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Geometrı́a de Curvas y Superficies – Tarea 2
Marzo 26 de 2015
1. Responda falso o verdadero, justificando matemáticamente su respuesta.
i. La primera forma fundamental del plano x-y, parametrizado en coordenadas polares
σ : (0, ∞) × (0, 2π) → R3 : (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ, 0), es
1 0
FI (σ) =
.
0 r
ii. Si la segunda forma fundamental de una carta local σ(u, v) de una superficie es
idénticamente cero, entonces la imagen de tal carta local está contenida en un plano.
iii. La aplicación f (x, y, z) = √ 2x 2 , √ 2y 2 , z , que envı́a la superficie de la esfera
x +y
x +y
unitaria x2 + y 2 + z 2 = 1 en el cilindro x2 + y 2 = 1, es una isometrı́a local.
iv. La aplicación f (x, y, z) = √ 2x 2 , √ 2y 2 , z , que envı́a la superficie de la esfera
x +y
x +y
unitaria x2 + y 2 + z 2 = 1 en el cilindro x2 + y 2 = 1, es una aplicación conforme.
v. Una carta local σ(u, v) de una superficie preserva áreas y es conforme si y solamente
si es una isometrı́a local.
2. Considere la superficie definida por una función suave z = f (x, y), parametrizada
por σ : R2 → R3 : (x, y) 7→ (x, y, f (x, y)).
i. Calcule la primera forma fundamental FI (σ) de la carta local σ.
ii. Demuestre que la segunda forma fundamental de la carta local σ es proporcional al
Hessiano de f :
1
fxx fxy
.
H(f ) = q
fyx fyy
1 + f2 + f2
x
y
iii. Usando i. y ii. calcule FI (σ) y FII (σ) para el plano ax + by + cz = d.
iv. Usando i. y ii. calcule FI (σ) y FII (σ) para una esfera de radio R centrada en el
origen.
v. Usando i. y ii. calcule FI (σ) y FII (σ) para el paraboloide z = x2 + y 2 .
3. Considere una superficie de revolución parametrizada por cartas locales de la forma
σ : R × (0, 2π) → R3 : (u, v) 7→ (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)), donde f (u) > 0 para todo
u ∈ R y la curva perfil u 7→ (f (u), 0, g(u)) está bien parametrizada. En clase se demostró
que la primera y segunda forma fundamental de tales cartas locales están dadas por:
1
0
f˙g̈ − ġ f¨ 0
FI (σ) =
y
F
(σ)
=
,
II
0 f (u)2
0
f ġ
respectivamente, donde el punto denota derivada con respecto al parámetro u.
i. Calcule FI (σ) y FII (σ) para el toro σ(u, v) = ((a+b cos u) cos v, (a+b cos u) sin v, b sin u),
donde a > b > 0.
ii. Calcule FI (σ) y FII (σ) para el paraboloide z = x2 + y 2 .
4. Encuentre el área superficial de las siguientes superficies suaves:
i. El toro σ(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u), donde a > b > 0,
0 ≤ u, v ≤ 2π.
ii. La porción del helicoide σ(u, v) = (u cos v, u sin v, bv), para 1 < u < 3 y 0 ≤ v ≤ 2π.
iii. La porción de la esfera σ(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u), donde 0 ≤
uo ≤ u ≤ u1 ≤ π y 0 ≤ v ≤ 2π. Explique su resultado usando el teorema de
Arquı́medes visto en clase.
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