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Mecánica Estadı́stica I − Año 2016
Práctica 8: Gas de Bose-Einstein
1. Radiación de cuerpo negro
Considerar una cavidad hipercúbica en D dimensiones que se comporta como un cuerpo negro.
(a) Calcular la densidad de energı́a en función de la temperatura para un energı́a de radiación
dada por ε(ω) = ~ω.
(b) Calcular la entropı́a, la presión y el calor especı́fico a volumen constante.
(c) Mostrar que para D = 3 la densidad de energı́a viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann,
U/V ∝ T 4 .
2. Radiación de cuerpo negro - Aplicaciones
(a) Estimar el rango de longitudes de onda para la radiación emitida por un ser humano. ¿A
qué parte del espectro electromagnético corresponden? ¿Qué tipo de sensores podrı́a usarse para
detectar esta radiación?
(b) Estimar la temperatura del Sol sabiendo que la distancia Tierra-Sol es d = 1.496 × 1011 m,
el radio del Sol es R⊙ = 6.96 × 108 m y la intensidad de radiación promedio del Sol, integrada
sobre todas las longitudes de onda, es 1.4 × 103 W/m2 .
(c) La ley de Stefan-Boltzmann puede ser utilizada para calcular la temperatura de un planeta
debido al efecto de su estrella. Si la temperatura del Sol es T⊙ = 5778 K, estimar la temperatura
de la Tierra, suponiendo que depende solamente de la radiación absorbida .
(d) Calcular la potencia transferida entre dos placas de 30 cm2 cuyas temperaturas son de 300 K
y 4 K. ¿Cómo podrı́a aislarse térmicamente un experimento enfriado a 4 K?
3. Johnson noise / LC noise
La agitación térmica de los electrones en un conductor lleva a la generación de potenciales entre
sus extremos. El efecto es conocido como Johnson noise, debido a que se manifiesta como ruido
en los circuitos eléctricos. Este ruido térmico es un fenómeno fı́sico fundamental que puede
utilizarse para definir la escala de temperatura absoluta.
Considerar una resistencia como un cuerpo negro unidimensional cuyos modos vienen dados
por la condición κL = 2πn, siendo κ el número de onda correspondiente, L la longitud de la
resistencia y n = 1, 2, 3, . . . [notar que para un intervalo ∆κ hay ∆n = ∆κ/(2π) modos por
unidad de longitud].
(a) Calcular la potencia media espectral del voltaje en función de la frecuencia. Graficar.
(b) Mostrar que las correcciones cuánticas tienen efecto a partir de los 6.5 GHz, por lo cual la
potencia espectral puede ser tomada como constante para los equipos de medición electrónica
disponibles usualmente (voltı́metro, amperı́metro).
(c) ¿Cómo podrı́a utilizarse el ruido térmico para medir temperatura?
4. Fonones: Debye vs. Einstein
Un cristal formado por N átomos tiene d × N modos normales, donde dPes la dimensión del
espacio. En la aproximación armónica, la energı́a vibracional es E = E0 + k nk ~ωk , donde E0
es la energı́a del estado fundamental y ωk son las frecuencias de los modos normales. Para d = 3,
estos modos se corresponden con ondas planas propagándose en el cristal (es decir, no localizadas
en el espacio), caracterizadas por números de onda vibracionales k = 2π(mx , my , mz )/L, donde
1
mx,y,z = 0, 1, 2, . . . , y L es la longitud del sistema. nk es el número cuántico asociado a estas
oscilaciones armónicas: cuenta el número de fonones con energı́a ωk e impulso cristalino ~k.
(a) Calcular la función de partición QN (V, T ) del sistema. Mostrar que ésta es la función de
partición de un gas ideal de bosones de energı́a ~ωk (llamaremos a estas partı́culas fonones), con
µ = 0. Tener presente que N es el número de átomos que conforman al cristal, y no el número
de bosones. [Ayuda: pensar cómo describir una configuración que especifique completamente
el microestado del sistema, y luego obtener QN (V, T ) sumando sobre todas las configuraciones
posibles.]
(b) La energı́a debida a las vibraciones de la red suele proveer la mayor contribución a la capacidad calorı́fica de un sólido. En cristales aislantes no magnéticos, de hecho, es la única
contribución. Conceptualmente, podemos pensar al cálculo de la energı́a debida a fonones como
dividido en dos partes. En primer lugar, hay que calcular la contribución de cada modo de
oscilación, definido por k y ωk . Mostrar que la energı́a y el calor especı́fico vienen dados por
U = E0 +
X
k
~ωk
,
β~ω
e k −1
cV =
1 X ~2 ωk2 eβ~ωk
.
kB T 2
(eβ~ωk − 1)2
k
En base a la expresión de U , determinar el número medio de ocupación de un dado modo, hnk i.
