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COLEGIO
SACO OLIVEROS
SISTEMA HELICOIDAL
26° OLIMPIADA MATEMÁTICA DE PAÍSES DEL CONO SUR
DÍA 1
TEMUCO, CHILE, 16 DE MAYO DE 2015
Duración de la prueba: 4 horas
Problema 1:
Demostrar que para cualquier n entero, n3 – 9n + 27 no es divisible por 81.
Solución:
Supongamos que para algún entero n, n3 – 9n + 27 es divisible por 81, en particular:
n3 – 9n + 27 = 3°
Como 9n y 27 son múltiplos de 3 → n3 es múltiplo de 3 → n es múltiplo de 3.
Sea n = 3k, entonces:
°
(3k)3 – 9(3k) + 27 = 81
°
27k3 – 27k + 27 = 81
k3 – k + 1 = 3° ... (1)
pero (k3 – k) = k(k+1)(k–1) es el producto de tres enteros consecutivos → k3 – k = 3° , lo cual
es una contradicción por (1).
Problema 2:
Se tienen 3n rectas (n > 1), entre las que no hay dos que sean paralelas ni tres que sean
concurrentes. Demostrar que si se pintan 2n rectas de color rojo y n de color azul, hay
al menos dos regiones del plano cuyos bordes son completamente rojos.
Aclaración: para cada región, sus bordes están contenidos en las rectas dadas; ninguna
de las rectas dadas corta al interior de la región.
Solución:
Vamos a probar que k rectas, entre las cuales no hay dos que sean paralelas ni tres que sean
k(k+1)
concurrentes, determinan exactamente 1+
regiones en el plano.
2
Por inducción en k:
• Para k = 1 es claro que una recta determina 2 regiones.
• Supongamos que el resultado sea válido para k.
k(k+1)
2
regiones. Al trazar L nuevamente, corta a cada una de las otras k rectas en los puntos
P1, P2, ... Pk
• Tenemos k + 1 rectas y sea L una de ellas, al borrar 1 tenemos (por hipótesis) 1+
26° Olimpiada Matemática de países del Cono Sur
APEIRON
1
S1
S2
P1
S3
P2
Sk+1
P3
Pk
L
L queda dividida en las partes: S1, S2, ..., Sk+1. Cada Si divide una región anterior y de esta
forma se genera una región nueva. Por lo tanto, el número de regiones nuevas es k + 1. Luego,
el número total de regiones para k + 1 rectas es:
k(k+1)
(k+1)(k+2)
+ (k + 1) = 1 +
2
2
que es lo que queríamos probar.
1+
Problema 3:
Dados una circunferencia I de radio 1 y un punto P perteneciente a ella, sean A1 y B1
dos puntos en I tales que el triángulo PA1B1 es acutángulo y la distancia de P a la recta
A1B1 es 2. Para todo entero n ≥ 1 se definen:
•
•
•
•
Cn como el pie de la perpendicular desde P a AnBn,
On como el centro de la circunferencia cincunscrita del triángulo PAnBn,
An+1 como el pie de la perpendicular desde Cn al segmento PAn,
Bn+1 como la intersección entre PBn y OnAn+1.
Hallar la longitud del segmento PO2015.
Aclaración: la distancia de P a la recta A1B1 es la longitud del segmento PC1, donde C1
es el pie de la perpendicular desde P a A1B1.
Solución:
Consideremos ahora las 2n rectas rojas que determinan:
2n(2n+1)
1+
= 1 + 2n2 + n
2
regiones. Como son 2n rectas rojas, cada recta azul corta a lo más 2n+1 regiones que tienen
todos sus borde rojos. Luego, las rectas azules cortan como máximo a (2n+1) = 2n2 + n
regiones diferentes. Como son 2n2 + n + 1 regiones, entonces alguna de ellas no es cortada por
ninguna recta azul, con lo cual dicha región es una de las que buscamos. Supongamos ahora
que hay exactamente una región que no es cortada por una recta azul, entonces cada recta azul
debe cortar a exactamente 2n+1 regiones y todas las n(2n+1) regiones deberían ser diferentes.
Esto último no es cierto porque dos rectas azules cualesquiera se cortan y ese punto de corte
pertenece a una región, es decir, dos rectas azules cualesquiera cortan a una región en común.
Por lo tanto, hay al menos dos regiones que no son cortadas por una recta azul.
Agradecemos y a su vez felicitamos a todos los estudiantes que participaron en el solucionario
de los problemas del Día 1, pues con humildad y sentido de aporte al desarrollo de nuestro nivel
matemático, van contribuyendo al rol que todo talento debe tener el de “Enseñar lo que se
va aprendiendo”.
JEMISSON DANIEL, CORONEL BALDEÓN, 4to grado de secundaria (Medalla de oro).
RAUL ALFREDO, ALCÁNTARA CASTILLO, 4to grado de secundaria (Medalla de plata).
DIEGO, VIGO CADENILLAS, 5to grado de secundaria (Clasificado a la IMO - Tailandia).
1 de junio del 2015
26° Olimpiada Matemática de países del Cono Sur
APEIRON
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