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ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA FACULTAD DE ING INDUSTRIAL ASIGNATURA: ESTÁTICA EDGAR VALCÁRCEL PROBLEMAS DE EQUILIBRIO P1) Para la estructura mostrada en la FigNº1 se pide determinar: a) Reacciones en todos los apoyos b) Fuerzas que actúan sobre la barra CDE 2000 lb/pie
D
C
E
12'
B
FigN°1
24'
A
2000 lb/pie
12'
12'
24'
Solución: Se calcularán todas las reacciones posibles antes de separar la estructura. En este caso se puede determinar solo el valor de la reacción AX. ,
,
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 1 DCL de la barra ABC: ,
,
,
,
,
,
0
C
16000
12'
B
24'
24000 lb
8'
A
24000
2000 lb/pie
12'
16000
Como el perno “C” está descargado, podemos transmitir las fuerzas de la barra ABC directamente a la barra CDE. Es decir: ,
,
,
,
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 2 P2) Para la estructura mostrada en la FigNº2, se pide determinar: a) Reacciones en los apoyos b) DCL del perno “C” indicando los valores de las fuerzas respectivas Solución: En el sistema no existe ningún cuerpo de 2 fuerzas, por lo tanto el número de incógnitas en cada apoyo fijo es 2. El total de incógnitas es 4 y en este caso no se puede calcular ninguna de ellas por cuanto los apoyos no están “alineados”. AX
A
Ay
BX
FigN°2
B
4m
C
By
3m
E
1000 N
D
1m
1000 N
4m
1200 N
5m
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD 4m
Página 3 Empezaremos analizando el DCL de la barra BCD por cuanto “B” y “C” están “alineados” (Ello no ocurre en el DCL de la barra ACE). ,
,
,
,
Ahora existen 2 posibilidades: i.
ii.
Con el valor obtenido de By se puede hacer equilibrio en todo el sistema y obtener las otras 3 incógnitas de reacción que faltan Analizar el DCL de la barra AC Seguiremos esta última opción. Como el perno “C” está descargado las fuerzas internas correspondientes en la barra BCD se transmiten directamente a la barra ACE. Aplicando equilibrio se obtiene: ,
,
,
,
,
,
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 4 Finalmente regresamos al DCL de la barra BCD: ,
,
Rpta a): Por último, el DCL del perno “C” será: ……….Rpta (b) EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 5 P3) Los cables DE y DF son paralelos a las barras BC y AB respectivamente. Se pide: a) Determinar las reacciones en los apoyos b) Calcular y graficar todas las fuerzas que actúan en el perno “B” Solución: a) Las barras AB y BC no son bielas, por lo tanto en los apoyos “A” y “C” existen 2 incógnitas en cada uno haciendo un total de 4 incógnitas (Reacciones). Como los apoyos “A” y “C” no están “alineados”, no es posible determinar ninguna de ellas. Se empezará calculando la tensión en los cables: ,
.
.
………
,
,
.
.
……..
.
:
,
.
DCL de todo el sistema sin los cables: 24 KN
B
2.5m
2.667m
1
2
10 KN
F
E
14.18
14.18
1.5m
AX
T2=15.86
A
18.91
T1=23.64
7.09
2.667m
4
3
Ay
CX
C
Cy
3m
5m
2m
2m
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 6 ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
………………
DCL de la barra AEB: ,
.
Resolviendo (1) y (2) se tiene:
.
.
………….
,
.
.
Regresando al DCL de todo el sistema se obtienen las demás reacciones. ,
,
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
24 KN
B
2.5m
2.667m
1
2
10 KN
F
E
14.18
14.18
1.5m
T2=15.86
13.76 KN A
18.91
T1=23.64
7.09
2.667m
4
3
9.37 KN
10.24 KN
C
26.63 KN
3m
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD 5m
2m
2m
Página 7 b) Regresando al DCL de la barra AEB se obtiene: ,
,
.
.
.
.
,
,
.
.
Finalmente analizando el DCL del perno B se tendrá: ,
,
.
,
.
.
,
.
