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EJERCICIOS RESUELTOS
1
Calcula la tasa de variación media de la función f (x ) = x 2 + 1 en los intervalos [–2, 0] y [0, 2], analizando el resultado obtenido y la relación con la función.
Solución:
La función f (x ) = x 2 + 1 corresponde a una parábola como ya estudiaste el curso pasado, con vértice en (0, 1) y
simétrica respecto al eje OY, cuya representación gráfica es:
Y
m = –2
m = +2
t.v.m. [0, 2] =
5
–1
O
t.v.m. [ − 2, 0] =
1
2
f ( 0 ) − f ( − 2) 1 − 5
=
= −2
0 − ( − 2)
2
f (2) − f (0) 5 − 1
=
=2
2−0
2
X
Observa que las dos tasas dan valores opuestos, que la t.v.m. en el intervalo [–2, 0] es negativa y corresponde a
un intervalo donde la función es decreciente, mientras que la t.v.m. [0, 2] es positiva y corresponde a un intervalo
donde la función es creciente.
2
Una población de 300 bacterias se introduce en un cultivo. Si su número crece según la expresión
n (t ) = 300(1 + ln(t 2 + 1)), siento t el tiempo en horas. Calcula:
a) El número y la tasa de crecimiento al cabo de 5 horas.
b) El instante en el que la velocidad de crecimiento es de 300 bacterias/hora.
Solución:
a) Si t = 5 ⇒ n(5) = 300(1 – ln26) ≅ 1 277 bacterias.
A las 5 horas hay aproximadamente 1277 bacterias.
La tasa de crecimiento al cabo de 5 horas es la tasa de variación media de la función en el intervalo [0, 5].
Ésta es: t.v.m. [0, 5] =
n(5) − n(0) 1277 − 300
=
= 195,4
5−0
5
b) Puesto que la velocidad de crecimiento pedida corresponde a una variación instantánea, el instante solicitado
se obtendrá determinado el valor de t para el cual la derivada de la función vale 300.
⎛
2 t ⎞ 600 t
n '(t ) = 300 ⎜ 0 +
⎟ =
⎝
t 2 + 1⎠ t 2 + 1
600 t
n '(t ) = 300 ⇒
= 300 ⇒ 300 t 2 − 600 t + 300 = 0
t2 + 1
Ecuación de segundo grado de solución t = 1 hora, que es el instante buscado.
Por tanto, transcurrida una hora desde su inclusión en el cultivo, las bacterias se están reproduciendo a una
velocidad de 300 bacterias/hora.
Tema 7. Derivada de una función
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EJERCICIOS RESUELTOS
3
Determina el punto de la función f (x ) = x 2 + 6x + 3 cuya recta tangente es paralela al eje OX.
Solución:
Para que sea paralela al eje OX, su pendiente m será 0, luego hemos de buscar los puntos que anulen a la función
derivada f '(x ).
f '(x ) = 0 ⇒ 2x + 6 = 0 ⇒ x = –3 ⇒ f (–3) = –6, el punto será P(–3, –6) y la recta tangente y + 6 = 0.
4
x – 3 utilizando la definición de derivada.
Halla la derivada de la función f (x ) =
Solución:
f (x + h ) − f (x )
= lim
h→0
h
x +h−3 − x −3
= lim
h→0
h
x + h − 3) − ( x − 3)
+3
f '( x ) = lim
h→0
(
2
2
x +h−3−x
= lim
h→0 h ( x + h − 3 +
h ( x + h − 3 + x − 3)
1
1
= lim
= lim
=
h→0 x + h − 3 + x − 3
h→0 x − 3 + x − 3
2
= lim
h→0
Así pues, si f (x ) =
5
x − 3 es f '(x ) =
(
x + h − 3 − x − 3 )( x + h − 3 + x − 3 )
x − 3)
1
h ( x + h − 3 + x − 3)
= lim
h→0
h
h ( x + h − 3 + x − 3)
=
x −3
1
2 x −3
Halla la ecuación de la recta tangente y de la normal a la gráfica de la función f (x ) =
Solución:
El punto de tangencia es (1, –1), pues f (1) = –1.
Como f '(x ) =
2( x − 3) − 2x
( x − 3)2
=
−6
( x − 3)2
La pendiente de la recta tangente m = f '(1) =
−6
(1 − 3)2
=
−6
3
=−
4
2
La ecuación de la recta tangente es:
3
y + 1 = − ( x − 1) ⇒ 2 y + 2 = − 3x + 3
2
⇒
3x + 2 y − 1 = 0
La recta normal tendrá pendiente 2 y su ecuación será:
3
y +1=
150
=
2
( x − 1)
3
⇒
3 y + 3 = 2x − 2
⇒
2x − 3 y − 5 = 0
2x
en x = 1.
x –3
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Considérese la función f (x ) = kx 3 + 6x 2 – kx – 18.
a) ¿Qué debe valer k si las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de abscisa 1 y –2 son
paralelas?
b) Determinar las ecuaciones de dichas tangentes.
