1. No category

Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
1.- Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento
durante un año a 50.000 coches de la marca A, a
20.000 de la marca B y a 30.000 de la C, que tenía
asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido
accidente 650 coches de la marca A, 200 de la B y 150
de la C. A la vista de estos datos: a) ¿Cuál de las tres
marcas de coches tiene menos proporción de
accidentes?. b) Si, elegido al azar uno de los coches
observados, ha tenido un accidentes, ¿cuál es la
probabilidad de que sea la marca C?.
Sol: a) Marca C; b) P=0,15
2.- En una localidad hay solamente dos supermercados
A y B. El 58% de los habitantes compra en el A, el 35%
en el B y el 12% compra en ambos. Si se elige un
ciudadano al azar, calcule la probabilidad de que:
a) Compre en algún supermercado. b) No compre en
ningún supermercado. c) Compre solamente en un
supermercado. d) Compre en el supermercado A,
sabiendo que no compra en el B.
Sol: a) 0,81; b)0,19; c) 0,69; d) 0,7076
3.- En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa
una encuesta para conocer los hábitos en cuanto a
contratar los viajes por internet. Se observa que 120 son
hombres y que, de estos, 84 contratan los viajes por
Internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa
vía. Elegido un congresista al azar, calcule la
probabilidad de que: a) No contrate sus viajes por
internet. b) Use internet para contratar los viajes, si la
persona elegida es una mujer. c) Sea hombre, sabiendo
que contrata sus viajes por internet.
Sol: a) 0,3; b)0,7; c) 3/5
4.- Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola
de la urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si
sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que
contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcule: a) La
probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) La
probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B. c)
La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la
bola extraída ha sido blanca.
Sol: a) 3/5; b) 7/15; c) 1/2
5.- Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C,
que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 10% de
los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que
fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son
defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se
fabrican en la empresa: a) ¿Cuál es la probabilidad de
que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?.
c) Si sabemos que no es defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad de que proceda de la máquina A?.
7.- Se ha impartido un curso de “conducción eficiente”
a 200 personas. De los asistentes al curso, 60 son
profesionales de autoescuela y, de ellos, el 95% han
mejorado su conducción. Este porcentaje baja al 80% en
el resto de los asistentes. Halle la probabilidad de que,
elegido un asistente al azar: a) No haya mejorado su
conducción. b) No sea profesor de autoescuela,
sabiendo que ha mejorado su conducción.
Sol: a) 0,155; b) 0,6627
8.- Se sabe que el 44% de la población activa de cierta
provincia está formada por mujeres. También se sabe
que, de ellas, el 25% está en paro y que el 20% de los
hombres de la población activa también están en paro.
a) Elegida, al azar, una persona de la población activa
de esa provincia, calcule la probabilidad de que esté en
paro. b) Si hemos elegido, al azar, una persona que
trabaja, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?.
Sol: a) 0,222; b) 0,5758
9.- Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75
bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y
175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar.
a) Calcule la probabilidad de que sea blanca. b) ¿Cuál
es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está
marcada?. c) ¿cuál es la probabilidad de que sea negra y
esté marcada?. d) Son independientes los sucesos “sacar
bola marcada” y “sacar bola blanca”.
Sol: a) 0,25; b) 0,3; c) 0,4375; d) Dependientes
10.- Se consideran dos sucesos A y B asociados a un
mismo experimento aleatorio. Si P(A)=0,8, P(B)=0,7 y
P(AUB)=0,94. a) ¿Son A y B sucesos independientes?;
b) Calcula P(A/B); c) P(AcUBc)
Sol: a) Si; b) 0,8; c) 0,44
11.- Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que
sólo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza la
carnada correcta la probabilidad de que pesque un
salmón es 1/3, mientras que si usa una de las
inadecuadas esa probabilidad se reduce a 1/5. a) Si elige
aleatoriamente la carnada, ¿cuál es la probabilidad de
que pesque un salmón?. b) Si ha pescado un salmón,
¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la
carnada adecuada?.
Sol: a) 11/45; b) 5/11
Sol: a) 0,003; b) 0,955; c) 0,572
12.- El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza
el transporte público, el 30% usa vehículo propio y el
resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte
público son mujeres, el 70% de los que usan vehículo
propio son hombres y el 52% de los que van andando
son mujeres. a) Elegido al azar un alumno, calcule la
probabilidad de que sea hombre. b) Elegido al azar un
hombre, alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad
de que vaya andando?.
6.- Se sabe que el 90% de los estudiantes del último
curso de una Universidad está preocupado por sus
posibilidades de encontrar trabajo, el 30% está preocupado por sus notas y el 25% por ambas cosas. a) Si hay
400 alumnos matriculados en el último curso de dicha
Universidad, ¿cuántos de ellos no están preocupados por
ninguna de las dos cosas?. b) Si un alumno del último
curso, elegido al azar, no está preocupado por encontrar
trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que esté preocupado
por sus notas?.
13.- Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de
los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús
llega tarde el 20% de las veces y cuando va en coche
llega a tiempo sólo el 10% de las veces. Elegido un día
cualquiera al azar, determine: a) La probabilidad de que
llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús. b) La
probabilidad de que llegue tarde a clase. c) Si ha llegado
a tiempo a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no
haya ido en autobús?.
Sol: a) 20; b) 0,5
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
Sol: a) 0,4745; b) 0,1517
Sol: a) 0,64; b) 0,34; c) 1/33
1
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
14.- De las 180 personas que asisten a un congreso
médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades
de los congresistas, vemos que de las 60 personas que
son pediatras 20 son mujeres. Se elige al azar una
persona asistente al congreso. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer y pediatra?. b) ¿Cuál es
la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea pediatra?.
Sol: a) 1/9; b) 4/9; c) 1/3
15.- Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de
los que se conocen las probabilidades P(A)=0.60 y
P(B)=0.25. Determine las probabilidades que deben
asignarse a los sucesos AUB y A∩B en cada uno de los
siguientes supuestos: a) Si A y B fuesen incompatibles.
b) Si A y B fueran independientes. c) Si p(A/ B) = 0.40.
Sol: a) P(A∩B)=0; P(AUB)=0,85; b) P(A∩B)=0,15; P(AUB)=0,70;
c) P(A∩B)=0,1; P(AUB)=0,75
16.- De los sucesos aleatorios independientes A y B se
sabe que P(A)=0.3 y que P(BC)=0.25. Calcule las
siguientes probabilidades: a) P(AUB); b) P(AC∩BC); c)
P(A/ BC).
Sol: a) 0,825; b) 0,175; c) 0,3
17.- Una granja avícola dedicada a la producción de
huevos posee un sistema automático de clasificación en
tres calibres según el peso: grande, mediano y pequeño.