Con el DCL de la barra BFC se puede verificar si los cálculos están bien. EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 8 P4) En el marco mostrado en la FigNº4, se sabe que “H” es punto medio de DE. Se pide: a) Reacciones en los apoyos b) Mostrar las fuerzas que actúan en el perno “E” Solución: La barra ACE no es un cuerpo de 2 fuerzas, por lo tanto en el apoyo “A” hay 2 incógnitas. ,
,
,
,
,
,
E
2m
2 Ton
8 Ton
H
4m 2T/m
C
D
B
By
4m
FigN°4
AX
A
3m
Ay
4m
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 9 Por estar los nudos “alineados” se puede empezar analizando la barra horizontal o vertical DCL de la barra DCB: ,
,
,
,
DCL de la barra vertical ACE: ,
,
,
,
,
,
Finalmente el DCL del perno E: EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 10 P5) La barra BD es circular de radio=10m, tal como se muestra en la FigNº5.Se pide: a) Calcular y graficar las fuerzas que actúan en la barra AB b) Calcular y graficar las fuerzas que actúan en la barra AC D
FigN°5
4 Ton
C
B
5 Ton
A
o
3m
6m
7m
Solución: Existen 4 cuerpos de 2 fuerzas (DC, DB, CB, BA), de los cuales 3 son bielas (DC, CB, BA). Como al apoyo fijo llegan 2 “C2F”, entonces se tendrán 2 incógnitas en dicho apoyo. En el apoyo móvil, como siempre, una sola incógnita. Haciendo equilibrio en todo el sistema se tendrá:
,
,
,
,
,
,
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 11 DCL del perno “D”: ⁄
(
.
° ,
,
,
.
.
,
.
DCL de las barras DC y DB: DCL del perno “B”: ⁄
(
,
,
.
° .
,
.
.
.
.
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 12 DCL de las barras BC y BA: ……
.
Finalmente, haciendo equilibrio en el DCL de la barra AC se obtiene: ……
.
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 13 2m
1m
P6) Para el marco de peso despreciable mostrado en la FigNº6 , se pide calcular y graficar las fuerzas que actúan en la barra ACB. Solución: Existe 1 solo cuerpo de 2 fuerzas (EB) que a su vez es una biela. En el apoyo fijo hay 2 incógnitas y en el móvil, como siempre, una sola. Haciendo equilibrio en todo el sistema se tendrá: ,
.
,
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD .
,
,
.
,
,
Página 14 DCL de la barra vertical CEG (“Quitando” el perno “C” y “cortando” la biela EB): 9 ton
9 ton
G
G
1m
1m
15 ton E
15 ton E
FEB
47.5 ton
2m
2m
4
CX
4
3
C
4.5 ton
3
C
38 ton
Cy
,
,
.
,
.
.
,
.
,
.
.
,
DCL de ADC (Marco Triarticulado): 18 ton
18 ton
12 ton
12 ton
D
D
30 ton-m
A'x
30 ton-m
30 ton-m
A'x
C
A
30 ton-m
C
A
C'x
A'y
1.5m
17 ton
1 ton
C'y
1.5m
1.5m
,
1.5m
.
,
C'x
,
,
DCL de la barra DC: ,
.
.
2m
Regresando al DCL del marco ADC: ,
.
.
, EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 15 DCL del marco ADC: DCL perno “C”: ,
,
.
.
,
.
,
DCL perno “A”: ,
,
.
,
.
,
AD
AD
1 ton
1 ton
14.25 ton
18 ton
3 ton
14.25 ton
18 ton
A
A''x
3 ton
3.75 ton
4 ton
A''y
AB
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD A
AB Página 16 DCL perno “B”: ,
,
.
,
,
.
Finalmente, DCL de la barra ACB: EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 17 ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA FACULTAD DE ING INDUSTRIAL ASIGNATURA: ESTÁTICA EDGAR VALCÁRCEL PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 2 P1) Para la estructura mostrada en la FigNº1 se pide determinar: a) Reacciones en todos los apoyos b) Fuerzas que actúan sobre la barra ABC Solución: 12Ton/m
M=10Ton-m
0.8A
B
A
A
D
0.8D
P=12Ton
Bx
0.6A
C
By
6m
3m
D
0.6D
3m
Se calcularán todas las reacciones posibles antes de separar la estructura. En este caso no se puede determinar ninguna de las 4 incógnitas de reacción. DCL de la barra CD: á
,
,
/ ↻
,
,
,
.
