1. No category

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 4
Variables aleatorias
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
Describir las características de las variables aleatorias
discretas y continuas.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
Hasta el momento hemos observado las propiedades de
la probabilidad y la estadística y hemos explorado los
conceptos de probabilidad condicional e independencia,
así como algunas técnicas de conteo para determinar el
número de combinaciones posibles en un experimento.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Introducción al tema
En el intento de crear maneras para predecir el resultado
futuro de un experimento, los investigadores han creado
modelos matemáticos para describir el comportamiento y
evaluar posibilidades de que ocurra una cosa u otra.
Durante este tema, discutiremos los principios
matemáticos que nos permiten clasificar los
experimentos en diferentes distribuciones de
probabilidad, conoceremos el concepto de valor
esperado y la varianza de una variable aleatoria y
haremos algunos cálculos para determinar resultados
con base en una distribución de probabilidad.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Distribuciones de probabilidad
•
Una distribución de probabilidad es un resumen gráfico o
tabular que nos muestra los resultados esperados de un
experimento, así como la probabilidad asociada con
cada uno de los resultados esperados.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Distribuciones de probabilidad
Supongamos que estamos
interesados en determinar la suma
de los puntos al lanzar dos dados
balanceados.
Hay 11 posibles resultados de la
suma de los dos dados.
El espacio muestral para este experimento
es:
• S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12}
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Distribuciones de probabilidad
•
El resumen de los resultados se ve en la siguiente tabla:
Dado 1
Dado 2
Suma
Dado 1
Dado 2
Suma
Dado 1
Dado 2
Suma
1
1
2
3
1
4
5
1
6
1
2
3
3
2
5
5
2
7
1
3
4
3
3
6
5
3
8
1
4
5
3
4
7
5
4
9
1
5
6
3
5
8
5
5
10
1
6
7
3
6
9
5
6
11
2
1
3
4
1
5
6
1
7
2
2
4
4
2
6
6
2
8
2
3
5
4
3
7
6
3
9
2
4
6
4
4
8
6
4
10
2
5
7
4
5
9
6
5
11
2
6
8
4
6
10
6
6
12
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Distribuciones de probabilidad
•
De la tabla podemos concluir el
número de ocurrencias para
cada resultado, es decir, el
número de resultados del
experimento donde se obtiene
una suma de 2 es 1, mientras
que el número de resultados
donde se obtiene una suma de
7 es 6.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Distribuciones de probabilidad
•
La siguiente tabla se incluye la probabilidad de que
ocurra cada uno de los resultados.
Resultado esperado
Número de
ocasiones
Probabilidad
2
1
0.02778
3
2
0.05556
4
3
0.08333
5
4
0.11111
6
5
0.13889
7
6
0.16667
8
5
0.13889
9
4
0.11111
10
3
0.08333
11
2
0.05556
12
1
0.02778
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Distribuciones de probabilidad
Gráficamente, podemos observar la distribución de
probabilidad de la suma de los puntos de dos dados
balanceados.
7
6
Total de ocurrencias
•
5
4
3
2
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Suma de puntos de dos dados
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Variables aleatorias
•
Variable cuyo valor representa la cantidad resultado de
un experimento aleatorio, que debido al azar, puede
tomar valores distintos.
El número de
empleados
ausentes los
lunes, que puede
tomar el valor de
0, 1, 2, 3…
El peso de una
barra de acero,
que puede tomar
el valor de 2500,
2500.1, 2500.13,
etc., dependiendo
de la exactitud de
la báscula.
El número de
caras al lanzar
dos monedas,
que puede
tomar el valor
de 0, 1 o 2.
La suma de los
puntos al tirar dos
dados, que puede
tomar el valor de
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11 o 12.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Variables aleatorias discretas
•
Una variable aleatoria discreta es válida para
cierto número de valores definidos y distantes
(no necesariamente números enteros).
–
•
Es una variable que sólo puede tomar
ciertos valores claramente separados y
que es resultado de contar algún
elemento de interés.
Un claro ejemplo de una variable aleatoria
discreta es la suma de los puntos de dos
dados balanceados.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria continua es válida para un
número infinito de valores dentro de un rango, en
otras palabras, es una variable que puede tomar
cualquier valor de una cantidad infinitamente
grande de valores y que es resultado de medir
algún elemento de interés.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Valor esperado de una variable aleatoria
El valor esperado de una variable aleatoria
es una medida de tendencia central que
representa a una distribución
probabilística. También es el valor
promedio a largo plazo de la variable
aleatoria, representado por E(X).
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Valor esperado de una variable aleatoria
•
El valor esperado de una variable aleatoria se calcula
con la siguiente fórmula:
Donde:
P(X) = La probabilidad de los diversos resultados de
•
El valor esperado de una variable aleatoria se calcula
sumando las multiplicaciones individuales de cada valor
de X por su probabilidad de ocurrencia.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Varianza de una variable aleatoria
•
•
La varianza de una variable aleatoria muestra el grado
de dispersión en una distribución de probabilidad y se
calcula con la siguiente fórmula:
La varianza de una variable aleatoria se obtiene como la
suma de las diferencias entre la media y cada valor
individual, multiplicado por su probabilidad de
ocurrencia.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Ejemplo de valor esperado y varianza
•
Una tienda de electrodomésticos vende televisores, ha
establecido la siguiente distribución de probabilidad para
el número de televisores que espera vender en un
sábado en particular.
Número de televisores
vendidos
X
Probabilidad (X)
0
0.10
1
0.20
2
0.30
3
0.30
4
0.10
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Ejemplo de valor esperado y varianza
•
Sea X la variable aleatoria discreta para el número de
televisores vendidos en un sábado en particular,
obtenemos el valor esperado:
Número de
televisores vendidos
X
Probabilidad
(X)
X * P(X)
0
0.10
0.0
1
0.20
0.20
2
0.30
0.60
3
0.30
0.90
4
0.10
0.40
E(X) = 2.10
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Ejemplo de valor esperado y varianza
•
Para calcular la varianza, podemos utilizar nuevamente
una tabla:
Número de
televisores
vendidos
X
P(X)
(X- μ)
0
0.10
0 – 2.1
4.41
0.441
1
0.20
1 – 2.1
1.21
0.242
2
0.30
2 – 2.1
0.01
0.003
3
0.30
3 – 2.1
0.81
0.243
4
0.10
4 – 2.1
3.61
(X- μ)^2
[(X- μ)^2 * P(x)]
0.361
σ^2=1.290
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Cierre
En el mundo real, los experimentos están basados en un
resultado esperado, es decir, medimos la probabilidad
de que un resultado sea favorable o no para el
interesado en el experimento.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Cierre
A este resultado deseado se le denomina variable
aleatoria, pues dado que no conocemos su resultado
final, el azar nos obliga a pensar en la aleatoriedad de la
situación.
La manera de representar el comportamiento de los
posibles resultados de un experimento se le denomina
distribución de probabilidad. En ella podemos determinar
la probabilidad individual de todos y cada uno de los
eventos que rodean al experimento, en donde la suma
de dichas probabilidades siempre será 1.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Cierre
Este tema nos ha servido para iniciar el estudio de las
distribuciones de probabilidad más conocidas; como la
distribución binomial como una representante de las
distribuciones de probabilidad discretas, o como la
distribución normal, la máxima representante de las
distribuciones de distribución continuas.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Referencias bibliográficas
•
•
•
Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 3 y 4
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.