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ISSN 2007-1957
VISCOELASTICIDAD DEL ACERO TREFILADO
Ana María Islas Cortes
Instituto Politécnico Nacional, ESIT
[email protected]
Gabriel Guillén Buendia
Instituto Politécnico Nacional, ESIME-Azcapotzalco
[email protected]
Yolanda Montoya Vargas
Instituto Politécnico Nacional, ESIT
[email protected]
Resumen
En este estudio se ajustó el modelo de Maxwell a curvas tensión-deformación de
acero trefilado de uso amplio para alambres de pretensado. La determinación
numérica de los parámetros del modelo de Maxwell se realizó a través de su
transformación lineal, y posteriormente se optimizó mediante el método iterativo
Marquard obteniendo una bondad del 90% de confianza estadística. Con el objeto de
mejorar la bondad de ajuste numérico anterior se usó el modelo modificado del
mismo nombre.
Palabras clave: Modelos de Maxwell y modificado, Marquardt, acero trefilado.
El trefilado es una técnica de conformado
que trabaja a gran velocidad dentro de una
máquina multipasada con la finalidad de
reducir sección transversal de un alambre
[Galvéz, 2010]. Los alambres de acero
trefilados han sido estudiados durante años
por su endurecimiento por deformación y por
las altas resistencias que alcanzan,
manteniendo ductibilidad y tenacidad
suficientes que le permiten tener múltiples
aplicaciones ingenieriles. Los pasos previos
del trefilado son: patentado, que es un
tratamiento térmico específico de la industria
de los alambres usado para eliminar las
tensiones inducidas en la laminación y para
obtener una estructura uniforme de perlita
con colonias lo más finas posibles. La
preparación superficial, consiste en limpiar la
pieza de contaminantes y la recubre
normalmente con fosfatos (lubricación). El
punteado, prepara un extremo del alambrón
para dejarlo en dimensiones pequeñas que le
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permitan pasar por la hilera. Ya en el
trefilado, el alambrón se une a un tambor
cilíndrico que al girar lo irá enrollando, con la
temperatura que se alcanza en este proceso,
se requiere enfriamiento del material con
agua y chorros de aire. Finalmente, los
procesos posteriores del trefilado son el
estabilizado y envejecido. Desde luego, el
material sometido al trefilado modifica su
microestructura y propiedades mecánicas
[Galvéz, 2010]. Por ello, es necesario
estudiar, entre otras cosas, su curva tensióndeformación.
tensión , a partir del uso de muelles y
émbolos colocados a conveniencia. En donde
los primeros explican la recuperación elástica
 de los cuerpos; mientras que los segundos,
las variaciones de las dimensiones que se
producen en el material a lo largo del tiempo,
ya sea durante la aplicación del esfuerzo o
después de cesar el mismo, están relacionados
con las tensiones internas acumuladas en el
material que se liberan gradualmente .
Los materiales sometidos a una tensión 
son cuerpos viscoelásticos, como se ilustra en
la figura 1.
El modelo de Maxwell [Seymour, 2002]
está constituido por un muelle como elemento
elástico colocado en serie con un émbolo
como el elemento viscoso, se ilustra a
continuación:
Modelo viscoelástico de Maxwell
Figura 1.- Diagrama de la tensióndeformación de materiales viscoelásticos.
En la curva señalada, en su parte inicial el
esfuerzo es proporcional a la deformación, es
el límite de la región elástica. Continúa una
región donde ocurre el deslizamiento del
material, es la tensión de fluencia. Cuando la
deformación llega al límite, y no se pueden
producir más deslizamientos entre cadenas, se
alcanza la zona de refuerzo. En esa región el
alargamiento
del
material
aumenta
continuamente y casi se mantiene hasta el
punto de rotura. Se han propuesto numerosos
modelos para explicar el comportamiento
viscoelástico de los materiales sujetos a
Figura 2.- El modelo de Maxwell es un
muelle y un émbolo colocados en serie.
Cuyas tensiones se indican en
ecuaciones (1) y (2) respectivamente:
m K m
d
 e  e
dt
las
1
2
Para el sistema en serie, las tensiones y las
deformaciones se indican a continuación:
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  m  e
  m e
El modelo de Maxwell se modifica
sustituyendo las funciones lineales de
deformación del modelo original por
funciones potenciales de la deformación
[Ussman, 1997] de acuerdo a:
3
Entonces:
d  d m d e 1 d  