Se conoce que el 40% de la producción es clasificada
como huevos grandes, el 35% como medianos y el 25%
restante como pequeños. Además, se sabe que este
sistema de clasificación produce defectos por rotura en el
cascarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de
que un huevo grande sea defectuoso por esta razón es
del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno
pequeño. Elegido aleatoriamente un huevo a) ¿Cuál es
la probabilidad de que sea defectuoso?. b) Si el huevo es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea grande.
Sol: a) 0,355; b) 0,5633
18.- A la Junta General de Accionistas de una empresa
asisten 105 accionistas de los cuales 45 tienen menos de
40 años y 18 más de 60 años. Sometida a votación una
propuesta, es rechazada por la tercera parte de los
menores de 40 años, por la tercera parte de los que
están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de
60 años; los demás la aceptan. a) Calcule la
probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga
menos de 40 años y haya aceptado la propuesta. b) La
prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por
el 80% de los asistentes, ¿es correcta la afirmación? c) Si
una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta,
¿qué probabilidad hay de que tenga más de 60 años?
Sol: a) 0,2857; b) Falso; c) 0,1212
19.- Se cree que hay una vuelta hacia estilos de bailes
más populares, por lo que se realiza una encuesta a
estudiantes de bachillerato, resultando que al 40% les
gusta la salsa, al 30% le gusta el merengue y al 10% les
gusta tanto la salsa como el merengue. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que a un estudiante le guste el
merengue si le gusta la salsa? b) ¿Y la de que a un
estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa? c)
¿Son independientes los sucesos "gustar la salsa" y
"gustar el merengue"? ¿Son compatibles?
Sol: a) 0,25; b) 0,33; c) Dependientes y compatibles.
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
20.- El 50% de los préstamos que concede un banco
son para vivienda, el 30% para industria y el 20% para
consumo. No se pagan el 20% de los préstamos para
vivienda, el 15% de los préstamos para industria y el
70% de los préstamos para consumo. a) Si se elige al
azar un préstamo, calcule la probabilidad de que se
pague. b) Se elige un préstamo al azar que resulta
impagado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
préstamo para consumo? c) Ante un préstamo
impagado el director del banco afirma que es más
probable que sea para vivienda que para consumo,
¿lleva razón el director?
Sol: a) 0,715; b) 0,491; c) 0,350. No lleva razón
21.- De dos sucesos aleatorios A y B del mismo espacio
de sucesos se sabe que P(A)=2/3, P(B)=3/4,
P(A∩B)=5/8. Calcule: a) La probabilidad de que se
verifique alguno de los dos sucesos. b) La probabilidad
de que no ocurra ninguno de los dos sucesos. c) La
probabilidad de que ocurra A si se ha verificado B.
Sol: a) 19/24; b) 5/24; c) 5/6
22.- El 60% de los camareros de una localidad tienen
35 años o más, y de ellos el 70% son dueños del local
donde trabajan. Por otra parte, de los camareros con
menos de 35 años sólo el 40% son dueños del local
donde trabajan. a) Seleccionado un camarero al azar,
¿cuál es la probabilidad de que no sea dueño del local?.
b) Elegido al azar un camarero dueño de su local, ¿cuál
es la probabilidad de que tenga menos de 35 años?.
Sol: a) 0,42; b) 8/29;
23.- Una empresa utiliza dos servidores para conectarse
a Internet. El primero, S1 , lo utiliza el 45%de las veces y
el segundo, S2, el resto. Cuando se conecta a Internet
con S1 , los ordenadores se bloquean el 5% de las veces,
y cuando lo hace con S2 el 8%. Si un día , al azar, la
empresa está conectada a Internet, a) ¿cuál es la
probabilidad de que los ordenadores se queden
bloqueados?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la
empresa esté utilizando el servidor S1 , sabiendo que los
ordenadores se han quedado bloqueados?.
Sol: a) 0,0665; b) 45/133;
24.- En un centro de enseñanza secundaria se sabe que
el 45% de los alumnos juegan al fútbol, que el 60%
practican atletismo, y que de los que practican atletismo
el 50% juegan al fútbol. a) ¿Qué porcentaje de alumnos
practican ambos deportes? b) Si se elige al azar un
alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que no
practique ninguno de estos deportes?. c) Si un alumno
de ese centro no juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad
de que practique atletismo?.
Sol: a) 0,3; b) 0,25; c) 6/11
25.- El 41% de quienes se presentan a un examen son
varones. Aprueban dicho examen el 70% de los varones
el 60% de las mujeres. a) Calcule la probabilidad de que
si una persona escogida al azar ha aprobado, sea mujer.
b) Calcule la probabilidad de que si una persona
escogida al azar ha suspendido, sea mujer. c) Ana dice
que si alguien ha aprobado, es más probable que sea
mujer que varón; Benito dice que si alguien ha
suspendido es más probable que sea mujer que varón.
¿Quién tiene razón?.
Sol: a) 0,5522; b) 0,6573; c) Los dos llevan razón
2
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
26.- Una persona lanza dos veces consecutivas un dado
equilibrado, con las caras numeradas de 1 al 6. a)
Determine el número de resultados del espacio muestral
de este experimento aleatorio. b) Sea A el suceso “la
mayor de las puntuaciones obtenidas es menor que 4” y
B el suceso “la primera puntuación es impar”. Halla la
probabilidad de A y la de B. c) ¿Son independientes?.
Sol: b) P(A)=1/12; P(B)=1/2; c) No
27.- Un turista que realice un crucero tiene un 50% de
probabilidad de visitar Cádiz, un 40% de visitar Sevilla y
un 30% de visitar ambas. Calcule la probabilidad de
que: a) Visite al menos una de las dos ciudades. b)
Visite únicamente una de las dos ciudades. c) Visite
Cádiz pero no visite Sevilla. d) Visite Sevilla, sabiendo
que ha visitado Cádiz.
Sol: a) 0,6; b) 0,3; c) 0,2; d) 0,6
28.- En un centro escolar, los alumnos de 2º
Bachillerato pueden cursar, como asignaturas optativas,
Estadística o Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El
70% de los alumnos estudia Estadística y el resto DAO.
Además, el 60% de los alumnos que estudia Estadística
son mujeres y, de los alumnos que estudian DAO son
hombres el 70%. a) Elegido un alumno al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que sea hombre?. b) Sabiendo que se
ha seleccionado una mujer, ¿cuál es la probabilidad de
que estudie Estadística?.
Sol: a) 0,49; b) 14/17
29.- Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco.
Lena da en el blanco con probabilidad 7/11 y Adrián
con probabilidad 9/13. Si ambos sucesos son
independientes, calcule la probabilidad de los siguientes
sucesos: a) “Ambos dan en el blanco”. b) “Sólo Lena da
en el blanco”. c) “Al menos uno da en el blanco”.
Sol: a) 0,44; b) 0,196; c) 0,89
30.- Una encuesta realizada por un banco muestra que
el 60% de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el
50% tiene un préstamo personal y el 20% tiene un
préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese
banco. a) Calcule la probabilidad de que no tenga
ninguno de los dos préstamos. b) Calcule la
probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario,
sabiendo que no tiene un préstamo personal.