Solución:
a) Para que las tangentes en los puntos dados sean paralelas se debe verificar que f '(1) = f '(–2)
Como f '(x ) = 3kx 2 + 12x – k entonces: f '(1) = f '(–2) ⇒ 3k + 12 – k = 12k – 24 – k de donde 36 = 9k ⇒ k = 4.
b) Ahora es f (x ) = 4x 3 + 6x 2 – 4x – 18 luego f '(x ) = 12x 2 + 12x – 4 y sustituyendo: f '(1) = f '(–2) = 20 y ésta será
la pendiente de la recta tangente.
Los puntos de tangencia son: P (1, f (1)) y Q (–2, f (–2)), esto es: P (1, –12) y Q (–2, –18) luego las ecuaciones
de las rectas tangentes son:
En P : y + 12 = 20(x – 1) ⇒ y = 20x – 32
En Q : y + 18 = 20(x + 2) ⇒ y = 20x + 22
7
Utilizar la diferencial para obtener razonadamente un valor aproximado de e 0,005.
Solución:
Sabemos que la diferencial de una función en un punto es una buena aproximación al incremento de la misma; es
decir: f (x0 + h) – f (x0) < f '(x0) dx o bien: f (x0 + h ) ≈ f (x0) + f '(x0)dx
Tomemos f (x ) = e x, x0 = 0, dx = 1,005.
Entonces: f (0,005) = e 0,005 ≈ f '(0) + f '(0)dx = e 0 + e 0 · 0,005 = 1 + 1 · 0,005 = 1,005
8
Halla la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x ) = (x 2 + 1)3
x2 + 2
d) f (x ) = ln
b) f (x ) = cos3 x 3
c) f (x ) = log 2x
e) f (x ) = sen5 (e x)
f) f (x ) =
3
sen2 x
Solución:
a) f '(x ) = 3(x 2 + 1)2 · 2x = 6x (x 2 + 1)2
b) f '(x ) = 3 cos2 x 3 · (–sen x 3) · 3x 2 = –9 cos2 x 3 · sen x 3
c) f '(x ) =
1
2x ln 10
1
· 2x · ln 2 =
ln 2
ln 10
1
x
·
· 2x =
x2 + 2
x2 + 2 2 x2 + 2
e) f '(x ) = 5 sen4 (e x ) · cos (e x ) · e x = 5 e x · sen4 (e x ) · cos (e x )
f) Escribiendo la función dada como una potencia de exponente fraccionario tenemos:
d) f '(x ) =
1
1
f (x ) = (sen2 x )3 , luego f '(x ) =
=
2 sen x cos x
3 sen x
3
sen x
=
2
−1
−
1
2 sen x cos x
1
(sen2 x )3 · 2 sen x · cos x = (sen2 x ) 3 · 2 sen x cos x =
=
3
3
3
3 sen4 x
2 cos x
3 3 sen x
En el formulario de la unidad tienes la expresión de la derivada de la función y =
cales de cualquier índice.
n
x óy=
n
f válidas para radi-
Tema 7. Derivada de una función
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EJERCICIOS RESUELTOS
9
Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia
al variar el tiempo (en meses) viene dada por:
0≤t ≤2
⎪⎧106
f (t ) = ⎨
t
−
6
2
t >2
⎪⎩10 · e
Se pide:
a) Calcula la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
b) Halla la tasa de variación instantánea en t = 4, comparándola con la última tasa de variación obtenida. Justifica los resultados obtenidos.
Solución:
a) Las tasas de variación pedidas son:
t.v.m. [0, 2] =
f (2) − f (0) 106 − 106
=
=0
2−0
2−0
t.v.m. [0, 4] =
f (4) − f (0) 106 e 2 − 106
=
= 2,5 · 105 (e 2 – 1) < 1597264,025
4−0
2−0
b) La tasa de variación instantánea en t = 4 es la derivada de f en dicho punto.
Como f '(x ) = 106 · et–2 ⇒ f '(4) = 106 · e 4–2 ≈ 7389057
En [0, 2] no hay incremento de la población luego es lógico que la tasa de variación sea cero en dicho intervalo.