dt
dt
dt K dt 
4
Para la relajación, la constante
deformación  es independiente de t:
d
0 y
dt
1 d 
 0
K dt 
σ  A ε C e B ε
d



K
Experimentación
5
t
dt;
 
 o  K ;  
0
0
 K e

t


K
,
6
Finalmente, la expresión del modelo de
Maxwell es:
  A e B 
7
Donde:
 es la tensión específica o tenacidad que se
aplica al material.
 es la variación de dimensiones que
experimenta el material.
A y B son parámetros del modelo de Maxwell
a determinar.
Para evaluar las constantes numéricas del
modelo de Maxwell (7), se usa su
correspondiente
transformación
lineal,
indicada en seguida:

In 


  In A  B 

8
De cuya pendiente se obtiene el parámetro
“B” y de la intersección al eje se deduce el
parámetro “A”, es decir:
B   m, A  eb
10
de
Por separación de variables:

C
En el presente se estudió la curva tensióndeformación de alambres de acero trefilado
sometido a tracción uniaxial expuesto a una
temperatura superior a 200°C, aplicado bajo
norma técnica vigente [Bragado, 2010], en la
tabla 1 aparecen los valores experimentales,
el acero contiene carbono cercano al 0.8 por
ciento.
Tabla 1.- Valores numéricos del
ensayo de tracción del acero
trefilado.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