Sol: a) 0,2; b) 0,1; c) 0,8
31.- Sean A y B dos sucesos de un experimento
aleatorio tales que: P(Ac)=0,2; P(B)=0,25 y
P(AUB)=0,85. a) ¿Son los sucesos A y B independientes?. b) Calcule P(A/B).
Sol: a) Si; b) 0,2
32.- Un polideportivo dispone de 100 bolas de pádel y
120 bolas de tenis. Se sabe que 65 bolas son nuevas.
Además, 75 bolas de pádel son usadas. Por un error,
todas las bolas se han mezclado. a) Calcule la
probabilidad de que si elegimos, al azar, una bola de
tenis, ésta sea usada. b) Calcule la probabilidad de que
si elegimos, al azar, una bola, sea nueva.
34.- El 70% de los visitantes de un museo son
españoles. El 49% son españoles y mayores de edad. De
los que no son españoles, el 40% son menores de edad.
a) Si se escoge, al azar, un visitantes de este museo,
¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de edad?. b)
Se ha elegido, aleatoriamente, un visitante de este
museo y resulta que es menor de edad, ¿cuál es la
probabilidad de que no sea español?.
Sol: a) 0,67; b) 4/11
35.- Una enfermedad afecta al 10% de la población.
Una prueba de diagnóstico tiene las siguientes
características: si se aplica a una persona con la
enfermedad, da positivo en el 98% de los casos; si se
aplica a una persona que no tiene la enfermedad, da
positivo en el 6% de los casos. Se elige una persona, al
azar, y se le aplica la prueba. a) ¿Cuál es la probabilidad
de que dé positivo?. b) Si no da positivo, ¿Cuál es la
probabilidad de que tenga la enfermedad?.
Sol: a) 0,152; b) 1/424
36.- En una editorial hay dos máquinas A y B que
encuadernan 100 y 900 libros al día, respectivamente.
Además, se sabe que la probabilidad de que un libro
encuadernado por A tenga algún fallo de
encuadernación es del 2% y del 10% si ha sido
encuadernado por la máquina B. Se elige, al azar, un
libro encuadernado por esa editorial. a) Calcule la
probabilidad de que no sea defectuoso. b) Si es
defectuoso, halle la probabilidad de haber sido
encuadernado por la máquina A.
Sol: a) 0,908; b) 1/46
37.- La baraja española consta de diez cartas de oros,
diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se
extraen dos cartas. Calcule razonadamente la
probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea
de espadas en los siguientes supuestos: a) Si se extraen
las cartas con reemplazamiento. b) Si se extraen las
cartas sin reemplazamiento.
Sol: a) 7/16; b) 23/52
38.- En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas.
Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de
la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento,
dos bolas de la urna. a) Calcule la probabilidad de que
se hayan extraído dos bolas rojas. b) Halle la
probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola
roja.
Sol: a) 1/30; b) 8/15
39.- Se tienen dos dados, uno (A) con dos caras rojas y
cuatro verdes, y otro (B) con dos caras verdes y cuatro
rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja el
dado A y si sale cruz el dado B. a) Halle la probabilidad
de obtener una cara de color rojo. b) Si sabemos que ha
salido una cara de color verde en el dado, ¿cuál es la
probabilidad de que en la moneda haya salido cara?
Sol: a) 1/2; b) 2/3
33.- Sean A y B dos sucesos tales que: P(A)=0,3,
P(B)=0,4 y P(AUB)=0,65, conteste razonadamente las
siguientes preguntas: a) ¿Son incompatible A y B?. b)
¿Son independientes A y B?. c) Calcule P(A/Bc).
40.- Dados diez puntos del plano tales que no hay 3
alineados, se nombra a cuatro de ellos con las letras A,
B, C, D. De todos los triángulos que se pueden dibujar
con ese conjunto de puntos se elige uno. ¿Cuál es la
probabilidad de que el triángulo elegido tenga rotulados
todos sus vértices con letras?
Sol: a) 0,05; b) Dependientes; c) 0,416
Sol: 1/30
Sol: a) 0,67; b) 0,3
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
3
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
41.- En un instituto se ofertan tres modalidades
excluyentes, A, B y C, y dos idiomas excluyentes, inglés
y francés. La modalidad A es elegida por un 50% de los
alumnos, la B por un 30% y la C por un 20%. También
se conoce que han elegido inglés el 80% de los alumnos
de la modalidad A, el 90% de la modalidad B y el 75%
de la C, habiendo elegido francés el resto de los
alumnos. a) ¿Qué porcentaje de estudiantes del instituto
ha elegido francés?. b) Si se elige al azar un estudiante
de francés, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la
modalidad A?.
Sol: a) 0,18; b) 0,55
42.- Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio
muestral tales que P(A)=0,7, P(B)=0,6 y P(A∪B)=0,9.
a) Justifica si A y B son independientes. b) Calcula
P(A/B) y P(B/A), donde A y B son los contrarios de A y
B, respectivamente.
Sol: a) No lo son; b) 0,75 y 0,66
43.- Tres bolsa idénticas contienen bolas de cristal: la
primera, 6 lisas y 4 rugosas; la segunda, 5 lisas y 2
rugosas; y la tercera 4 lisas y 7 rugosas. Determina:
a) La probabilidad de que al extraer una bola al azar de
una bolsa al azar sea rugosa. b) Se ha hecho una
extracción de una bola al azar y ha resultado ser lisa.
¿Cuál es la probabilidad de que haya sido de la primera
bolsa?. c) En la extracción anterior se nos ha caído la
bola al suelo y se ha roto. ¿Cuáles son las probabilidades
de que en una nueva extracción al azar salga rugosa?.
Sol: a) 0,44; b)0,36; c) 0,49
44.- En un experimento aleatorio, la probabilidad de un
suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B,
y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del
suceso contrario a B es 1,3. Se sabe, además, que
la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18.
Calcular la probabilidad de que: a) Se verifique el suceso
A o se verifique el suceso B. b) Se verifique el suceso
contrario de A o se verifique el suceso contrario
de B. c) ¿Son independientes los sucesos A y B?.
Sol: a) 0,72; b) 0,82; c) Si.
45.- Se dispone de tres monedas. La primera de ellas
está trucada, de forma que la probabilidad de obtener
cara es 0,4. La segunda moneda tiene dos cruces y la
tercera moneda también está trucada de modo que la
probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide: a) Escribir
el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de
estas tres monedas, sucesivamente y en el orden
indicado. b) Probabilidad de que se obtengan, exactamente, 2 cruces. c) Probabilidad del suceso A=(C,+,C).
d) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.
Sol: a) E={(CXC),(CXX),(XXC),(XXX)}; b) 0,52; c) 0,24; d) 0,76
46.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 50%, el 30%
y el 20%, respectivamente, del total de los objetos de
una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa
de estas máquinas son, respectivamente, el 3%, el 4%
y el 5%. a) Si selecciona un objeto al azar, ¿qué
probabilidad tiene de salir defectuoso?. b) Suponiendo
que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya
sido fabricado por la máquina A?.
