestral
S, donde P(Bi) ≠ 0 para i = 1, 2,...,k, entonces,
para cualquier evento A en S, tal que P(A) ≠ 0,
𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴)
𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =
= 𝑘
𝑃(𝐴)
𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)
𝑃 𝐵𝑟 𝑃(𝐴|𝐵𝑟)
= 𝑘
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 1,2 … 𝑘
𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐴|𝐵𝑖)
Ejemplo 3
Con referencia al ejemplo 1, si se elige al azar un
producto y se encuentra que esta defectuoso,
¿cuál es la probabilidad de que haya sido
ensamblado con la máquina B3?
Ejemplo 3
Solución:
𝑃(𝐵3 ∩ 𝐴)
𝑃 𝐵3 𝐴 =
=
𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵𝑟 𝐴
𝑃(𝐵3 ∩ 𝐴)
3
𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)
P (B3 )P (A|B3 )
=
P (B1)P (A|B1) + P (B2 )P (A|B2) + P (B3)P (A|B3)
Ejemplo 3
0.005
0.005
𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =
=
0.006 + 0.0135 +0.005 0.0245
Ejemplo 3
% Montaje
x máquina
%
defectuoso
P(A|B1)=0.02
P B1 P A B1 =(0.3)(0.02)=0.006
P(A|B2)=0.03
P B2 P A B2 =(0.45)(0.03)=0.0135
P(B1)=0.3
P(B2)=0.45
P(B3)=0.45
𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴) = 0.005
P(A|B3)=0.02
P(A) = 0.0245
P B3 P A B3 =(0.25)(0.02)=0.005
𝑃 𝐵3 𝐴 = 𝑃
𝐵𝑟 ∩ 𝐴 /P(A)
Ejemplo 4
Una empresa de manufactura emplea tres
planos analíticos para el diseño y desarrollo de
un producto especifico. Por razones de costos
los tres se utilizan en momentos diferentes. De
hecho, los planos 1, 2 y 3 se utilizan para 30%,
20% y 50% de los productos, respectivamente.
La tasa de defectos difiere en los tres
procedimientos de la siguiente manera,
P(D|P1) = 0.01, P(D|P2) = 0.03, P(D|P3) = 0.02
Ejemplo 4
en donde P(D|Pj) es la probabilidad de que un
producto este defectuoso, dado el plano j. Si se
observa un producto al azar y se descubre que
esta defectuoso, ¿cual de los planos tiene mas
probabilidades de haberse utilizado y, por lo
tanto, de ser el responsable?
Ejemplo 4
Solución:
A partir del planteamiento del problema
P(P1) = 0.30, P(P2) = 0.20 y P(P3) = 0.50,
debemos calcular P(Pj|D) para j = 1, 2, 3. La
regla de Bayes (teorema) muestra
Ejemplo 4
Solución:
𝑃(𝑃1 ∩ 𝐷)
𝑃 𝑃1 𝐷 =
=
𝑃(𝐷)
𝑃(𝑃1 ∩ 𝐷)
3
𝑖=1 𝑃(𝑃𝑖 ∩ 𝐷)
P (P1 )P (A|P1 )
𝑃 𝑃1 𝐷 =
P (P1)P (A|P1) + P (P2 )P (A|P2) + P (P3)P (P|P3)
(0.30) (0.01 )
=
= 0.158
(0.30) (0.01)+(0.20) (0.03 )+(0.50) (0.02 )
Ejemplo 4
Solución:
𝑃(𝑃2 ∩ 𝐷)
𝑃 𝑃2 𝐷 =
=
𝑃(𝐷)
𝑃(𝑃2 ∩ 𝐷)
3
𝑖=1 𝑃(𝑃𝑖 ∩ 𝐷)
P (P2 )P (A|P2 )
𝑃 𝑃2 𝐷 =
P (P1)P (A|P1) + P (P2 )P (A|P2) + P (P3)P (P|P3)
(0.03) (0.20 )
=
= 0.316
(0.30) (0.01)+(0.20) (0.03 )+(0.50) (0.02 )
Ejemplo 4
Solución:
𝑃(𝑃3 ∩ 𝐷)
𝑃 𝑃3 𝐷 =
=
𝑃(𝐷)
𝑃(𝑃3 ∩ 𝐷)
3
𝑖=1 𝑃(𝑃𝑖 ∩ 𝐷)
P (P3 )P (A|P3 )
𝑃 𝑃3 𝐷 =
P (P1)P (A|P1) + P (P2 )P (A|P2) + P (P3)P (P|P3)
(0.02) (0.50 )
=
= 0.526
(0.30) (0.01)+(0.20) (0.03 )+(0.50) (0.02 )
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