1. No category

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Cálculo II
Cálculo de primitivas
Matemáticas
de
U
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27 · 01 · 2016
Si f es una función elemental, se trata de encontrar una función F que cumpla F 0(x) = f (x).
Para una clase amplia de funciones ya se ha demostrado la existencia de esta función F . Se dice
que F es una primitiva de f y en ese caso también es una primitiva la función F (x) + C donde
C ∈ R. Para expresar que F es una primitiva de f se escribe
Z
F (x) =
f (x) dx + C.
Además, si G es otra primitiva, entonces en cada intervalo I ⊂ R se tiene G(x) = F (x) + C para
x ∈ I.
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F
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La demostración de este resultado es fácil: si F y G son primitivas de f en un intervalo I ,
entonces f (x) = G 0(x) = F 0(x) para x ∈ I . Por tanto F 0(x) − G 0(x) = 0 en todos los puntos de I .
Como ya se ha visto en Cálculo I, esto obliga a que F − G sea una función constante en I .
Ejemplo. Las funciones

si x ∈ [1, 2]

 x
G : x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4] −→ G(x) = x
F : x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4] −→ 

 x + 6 si x ∈ [3, 4]

son primitivas de f (x) = 1. En cada intervalo difieren en una constante, pero no es verdad que
F − G sea una función constante.
El conjunto de primitivas de f se suele denotar por
f (x) dx,
Z
(
)
primitivas de f =
f (x) dx
R
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¿Hay otras primitivas de f que no sean de la forma F (x) + C? En un intervalo sólo puede ser
de la forma F (x) + C. Pero en otro caso, puede haber primitivas algo más diferentes. . .
y se le llama integral indefinida de f . El nombre proviene del primer teorema fundamental del
cálculo integral, que
R x dice que si f ∈ R[a,b]
R entonces f tiene una primitiva, que es la función
F : x ∈ [a,b] −→ a f . Se suele escribir f (x) dx = F (x) + C.
Cálculo de primitivas — 1
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3
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0
Ya se ha probado que
F (x) =
0
Z
0
x
cos
q
1 + t 2 + et
!0
!
dt
= cos
q
Sin embargo, no es esta la respuesta que se está buscando.
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Se entiende que calcular una primitiva de f es escribir esta función
pF como función
elemental (o
2
x
combinación de funciones elementales). Por ejemplo, f (x) = cos 1 + x + e tiene primitiva
en [0, 2], y es la función
!
Z x
q
2
t
F (x) =
cos 1 + t + e dt .
1 + x 2 + ex
!
= f (x).
Cálculo de primitivas. Encontrar una primitiva de una función f no siempre es fácil. En
algunos casos ni siquiera existe primitiva que se pueda expresar como una función elemental.
Tal es el caso de funciones tan simples como f (x) = sen x 2 que no tiene una primitiva elemental.
Hay muchas funciones que no tienen una primitiva elemental, es decir, que su primitiva no se
puede expresar como una función elemental. Por ejemplo, las funciones
q
sen x
1
, x tg x,
,. . .
x 4 + 1 , cos x 2 ,
log x
x
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no tienen primitivas elementales. Así, para el cálculo de
Z π
sen x 2 dx
0
no se puede utilizar la regla de Barrow. Eso no quiere decir que no se pueda calcular esa integral.
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Para el cálculo de primitivas, es decir, funciones cuya derivada sea una función dada, es esencial
conocer las derivadas de las funciones elementales,
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• Exponenciales: (ax ) 0 = ax log a,
1
,
x log a
• Trigonométricas: (sen x) 0 = cos x,
(log x) 0 =
1
x
(cos x) 0 = − sen x
p
• Funciones trigonométricas inversas: (arcsen x) 0 = 1/ 1 − x 2 y (arctg x) 0 = 1/(1 + x 2 ).
Además, las reglas más elementales permiten simplificar muchos cálculos:
Z Z
Z
•
λ f (x) + µд(x) dx = λ f (x) dx + µ д(x) dx, la integral se puede separar en
sumandos y los números pueden colocarse fuera del signo integral;
Z
Z
0
•
f (x)д (x) dx = f (x)д(x) − f 0(x)д(x) dx, es la regla de la derivada del producto, que
en términos de cálculo de primitivas se llama regla de integración por partes;
Z
•
F 0(д(x)) · д 0(x) dx = F (д(x)) + C, la regla de la cadena expresada en términos de
primitivas.