Sol: a) 0,037; b) 0,405
47.- En el experimento de lanzar sucesivamente tres
monedas, sea el suceso A sacar más caras que cruces, y
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
el suceso B, sacar una o dos cruces. Hallar todos los
casos que integran el suceso A ∪ B.
Sol:
48.- En un estudio realizado en cierta universidad, se ha
determinado que un 20% de sus estudiantes no utiliza
transportes públicos para acudir a sus clases y que un
65% de los estudiantes que utilizan transportes públicos,
también hacen uso del comedor universitario. Calcula la
probabilidad de que seleccionando al azar un estudiante
en esa universidad, resulte ser usuario de los transportes
públicos y del comedor universitario. Justifica la
respuesta.
Sol: 0,52
49.- De los tornillos que produce una fábrica, el 60%
son producidos por la máquina A, y el resto, por la
máquina B. Supóngase que el 12% de los tornillos
producidos por A son defectuosos y que el 8% de los
producidos por B son defectuosos. a) Elegido al azar un
tornillo producido por esa fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?. b) Se elige al azar un
tornillo y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya sido producido por la
máquina A?.
Sol: a) 0,1; b) 0,72
50.- Un determinado club tiene un 75% de sus
miembros que son hombres y un 25% que son mujeres.
De este club tienen teléfono móvil un 25% de los
hombres y un 50% de las mujeres. a) Calcula el
porcentaje de miembros de este club que no tienen
teléfono móvil. b) Calcula la probabilidad de que un
miembro de este club elegido al azar entre los que tienen
teléfono móvil sea mujer.
Sol: a) 0,6875; b) 0,4
51.- Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes
de una universidad para conocer las actividades que
realizan en el tiempo libre. El 80% de los entrevistados
ve la televisión o lee; el 35% realiza ambas cosas y
el 60%, no lee. Para un estudiante elegido al azar,
calcula la probabilidad de que: a) Vea la televisión y no
lea. b) Lea y no vea la televisión. c) Haga solamente
una de las dos cosas. d) No haga ninguna de las dos
cosas.
Sol: a) 0,4; b) 0,05; c) 0,45; d) 0,2
52.- De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se
extraen, al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento,
dos bolas. A) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas
extraídas sean blancas?. b) Si la segunda bola ha
resultado negra, ¿cuál es la probabilidad de que
la primera también lo haya sido?.
Sol: a) 0,4; b) 0,2
53.- Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:
P(A)=0,6; P(B)=0,2 y P(A∪B)=0,9. A) Calcula P(A∩B)
y razona si A y B son independientes. B) Calcula
P(A∪B).
Sol: a) 0,1, no son independientes; b) 0,7
54.- De una baraja española (la de 40 cartas), se sacan
al azar dos cartas. Encuentra la probabilidad de que: a)
Ambas sean oros. b) Las dos sean de distinto palo.
Sol: a) con devolución: 1/16; sin devolución: 3/52;
b) con devolución: 3/4; sin devolución: 10/13
4
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
55.- En una urna A hay 5 bolas blancas y dos rojas, y
en otra B hay 3 bolas verdes, 6 blancas y 5 rojas. Se
lanza un dado trucado, con las caras numeradas del 1 al
6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es
el doble que la de obtener cualquier otro número. Si en
el lanzamiento del dado sale un número par, se saca una
bola de la urna A, y si sale un número impar, la bola se
saca de la urna B. Determina la probabilidad de que la
bola que se saque sea roja.
Sol: 31/98
56.- Dos compañeros de estudios comparten piso. El
primero prepara la comida el 40% de los días y el resto
de los días lo hace el segundo. El porcentaje de veces
que se le quema al primero es el 5%, mientras
que el del segundo es el 8%. Calcula la probabilidad de
que un día, elegido al azar, la comida esté quemada. Si
cierto día se ha quemado, calcula la probabilidad de que
haya cocinado el primero.
Sol: a) 0,068; b) 0,294
57.- Dos jóvenes aficionados a los juegos de azar se
encuentran realizando un solitario con una baraja
española de 40 cartas. Extraen una carta de dicha baraja
y desean saber cuál es la probabilidad de ”obtener rey”
condicionado al suceso ”obtener figura”. Caracteriza
ambos sucesos.
Sol: 1/3
58.- Se lanzan dos dados. Halla: a) La probabilidad de
que una de las puntuaciones sea par y la otra impar. b)
La probabilidad de que una de las puntuaciones sea par,
sabiendo que la suma de las dos es 7.
Sol: a) 0,5; b) 1
59.- De una baraja española de 40 cartas se extraen
sucesivamente, y sin reposición, dos cartas. Se pide
calcular la probabilidad de que: a) La primera carta sea
de copas y la segunda de espadas. b) Una carta sea de
copas y la otra de espadas. c) Ninguna sea de bastos.
d) Las dos sean de oros.
Sol: a) 5/78; b) 5/39; c) 29/52; d) 3/52
60.- Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores,
tienen la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y
2 rojas B: 4 blancas y 6 negras También tengo un dado
que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las
otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una
bola al azar de la urna que indica el dado. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que esa bola sea blanca?. b) ¿Cuál es la
probabilidad de que esa bola sea roja?. c) La bola
extraída ha resultado ser blanca. ¿Cuál es la
probabilidad de que proceda de la urna B?.
Sol: a) 7/15; b) 2/15; c) 2/7
61.- En el experimento aleatorio de lanzar una moneda
tres veces se consideran los siguientes sucesos: A: Sacar
al menos una cara y una cruz. B: Sacar a lo sumo una
cara. a) Determine el espacio muestral asociado a ese
experimento y los sucesos A y B. b) ¿Son
independientes ambos sucesos?
Sol: Son independientes.
62.- De una baraja de cartas se extraen dos de ellas,
una tras otra. Determinar: a) La probabilidad de que las
dos sean copas. b) La probabilidad de que al me nos
una sea copas. c) La probabilidad de que una sea copas
y la otra de espadas.
Sol: a) 3/52; b) 23/52; c) 5/39
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
63.- Se dispone de un dado trucado de cuatro caras con
puntuaciones: 1,2,3,4, de modo que P(4)=4·P(1),
P(3)=3·P(1), P(2)=2·P(1), en donde P(4) indica la
probabilidad de obtener un 4 y así sucesivamente. Se
dispone también de dos urnas con la siguiente
composición: U1: 1 bola roja y 2 verdes. U2: 2 bolas
rojas y 3 verdes. Se lanza el dado. Si sale un número par
extraemos una bola de la urna U1. Si sale un número
impar extraemos una bola de la urna U2. Se pide: a)
Determina las probabilidades de los sucesos elementales
que se presentan al lanzar el dado de cuatro caras. b) Se
lanza el dado y a continuación extremos una bola de la
urna que corresponda. Halla la probabilidad de que sea
de color verde.
