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236
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Esta fórmula es más complicada de lo que debería. Si combinamos C1, 22C2 y 5C3 en una sola
constante arbitraria C 5 C1 2 2C2 1 5C3, la fórmula se simplifica a
x3
- x2 + 5x + C
3
y todavía da todas las posibles antiderivadas. Por esta razón, recomendamos que vaya directamente a la forma final, aunque elija integrar término a término. Escriba
L
sx2 - 2x + 5d dx =
x2 dx 2x dx +
5 dx
L
L
L
x3
=
- x2 + 5x + C .
3
Determine la antiderivada más sencilla que pueda para cada parte y sume al final la constante
arbitraria de integración.
Ejercicios 4.7
Determinación de antiderivadas
En los ejercicios 1 a 16, determine una antiderivada para cada función.
Realice todo cuanto pueda mentalmente. Verifique sus respuestas
mediante diferenciación.
1. a. 2x
b. x2
c. x2 - 2x + 1
2. a. 6x
b. x7
c. x7 - 6x + 8
3. a. -3x
-4
b. x
-4
2
9. a. x-1>3
3
1
10. a. x-1>2
2
11. a. - p sen px
x
+ x2
2
5
b. 2
x
1
b.
2x3
1
b.
22x
1
b.
3
32
x
1 -2>3
b. x
3
1
b. - x-3>2
2
b. 3 sen x
12. a. p cos px
b.
5. a.
1
x2
6. a. 7. a.
8. a.
2
x3
3
2x
2
4 3
2x
3
13. a. sec2 x
p
cos
2
2
b. sec2
3
px
2
x
3
3x
3
csc2
2
2
14. a. csc2 x
b. -
15. a. csc x cot x
b. - csc 5x cot 5x
16. a. sec x tan x
b. 4 sec 3x tan 3x
L
L
c. - x-3 + x - 1
21.
L
5
x2
1
c. x3 - 3
x
23.
c. x
b.
17.
19.
-4
+ 2x + 3
-3
4. a. 2x-3
Determinación de integrales indefinidas
En los ejercicios 17 a 54, determine la antiderivada más general o la integral indefinida. Compruebe sus respuestas mediante diferenciación.
c. 2 -
c. 2x +
3
c. 2
x +
3
2
x
1 -4>3
c. - x
3
3
c. - x-5>2
2
c. sen px - 3 sen 3x
px
+ p cos x
2
3x
c. - sec2
2
18.
a3t2 +
20.
t
b dt
2
t2
+ 4t3 b dt
L 2
a
24.
x-1>3 dx
26.
L
L
1
1
- x2 - b dx
2
3
x
L
27.
L
3
x B dx
A 2x + 2
28.
29.
L
a8y -
30.
31.
L
2
b dy
y1>4
s5 - 6xd dx
a
22.
L
33.
L
s2x3 - 5x + 7d dx
25.
1
2x
1
sx + 1d dx
L
s1 - x2 - 3x5 d dx
a
1
2
- 3 + 2x b dx
5
x
L
x-5>4 dx
a
2x
2
b dx
+
2
2x
1
1
a b dy
L 7
y5>4
2xs1 - x-3 d dx
32.
t 2t + 2t
dt
t2
L
34.
36.
L
s -5 sen td dt
38.
L
3 cos 5u du
L
x-3sx + 1d dx
4 + 2t
dt
t3
L
c. cos
35.
L
s - 2 cos td dt
37.
L
7 sen
c. 1 - 8 csc2 2x
px
px
cot
2
2
px
px
c. sec
tan
2
2
c. - p csc
39.
L
41.
L
u
du
3
s - 3 csc2 xd dx
40.
csc u cot u
du
2
42.
L
a-
sec2 x
b dx
3
2
sec u tan u du
L5
237
4.7 Antiderivadas
43.
L
45.
L
47.
L
49.
51.
53.
1
scsc2 x - csc x cot xd dx
L2
s4 sec x tan x - 2 sec2 xd dx
44.
ssen 2x - csc2 xd dx
46.
L
1 + cos 4t
dt
2
48.
L
s1 + tan2 ud du
50.
s2 cos 2x - 3 sen 3xd dx
1 - cos 6t
dt
2
L
6s2x + 1d2 dx = s2x + 1d3 + C
L
64. Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
L
(Sugerencia: 1 + tan2 u = sec2 u)
b.