En [0, 4] la función es exponencial de base e > 1 así pues no debe sorprender su crecimiento. La diferencia entre
la tasa de variación en [0, 4] y la tasa instantánea en t = 4 se debe, precisamente, a que esta última se considera
en el extremo superior del intervalo.
10 Se quiere vaciar un depósito de agua.
Sea Q (t ) = 200(900 + t 2 – 60t ) la función que describe el número de litros que quedan en el depósito al cabo de t minutos de haber comenzado a vaciarlo.
a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el depósito?, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse?,
¿cuál es la función que describe el número de litros que han salido al cabo de t minutos de haber
comenzado a vaciarlo?
b) Calcula la función derivada de la función Q y su valor en t = 10 y t = 20 minutos. Relaciona los
resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía el depósito.
Solución:
a) Inicialmente es cuando t = 0, luego hay Q (0) = 180 000 litros.
El depósito estará vacío cuando Q (t ) = 0, es decir, cuando 900 + t 2 – 60t = 0 y esto sucede a los t = 30 minutos.
La función que describe el número de litros que han salido será:
S (x ) = 180 000 – Q (t ) = 12 000t – 200t 2 en el intervalo [0, 30].
b) Q'(t ) = 200(2t – 60) es la función que proporciona la rapidez con la que se vacía el depósito. En t = 20 y t = 40
es:
Q '(10) = 200(20 – 60) = –8 000
Q '(20) = 200(40 – 60) = –4 000
lo cual indica que la velocidad de vaciado disminuye con el tiempo.
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FORMULARIO
Derivada de y = f (x ) en x = a
⇒
Derivada de y = f (x ) en x = a
f '(a ) = lim
h →0
f (a + h ) − f (a )
f (b ) − f (a )
= lim
b→a
h
b−a
Recta tangente a la gráfica de y = f (x ) es x = a
Recta tangente a la gráfica de y = f (x ) es x = a
⇒
y – f (a ) = f '(a) (x – a)
Reglas de derivación
Función
Derivada
y=k
y =x
s=f+g
p=f ·g
y' = 0
y' = 1
s' = f ' + g'
p' = f ' · g + f · g'
c=
f
g
y = xn
y =
1
x
x
y =
y =
n
x
ax
y =
y = ex
y = loga x
y = ln x
y = sen x
y = cos x
y = tg x
c' =
Función
Derivada
y = fn
y ' = n · f n–1 · f '
f ' · g − f · g'
g2
y ' = n · x n–1
−1
x2
y' =
y =
1
y' =
1
y =
n
n x n −1
y ' = a x · ln a
y' = e x
y' =
f
y' =
n
f
y = af
y = ef
1
x ln a
y = loga f
1
x
y = ln f
y' =
y ' = cos x
y ' = –sen x
y ' = 1 + tg2 x =
y' =
y =
2 x
y' =
1
f
1
cos2 x
y = sen f
y = cos f
= sec2 x
y = tg f
y' =
−f '
f2
f'
2 f
f'
n n f n −1
y ' = a f · ln a · f '
y' = ef · f'
y' =
f'
f · ln a
y' =
f'
f
y ' = f ' · cos f
y ' = –f ' · sen f
y ' = f '(1 + tg2 f ) =
f'
cos2 f
= f '· sec2 f
Tema 7. Derivada de una función
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EJERCICIOS FINALES
6
Halla la tasa de variación media de las siguientes
funciones en los intervalos que se indican.
a) f (x ) = 4x + 3 en [–1, 4]
b) f (x ) = 2 + x 2 en [–2, 2]
x
en [2, 5]
c) f (x ) =
x −1
d) f (x ) = cos x en [0, π]
7
8
9
Sea la función f (x ) = x 3 – 2x 2. Halla la pendiente de
la recta secante a la gráfica de f que pasa por los
puntos de abscisas 1 y 3 respectivamente.
19 f (x ) =
4
2−x
20 f (x ) = x 3 – 8x 2 + 4
21 f (x ) = 3x − 5
x +1
22 f (x ) = 8 cos x + x cos 8
23 f (x ) = 7x 3 – 7 · 3x
24 f (x ) = 5x 2 – 6 sen x + 4
Un móvil se desplaza según la ecuación
e = 4t 2 + 2t – 40
e en metros y t en segundos.
a) Halla la velocidad media entre los instantes t = 4
y t = 16 segundos.
b) Halla su velocidad en el instante t = 3s.
25 f (x ) = 9 – 2x + ln x
Del 9 al 17. Utiliza la definición de derivada para
hallar la derivada de las funciones siguientes en los
puntos que se indican.