Sol: a) P(1)=1/10, P(2)=1/5, P(3)=3/10, P(4)=2/5; b) 16/25
64.- Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y
tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un
lápiz del estuche y a continuación, sin reemplazamiento,
se extrae otro lápiz. Se pide: a) Escribir los sucesos
elementales que definen los sucesos M={Sólo ha salido
un lápiz de color verde} y N={El segundo lápiz extraído
es de color azul}. b) Calcula las probabilidades de los
sucesos M, N y M∩N. c) Estudia la independencia de los
sucesos M y N. Razona la respuesta.
Sol: b) 3/10; c) No son indep.
65.- En una asesoría fiscal se han contratado a tres
personas para hacer declaraciones de la renta. La
primera de ellas se encarga de efectuar el 30%, la
segunda el 45% y la tercera el 25% restante. Se ha
comprobado que de las declaraciones realizadas por la
primera persona, el 1% son erróneas, la segunda comete
errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los
casos. A) Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar
una declaración de renta, esta sea errónea. b) Al elegir
una declaración que resulto correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?.
Sol: a) 0,0215; b) 0,4461
66.- Se lanza un dado dos veces. Sea A el suceso
{obtener 1 en la primera tirada} y sea B el suceso
{obtener 2 en la segunda tirada}. Calcula P(A), P(B),
P(A∩B). ¿Son A y B sucesos independientes?.
Sol: P(A)=P(B)=1/6, son independientes
67.- Consideremos el siguiente juego entre dos
personas: De una bolsa con bolas rojas y negras se sacan
dos bolas. Si son del mismo color se gana el juego y si
no, es el turno del otro jugador. El juego continua
hasta que uno de los jugadores gana o en la bolsa no
quedan bolas. Si en la bolsa hay 4 bolas rojas y 2
negras: a) Halla la probabilidad de que el jugador que
empieza gane en la primera tirada. b) El primer jugador
no ha ganado. Es el turno del segundo jugador. Halla la
probabilidad de que gane en esta tirada.
Sol: a) 7/15; b) ½
68.- La baraja española consta de 10 cartas de oros, 10
de copas, 10 de espadas y 10 de bastos. Se extraen tres
cartas. Calcula razonadamente cuál es la probabilidad de
que, al menos, una de las cartas sea oros en los
siguientes supuestos: a) No se devuelven las cartas
después de cada extracción. b) Después de cada
extracción se devuelve la carta a la baraja antes dela
siguiente extracción. (37/64)
Sol: a) 291/494; b) 37/64
5
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
69.- Hay dos urnas, la primera con 7 bolas blancas y 3
negras, la segunda con 3 bolas blancas y 6 negras. Se
extrae al azar una bola de la primera urna y se pasa a la
segunda. De esta urna, también al azar se saca una bola.
Calcular la probabilidad de que sea blanca.
Sol: 37/100
70.- La ciudad A tiene el doble de habitantes que la
ciudad B, pero un 30% de ciudadanos de B lee
literatura, en tanto que solo un 10% de ciudadanos de A
lee literatura. A) De un ciudadano solo sabemos que
vive en la ciudad A o en la ciudad B. Calcular de forma
razonada la probabilidad de que lea literatura. b) Si nos
presentan a un ciudadano que vive en la ciudad A o en
la ciudad B, pero del que sabemos que lee literatura,
calcular razonadamente la probabilidad de que sea de la
ciudad B.
Sol: a) 1/6; b) 0,6
71.- El ganado ovino de una región es sometido a un
control sanitario para comprobar que está libre de cierta
enfermedad infecciosa. En el proceso de control cada
animal es sometido a las pruebas P1, P2 y P3 (en ese
orden). Por experiencia se sabe que en el 95% de los
casos P1 da resultado negativo, que 10 de cada 100
ovejas sometidas a P2 dan resultado positivo y que con
probabilidad 0,03 P3 da resultado positivo. Sabiendo
que si una prueba da resultado positivo el animal es
sacrificado, determinar la posibilidad de que una oveja
sometida a dicho proceso de control no sea sacrificada.
Justificar la respuesta.
Sol: 0,8293
72.- Cuando los motores llegan al final de una cadena
de producción un inspector escoge los que deben pasar
una inspección completa. Supóngase que se producen
un 10% de motores defectuosos, y que el 60% de todos
los motores defectuosos y el 20% de los buenos pasan
una inspección completa. Calcúlese: a) Probabilidad de
que un motor elegido al azar sea defectuoso y haya
pasado la inspección. b) Probabilidad de que un motor
elegido al azar sea bueno y haya pasado la inspección.
c) Si conocemos que el 24% de los motores pasan la
inspección, ¿qué porcentaje de los mismos son
defectuosos?.
Sol: a) 0,06; b) 0,18; c) 0,25
73.- El 30% de los habitantes de una ciudad
determinada lee el diario La Nació, el 13% el diario XY
Z, y el 6% lee los dos. a) ¿Qué porcentaje de habitantes
de esta ciudad no lee ninguno de los dos diarios? b) Se
elige un habitante de esta ciudad al azar entre los que no
leen el diario XY Z, ¿cuál es la probabilidad de que lea el
diario La Nació.
Sol: a) 63%; b) 8/29
74.- Dos sucesos incompatibles, A y B, tienen probabilidades respectivas 0,2 y 0,60. Calcular la probabilidad de
que suceda A pero no B.
Sol: 0,2
75.- Entre los estudiantes matriculados en cierta
asignatura de una carrera universitaria las chicas
duplican a los chicos. Al final del curso han aprobado el
80% de las chicas y el 60% de los chicos. Calcula:
a) El porcentaje de chicas dentro del total de estudiantes
matriculados. b) El porcentaje de aprobados dentro del
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
total de estudiantes matriculados. c) El porcentaje de
chicas dentro de los estudiantes que no han aprobado.
Sol: a) 66,7 %; b) 73,3%; c) 50%
76.- Una fábrica produce tres modelos de coches: A, B y
C. Cada uno de los modelos puede tener motor de
gasolina o diésel. Sabemos que el 60% de los modelos
son del tipo A y el 30% del tipo B. El 30% de los coches
fabricados tienen motor diésel, el 30% de los coches del
modelo A son de motor diésel y el 20% de los coches del
modelo B tienen motor diésel. Se elige al azar un coche.
Se piden las probabilidades de los siguientes sucesos: a)
El coche es del modelo C. b) El coche es del modelo A,
sabiendo que tiene motor diésel. c) El coche tiene motor
diésel, sabiendo que es del modelo C.
Sol: a) 0,1; b) 0,6; c) 0,6
77.- Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una
hora, la máquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C
100. Las probabilidades de que las máquinas produzcan
tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01 para
A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar una hora
se juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al
azar. A) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
defectuoso?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya
fabricado la máquina A, sabiendo que no es
defectuoso?.
