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SOLUCIONES
1. Halle la pendiente de las rectas A, B, C, D, E, F. Asuma que cada cuadrito tiene una unidad de
largo y una unidad de ancho. Debe poder hacer esto mirando la figura, sin hacer nada de
aritmética.
Pendiente de A:
1
2
3
Pendiente de B: 2
Pendiente de C: 4
1
Pendiente de D: -2
3
Pendiente de E: - 2
Pendiente de F: -4
2. ¿Cuál de las rectas A ó B de la Figura 1.3.32 tiene pendiente mayor? La recta B
3. ¿Cuál de las rectas C ó D de la Figura 1.3.33 tiene pendiente mayor? La recta C
Figura 1.3.32
4. Halle las pendientes de las rectas A y B en la figura
de al lado:
La pendiente de la recta A es
La pendiente de la recta B es
8−5
2−0
8−3.5
2
3
=2
=
4.5
2
= 2.25
Figura 1.3.33
Sección 1.3 Pendientes, Rectas, y Funciones Lineales
5. Halle la pendiente de la recta en la Figura 1.3.34.
𝑚=
10 2
=
15 3
6. Halle la pendiente de la recta en la Figura 1.3.35.
𝑚=
3−0
3
=
0 − (−5) 5
Figura 1.3.34
Figura 1.3.35
7. Halle la pendiente de la recta en la Figura 1.3.36.
𝑚=−
10
2
=−
15
3
8. Halle la pendiente de la recta en la Figura 1.3.37.
𝑚=
Figura 1.3.36
3−0
3
=−
0−5
5
Figura 1.3.37
98
Sección 1.3 Pendientes, Rectas, y Funciones Lineales
99
9. En cada uno de los siguientes casos halle la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos dados:
a. (3, 2) y (5, 6)
−6 − (−2)
−5 − 3
−4
=
−8
1
=
2
𝑚=
b. (6, 2) y (8,6)
6−2
𝑚=
8−6
4
=
2
=2
c. (5, 20) y (2,12)
12 − 20
−2 − (−5)
8
=−
3
𝑚=
10. Halle la ecuación del eje x y la ecuación del eje y.
La ecuación del eje x es y=0
La ecuación del eje y es x=0
11. Halle la ecuación de la recta.
y
0 − 15 −15 15
𝑚=
=
=
4 − 10
−6
6
15
Entonces
𝑦−0=
𝑦=
15
(𝑥 − 4)
6
4
10
x
15
𝑥 − 10
6
12. Considere la casa con techo inclinado que aparece a continuación. Se puede ver que a una distancia
horizontal de 12 pies desde la esquina inferior izquierda de la casa, la altura hasta el techo es 21 pies.
Exprese la altura A del techo como función de la distancia horizontal x desde la esquina inferior
izquierda de la casa.
La altura A del techo se puede expresar
como una función lineal de la distancia
6
1
horizontal x. La pendiente es 𝑚 = 18 = 3 y
cuando 𝑥 = 12, A=21. Entonces:
1
𝐴 − 21 = (𝑥 − 12)
3
1
𝐴(𝑥) = 𝑥 + 17, donde 0 ≤ 𝑥 ≤ 60
3
Sección 1.3 Pendientes, Rectas, y Funciones Lineales
100
13. En la casa con techo inclinado que aparece a continuación, exprese la altura A del techo como función
de la distancia horizontal x desde la esquina inferior izquierda de la casa.
La altura A del techo se puede
expresar como una función lineal de
la distancia horizontal x. La pendiente
es 𝑚 =
3
18
1
= y cuando 𝑥 = 0, A=12.
6
Entonces:
1
𝐴 − 12 = 𝑥
6
1
𝐴(𝑥) = 𝑥 + 12, donde 0 ≤ 𝑥 ≤ 80
6
14. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
b. 6 x  4 y  7
c. 3x  2 y  3
a. x  3
e. x  10
f. 3x  2 y  5
d. 3x  2 y  15
g. 6 x  4 y
h. y  4
Son paralelas las rectas en f, b, d y g entre sí.
Son paralelas las rectas en a y e entre sí.
15. Halle la ecuación de la recta paralela a y  7 x  4 que pasa por el punto (3, 4) .
Como la recta debe ser paralela a y  7 x  4 , debe tener pendiente m=7, entonces,
𝑦 − 4 = 7(𝑥 − 3)
𝑦 = 7𝑥 − 17
16. Halle la ecuación de la recta que pasa por (1,5) y que es perpendicular a la recta y  3x  6 .
1
Como la recta debe ser perpendicular a y  3x  6 , debe tener pendiente 3, entonces,
1
𝑦 − 5 = (𝑥 − 1)
3
1
14
𝑦= 𝑥+
3
3
Sección 1.3 Pendientes, Rectas, y Funciones Lineales
101
17. La figura de al lado representa una estructura de acero. Las
medidas son en metros. Si la viga A es perpendicular a la viga
B, halle el tamaño de la viga C.
8
La viga A tiene pendiente 𝑚 = − 3 y como es perpendicular
a la viga B, entonces ésta tiene pendiente 𝑚 =
3
8
Si suponemos que la estructura está en un plano cartesiano, la
3
función lineal que representa la viga B sería 𝑦 = 8 𝑥 + 8.
Por tanto el tamaño de la viga C sería igual al valor de la
función de B cuando 𝑥 = 3, esto es,
3
73
(3) + 8 =
8
8
18. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine si la ecuación es lineal. De serlo, exprésela en la
forma y  mx  b .
a.
2 y  (4  5 y )  3 x  10  2 x
b.
Sí es lineal.
2𝑦 − 4 − 5𝑦 + 3𝑥 = 10 − 2𝑥
−3𝑦 = 10 − 2𝑥 − 3𝑥 + 4
−3𝑦 = −5𝑥 + 14
5
14
𝑦= 𝑥−
3
3
d.
x2  y 2  9
No es lineal
6 xy  3 x  2 y
c.
No es lineal
e.
x  10
Sí es lineal. Es
una recta paralela
al eje y
Sí es lineal.
𝑦 = 0𝑥 + 12
f.
19. Use los interceptos para dibujar la gráfica de la ecuación lineal 2 x  3 y  12 .
Los interceptos son: (0,4) y (12,0)
y  12
y  ( x  4)( x  7)
No es lineal
Sección 1.3 Pendientes, Rectas, y Funciones Lineales
102
20. Un tanque se llena de agua a una razón constante (en galones por minuto). Halle una fórmula para el
volumen de agua en el tanque como función del tiempo t si se conocen los datos en la tabla a
continuación. Termine de llenar la tabla.
t, tiempo desde que se comienza a llenar el tanque V, volumen de agua en el tanque
(en minutos)
(en galones)
0
20
1
27
2
34
3
41
4
48
La función del volumen de agua con respecto al tiempo es una función lineal 𝑉 = 𝑚𝑡 + 20,
reemplazamos los valores cuando 𝑡 = 4, es decir, 48 = 4𝑚 + 20 .Entonces 𝑚 = 7. Por tanto,
𝑉 = 7𝑡 + 20
Ahora se reemplaza por los valores correspondientes a t en la tabla.
21. Indique cuál o cuáles de las siguientes tablas tiene datos de una función lineal:
x
f ( x)
0 1 2
4
5
3 5 7 11 13
Sí representa los datos de una función lineal
x
f ( x)
1 3 5 7
0 6 12 24
No representa los datos de una función lineal