L
52.
cot2 x dx
s1 - cot2 xd dx
L
L
(Sugerencia: 1 + cot2 x = csc2 x)
c.
L
L
L
cos u stan u + sec ud du
54.
L
csc u
du
L csc u - sen u
L
56.
L
57.
L
s7x - 2d3 dx =
s3x + 5d
-2
3s2x + 1d2 dx = s2x + 1d3 + C
c.
a.
s2 + tan2 ud du
Verificación de fórmulas de antiderivadas
Mediante derivación, verifique las fórmulas de los ejercicios 55 a 60.
55.
b.
22x + 1 dx = 2x2 + x + C
22x + 1 dx = 2x2 + x + C
65. ¿Correcto o incorrecto? Explique brevemente la razón.
- 15(x + 3)2
L
sec2 s5x - 1d dx =
1
tan s5x - 1d + C
5
L
60.
1
x
dx =
+ C
2
x + 1
L sx + 1d
61. Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
x2
a.
sen x + C
x sen x dx =
2
L
L
x sen x dx = - x cos x + sen x + C
L
62. Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
4
c.
L
1 2
tan u + C
2
tan u sec2 u du =
1
sec2 u + C
2
L
63. Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
s2x + 1d3
a.
s2x + 1d dx =
+ C
3
L
sen (x2)
+ C
x
y = 4 cuando x = 1 ?
y
4
(1, 4)
3
4
(1, 4)
2
3
2
3
1
1
1
1
x
–1 0
(a)
(1, 4)
2
1
x
–1 0
(b)
1
x
(c)
Justifique su respuesta.
68. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución del problema de
valor inicial
dy
= - x,
dx
sec3 u
a.
tan u sec u du =
+ C
3
L
tan u sec2 u du =
dx =
y
2
b.
x
y
x sen x dx = - x cos x + C
c.
2
dy
= 2x,
dx
–1 0
b.
3
x + 3
b + C
x - 2
Problemas de valor inicial
67. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución del problema de
valor inicial
x - 1
x - 1
58.
b dx = - 3 cot a
b + C
csc a
3
3
L
1
1
dx = + C
2
x + 1
L sx + 1d
(x - 2)
dx = a
x cos (x2) - sen (x2)
2
59.
4
66. ¿Correcto o incorrecto? Explique brevemente la razón.
s7x - 2d4
+ C
28
s3x + 5d-1
dx = + C
3
1
A 22x + 1 B 3 + C
3
22x + 1 dx =
y = 1 cuando x = - 1 ?
y
y
y
(–1, 1)
(–1, 1)
0
x
(a)
2
Justifique su respuesta.
(–1, 1)
0
(b)
x
0
(c)
x
238
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
y s2d = 0
Curvas solución (integrales)
Los ejercicios 91 a 94 muestran curvas solución de ecuaciones diferenciales. En cada ejercicio determine una ecuación para la curva que pasa
por el punto marcado.
y s0d = - 1
91.
Resuelva los problemas de valor inicial en los ejercicios 69 a 88.
dy
= 2x - 7,
69.
dx
70.
dy
= 10 - x,
dx
dy
1
71.
= 2 + x,
dx
x
72.
dy
= 9x2 - 4x + 5,
dx
dy
1
,
=
dx
22x
y s4d = 0
75.
ds
= 1 + cos t,
dt
76.
ds
= cos t + sen t,
dt
77.
dr
= - p sen pu,
du
0
93.
s s0d = 4
s spd = 1
r s0d = 1
(–␲, –1)
p
y a b = -7
2
x
dy
1
␲sen ␲x
dx
2兹x
2
x
4
2
(1, 2)
1
2
3
x
–2
= 2 - 6x;
= 0;
y¿s0d = 4,
y¿s0d = 2,
y s0d = 1
dr
= 1,
`
dt t = 1
r s1d = 1
84.
d2s
3t
=
;
8
dt2
ds
= 3,
`
dt t = 4
s s4d = 4
= 6;
d3 u
86.
= 0;
dt3
Aplicaciones
95. Determinación del desplazamiento a partir de una antiderivada
de la velocidad
y s0d = 0
d2r
2
= 3;
dt2
t
dx3
y
0
83.
d3y
2
6
0
dy
= 8t + csc2 t,
dt
85.