.
.
.
.
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD .
.
,
. ,
← .
,
↖ ……..
. ↑ Página 1 Una vez que hemos calculado el valor de la reacción en el apoyo “D”, podemos hacer equilibrio en todo el sistema y determinar el valor de las demás reacciones, pero por la pregunta (b) continuaremos de la siguiente forma: DCL del perno “C”: (Es necesario ya que el perno “C” está cargado) ,

,

, 
→ , 
↑ DCL de la barra ABC: ↻
,
.
,
,
.
.
.
.
.
,
.
↙ ……..
. ,
.
→ …….
. ,
.
↑ ……
. EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 2 P2) Para la viga mostrada en la FigNº2, se pide calcular y graficar las fuerzas que actúan en el perno “E”. Solución: 8Ton/m
3
3
B
A
4
A
3m
E
C
1.5m
D
1.5m
D
3m
C
B
4
4m
4m
En el sistema original no se puede calcular ninguna de las 4 incógnitas aplicando las ecuaciones de equilibrio. Si hacemos el DCL de ABE y de ECD, tendremos 4 incógnitas en cada caso y no se podría calcular ninguna tampoco. Lo que conviene hacer en este caso es: Del DCL de ABE: ↻
,
.
.
.
↝ .
……………..
Del DCL de ECD: ,
↻
.
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD .
↝ :
.
,
………..
Página 3 Finalmente el DCL del perno “E”: P3) Para la estructura que se muestra en la FigN°3, se pide calcular y graficar las fuerzas que actúan sobre el perno “B”. Solución: EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 4 En el sistema original no se puede calcular ninguna de las 4 incógnitas de reacción. Por lo tanto, procederemos a separar la estructuras en DCLs que permitan calcular directamente algunas de las fuerzas internas correspondientes. Las fuerzas verticales previas se obtienen directamente por simetría.(Hay que resaltar que las fuerzas en el extremo “D” en el DCL previo NO es la reacción en el apoyo “D”) En todo el sistema: ↻
,
,
.
,
.
.
,
.
,
↝ .
→ ← .
↑ Regresando al DCL de la barra AB, se tendrá: EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 5 DCL de la barra BC: ↻
,
,
.
.
,

, 

, 
.
↝ .
.
.
→ ← ↑ Finalmente, haciendo equilibrio en el perno “B” ,
,
.
.
.
.


, 
← , 
↑ EDGAR VALCÁRCEL POLLARD Página 6 ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA
FACULTAD DE ING INDUSTRIAL
ASIGNATURA: ESTÁTICA
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 3
P1) Para el marco mostrado en la FigNº1, se pide determinar:
a) Reacciones en los apoyos
b) Calcular y graficar las fuerzas que actúan en el perno “B”
ω=2ton/m
B
C
4m
A
1.5m
E
FigN°1
D
10T
2m
3m
Solución:
Existen 3 cuerpos de 2 fuerzas (en este caso 3 bielas). Las barras DE,BE y EC
19.50
6 ton (cmc)
ω=2ton/m
Ax
A
B
C
4m
Ay
b
α
b
4
1.5m
E
D
0.8D
D
α
2m
3
FigN°1
10 ton
3m
0.6D
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 1
DCL de la barra DE:
9.3
n
2 to
E
2
9.3
ton
D
DCL del perno E:
EB
0
x= 0
ƩF Fy=
Ʃ
FEB
EC
DE
7.45
9.32
b
E
FFEC
EC
5.59
10 ton
DCL de la barra BE y del perno B:
ABC
By=14.35 ton
14.35 ton
ƩFx=0
ƩFy=0
B
Bx=0
B
E
14.35 ton
14.35 ton
EB
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 2
P2) Para el sistema mostrado en la FigNº2, se pide graficar y determinar las fuerzas que actúan en el
perno “D”.