Sol: a) 0,985; b) 0,603
78.- Dos urnas A y B contienen bolas. La A tiene 4
bolas rojas, 2 verdes y 3 negras y la B, 3 rojas, 2 blancas
y 4 negras. De una baraja española, se extrae una carta.
Si la carta extraída es un oro o una figura, se extrae una
bola de la urna A. En caso contrario la bola se extrae de
la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que al realizar este
proceso se obtenga una bola negra?
Sol: 47/120
80.- Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento
sobre 120 personas aquejadas de cierta enfermedad. 30
de ellas ya habían padecido esta enfermedad con
anterioridad. Entre las que la habían padecido con
anterioridad, el 80% ha reaccionado positivamente al
nuevo tratamiento. Entre las que no la habían padecido,
ha sido el 90% el que reaccionó positivamente. A) Si
elegimos dos pacientes al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que los 2 ya hayan padecido esta enfermedad? B) Si
elegimos un paciente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que no reaccione positivamente al nuevo tratamiento?
C) Si un paciente ha reaccionado positivamente, ¿cuál
es la probabilidad de que no haya padecido la
enfermedad con anterioridad?.
Sol: a) 29/476 b) 0,125; c) 0,77
81.- De una urna, en la que hay 2 bolas blancas, 3 rojas
y 4 negras, se extraen 3 bolas simultáneamente. Hallar la
probabilidad de que dos de ellas (y sólo dos) sean del
mismo color.
Sol: 55/84
82.- Supóngase que el tiempo (climatológico) sólo se
puede clasificar como bueno o malo y que, en cierta
zona, la probabilidad de que se produzca, de un día para
otro, un cambio de tiempo es de 0,3. Si la probabilidad
de que haga buen tiempo (en esa zona) el día 20 de
Junio es de 0,4, ¿qué probabilidad hay de que el 21 de
Junio haga buen tiempo?.
Sol: 0,46
6
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
83.- A unas elecciones se presentan seis candidatos: A,
B, C, D, E y F. Se es tima que B, C y D tienen la misma
probabilidad de ganar, que es la mitad de la probabilidad de que gane A y que E y F tienen la misma
probabilidad de ganar, que es el triple de la probabilidad
de que gane A. Calcule: a) La probabilidad que tiene de
ganar cada candidato. b) La probabilidad de que gane A
o F.
Sol: a) P(A)=2/17, P(B)=P(C)=P(D)=1/17, P(E)=P(F)=6/17; b) 8/17
84.- En una clase hay 12 alumnos y 16 alumnas. El
profesor saca consecutivamente a 4, diferentes, a la
pizarra. Se pide hallar: a) ¿Cuál es la probabilidad de
que todos sean alumnas? b) Siendo la primera alumna,
¿cuál es la probabilidad de que sean alternativamente
una alumna y un alumno?. c) ¿Cuál es la probabilidad
de que sean dos alumnas y dos alumnos?.
Sol: a) 4/45; b) 22/195; c) 176/455
85.- Para la señalización de emergencia de una fábrica
se han instalado dos indicadores que funcionan
independientemente. La probabilidad de que el
indicador A se accione en una avería es 0,99, mientras
que la de que se accione el indicador B es 0,95. Si se
produce una avería: a) ¿Cuál es la probabilidad de que
se accione un sólo indicador? b) ¿Cuál es la
probabilidad de que no se accione ningún indicador?
Sol: a) 0,059; b) 0,005
86.- En el primer curso de una determinada Facultad
hay dos grupos A y B. En el grupo A hay 60 varones y
40 mujeres, y en el grupo B hay 64 varones y 16
mujeres. La probabilidad de elegir un alumno del
grupo A es 1/3 y la de elegir uno del grupo B es 2/3.
a) Calcular la probabilidad de elegir un varón. b) Si
hemos elegido un varón, ¿cuál es la probabilidad de que
esté en el grupo A?.
presentan. Esta primera prueba es eliminatoria y los
alumnos que no la superan suspenden la asignatura. La
segunda prueba es fonética y 7 de cada 10 alumnos que
realizan la prueba la superan. Esta segunda prueba tiene
recuperación y es conocido que el 50% de los alumnos
que se presentan a dicha recuperación la superan. La
última prueba es oral y a ella acceden los alumnos que
han superado las dos pruebas anteriores. La prueba oral
se supera con probabilidad 0,55. Sabiendo que la
asignatura se aprueba cuando se han superado las tres
pruebas, determinar la probabilidad de que un alumno
apruebe el inglés. Justificar la respuesta.
Sol: 0,3974
91.- En una determinada ciudad, aparte de su propia
lengua, el 45% de los habitantes habla inglés, el 30%
francés, y el 15%, inglés y francés. A) Calcular la
probabilidad de que un habitante de esta ciudad elegido
al azar de entre los que hablan francés, hable también
inglés. B) Calcular la probabilidad de que un habitante
de esta ciudad elegido al azar no hable inglés ni francés.
Sol: a) ½; b) 0,4
92.- Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3
bolas blancas y 4 negras; la segunda contiene 5 bolas
negras y, la tercera, 4 blancas y 3 negras. A) Si se elige
una caja al azar y luego se extrae una bola, ¿cuál es la
probabilidad de que la bola extraída sea negra?. B) Si
se extrae una bola negra de una de las cajas, ¿cuál es la
probabilidad de que proceda de la segunda caja?.
Sol: a) 2/3; b) 1/2
93.- Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras tres
veces consecutivas: A) Calcular la probabilidad de que
en los tres lanzamientos salga el seis doble. B) Calcular
la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga un
doble distinto del seis doble.
Sol: a) 0,73; b) 0,27
Sol: a)1/46656; b) 125/46656
87.- Sean A y B dos sucesos independientes tales que la
probabilidad de que ocurran simultáneamente es 1/6 y la
de que no ocurra ninguno es un 1/3. Determina las
probabilidades P(A) y P(B).
94.- Una urna A contiene 2 bolas blancas y 1 negra, y
otra urna B contiene 2 bolas negras y 1 blanca. Se
extraen dos bolas de la urna A y, sin mirar el color, se
introducen en la B. A continuación se extrae una bola de
la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea
negra?.
Sol: 1/2, 1/3
88.- Se tira una moneda y si sale cara se tira una vez un
dado y se anota lo que sale, y si sale cruz se tira dos
veces y se anota la suma del resultado de ambas tiradas.
A) Calcula la probabilidad de que se haya anotado un
11 y la probabilidad de que se haya anotado un 6.
B) Si el resultado anotado es un 6, ¿cuál es la
probabilidad de que haya salido cara al tirar la moneda?.
Sol: 1/8
Sol: a) 1/36, 11/72; b) 6/11
89.-En un aparato de radio hay presintonizadas tres
emisoras A, B y C que emiten durante todo el día. La
emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la
C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender
la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las
tres emisoras. a) Obtener de forma razonada la
probabilidad de que al encender la radio escuchemos
música. b) Si al poner la radio no escuchamos música,
calcular de forma razonada cuál es la probabilidad de
que esté sintonizada la emisora B.