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• Logarítmicas: (loga x) =
(e x ) 0 = e x
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• Potencias: (x r ) 0 = rx r −1
Cálculo de primitivas — 2
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La regla de la cadena (f (д (x))) 0 = f 0 (д (x)) · д 0 (x)
cálculo de primitivas. Por ejemplo,
Z
cos(x 2 ) · 2x dx =
Z
Z
1
cos x
dx =
dx =
tg x
sen x
Z
3x
dx =
1 + x4
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R
Saber hacer derivadas lleva a conocer primitivas, por ejemplo, cos x dx = sen x + C. Como
(f n ) 0 = n · f n−1 · f 0, es fácil comprobar que
Z
Z p
sen2 x
14
sen x cos x dx =
+C
7 sen x cos x dx =
sen3/2 x + C
2
3
Z q
Z
4
3
1
log x
log x
x 1 − x 2 dx = − (1 − x 2 )3/2 + C
dx =
+C
3
x
4
también tiene su regla inversa para el
sen x 2 + C
log(sen x) + C
3
arctg x 2 + C
2
Conviene recordar algunas derivadas de funciones compuestas:
Z
Z
f 0(x)
f 0(x)
dx = log(f (x)) + C,
dx = arctg f (x) + C
f (x)
1 + f 2 (x)
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que se utilizarán más adelante. Por ejemplo
Z
1 + ex
dx = log(2 + x + e x ) + C,
2 + x + ex
Z
x2
1
dx = arctg(x + 1) + C.
+ 2x + 2
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Por este motivo se suelen estudiar métodos que ayuden al cálculo de primitivas para los casos
que ya no son inmediatos. En este curso se verán algunos métodos, como la integración por
partes, integración mediante fracciones simples y, por último, el cambio de variable.
Notación. Para una función f (x) la derivada es
d f (x)
= f 0(x).
dx
Es frecuente escribir entonces d f = f 0(x) dx o también d f (x) = f 0(x) dx. Por ejemplo,
con esta notación, si u = sen x entonces du = cos xdx. Dadas dos funciones u y v se tiene
d(uv) = u dv + v du, que representa la regla de derivación de un producto de funciones.
Integración por partes
Es una técnica de integración que consiste en aplicar la regla de derivación de un producto:
Z
Z
0
f (x)д (x) dx = f (x)д(x) − f 0(x)д(x) dx .
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Esta forma de proceder se conoce como integración inmediata: se trata de funciones cuya
primitiva o antiderivada se conoce directamente como proceso inverso de derivación. No es
habitual que con este proceso se consiga encontrar una primitiva, pero es siempre lo primero
que debe hacerse. Funciones aparentemente simples como x 2e x no tienen una primitiva fácil
de calcular haciendo un proceso inverso de derivación.
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La integral de la izquierda se conoce si se conoce la de la derecha. Se suele escribir
Z
Z
u dv = u · v − v du.
R
En la práctica, para calcular una integral f (x) dx mediante este método se elige qué parte
será la función u y el resto será d v. Si la elección es correcta se podrá aplicar la fórmula anterior
y hacer la integral. Como regla general se deberá elegir como u aquello que no se complique
derivando, y como d v aquello que se sepa calcular y no se complique integrando.
Ejemplos.
"
Z
x
1)
xe dx =
#
Z
u =x
du = dx
x
= xe − e x dx = xe x − e x + C
dv = e x dx v = e x
"
#
Z
Z
u = log x du = dx/x
2)
log x dx =
= x log x − dx = x log x − x + C
d v = dx
v=x
3) A veces la integración requiere aplicarlo dos veces,
"
#
Z
Z
u = sen x du = cos xdx
x
x
e sen x dx =
= e sen x − e x cos x dx
dv = e x dx
v = ex
"
#
Z
u = cos x du = − sen xdx
x
x
=
= e sen x − e cos x − e x sen x dx
dv = e x dx
v = ex
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Así,
Z
e x sen x dx = e x
sen x − cos x
+C
2
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Integración de funciones racionales: descomposición en fracciones simples
Se trata de encontrar primitivas de expresiones racionales, es decir, funciones del tipo
P(x)
Q(x)
donde P y Q son polinomios. Si grado(P) ≥ grado(Q) entonces se hace la divisón y se obtiene
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) (C y R son el cociente y el resto de la divisón) y por tanto
P(x)
R(x)
= C(x) +
.
Q(x)
Q(x)
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!
x2
1 2
x log x dx =
x log x −
+C
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5)
Z
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4) Aplicando dos veces la integración por partes,
Z
x 2e x dx = e x (x 2 − 2x + 2) + C
Para el cálculo de primitivas el término C(x) es un polinomio, cuya primitiva es inmediata. Así,
la única dificultad se encuentra en expresiones en las que grado(P) < grado(Q).