B
1.5m
A
D 3 ton
C
3m
10 ton
G
FigN°2
E
ω=2 ton/m
2m
2m
1m
Solución:
No existen cuerpos de 2 fuerzas.
Ax
B
1.5m
A
Ay
D 3 ton
C
3m
10 ton
C
G
1m
3 ton (cmc)
FigN°2
E
ω=2 ton/m
2m
2m
1m
Las reacciones se pueden calcular pero NO son necesarias:
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 3
DCL de la barra EDB:
By
Bx
B
Dy
Dx
D
3 ton (cmc)
E
ω=2 ton/m
DCL del perno D:
ADG
3 ton
D
Dy
7 ton
10 ton
Dy
BDE
ƩFx=0
ƩFy=0
DCL de la barra ADG:
A'x
A
A'y
Dy
D
10 ton
10 ton
G
DCL del perno D:
ADG
12.5 ton
3 ton
D
BDE
7 ton
10 ton
12.5 ton
ƩFy=0
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 4
P3) Para la viga mostrada en la FigNº3, se pide determinar lo siguiente:
a) (2.5 pts.)Reacciones en los apoyos
b) (2.5 pts.)Fuerzas que actúan en el perno “D”. (DCL del perno “D”)
ω=6 ton/m
A
B
C
D
4
3
24
3
25 ton
1.5m
7
4
1.5m
FigN°3
1.5m
Solución:
En el sistema no existe ningún cuerpo de 2 fuerzas.
1.5m
13.5 ton (cmc)
ω=6 ton/m
A
0.8A
B
C
D
0.6C
7 ton
Bx
A
By
0.6A
1.5m
0.8C
24 ton
1.5m
C
1.5m
DCL de la barra DC:
La intensidad de la carga triangular en “D” se obtiene por semejanza de triángulos.
0.5m
0.75m
1.5 ton (cmc)
6 ton (cmc)
6 ton/m
4 ton/m
Dx
C
D
0.6C
Dy
0.8C
C
1.5m
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 5
1.5 ton (cmc)
6 ton (cmc)
6 ton/m
4 ton/m
3 ton
C
D
3 ton
3.5 ton
4 ton
C
DCL del perno “D”:
24 ton
ABD
7 ton
D
27.5ton
3 ton
10 ton
.........Rpta. (b)
3.5 ton
DC
ƩFx=0
ƩFy=0
En todo el sistema:
39.34 ton
A
1.5m
13.5 ton (cmc)
Rpta. (a)
ω=6 ton/m
B
D
C
3 ton
7 ton
A
29.5 ton
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
49.34 ton
63 ton
24 ton
4 ton
C
Página 6
P4) El sistema que se muestra en la FigNº4 está sometido a la acción de 2 fuerzas. Se pide determinar el
valor de las reacciones en los apoyos.
E
D
0.8m
A
2m
G
6 ton
8 ton
B
FigN°4
C
1m
1m
1m
Solución:
Inicialmente diremos que existen 3 cuerpos de 2 fuerzas: Las barras ABC, DE y EG (éstas 2 últimas bielas)
Haciendo el DCL del perno E, por equilibrio se obtienen que las fuerzas en las bielas DE y EG son nulas.
Por lo tanto la barra CDG también es un cuerpo de 2 fuerzas. Se concluye que en los apoyos sólo hay 1
incógnita de reacción.
A
D
A
E
G
G
6 ton
8 ton
B
C
Finalmente, el sistema está compuesto por fuerzas concurrentes y por equilibrio se obtienen:
También se pueden expresar las reacciones en términos de sus componentes rectangulares:
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 7
P5) En la viga mostrada en la FigNº5, se conoce que la reacción en el apoyo “C” es el triple de la reacción
en el apoyo ”B”, ambas de igual sentido. Se pide determinar la distancia “x” y las reacciones en los
apoyos.