Para volúmenes grandes es posible escribir las sumatorias anteriores como integrales en el espacio
de impulsos, recurriendo a la densidad de estados en este espacio. Si conocemos la relación de
dispersión, éstas, a su vez, pueden escribirse como integrales sobre las energı́as o frecuencias,
recurriendo a la densidad de estados g(ω). En este caso, las ecuaciones anteriores se escriben
Z
∞
~ω
dω g(ω) β~ω
U = E0 +
,
e
−1
0
R∞
donde g(ω) debe satisfacer 0 g(ω)dω = d N .
cV
1
=
kB T 2
Z
∞
dω g(ω)
0
~2 ω 2 eβ~ω
,
(eβ~ω − 1)2
(c) Sólido de Einstein. La segunda etapa del cálculo consiste en realizar la suma sobre la
distribución en frecuencia de los modos. Esto implica conocer a la relación de dispersión para
poder calcular g(ω). El modelo de Einstein consiste en una simplificación extrema en la que se
supone que los d × N modos del sólido oscilan a la misma frecuencia ωE . Encontrar, en esta
aproximación, la energı́a media del sistema U y el calor especı́fico cV , y graficar éste último
en función de la temperatura, analizando los lı́mites de temperatura alta y baja. Notar que a
temperaturas lo suficientemente bajas (T ≪ TE ≡ ~ωE /kB ) el sistema se parece a un sistema de
dos niveles (con un gap ∆ = ~ωE ), por lo que cV debe decrecer exponencialmente con T . Esto
no se condice con las observaciones experimentales.
(d) Sólido de Debye. De una manera más realista, Debye aproximó las vibraciones normales de
los átomos del sólido con vibraciones elásticas de un cuerpo continuo isótropo (pregunta: ¿por
qué esto es solamente una aproximación?). Siguiendo esa idea, suponer que la relación entre
ωk y k (relación de dispersión) es ωk = c|k| hasta una frecuencia máxima ωD , mientras que
no existen modos con frecuencias mayores que ωD (¿con quién se relacionará c? comenzar por
determinar sus unidades). Calcular g(ω) para d = 1, 2 y 3. En el caso especial d = 3, utilizando
las expresiones anteriores mostrar que
cV =
4
3V kB
2π 2 c3 ~3
Z
ΘD /T
dt
0
t4 et
.
− 1)2
(et
5. Condensación de Bose-Einstein
La condensación de Bose, o de Bose-Einstein, suele ser entendida como una transición de fase
—muy especial, dado que no hay interacciones entre partı́culas— de primer orden. Vista desde
las ecuaciones de estado, ésta no es muy diferente de la tiene lugar durante la condensación de
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un gas (g, en este caso el gas de Bose) en un lı́quido (l, el condensado conformado por partı́culas
de impulso nulo).
(a) Explicar por qué, aún siendo cierto lo anterior, suele decirse que la condensación ocurre en
el espacio de impulsos, y no necesariamente en el de posiciones.
(b) Mostrar que para temperaturas T < Tc (o volúmenes especı́ficos v = V /N < vc ) la presión
del sistema depende solamente de la temperatura.
(c) Dibujar la curva crı́tica P vs. vc , y una isoterma P vs. v en el intervalo (0, vc ). Comparar
esta última con las isotermas que se obtienen para una transición lı́quido-gas en la región de
coexistencia.
(d) Pese a que el volumen por partı́cula v puede variar continuamente a lo largo de una isoterma
en una transición de fase primer orden, lo que sucede en realidad es que v = xl vl + (1 − xl )vg ,
siendo xi = Ni /N las fracciones y vi los volúmenes especı́ficos de cada fase. ¿Cuánto valdrı́an
en el caso de la transición de Bose vg (el volumen especı́fico del gas de Bose usual) y vl (el
correspondiente a las partı́culas en el condensado)? Vincular esto último con lo encontrado en
el punto (b). Evaluar el cambio discontinuo que sufre el volumen especı́fico, ∆v = vl − vg .
(e) Mostrar que por debajo de Tc la concentración de la fase condensada varı́a con la temperatura
(a densidad fija) como x = hN0 /N i = 1 − (T /Tc )3/2 . Graficar.
(f) Utilizando la ecuación de Clausius-Clapeyron sobre la curva de coexistencia Pc (T ) de un gas
ideal de Bose-Einstein, y conociendo ∆v a partir del punto anterior, determinar la discontinuidad
en la entropı́a ∆S al cruzar la lı́nea de transición Pc (T ). Mostrar que este cambio en la entropı́a
coincide con el obtenido a partir de las ecuaciones de estado (de este modo, la interpretación de
la condensación de Bose como una transición de fase de primer orden resulta consistente).
6. Gas de Bose en 2D
Es posible obtener un gas de bose limitado a moverse en dos dimensiones adsorbiendo átomos
de 4 He en la superficie de otro material (por ejemplo, grafito).
(a) Mostrar que en este caso bidimensional la densidad media de partı́culas puede escribirse
como
Z
hN i
mkB T ∞ ze−x
=
dx .
V
2π~2 0 1 − ze−x
(b) Resolver la integral anterior, y a partir del resultado mostrar que un gas ideal bidimensional
de bosones no presenta condensación de Bose-Einstein.
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