1
1
80.
dx2
94.
dy
sen x cos x
dx
y
r s0d = 0
y s0d = 1
d2y
0
–1
1
dy
= sec t tan t,
dt
2
82.
x
1
–1
79.
dx
2
1
(–1, 1)
–1
dr
78.
= cos pu,
du
2
(1, 0.5)
y s - 1d = 0
74.
d2y
2
1
y s -1d = - 5
81.
y dy x 1
dx
y s2d = 1
x 7 0;
dy
= 3x-2>3,
dx
73.
92.
dy 1
4
x1/3
3
dx
y
a. Suponga que la velocidad de un cuerpo que se desplaza a lo largo
del eje s es
ds
= y = 9.8t - 3 .
dt
i) Determine el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de
tiempo de t 5 1 a t 5 3, dado que s 5 5 cuando t 5 0.
y s0d = 5
y–s0d = - 8,
y¿s0d = 0,
u–s0d = - 2,
1
u¿s0d = - ,
2
us0d = 22
s4d
87. y = - sen t + cos t ;
y‡s0d = 7, y–s0d = y¿s0d = - 1,
y s0d = 0
s4d
88. y = - cos x + 8 sen 2x ;
y‡s0d = 0, y–s0d = y¿s0d = 1,
y s0d = 3
89. Determine la curva y 5 f(x) en el plano xy que pasa por el punto
(9, 4), cuya pendiente en cada punto es 32x .
90. Unicidad de soluciones Si dos funciones derivables y 5 F(x) y
y 5 G(x) resuelven el problema de valor inicial
dy
= ƒ(x), y(x0) = y0,
dx
en un intervalo I, ¿se debe cumplir que F(x) 5 G(x) para toda x en I?
Justifique su respuesta.
ii) Determine el desplazamiento del cuerpo de t 5 1 a t 5 3,
dado que s 5 22 cuando t 5 0.
iii) Ahora determine el desplazamiento del cuerpo de t 5 1
a t 5 3, dado que s 5 s0 cuando t 5 0.
b. Suponga que la posición s del cuerpo que se desplaza a lo largo de una recta coordenada es una función derivable del
tiempo t. ¿Es cierto que una vez que se conoce una antiderivada
de la función velocidad dsydt es posible encontrar el desplazamiento del cuerpo de t 5 a a t 5 b, aun si no se conoce la
posición exacta del cuerpo en ninguno de esos tiempos?
Justifique su respuesta.
96. Despegue desde la Tierra Un cohete despega desde la superficie
terrestre con una aceleración constante de 20 myseg2. ¿Qué tan rápido irá el cohete 1 minuto después?
97. Frenado oportuno de un automóvil Usted conduce su automóvil a
60 mph (88 ftyseg) constantes por una carretera, cuando ve un accidente más adelante y frena de golpe. ¿Qué desaceleración constante
se requiere para detener su automóvil en 242 ft? Para averiguarlo,
siga los siguientes pasos.
Capítulo 4 Preguntas para guiar su repaso
1. Resuelva el problema de valor inicial
Ecuación diferencial:
d2s
= -k
dt2
sk constanted
ds
= 88 y s = 0 cuando t = 0 .
dt
Condiciones iniciales:
La medición del tiempo y de la distancia
es a partir de que se aplicaron los frenos.
2. Encuentre los valores de t que hacen dsydt 5 0. (La respuesta
incluirá a k).
3. Encuentre el valor de k que hace s 5 242 para el valor de t que
encontró en el paso 2.
98. Frenado de una motocicleta El programa “Motociclista seguro”
del estado de Illinois exige a los motociclistas que sean capaces
de frenar de 30 mph (44 ftyseg) a 0 en 45 ft. ¿Qué desaceleración
constante se requiere para lograrlo?
99. Desplazamiento a lo largo de una recta coordenada Una partícula se desplaza sobre una recta coordenada con aceleración
a = d2s>dt2 = 152t - A 3> 2t B , sujeta a las condiciones
dsydt 5 4 y s 5 0 cuando t 5 1. Determine
a. la velocidad y 5 dsydt en términos de t.
b. la posición s en términos de t.