1000 N/m
A
B
C
x
D
4m
FigN°5
x
Solución:
(2/3) (4+2x)
1000(2+x)
1000 N/m
A
B
x
4m
R
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
C
D
x
3R
Página 8
P6) Para la viga ABCD mostrada en la FigNº6, se pide determinar:
a) Las fuerzas que actúan en el perno “B”(DCL)
b) El valor y sentido de las reacciones en los apoyos.
6 ton/m
PESO TOTAL DE LA VIGA= 12 ton
A
C
B
3m
3
D
3m
3m
4
FigN°6
Solución:
3m
27 ton (cmc)
12 ton (cmc)
4.5m
6 ton/m
Ax
A
Ay
C
B
3m
D
3m
0.6D
3m
C
0.8D
D
DCL del elemento AB:
La intensidad de la carga triangular en “B” se obtiene por semejanza de triángulos.
3 ton (cmc)
12 ton (cmc)
1m
1.5m
6 ton/m
4 ton/m
Ax
A
Ay
Bx
B
1.5m
By
4 ton (cmc)
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 9
En todo el sistema:
Regresando al DCL de AB:
3 ton (cmc)
12 ton (cmc)
1m
1.5m
6 ton/m
4 ton/m
9.75 ton
9.75 ton
A
B
1.5m
10 ton
9 ton
4 ton (cmc)
DCL del perno “D”:
AB
9ton
BCD
D
9 ton
.........Rpta. (a)
9.75 ton
9.75 ton
ƩFx=0
ƩFy=0
Finalmente:
3m
27 ton (cmc)
12 ton (cmc)
4.5m
6 ton/m
.........Rpta. (b)
9.75 ton
A
10 ton
B
C
D
42 ton
13 ton
9.75 ton
16.25 ton
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 10
P7) Para la estructura mostrada en la FigNº7, se pide lo siguiente:
a) El valor de las reacciones en el apoyo “A”.
b) El DCL del perno “B”.(graficar y calcular las fuerzas actuantes)
FigN°7
D
8 ton
1.5m
A
C
B
E
1.5m
8 ton
8 ton
F
2m
G
2m
Solución:
No existen cuerpos de 2 fuerzas. Haciendo equilibrio en todo el sistema se tendrá:
FigN°7
D
8 ton
1.5m
Ax
A
C
B
E
1.5m
Ay
8 ton
MA
8 ton
F
2m
G
2m
El sistema compuesto por las barras diagonales es un marco triarticulado.
DCL de ABCE:
Cy
By
B
A
24 ton
E
C
Bx
Cx
2m
12 ton-m
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 11
DCL de FBD:
Dy
1m
D
1.5m
Dx
Bx
1.5m
6 ton
F
8 ton
2m
Finalmente, el DCL del perno “B”:
ABCE
6ton
FBD
B
12 ton
6 ton
.........Rpta. (b)
12 ton
ƩFx=0
ƩFy=0
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 12
P8) Para el marco mostrado en la FigNº8 se pide lo siguiente:
a) Reacciones en los apoyos.
b) Las fuerzas internas que actúan en el perno “C” (DCL)
4 ton
1.5m
2m
D
E
1.5m
2.5m
3 ton
2m
C
3 ton
2.5m
1.5m
A
B
FigN°8
Solución:
4 ton
1.5m
2m
D
E
α
1.5m
2.5m
3 ton
2m
C
3 ton
2.5m
α
2.5
3.5
α=35.54°
1.5m
α
A
3.5m
B
Bx
By
A
Existen 2 cuerpos de 2 fuerzas (BC y CE, que además son bielas). Haciendo equilibrio en todo el sistema se
tendrá:
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 13
DCL de la barra DE:
4 ton
1.5m
Dx
2m
D
Ex
E
Ey
Dy
DCL de la barra ACD:(Quitamos el perno D y cortamos las bielas CE y CB)
2.29 ton
Dx
2.5m
D
α
E
α
B
FCE
FCB
2.5m
C
A
3.5m
6.57 ton
Finalmente, DCL del perno “C”:
EC
ACD
8
3.6
4.28 ton
0
C
n
to
3.6 CB
8t
on
ƩFx=0
ƩFy=0
EDGAR VALCÁRCEL POLLARD
Página 14