Sol: a) ½; b) 1/3
90.- Un examen de inglés consta de tres pruebas. En
primer lugar se hace una prueba de gramática que suele
ser superada por el 85% de los alumnos que se
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
7
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
BINOMIAL
1.- La última novela de un autor ha tenido un gran
éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la
han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la
lectura: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo
hayan leído la novela 2 personas?; b) ¿Y cómo máximo
2?
Sol: a) 0,1536; b) 0,1808
2.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas
de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según
las tablas actuales, la probabilidad de que una persona
en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese
la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a)
Las cinco personas; b) Al menos tres personas; c)
Exactamente dos personas
Sol: a) 0,132; b) 0,791; c) 0,164
3.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la
probabilidad de que salgan más caras que cruces.
Sol: 0,3125
4.- Si de seis a siete de la tarde se admite que un
número de teléfono de cada cinco está comunicando,
¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10
números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen
dos?
Sol: 0,3020
5.- La probabilidad de que un hombre acierte en el
blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la
probabilidad de que acierte exactamente en tres
ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo
menos en una ocasión?
Sol: a) 0,25; b) 0,9437
6.- En unas pruebas de alcoholemia se ha observado
que el 5% de los conductores controlados dan positivo
en la prueba y que el 10% de los conductores
controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad.
También se ha observado que las dos infracciones son
independientes. Un guardia de tráfico para cinco
conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el
número de conductores es suficientemente importante
como para estimar que la proporción de infractores no
varía al hacer la selección. a) Determinar la probabilidad
de que exactamente tres conductores hayan cometido
alguna de las dos infracciones. b) Determine la
probabilidad de que al menos uno de los conductores
controlados haya cometido alguna de las dos
infracciones.
Sol: a) 0,0223; b) 0,543
7.- La probabilidad de que un artículo producido por
una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un
cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.
Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la
varianza y la desviación típica.
Sol: a) 200; b) 196; c) 14
8.- En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto
blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el
proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces.
Calcular la media y la desviación típica.
Sol: a) 3,33; b) 149
9.- Un laboratorio afirma que una droga causa efectos
secundarios en una proporción de 3 de cada 100
pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la
droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes
sucesos? a) Ningún paciente tenga efectos secundarios.
b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cuál es
el número medio de pacientes que espera laboratorio
que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al
azar?
Sol: a) 0,8587; b)0,00847; c) 3
10.- Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles
respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es
correcta. Un estudiante que no se había preparado la
materia responde completamente al azar marcando una
respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que
acierte 4 o más preguntas
Sol: 0,03759
11.- La probabilidad de que un cazador novato cobre
una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la
probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.
Sol: 0,31744
12.- El 53% de los trabajadores de una determinada
empresa son mujeres. Si elegimos 8 personas de esa
empresa al azar, calcula la probabilidad de que haya: a)
Alguna mujer. b) Más de 6 mujeres.
Sol: a) 0,998; b) 0,05
13.- Una urna contiene 6 bolas con números pares y 9
bolas con números impares. Si hacemos diez
extracciones con reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener número impar: a) Alguna vez. b) Más
de 8 veces.
Sol: a) 0,999; b) 0,046
14.- Una moneda con probabilidad de cara 0,6 se lanza
ocho veces. Calcula la probabilidad de obtener cara: a)
Alguna vez. b) Más de seis veces.
Sol: a) 0,9993; b) 0,106
15.- La probabilidad de que un determinado juguete
salga defectuoso es de 0,03. Calcula la probabilidad de
que en un lote de 60 de estos juguetes haya: a) Alguno
defectuoso. b) Menos de dos defectuosos.
Sol: a) 0,839; b) 0,459
16.- De cada 10 veces que mi hermano juega conmigo
al ajedrez, me gana 7 veces. a) ¿Cuál es la probabilidad
de que me gane 1 vez?; b) ¿y de hacer tablas?; c) ¿cuál
es la probabilidad de que me gane entre 1 y 3 veces,
ambos números incluidos?; d) Si apostamos que, en 10
partidas, yo le ganaré al menos 4 veces, ¿Cuál es la
probabilidad de ganar la apuesta?.
Sol: a) 0,00001378; b) 0,1029; c) 0,0105868; d) 0,15025
17.- En un laboratorio de análisis clínicos, saben que el
98% de las pruebas de diabetes que realizan resulta
negativo. Si han recibido 10 muestras para analizar: a)
Determina la probabilidad de que haya dos personas a
las que la prueba les de positivo; b) ¿Cuál es la
probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de
una persona?
Sol: a) 0,01531; b) 0,0162
18.- El 20% de la población de una ciudad es
inmigrante de procedencia africana. Si se eligen 5
personas al azar, determina la probabilidad de; a) Haya
un inmigrante africano; b) Sean dos o más inmigrantes
africanos; c) Las 5 sean africanas; d) Haya al menos
uno; e) Sean 4 africanos.
Sol: a) 0,4096; b) 0,2627; c) 0,00032; d) 0,6723; e) 0,0064
8
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
19.- La probabilidad de meter un penalti a Casillas es
del 80% si tiramos 10 penaltis hallar la probabilidad de:
a) Acertar 4 penaltis, b) Fallar todos, c) Acertar
alguno, d) Acertar entre 3 y 6 penaltis.
Sol: a) 0,0055; b) 1,024·10-7; c) 0,99999999876; d) 0,12
20.- De una urna que contiene 50 bolas blancas y
10negras se extraen diez bolas, de una en una y
devolviendo cada vez la bola a la urna. ¿Cuál es la
probabilidad de que más de la mitad sean negras?
Sol: 0,0024
21.- Se lanza un dado 216 veces. Calcúlese el número
de veces que cabe esperar que aparezca el 3. Hállese la
varianza de la distribución correspondiente.
Sol: 36 y 5,47
22.- Se lanzan dos dados cinco veces, anotando cada
vez la suma de puntos alcanzada. Hállese la probabilidad
de que se obtenga como suma un número primo al
menos dos veces.
Sol: 0,6912
23.- Supóngase que la probabilidad de que una persona
sea varón es ½. Si se eligen al azar 100 familias de cinco
hijos cada una, ¿en cuántas es de esperar que haya 2
varones y 3 mujeres?
Sol: a) 0,3060 b) 0,5187
24.- Un vendedor de seguros vende pólizas a cinco
personas, todas ellas de la misma edad y con buena
salud. Según las tablas actuariales, la probabilidad
de que una persona en tales condiciones viva 30
años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que al
cabo de 30 años vivan: a) Las cinco personas; b) Por
lo menos tres personas; c) Sólo dos personas
Sol: a) 0,1317 b) 0,7901 c) 0,1646
27.- Al inspeccionar 1520 soldaduras hechas por
una misma máquina, resultó que 152 eran
defectuosas. Admitimos que la producción sigue en
las misas condiciones. Si se eligen 5 soldaduras
hechas por esa máquina, ¿cuál es la probabilidad
de que por lo menos dos sean defectuosas?
