1. Healthcare

Un nuevo conjunto…..
Los números complejos
Objetivos de Aprendizaje
 Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en
el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números
reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros,
números racionales y números reales.
 Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas
acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades.
 Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar
proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos
temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver problemas
combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, fomentando
la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas.
 Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
 Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la
flexibilidad y la originalidad.
Objetivos:
Definir el conjunto de los números
complejos.
2. Simplificar potencias de i.
3. Difinir y usar las operaciones con números
complejos.
1.
3
Resuelve las siguientes ecuaciones
 𝑥 2 − 100 = 0
 𝑥2 − 8 = 0
 𝑥2 + 1 = 0
 𝑥2 + 9 = 0
Esquema de los conjuntos
numéricos
Definición
Un número de la forma a + bi donde a y b
son números reales, i  1 se conoce como
un número complejo .
La a se conoce como la parte real y la b se
conoce como la parte imaginaria del número
complejo.
i  1
se conoce como la raíz imaginaria.
6
Definición
Al conjunto de números

C  a  bi / a  R, b  R; i  1
2

se le conoce como el conjunto de números
complejos.
7
Ejemplos de números complejos:
1) 5  3i
4) 5i
2) 7  4i
5) 7
3)  1  6i
8
Raíces pares de números negativos
Calcule las siguientes raíces.
1)
4 
4  1 
2i
5i
2)
25 
25  1 
3)
12 
4  3  1  2 3 i
4)
11 
11 i
9
5) 1   8  1  4  2  1
 1  4  2  1
 1 2 2 i
10
Definición
Dos números complejos son iguales si las partes
reales son iguales y las partes imaginarias
también son iguales .
Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.
11
Ejemplo:
Determine el valor de a y de b si
a  6  2bi  6  5i
Si a  6  6
y 2b  5
5
b
2
a0
12
Número Imaginario.
 Llamamos unidad imaginaria a 𝑖 que es igual a −1
 Cualquier número de la forma −𝑏 = 𝑏𝑖, con 𝑏 > 0, se
llama número imaginario.
 se pueden operar los números imaginarios como si fueran
términos algebraicos.
 Para calcular cualquier potencia de 𝑖, con exponente
natural, se tiene la siguiente regla:
1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1
𝒏
𝒊
−1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2
−𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Cálculo de potencias de 𝑖
Procedimiento para simplificar potencias de i
1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado
al residuo de la división.
2. Para simplificar use;
b.
i 1
1
i i
c.
i  1
d.
i  i
a.
0
2
3
15
Simplifica las potencias de i
1) i  1
8
2) i  i  1
10
3) i
540
2
 i 1
0
135
4 540
4
14
12
20
20
0
16
4) i  i
13
5) i
227
6) i
285
 i  i
3

1127
7) i
285  471  1
1
i i
1127  4  281  3
 i  i
3
17
Cálculo potencias de 𝑖
Resumiendo: Potencias de 𝑖
𝒊𝒏
1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1
−1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2
−𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Ejemplos:
Definiciones de las Operaciones con Números
Complejos
1. Suma :
 a  bi    c  di 
 a  c  b  d i
Ejemplo 1:
5  i    6  2i  
  5  6  1  2  i
11  i
21
2. Resta :
 a  bi    c  di 
  a  bi    c  di 
 a  c   b  d i
La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraen
Ejemplo 1:  3  2i    6  3i  
  3  2i    6  3i 
22
 9  5i

 

 8  3 2i    5  5 2i 
 8  3 2i    5  5 2i 
Ejemplo 2 : 8  18  5  50 
 38 2 i
23
 a  bi  . c  di 
  ac  bd    ad  bc  i
3. Multiplicación :
Aclaración: La multiplicación se puede llevar a
cabo como si fuera una multiplicación de
polinomios.
2
a

bi
c

di



 ac ad  i bc  i bd  i
 ac   ad  bc  i  bd  1
  ac  bd    ad  bc  i
24
Ejemplo 1:  4  2i  3  5i  
 12  20i  6i  10i
2
 12  20i  6i  10  1
 12  14i  10
 22  14i
25
Ejemplo 2:  4  5i  
2
  4  5i  4  5i 
 16  20i  20i  25i
 16  40i  25  1
 16  40i  25
 9  40i
26
2
Ejemplo 3:


