Covarianza de la Electrodinámica • Usamos unidades gaussianas para describir la electrodinámica • ~ ,B ~ 6 grados de libertad, E • Covarianza implica que estos grados de libertad deben ser componentes de un tensor en 4 dimensiones. • Tensor de rango 2 antisimétrico tiene 6 componentes independientes en n = 4. F µν • ~ 1 ∂A ~ ~ ~ ~ ~ B = ∇ × A , E = −∇Φ − c ∂t 1 Bi = εijkAk,j = εij k(Ak,j − 2 A j ,k), F jk = Ak,j − A j ,k , 2 1 Bi = εij kF j k 2 ~ covarianza: F µν = Aν ,µ − A µ,ν A µ = A , A4 un cuadrivector, Fi4 = A4,i − Ai,4 = −Φ ,i − Ai,4, iF = Ei , iA4 = −Φ i4 0 B3 −B2 −iE1 −B3 0 B1 −iE2 Fi4 = −iEi , F jk = ε jk iBi F µν = B2 −B1 0 −iE3 iE1 iE2 iE3 0 ~ A µ = A , iΦ Conservación de la carga eléctrica: J µ = (J , icρ),J µ,µ = ∇J + ∂tρ = 0. Gauge de Lorentz es covariante:A µ,µ = 0. Covarianza de la ecuación de ondas en el gauge de Lorentz: A µ,νν = − 3 4π Jµ c ′ Invarianza de Gauge: A µ′ = A µ + λ ,µ implica F µν = F µν Ecuaciones de Maxwell: Primer orden en las derivadas:F µν ,α F µν ,α + permutaciones cíclicas de los índices = 0 se satisface automáticamente si F µν = Aν ,µ − A µ,ν Ejercicio:Verificar. Por lo tanto:F µν ,α + Fνα,µ + Fα,µν = 0 corresponde a las ecuaciones de Maxwell homogéneas. Las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas tienen un término inhomogéneo conteniendo J µ. Por lo tanto deben ser de la forma: F µν ,ν = aJ µ Para fijar a, tomamos la ley de Gauss: F4i,i = aJ4, iEi,i = aicρ, a = F µν ,ν = 4 4π Jµ c 4π c Ecuación de fuerza de Lorentz: 1 f = ρE + J × B c 1 f µ = F µνJν c 1 i f4 = iEiJi = E.J , potencia c c Tensor de energía momentum: 1 1 f µ = F µνJν = F µνFνλ,λ = T µν ,ν c 4π 1 1 F µλFλν + δ µνFλρFλρ T µν = 4 4π 1 Transformación de los campos electromagnéticos ′ F µν = L µαLνβFαβ 5 donde L es la matriz de transformación de Lorentz. Ejercicio 1. Muestre que para movimiento relativo en la dirección x se tiene que: E1′ = E1 B1′ = B1 E2′ = γ(E2 − βB3) B2′ = γ(B2 + βE3) E3′ = γ(E3 + βB2) B3′ = γ(B3 − βE2) 2 Lagrangiano de la Electrodinámica Sea L(φi , ∂ µφi) la densidad lagrangiana de un conjunto de campos φi(x). R La acción del sistema es S = V d4xL. El principio de menor acción con valores fijos de los campos sobre la superficie cerrada Σ cuyo interior es V implica: Z ∂L ∂L δS = d4x δφi + (δφi) ,µ = ∂φi ∂φ V Z I i,µ ∂L ∂L ∂L d4x dσ µ − ∂µ δφi + =0 ∂φi ∂φi,µ ∂φi,µ V Σ El término de superficie se anula, dado que δφi = 0 allí. Ecuaciones de Euler-Lagrange: ∂µ ∂L ∂L = ∂φi,µ ∂φi 6 Tensor de energía-momentum. Si la densidad lagrangeana no depende de explícitamente de x,lo que refleja la invarianza translacional de la acción, se tiene: ∂L ∂L ∂L = φ + φi,νµ = i,µ ∂x µ ∂φi ∂φi,ν ∂L ∂L ∂L φi,µ + φi,νµ = ∂ν φi,µ ∂ν ∂φi,ν ∂φi,ν ∂φi,ν ∂L ∂ν φi,µ − Lδ µν = 0 ∂φi,ν ∂L T µν = ∂φ i,ν φi,µ − Lδ µν : tensor energía momentum canónico. Conservación de energía momentum: T µν ,ν = 0 Para encontra la densidad lagrangeana de la Electrodinámica imponemos siguientes propiedades: las 1. Las ecuaciones de los campos deben ser lineales. Esto implica que L es una función cuadrática de los campos y sus derivadas. 2. L debe ser invariante de Lorentz. 7 3. Invarianza de gauge. L es invariante bajo δA µ = ∂ µλ L = a1A µA µ + a2A µ,νA µ,ν + a3A µ,νAν ,µ Se satisfacen 1 y 2. Bajo transformaciones de gauge: δL = 2a1A µλ ,µ + 2a2A µ,νλ ,µν + a3(λ ,µνAν ,µ + A µ,νλ ,µν ) = 2a1A µλ ,µ + (a2 + a3)λ ,µν (Aν ,µ + A µ,ν ) = 0, a1 = 0, a2 = −a3 a L = a3(Aν ,µ − A µ,νA µ,ν )A µ,ν = − 3 F µνF µν 2 Si acoplamos el campo electromagnético a una corriente conservada J µ, J µ,µ = 0, agregando un nuevo término a L: 1 L = bF µνF µν + J µA µ c Ejercicio: Mostrar que la acción es invariante de gauge. Ecuaciones de E-L: 1 ∂L = Jµ ∂ν (−4bF µν ) = ∂A µ c 1 4π 1 F µν ,ν = − Jµ = Jµ b = − 4bc c 16π 8 Con J µ = 0. T µν = ∂L Aα,µ − Lδ µν = 2bFλρ(δ ραδνλ − (ρ ↔ λ))Aα,µ − Lδ µν = ∂Aα,ν 4bFναAα,µ − Lδ µν = 4bFναF µα − Lδ µν + 4bFναA µ,α = 4bFναF µα − Lδ µν + 4b (FναA µ) ,α T̃ µν = 4bFναF µα − Lδ µν T̃ µν ,ν = T µν ,ν − 4b(FναA µ) ,αν = 0 T̃ µν es invariante de gauge y simétrico. Es el tensor de energía momentum del campo electromagnético. 1 1 T̃ µν = 4b FναF µα − FλρFλρδ µν , 4b = − 4π 4 1 4b = − 4π se obtiene de T̃44 que es la densidad de energía del campo. 9
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