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Cálculo diferencial (arq)
La derivada como razón de cambio
Función de posición s = f(t)
Suponga que una partícula se mueve a
lo largo de una línea recta de acuerdo
con la ecuación de movimiento s = f(t).
“s” es el desplazamiento de la partícula
al tiempo “t”.
Posición al tiempo t = a + h
Posición inicial (t = 0)
t=a
t=0
0
f(a + h) - f(a)
f(a)
Posición al tiempo t = a
f(a + h)
t=a+h
Velocidad promedio
desplazamiento
velocidad promedio 
tiempo
f ( a  h)  f ( a )
velocidad promedio 
h
Velocidad instantánea
Si ahora calculamos la velocidad promedio en
lapsos cada vez más cortos (h tiende a 0),
obtenermos aproximaciones cada vez más
cercanas a la velocidad en el instante t = a.
f ( a  h)  f ( a )
v(a )  lím
h 0
h
v(a) se llama velocidad instantánea o
simplemente velocidad de la partícula en el
tiempo t = a.
Ejemplo
Una pelota se deja caer desde una altura
de 450 m. Su altura al tiempo t está dada
por la ecuación f(t) = 450 – 4,9t2.
a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota luego
de 5 segundos?
b) ¿Con qué velocidad choca contra el
suelo?
Razón de cambio
Suponga que y es una cantidad que depende de
otra cantidad x, y además y = f(x). Se define la
razón de cambio (instantánea) de y con respecto
de x en x = a como:
f ( a  h)  f ( a )
Razón de cambio  lím
h 0
h
Conclusión
La derivada se puede interpretar como:
La pendiente de la recta tangente a una
curva.
La razón de cambio de una magnitud
respecto de otra.
Ejemplo
Un fabricante produce rollos de tela con un
ancho fijo. El costo de producir x yardas de
tela es C = f(x) dólares.
a) ¿Cuál es el significado de la derivada
f’(x)? ¿Cuáles son sus unidades?
b) En términos prácticos, qué significa decir
que f’(1000) = 9?
Derivabilidad y continuidad
Se dice que una función es derivable o
diferenciable en el número a si existe f’(a).
Teorema: Una función derivable en a es
continua en a.
El caso inverso no es necesariamente
cierto. Hay funciones continuas que no son
derivables.
Funciones continuas no derivables
Una función continua en un número “a” NO es
derivable en “a” si:
Presenta un “pico” o “punto anguloso” en x = a.
La recta tangente en x = a es vertical.
Otras notaciones para derivadas
dy df
d
f ' ( x)  y ' 


f ( x )  Dx f ( x )
dx dx dx
Ejercicios
Sección 2.8
Ejercicios 2.8 (pág. 161)
27; 28; 30; 33; 34
Sección 2.9
Ejercicios 2.9 (pág. 171)
33; 34; 42