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x 3 + 5x 2 − 7x
x 2 + 6x + 1
se hace la división y se tiene
Así
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Ejemplo. Para la expresión
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x 3 + 5x 2 − 7x = (x − 1)(x 2 + 6x + 1) + 1 − 2x .
1 − 2x
x 3 + 5x 2 − 7x
= x −1+ 2
.
2
x + 6x + 1
x + 6x + 1
(el algoritmo de la división es idéntico al que se hace con números)
Si Q es un polinomio de grado n se consideran sus n raíces r 1 , ...,rn y se escribe
Q(x) = a(x − r 1 )(x − r 2 ) · · · (x − rn ).
Se agrupan las raíces repetidas y cada raíz compleja con su conjugada. Así, Q(x) tendrá factores
(x − r )k por cada raíz real repetida k veces y factores ((x − a)2 + b 2 )m por cada raíz a + ib y su
conjugada a − ib repetidas m veces.
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Por ejemplo, el polinomio x 4 − 5x 3 + 17x 2 − 13x tiene como raíces 0, 1, 2 + 3i y r 4 = 2 − 3i
(siempre que aparece una raíz compleja también está su conjugada). Así,
x 4 − 5x 3 + 17x 2 − 13x = x (x − 1) x − (2 + 3i) x − (2 − 3i)
= x (x − 1) (x − 2)2 + 9 = x (x − 1) x 2 − 4x + 13 .
Puede parecer una tarea sencilla, pero el cálculo de las n raíces de un polinomio de grado n
no es fácil, ni siquiera para valores pequeños de n. Por ejemplo, para n = 2, un polinomio
ax 2 + bx + c tiene como raíces
p
p
−b + b 2 − 4ac
−b − b 2 − 4ac
r1 =
, r2 =
.
2a
2a
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Para n = 3 ya es bastante más complicado: las tres raíces de un polinomio ax 3 + bx 2 + cx + d de
grado 3 (a , 0) son (una de ellas, la tercera, es obligatoriamente real; las otras otras dos pueden
ser reales o complejas y conjugadas)
− 12
r1 =
r2 =
− 12
p
√ 9a2d 2 + 4 ac 3 − 1 b 2c 2 − 2 (9abc−2b 3 )d
3
3
3
i 3 +1
−
6a 2
√
r3 =
−i 3 +1
p
! ( 13 )
3
6a 2
9a 2d 2 + 43 ac 3 − 31 b 2c 2 − 32 (9abc−2b 3 )d
6a 2
3
−
27a 2d−9abc+2b 3
54a 3
−
−i
+
√
! ( 13 )
−
b
3a
−
! ( 13 )
−
b
3a
−
+
√
9*
,
3 +1 (3ac−b 2 )
9a 2 d 2 + 43 ac 3 − 13 b 2 c 2 − 23 (9abc−2b 3 )d
6a 2
− 27a
2 d−9abc+2b 3
54a 3
( 31 )
+
-
a2
√
i 3 +1 (3ac−b 2 )
√
18*
,
27a 2d−9abc+2b 3
54a 3
√
b
3a
18*
,
√ 9a2d 2 + 4 ac 3 − 1 b 2c 2 − 2 (9abc−2b 3 )d
3
27a 2d−9abc+2b 3
54a 3
9a 2 d 2 + 43 ac 3 − 31 b 2 c 2 − 23 (9abc−2b 3 )d
6a 2
− 27a
2 d−9abc+2b 3
54a 3
3ac−b 2
9a 2 d 2 + 43 ac 3 − 13 b 2 c 2 − 23 (9abc−2b 3 )d
6a 2
2
3
− 27a d−9abc+2b
54a 3
( 31 )
+
-
( 13 )
+
-
a2
a2
El teorema Abel-Ruffini (que es parte de la teoría de Galois) demuestra que no pueden resolverse
por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco. A veces
la regla de Ruffini, o cualquier otro método, permite encontrar raíces de polinomio de grados
elevados, pero en general, no hay fórmulas que expresen cuáles son esas raíces.
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si r es una raíz que se repite k veces, y términos de la forma
Bm x + Cm
B 1x + C 1
+
...
+
(x − a)2 + b 2
((x − a)2 + b 2 )m
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El teorema de descomposición en fracciones simples dice que si grado(P) < grado(Q) entonces
P(x)/Q(x) puede escribirse como una suma de factores simples. En esta suma aparecen términos
de la forma
A1
Ak
+ ... +
(x − r )
(x − r )k
si a + ib es una raíz compleja que se repite (ella y su conjugada) m veces.