T 100. El martillo y la pluma Cuando el astronauta del Apolo 15 David
Scott dejó caer un martillo y una pluma en la Luna para demostrar
que en el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración
(constante), lo hizo desde una altura aproximada de 4 ft con respecto
al nivel del suelo. La grabación del hecho que se exhibió por televisión muestra que el martillo y la pluma caen más despacio que en
la Tierra, donde tales objetos tardarían sólo medio segundo en caer
los 4 ft en el vacío. ¿Cuánto tiempo tardaron en caer el martillo y
la pluma la distancia de 4 ft en la Luna? Para averiguarlo, resuelva
el siguiente problema de valor inicial para s como una función de t.
Después encuentre el valor de t que hace a s igual a 0.
Ecuación diferencial:
Condiciones iniciales:
Capítulo 4
d 2s
= - 5.2 ft>seg2
dt2
ds
= 0 y s = 4 cuando t = 0
dt
239
101. Movimiento con aceleración constante La ecuación estándar para
la posición s de un cuerpo que se desplaza a lo largo de una recta
coordenada con aceleración constante a es
a 2
(1)
t + y0 t + s0 ,
2
donde y0 y s0 son la velocidad y la posición del cuerpo en el tiempo
t 5 0. Deduzca esta ecuación; para ello, resuelva el problema de
valor inicial.
s =
d2s
= a
dt2
ds
Condiciones iniciales:
= y0 y s = s0 cuando t = 0 .
dt
Ecuación diferencial:
102. Caída libre cerca de la superficie de un planeta En el caso de
una caída libre cerca de la superficie de un planeta, donde la aceleración debida a la gravedad tiene una magnitud constante de g
unidades de longitudyseg2, la ecuación (1) del ejercicio 101 toma la
forma
s = -
1 2
gt + y0 t + s0 ,
2
(2)
donde s es la altura del cuerpo por encima de la superficie. La
ecuación tiene un signo menos porque la aceleración actúa hacia
abajo, en la dirección en que s disminuye. La velocidad y0 es positiva si el objeto se eleva en el tiempo t 5 0, y negativa si el objeto cae.
En vez de usar el resultado del ejercicio 101, puede obtener la
ecuación (2) directamente si resuelve un problema de valor inicial
apropiado. ¿Cuál sería ese problema? Resuélvalo para asegurarse de
que todo es correcto y explique los pasos que realiza para encontrar
la solución.
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Utilice un SAC para resolver los problemas iniciales en los ejercicios 103
a 106. Grafique las curvas de la solución.
103. y¿ = cos2 x + sen x,
y spd = 1
1
104. y¿ = x + x, y s1d = - 1
1
105. y¿ =
, y s0d = 2
24 - x2
2
106. y– = x + 2x, y s1d = 0, y¿s1d = 0
Preguntas de repaso
1. ¿Qué se puede decir acerca de los valores extremos de una función
continua en un intervalo cerrado?
2. ¿Qué significa que una función tenga un valor extremo local en su
dominio? ¿Qué quiere decir que tenga un valor extremo absoluto?
¿Cómo se relacionan los valores extremos locales y absolutos, si es
que existe tal relación? Dé ejemplos.
6. Formule los tres corolarios del teorema del valor medio.
7. En ocasiones, ¿cómo es posible identificar una función f(x) si se conoce f 9 y el valor de f en un punto x 5 x0? Dé ejemplos.
8. ¿Cuál es el criterio (prueba) de la primera derivada para valores extremos locales? Dé ejemplos de su aplicación.
3. ¿Cómo se encuentran los extremos absolutos de una función continua
en un intervalo cerrado? Dé ejemplos.
9. ¿Cómo se puede examinar una función dos veces derivable para determinar el punto donde su gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava
hacia abajo? Dé ejemplos.
4. ¿Cuáles son las hipótesis y las conclusiones del teorema de Rolle?
¿Todas las hipótesis son realmente necesarias? Explique.
10. ¿Qué es un punto de inflexión? Dé un ejemplo. ¿Qué significado físico pueden tener los puntos de inflexión?
5. ¿Cuáles son las hipótesis y las conclusiones del teorema del valor
medio? ¿Qué interpretaciones físicas puede tener dicho teorema?
11. ¿Cuál es el criterio (prueba) de la segunda derivada para valores extremos locales? Dé ejemplos de su aplicación.