29 f (x ) = 4 + x
3x + 4
f (x ) = 4x 2 – 7 en x = 0
30 f (x ) =
26 f (x ) = x + sen x
28 f (x ) = 2x 5 + x 4 – 8x 2 + 12
10 f (x ) = 6x – 3x 2 en x = –2
11 f (x ) = 3(x – 5) en x = 1
12 f (x ) =
1
en x = –1
5−x
13 f (x ) = x 2 + 2x en x = –1
14 f (x ) = x 2 + 3x – 6 en x = 2
15 f (x ) =
x +1
en x = –1
x
31 f (x ) =
x +2
en x = 4
x −2
Del 18 al 37 Halla la función derivada f ' de la función f dada e indica el conjunto donde f es derivable.
18 f (x ) = 7x +
154
3
x
2 x + 6x –
4
x2
x −1
x +1
32 f (x ) = x 2 (3 – x )5
33 f (x ) = (2x – 3) ·
x +1
34 f (x ) = 5x – sen2 x
35 f (x ) = 3 cos 3x
36 f (x ) =
16 f (x ) = x (x – 2) en x = 1
17 f (x ) =
x2 − 4
27 f (x ) =
x2 +1
x2 −1
37 f (x ) =
3x − 3 x
Del 38 al 44. Encuentra la ecuación de la recta
tangente a cada una de las siguientes curvas en el
punto cuya abscisa se indica.
38 y =
−1
2x 2
en x = 1
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39 y = 3x – x 2 en x =
1
2
h) f (x ) = tg x 2 + tg2 x
i) f (x ) = 53 – sen 3x
x
e 2x − 2
2
40 y = x − 2 en x = –2
x2 + 2
j) f (x ) =
41 y =
2x + 1 en x = 4
k) f (x ) =
42 y =
1+ x en x = 0
l) f (x ) = sen
43 y =
x +1
en x = –2
x2
sen x
x
3x − 2
m) f (x ) = (3x 2 – 2x )e
n) f (x ) = sen2 x · tg 3x
44 y = 2x – 3x 2 en x = 1 y x = 3
ñ) f (x ) =
45 y = ln(2x + 1) en x = 0
o) f (x ) = sec 3x
46 Calcula las coordenadas del punto de la gráfica de
la función f (x ) = 5x 2 – 6x en el que la recta tangente forme con OX+ un ángulo de 135°. Determina la
ecuación de dicha recta tangente y la de la recta
normal en dicho punto.
47 Determina las coordenadas de los puntos de la grá1+ x 2
fica de f (x ) =
en los que la recta tangente
2x
es paralela a la recta de ecuación 3x + 2y – 8 = 0.
48 Halla la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x ) = (x 2 – 1)3 · sen 2x
b) f (x ) =
2x − 3
x −2
c) f (x ) = (2x – 3)3 (2x + 4)
d) f (x ) =
sen x
x
e) f (x ) = x 2 · sen2 x
f) f (x ) =
g) f (x ) =
sen 2x
cos 3x
1− x
tg x
p) f (x ) = cosec (1 – x )
q) f (x ) = 2x
3
r) f (x ) = sen 2x + cos 2x
s) f (x ) = sen2 x + sen x 2 + sen2 x 2
t) f (x ) = ln (1 – 6x)
u) f (x ) = ln
3x − 2
v) f (x ) = sen2 x + cos2 x
w) f (x ) = ln
x +1
x −1
49 Halla los puntos de la gráfica de la función
f (x ) = x 3 + 4x 2 – 2x + 5
en los que la recta tangente tiene pendiente: a) – 6;
b) 9.
50 Se ha trazado la recta tangente a la gráfica de la
función f (x ) = 2x 2 – 6x + 1 y se sabe que su pendiente es 2. Halla el punto de tangencia.
51 Halla la diferencial de las siguientes funciones:
1− x
b) g (x ) = 5x sen 5x
a) f (x ) =
1+ x
c) h (x ) = 1 – 3 tg 2x
d) j (x ) = 32x
Tema 7. Derivada de una función
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EJERCICIOS FINALES
52 Utiliza la diferencial para hallar una aproximación
del incremento de volumen que experimenta un
cubo de arista 1 metro cuando ésta crece 1 mm.
53 Una empresa estima que al producir x unidades de
un producto, las funciones de costes e ingresos (en
unidades monetarias, u.m.) son:
C (x ) = 2 500 000 + 150x + 0,025x 2
I (x ) = 3 000x – 0,05x 2
a) Calcula las funciones de costes e ingresos marginales.
b) Calcula el coste y el ingreso marginal cuando
x = 15 000 unidades. Interpreta el resultado.
c) Obtén la función de beneficios y determina cuál
debe ser la producción para que por su venta se
obtengan unos beneficios máximos.