0.00001
0.00670
0.00800
0.01330
0.02000
0.02670
0.03340
0.04000
0.04670
0.05340
0.06000
0.06670
0.07340
0.08000
0.08670
0.09340
0.10000
 [MPa]
86
1150
1300
1460
1550
1620
1680
1720
1750
1780
1782
1786
1782
1780
1760
1740
1710
9
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Sobre los datos de la tabla arriba señalada,
se procedió a ajustar el modelo de Maxwell, a
través de su correspondiente transformación
lineal. Posteriormente, con la finalidad de
incrementar la bondad de ajuste numérico se
usó el modelo modificado del mismo nombre.
Análisis de Resultados
La tabla 2 abajo indicada contiene los
parámetros
correspondientes
a
la
transformación lineal del modelo de Maxwell
de acuerdo a la expresión (8). Así como el
análisis de varianza, que señala una recta
significativa al 90% de confianza estadística.
Tabla 2.- Parámetros de la transformación
lineal del modelo de Maxwell.
Deformación contra Log (tensión/deformación)
Parámetro
Estimación
Error
Estadístico
estándar
T
Intersección
12.6276
0.432094
29.2242
Pendiente
-34.9245
7.58125
-4.60669
Análisis de varianza
Fuente
Suma
g.l.
Cuadrado
Cuadrados
medio
Modelo
20.4679
1
20.4679
Residuo
14.4673
15
0.964483
Total
34.9352
16
(Corr.)
Coef. Corr.
-0.76543
R2
58.5883%
Pvalor
0.0000
0.0003
iterativo [Marquardt, 1963], se llega a sus
respectivos parámetros contenidos en la tabla
abajo mostrada, que presenta una bondad
inferior al 90% de confianza estadística.
Tabla 3.- Parámetros del ajuste del modelo
de Maxwell a la curva tensión-deformación
de acero usando el método iterativo
Marquardt.
Parámetro
A
B
Fuente
Modelo
Residuo
Total
Total
(Corr.)
R2
Modelo de Maxwell (Marquardt)
Estimación
Error
Intervalo de confianza
estándar
Inferior
Superior
109550.0
11086.4
85919.6
133180.0
20.32620
1.67116
16.7642
23.8882
Análisis de varianza
Suma
g.l.
Cuadrado
Razón F
Cuadrados
medio
4.28916E7
2
2.14458E7
304.334
1.05702E6
15
70468.0
4.39486E7
17
2.8391E6
16
62.7693%
En la figura 3 se observa el nivel de bondad
de ajuste del modelo de Maxwell.
Razón
F
21.22
Entonces, haciendo uso de los parámetros de
la pendiente e intersección al eje de la recta
anterior, y sustituida en las ecuaciones (9) se
determinan los parámetros del modelo de
Maxwell, que resultan:
A  3 x 10 6
y
B  34 .9
11
Si los valores anteriores son estimadores
iniciales en la optimización del modelo de
Maxwell, mediante un procedimiento
Figura 3.- Bondad de ajuste del modelo
de Maxwell a la curva tensióndeformación de acero usando el método
Marquardt.
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Con la finalidad de incrementar la bondad de
ajuste a los datos contenidos en la tabla que
dio origen al presente documento, también se
usó el modelo modificado del mismo nombre,
que cumple la expresión (10) expuesta en
líneas superiores.
En la tabla 4 se muestra los parámetros del
modelo modificado, así como su análisis de
varianza, donde se observa un coeficiente de
determinación y una razón F significativos al
99% de confianza estadística, y una varianza
residual relativamente mínima.
Tabla 4.- Parámetros del ajuste del modelo
de Maxwell modificado a la curva tensióndeformación de acero usando el método
Marquardt.
Parámetro
A
B
C
Fuente
Modelo
Residuo
Total
(Corr.)
R2
Modelo de Maxwell modificado (Marquardt)
Estimación
Error
Intervalo de confianza
estándar
Inferior
Superior
16755.2
1154.32
14279.4
19231.0
3.47847
0.241492
2.96052
3.99642
0.457844
0.0163184
0.422844
0.492843
Análisis de varianza
Suma
g.l.
Cuadrado
Razón F
Cuadrados
medio
3.39411E7
3
1.4647E7
2716.49
7547.92
14
539.137
4.39486E7
17
99.7341%
En la figura inferior se confirma
gráficamente la notable mejoría que se logró
con el modelo modificado en relación con el
modelo original.
Figura 4.- Bondad de ajuste del modelo
de Maxwell modificado a la curva
tensión-deformación de acero usando el
método Marquardt.
Conclusiones
El ajuste numérico del modelo de Maxwell
modificado obtenido por el método iterativo
condujo al 99% de confianza estadística,
sobre los datos de la curva tensióndeformación del alambre de acero trefilado,
realizando el ensayo a temperatura de 200°C
similar a las condiciones de trefilado
industrial.
Referencias
Galvéz, F., et al. (2010). Influencia de la
velocidad de deformación en el comportamiento
mecánico de alambres de acero trefilado; España,
pp. 23-24.
Seymour, R. B. & Carraher Jr, C. E. (2002).
Introducción a la química de los polímeros, 2da.
reimpresión, Editorial Reverté S. A.; España, pp.
59-60.
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ISSN 2007-1957
Ussman,
M.
H.
(1997).
Modelización
viscoelástica y modificaciones microestructurales
de fibras e hilos textiles en función de las
condiciones de producción y acabados, Doctoral
Thesis, Universidade da Beira Interior, Portugal,
pp. 13-14.
Marquardt, D. W. (1963). An Algorithm for LeastSquares Estimation of Nonlinear Parameters,
Journal for the Society of Industrial and Applied
Mathematics, pp. 11:431-41.
Bragado, H. A. (2010). Caracterización mecánica
de aceros perlíticos trefilados en función de la
velocidad y temperatura, ETSI Caminos, Canales
y Puertos, U. P. Madrid, p. 66.
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