Sol: 0,08
31.- De una baraja de 40 cartas se extraen 10 al azar, de
una en una y devolviendo cada vez la carta a la baraja.
Se anota el número total de figuras obtenidas. ¿Cuántas
figuras cabe esperar que serán obtenidas en las diez
extracciones?. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como
mínimo dos figuras?
Sol: 3 y 0,5172
32.- Se lanzan seis monedas simultáneamente, calcular:
a) La probabilidad de que salgan dos caras; b) La
probabilidad de que salgan por lo menos cuatro caras;
c) Probabilidad de que no salga ninguna cara.
Sol: a) 0,2344 b) 0,3438 c) 0,0156
33.- La probabilidad de que una jugadora de golf haga
hoyo en un lanzamiento a una distancia determinada es
0,2. Si lo intenta cinco veces, calcular la probabilidad de
que: a) No acierte ninguna; b) Acierte alguna; c) Acierte
dos; d) Si hace tandas de cinco lanzamientos, ¿cuál será
el número medio de aciertos?; ¿cuál será su desviación
típica?
Sol: a) 0,3277 b) 0,67232 c) 0,2048 d) 0,8944
34.- Suponiendo que cada niño tiene la probabilidad
0,51 de ser varón, hállese la probabilidad de que en una
familia de seis hijos haya tenido: a) Por lo menos un
niño; b) Por lo menos una niña.
Sol: a) 0,9862 b) 0,9824
35.- La probabilidad de que un cierto equipo de fútbol
gane un partido es ¼. Suponiendo que va a jugar cuatro
partidos, hállese la probabilidad de que: a) Gane la
mitad de los partidos; b) Gane más de la mitad de los
partidos.
Sol: a) 0,2983 b) 0,5926
36.- Una urna contiene 4 bolas rojas y 6 blancas. Se
saca una bola al azar, se apunta el color, y se devuelve a
la urna. Suponiendo que esa experiencia se repite cinco
veces, hallar a) la probabilidad de obtener dos bolas
rojas; b) la probabilidad de obtener a lo sumo dos rojas;
c) la media y desviación típica de la variable que
describe el número de bolas rojas obtenidas.
Sol: a) 0,3456 b) 0,6826 c) 2 y 1,0954
28.- En un determinado país, el 30% de sus habitantes
tienen sangre tipo 0. Si se analiza la sangre de 10
personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya,
exactamente, cinco personas con sangre tipo 0, entre las
examinadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos
de la mitad tengan sangre de dicho tipo? c) ¿Cuántos
cabe esperar que tengan sangre tipo 0?
37.- Se ha comprobado que el 2 por mil de las
piezas producidas por una fabrica son defectuosas.
En una partida de 50000 piezas, ¿cuántas se puede
esperar que sean defectuosas?. Hállese la desviación
típica de la variable que describe el número de piezas
defectuosas
Sol: a) 0,103 b) 0,849 c) 3
38.- Un examen tipo “test” consta de cinco preguntas,
en cada una de las cuales se adjuntan tres posibles
respuestas de las que sólo una es correcta. Para superar
el examen, se exige acertar un mínimo de cuatro
respuestas. ¿Qué probabilidad hay de que una persona
aprueba el examen si responde al azar?
29.- Dos personas juegan a “cara o cruz” y han
convenido en acabar el juego cuando ambos sucesos
se hayan presentado por lo menos tres veces. Calcúlese
la probabilidad de que el juego no se acabe cuando ya
se han hecho ocho lanzamientos.
Sol: 27/138
30.- Se ha estudiado que 1/3 de los alumnos de
Bachillerato no leen nunca la prensa diaria.
Tomando una muestra al azar de 10 alumnos estudiar
las probabilidades siguientes: a) Encontrar dos alumnos
que no leen la prensa; b) Más de tres alumnos que no
leen la prensa; c) Por lo menos cinco alumnos que no
leen la prensa.
Sol: 100 y 10
Sol: 0,0452
39.- Cual es la probabilidad de que en un grupo de 5
personas, nacidas en la misma semana, haya dos
exactamente que nacieron el jueves.
Sol: 0,12
40.- Calcular la probabilidad de que un número de 4
cifras, tomadas del 0 al 9, no contenga ningún 5.
Sol: 0,65
Sol: a) 0,1951 b) 0,4408 c) 0,9235
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
9
Cálculo de Probabilidades
Problemas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com
© Raúl González Medina
41.- Un tratamiento para el cáncer produce mejoría en
el 80% de los enfermos a los que se les aplica. Se
suministra a 5 enfermos. Se pide: A) Calcula la
probabilidad de que los cinco pacientes mejoren. B)
Calcula la de probabilidad de que, al menos, tres no
experimenten mejoría. C) ¿Cuántos pacientes se espera
que mejoren?
Sol: a) 0,3277; b) (0,0576); c) 4.
42.- La probabilidad de que un esquiador debutante se
caiga en la pista es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la
probabilidad de que se caiga al menos tres veces.
Sol: (B(5;0,4); 0,31744)
43.- Un alumno hace un examen tipo test que consta de
4 preguntas. Cada una de las preguntas tiene tres
posibles respuestas de las cuales sólo una es correcta. Si
un alumno aprueba contestando correctamente a dos o
más preguntas, obtener de forma razonada la
probabilidad de que aprueba si responde al azar a cada
una de las preguntas.
Sol: B(4,1/3); 0,4
44.- Se sabe que 2 de cada 8 habitantes de una ciudad
utiliza e transporte público para ir al trabajo. Se hace una
encuesta a 140 de esos ciudadanos. Determinar: A)
Número esperado de ciudadanos que no van a su
trabajo en transporte público. B) Probabilidad de que el
número de ciudadanos que van al trabajo en transporte
público esté entre 30 y 45.
Sol: a) B(140;0,25); b)35; c) 0,8375
45.- En una ciudad, el 20% de los hogares están
asegurados contra incendios. Con objeto de establecer
una encuesta en el ´área, una compañía de seguros
selecciona 5 hogares al azar. Se pide: (B(5;0,2))
A) Número de hogares que se espera que estén
asegurados. B) Probabilidad de que dos hogares estén
asegurados. C) Probabilidad de que ninguno esté
asegurado. D) Probabilidad de que alguno esté
asegurado.
Sol: (B(5;0,2)) a) 1; b) ‘,2048; c) 0,3276; d) 0,6723
46.- De una baraja se extraen simultáneamente tres
cartas al azar. Encuentre la probabilidad de que: A) Las
tres cartas sean bastos. B) Alguna de las cartas sea un
oro.
Sol: a) 0,012; b) 0,589
47.-
© http://selectividad.intergranada.com
© http://selectividad.intergranada.com
10