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SEMINARIO DE ÁLGEBRA A
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE NÚMEROS ALGEBRAICOS
TEMARIO
DR. DANIEL LABARDINI FRAGOSO
Resumen. El curso será una introducción a la teoría de números algebraicos. Un número algebraico es un número complejo que satisface un polinomio de grado positivo con coecientes racionales,
mientras que un entero algebraico es un número complejo que satisface un polinomio mónico (de
grado positivo) con coecientes enteros. El conjunto de todos los números algebraicos es un sub-
Ω de C, y el conjunto de todos los enteros algebraicos es un subanillo de Ω. Cada subcampo
Ω tiene su anillo de enteros algebraicos oK . En este curso estudiaremos la estructura de oK
cuando dimQ (K) < ∞. Entre nuestros objetivos principales guran:
la prueba de existencia de bases enteras de extensiones nitas de Q;
campo
K
de
aplicaciones de la factorización única en irreducibles que poseen ciertos anillos de enteros
algebraicos, en la resolución de algunas ecuaciones diofantinas;
la prueba de existencia de anillos de enteros algebraicos que no tienen factorización única en
irreducibles;
la prueba del teorema de factorización única de ideales, que arma que si
nita de
Q,
entonces todo ideal no cero de
oK
K
es una extensión
puede escribirse de manera única (salvo orden
de los factores) como producto de ideales primos de
oK .
Si el tiempo lo permite (que es lo más probable), continuaremos con temas más avanzados.
Pondremos especial atención en los ejemplos concretos.
Seguiremos principalmente los libros Algebraic number theory and Fermat's Last Theorem de
Ian Stewart y David Tall, The theory of algebraic numbers de Harry Pollard y Harold Diamond,
y Algebraic theory of numbers de Pierre Samuel.
Deniremos la evaluación durante la primera semana de clase. En cuanto a prerrequisitos, se
supondrá que el alumno ha tomado los cursos de Álgebra Superior I, Álgebra Superior II y Álgebra
Lineal I.
Información de contacto
Profesor: Daniel Labardini Fragoso
Cubículo 318, Instituto de Matemáticas
Correo electrónico: [email protected]
Página web: http://www.matem.unam.mx/labardini/
Curriculum Vitae disponible en: http://www.matem.unam.mx/labardini/CV.pdf
Página web para el curso: http://www.matem.unam.mx/labardini/teaching.html
Temas principales
1. Divisibilidad en Z.
El algoritmo de la división.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Factorización única.
Congruencias.
2. Los enteros Gaussianos.
El algoritmo de la división en Z[i].
Factorización única en Z[i].
1
2
DANIEL LABARDINI
3.
4.
5.
6.
7.
Determinación de los elementos primos/irreducibles en Z[i].
El pequeño teorema de Fermat para Z[i].
Aplicación de la unicidad de la factorización en Z[i]: Soluciones enteras de y 2 + 4 = z 3 .
Polinomios sobre un campo
El anillo de polinomios K[X].
El algoritmo de la división en K[X].
Factorización única en K[X].
El criterio de irreducibilidad de Eisenstein.
Funciones simétricas.
Extensiones de campos.
Extensiones algebraicas y no algebraicas.
El grado de una extensión.
El teorema del elemento primitivo.
El campo de todos los números algebraicos.
Extensiones nitas de Q.
Elementos conjugados y discriminantes.
Enteros algebraicos y bases enteras.
El anillo de enteros algebraicos.
Bases enteras.
Normas y trazas.
Ejemplo: Campos cuadráticos.
Ejemplo: Campos ciclotómicos.
Factorización en irreducibles.
Unidades, elementos irreducibles y elementos primos.
Factorización en irreducibles.
La factorización en irreducibles no siempre es única (ejemplos).
La factorización es única si y sólo si todo irreducible es primo, si y sólo si todo ideal es
principal.
Dominios Euclidianos.
Ejemplos: Dominios Euclidianos cuadráticos.
√
Aplicación de la unicidad de la factorización en Z[ 1+ 2 −7 ]: Soluciones enteras de x2 +7 =
2n (teorema de Ramanujan-Nagell).
El teorema de factorización única de ideales
Ideales.
Tres propiedades de Z.
Los anillos de enteros son Dominios de Dedekind.
Factorización única de ideales como producto de ideales primos.
La norma de un ideal.
Ejemplo: Un campo ciclotómico sin factorización única de elementos.
Temas optativos
1.
2.
3.
4.
5.
El grupo de clases de ideales.
La prueba de Kummer del Último Teorema de Fermat para primos regulares.
Métodos locales.
Ramicación.
Teoría de Galois (rumbo al Teorema de Kronecker-Weber).
SEMINARIO DE ÁLGEBRA A
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Referencias
[1] Harry Pollard, Harold Diamond. The theory of algebraic numbers, 2a edición. Dover Publications, 1998.
QA247.P6
[2] Pierre Samuel. Algebraic theory of numbers. Hermann, 1970. QA247.S3513
[3] Ian Stewart, David Tall. Algebraic number theory and Fermat's Last Theorem, 3a edición. A K Peters, 2001.
QA247.S76
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México
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