Se obtiene una igualdad que tiene este aspecto:
"
# "
#
P(x)
A1
B 1x + C 1
Ak
Bm x + Cm
=
+ ... +
+
+ ... +
+ ...
Q(x)
(x − r )
(x − a)2 + b 2
((x − a)2 + b 2 )m
(x − r )k
donde los sumandos de la derecha se llaman factores simples y aparecen o no según sean las
raíces de Q(x).
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Los coeficientes que aparecen Ai ,Bi ,Ci han de calcularse. Para ello se pueden identificar los
polinomios que resultan a ambos lados de la igualdad y se identifican los términos del mismo
grado. También se pueden dar valores a la variable x para ir determinando dichos coeficientes.
A veces se pueden utilizar de forma conjunta ambos métodos.
Ejemplo:
A
Bx + C
1+x
=
+ 2
.
2
(x − 1)(x + 1)
x −1
x +1
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Para calcular A,B,C se escribe
1 + x = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(x − 1)
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y se obtiene A = −B = 1,C = 0.
Otra forma de calcular esos coeficientes consiste en dar valores a x en la expresión
1 + x = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(x − 1).
Por ejemplo, para x = 1 se tiene 2 = 2A. Para otros valores, como x = 0 se tiene 1 = 1 + C(−1)
y así C = 0, etc. Estos dos métodos se puede combinar y a veces se agilizan los cálculos.
Ejemplo:
4
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1 = A−C
1 = −B + C
0 =A+B
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Una forma de calcular es igualando términos semejantes (del mismo grado) de un lado y otro
de la igualdad:
x(x + 5)2 (x 2 − 4x + 13)2
=
A
Dx + E
Fx + G
B
C
+
+
+
+
.
x
x +5
(x + 5)2
x 2 − 4x + 13
(x 2 − 4x + 13)2
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Ejemplo. Al hacer la división y calcular las raíces del denominador se tiene
x3 − 7
19x − 37
19x − 37
= x +5+ 2
= x +5+
.
2
x − 5x + 6
x − 5x + 6
(x − 2)(x − 3)
Esta última expresión puede escribirse como
donde
19x − 37
A
B
=
+
(x − 2)(x − 3)
x −2 x −3
19x − 37 = A(x − 3) + B(x − 2).
Bien dando valores a x, bien igualando los coeficientes de igual grado, se obtiene el mismo
resultado A = −1, B = 20. Así
Z
Z
Z
x3 − 7
19x − 37
dx
=
(x
+
5)
dx
+
dx
x 2 − 5x + 6
x 2 − 5x + 6
Z
Z
−1
20
x2
+ 5x +
dx +
dx .
=
2
x −2
x −3
x2
=
+ 5x − log(x − 2) + 20 log(x − 3) + C
2
x2
(x − 3)20
=
+ 5x + log
+C
2
x −2
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El cálculo de primitivas de funciones racionales se reduce entonces a conocer primitivas de
expresiones del tipo
A
Bx + C
,
k
(x − r ) ((x − a)2 + b 2 )m
para valores k,m = 1, 2, 3, ...
d
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y para k > 1
Z
A
dx = A log |x − r | + C
x −r
A
(x − r )−k+1
dx
=
A
+ C.
−k + 1
(x − r )k
Para las expresiones correspondientes a raíces complejas simples (sin repeticiones), es decir,
para m = 1, se tiene
Z
Bx + C
dx =
(x − a)2 + b 2
Z
B
=
2
Bx − Ba + Ba + C
dx =
(x − a)2 + b 2
Z
Z
Bx − Ba
dx +
(x − a)2 + b 2
Z
Z
Ba + C
dx
(x − a)2 + b 2
2(x − a)
Ba + C
1/b
dx
dx +
2
2
2
x−a
(x − a) + b
b
+1
b
x −a Ba + C
B
= log (x − a)2 + b 2 +
arctg
+K
2
b
b
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Las primeras, correspondientes a raíces reales son sencillas. Para k = 1 se tiene
Cálculo de primitivas — 7
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donde los coeficientes se calculan según se ha explicado antes. Se puede escribir x 2 − 4x + 13 o
(x − 2)2 + 32 . Son el mismo polinomio, asociado a las raíces complejas 2 + 3i y 2 − 3i.
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Sin embargo, para expresiones correspondientes a raíces complejas repetidas el cálculo de
primitivas no es sencillo:
Bx + C
dx
((x − a)2 + b 2 )m
no son fáciles para m > 1. Hay que utilizar algún método, como el de reducción de exponente o
también el método de Hermite (o Hermite-Ostrogradski). Este último es el que se va a utilizar
aquí. Con este método basta saber realizar las primitivas de factores correspondientes a raíces
simples.