54 Halla los puntos en los que la recta tangente a la
gráfica de la función f (x ) = 4 – 2x + x 3 forma con el
eje OX un ángulo de 45°.
55 Se ha comprobado que la propagación de cierto
rumor transcurre de acuerdo con la expresión
n(t ) = –0,5t 2 (t – 12), donde n es el número de
decenas de personas que se van enterando y t el
número de días transcurridos desde el inicio del
mismo.
a) ¿A qué velocidad se está propagando al sexto
día?
b) ¿Cuándo se estará propagando a razón de 240
personas día?
c) ¿Cuánto tiempo tardará hasta que el rumor deje
de propagarse?
56 El análisis del comportamiento de un determinado
fármaco exige que se le someta a un proceso de
cambio de temperatura. Para ello se introduce una
dosis del mismo en una cámara térmica que hace
que la temperatura T del fármaco varíe en función
del tiempo t (en horas) según la función:
T (t ) = t 3 – 10t 2 + 25t.
Se pide:
a) ¿Cuál es la variación de temperatura del fármaco entre la primera y cuarta hora?, ¿y entre el
momento de iniciar el proceso y la quinta hora?
156
b) ¿A qué velocidad cambia su temperatura a las 4
horas?
c) ¿En qué instante la temperatura varía a razón de
8°C/h?
57 Determinar m para que la tangente de la curva
y = –x 2 – (2m + 1)x + m + 2 en x = 2 sea paralela a
la recta 3x – y + 2 = 0.
58 Deriva las funciones siguiente:
3
a) y = e x + 2x
b) y =
3
e 2x + e − 2x
2
⎛ x 2 + 3⎞
c) y = ln ⎜
⎝ x ⎟⎠
d) y =
3 2
1
+
−
x x2 x3
e) y =
x2 −1
x2 +1
f) y =
x3 − 2
( x 2 + 3)2
g) y =
e x −3
h) y = 6x 3 + 8x – 2
i) y = (x 2 – 3)3
j) y = (x 2 – 3)(x 3 + 1)
k) y = sen3 (x 2 + 1)
59 Una epidemia de gripe se declara en una ciudad; t
semanas después el número de personas afectadas viene dado por la fórmula
B
G (t ) =
1 + Ae −kt
donde B es el número de personas residentes en la
ciudad susceptibles de contagiarse.
Si inicialmente un 20% de esas personas habían
contraído la enfermedad, y cuatro semanas después ya la habían contraído el 50%, ¿cuántas estarán infectadas a la octava semana?
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Página 157
AUTOEVALUACIÓN
1
La tasa de variación media de f (x ) = x 2 + 1 en [0, 2] es:
A 2
2
B –2
B –3
3
La derivada de la función f (x ) = ln
A y' = −
1
x3
1
x2
D nada de lo anterior
B 9x – 9y – 1 = 0
C x – 9y – 9 = 0
D nada de lo anterior
B 8(3 – 2x )3
C –8(3 – 2x )3
D nada de lo anterior
B –36
C 36
D nada de lo anterior
B 3(–sen x )
C 3x sen x – 3 cos x
D nada de lo anterior
B 2 cos 2x e sen 2x
C 2 e sen 2x
D nada de lo anterior
El punto de la función y = 2x 2 + 4x donde la recta tangente es horizontal es:
A P (–1, –2)
10
C y' =
La derivada de la función f (x ) = e sen 2x es:
A e sen 2x
9
1
x
La derivada de la función f (x ) = 3x cos x es:
A 3 cos x – 3x sen x
8
1
es:
x
La tasa de variación instantánea de f (x ) = 3x 2 + 2 en x = –2 es:
A –22
7
D nada de lo anterior
La derivada de la función f (x ) = (3 – 2x )4 es:
A 4(3 – 2x )3
6
B y' = −
C 3
La ecuación de la recta tangente a f (x ) = 2x 2 – 3x en el punto P (3, 9) es:
A 9x – y – 18 = 0
5
D nada de lo anterior
La pendiente de la recta tangente a la función f (x ) = x 3 en el punto (1, 1) es.
A 12
4
C 0
B P (0, 0)
C P (–2, 0)
D nada de lo anterior
La ecuación de la recta normal a la curva y = 3x 4 – 5x en x = 1 es:
A x + 7y + 13 = 0
B x + 7y – 13 = 0
C –x + 7y + 13 = 0
D nada de lo anterior
Tema 7. Derivada de una función
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