 2  3i 
2
 4  12i  9i   2  3i 
 4  12i  9  1   2  3i 
 4 12i  9 2  3i 
 5 12i  2  3i  2
 2  3i 
3
  2  3i 
2


 10  15i  24i  36i
 10  15i  24i  36
 46  9i
27
Definición
El conjugado de z  a  bi se define por z  a  bi  a  bi.
Ejemplos:
Encuentra el conjugado de cada número.
2  4i  2  4i
2. 2  4i  2  4i
1.
3.
64i  64i
4. 12  24i  12  24i
5. 13  13
28
4. División:
 a  bi  
 c  di 
 a  bi   c  d i 

 .

cdi cdi
La división se hace multiplicando por el conjugado
del denominador.
8  7i 8  7i 1  3i
•
Ejemplo 1:

1  3i 1  3i 1  3i
8  24i  7i  21i

2
1  9i
29
2
8  17i  21 1

1  9  1
8  17i  21 29  17i


1 9
10
29 17

 i
10 10
30
4  5i
Ejemplo 2:

3i
4  5i 3i
•
3i
3i
 12i  15i

2
 9i
 12i  15

9
31
2
 12i  15  12 15

i

9
9
9
4 5
 i
3 3
5 4
  i
3 3
32
Ejercicios:
Lleva a cabo la operación indicada.
1)
2)
5  i    7  2i  
 3 12i    6  3i  
3) 12  23i    16 13i  
4)
5)
 13  32i    36  53i  
3  2i  6  3i  
33
6)
5  i  7  2i  
7)
 3 12i  6  3i  
1  2i
8)

6  3i
3  2i
9)

6  3i
34
1)
5  i    7  2i  
12  i
2)  3  12i    6  3i  
  3  12i    6  3i   3  15i
3) 12  23i    16 13i  
12  23i   16  13i  
35
28  36i
4)
5)
 13  32i    36  53i   49  21i
3  2i  6  3i   18  9i  12i  6i
 18  21i  6  1
 12  21i
6)
5  i  7  2i  
35  10i  7i  2i
 35  3i  2
 37  3i
36
2
2
7)
 3 12i  6  3i   18  9i  72i  36i
 18  63i  36
 54  63i
1  2i 6  3i
1  2i

8)

6  3i 6  3i 6  3i
6  3i  12i  6i

2
36  9i
6  9i  6 12  9i
4  3i



36  9
45
15
2
37
2
3  2i
3  2i 6  3i
9)

=
6  3i 6  3i 6  3i
18  9i  12i  6i
=
36  9
2
18  3i  6
=
36  9
24  3i
=
45
38
8  i
=
15
Representación gráfica
 Para representar un número complejo o de la forma
a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas
rectangulares, en el cual la parte real se representa en
el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.
Ejemplos:
Valor Absoluto
 Es la distancia entre el origen y el punto que representa
al número complejo.
 El valor absoluto o módulo de un número complejo a +
bi está definido como:

|a + bi| = √(a² + b²)
 Ejemplo:
 |-4+2i| =
√(-4)²+(2)² = √20 = 2√5
Comprender que los números complejos constituyen un
conjunto numérico en el que es posible resolver problemas
que no tienen solución en los números reales, y reconocer
su relación con los números naturales, números enteros,
números racionales y números reales.
Cálculo Mental
 ¿Qué es un número imaginario?
 ¿Cómo obtenemos el valor de 𝑖 249 ?
 ¿Cómo se operan los números imaginarios?
Números complejos
 Los números complejos son aquellos que
tienen una parte real y una imaginaria.
 Son de la forma
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Donde a y b pueden ser números positivos,
negativos y aún nulos.
Clases de números complejos
 Complejo real: es aquel cuya parte imaginaria es
nula.
 Complejo puro: es aquel cuya parte real es nula.
 Complejo nulo: es aquel cuya parte real y cuya parte
imaginarias son nulas.
 Complejos iguales: son dos complejos, que tienen
iguales sus partes reales e iguales sus partes
imaginarias.
Representación de números
complejos
 Forma gráfica: el complejo representa a un vector que
parte del origen del sistema coordenado. Sus ejes son
el eje real(Re) y el eje imaginario (Im).