Método de Hermite. Para una expresión racional P(x)/Q(x) donde grado(P) < grado(Q) se
puede calcular su primitiva mediante la fórmula
Z
P(x)
P 1 (x)
dx =
+
Q(x)
Q 1 (x)
Z
P 2 (x)
dx
Q 2 (x)
donde Q 2 contiene sólo los factores (x − r ) o (x − a)2 + b 2 de las raíces de Q elevados a 1 y Q 1
contiene el resto de factores, es decir, Q = Q 1 · Q 2 . Los polinomios indeterminados P 1 y P2 tiene
exactamente un grado menos que su denominador y sus coeficientes se calculan derivando la
fórmula.
Matemáticas
de
U
to
Ejemplo:
Z
Derivando,
y así
Ax + B
3
+
dx = 2
2
2
(x + 1)
x +1
Z
Cx + D
dx .
x2 + 1
3
A(x 2 + 1) − (Ax + B)2x
Cx + D
=
+ 2
2
2
2
2
(x + 1)
(x + 1)
x +1
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
3 = A(x 2 + 1) − (Ax + B)2x + (Cx + D)(x 2 + 1)
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Z
x2 − 2
Ax 3 + Bx 2 + Cx + D
dx =
+
x 3 (x 2 + 1)2
x 2 (x 2 + 1)
Z
Ex 2 + Fx + G
dx
x(x 2 + 1)
Ax 3 + Bx 2 + Cx + D
H
Mx + N
+
dx
+
dx
=
x 2 (x 2 + 1)
x
x2 + 1
5x 2 + 2
5
= 2 2
+ 5 log |x| − log x 2 + 1 + C
2x (x + 1)
2
Z
Z
ya que al derivar se obtienen los valores A = C = N = 0, B = 5/2, D = 1, H = −M = 5
Otros ejemplos resueltos de cálculo de primitivas utilizando el método de descomposición
en fracciones simples (en el resultado final pueden aparecer los sumandos desordenados). Se
han clasificado según sean las raíces del denominador.
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Ejemplo:
z - Departam
e
che
n
án
y se calculan A,B,C,D por cualquiera de los dós métodos ya vistos. Por último se realiza el
cálculo de la primitiva.
Cálculo de primitivas — 8
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a Z
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
x2
25
64
dx = x +
log (x − 5) −
log (x + 8)
(x − 5)(x + 8)
13
13
2. Raíces reales y algunas repetidas
Z
1
1
2
x −2
=
−
+
2
2
18 (x − 6)
18 x
(x − 6) x
3 (x − 6)
x −2
2
1
1
dx = −
+
log (x − 6) −
log (x)
2
3 (x − 6)
18
18
(x − 6) x
3. Raíces complejas sin repeticiones
Z
Matemáticas
de
U
to
−
x −7
x −2
3x − 1
=
−
2
2
2
7 (x − 4 x + 7)
7 (x + x + 1)
(x − 2) + 3 (x + x + 1)
2
1
p 3x − 1
5 p
(x − 2) 3
−
dx = −
3 arctg
21
3
(x − 2)2 + 3 (x 2 + x + 1)
1
p 5 p
1
(2 x + 1) 3 +
+
3 arctg
log x 2 − 4 x + 7
21
3
14
1
log x 2 + x + 1
−
14
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
4
2
(x 2 + 3) (2 x 2 + 5)
4
Z
(x 2 + 3)2 (2 x 2 + 5)
dx = −
=−
x2
4
8
16
−
+
2
+3
2 x2 + 5
(x 2 + 3)
1 p 8 p
1 p
26 p
2x
3 arctg
3x +
10 arctg
10 x −
9
3
5
5
3 (x 2 + 3)
5. Raíces reales y complejas sin repeticiones
11 x + 5
11
2x − 7
=
−
2
2
(x + 2)(x + x + 6)
8 (x + x + 6)
8 (x + 2)
Z
1
p 11
1 p
2x − 7
(2 x + 1) 23 −
dx = −
23 arctg
log (x + 2)
(x + 2)(x 2 + x + 6)
184
23
8
11
+
log x 2 + x + 6
16
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
4. Raíces complejas algunas con repeticiones
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Cálculo de primitivas — 9
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Z
25
64
x2
−
+1
=
(x − 5)(x + 8)
13 (x − 5)
13 (x + 8)
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
1. Raíces reales y todas distintas
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
6. Raíces reales y complejas repetidas
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
1 p 5 p
x +1
1
3 arctg
3x −
+
dx = −
2
2
2
96
3
32 (x + 3)
32 (x − 1)
(x − 1) (x + 1)(x 2 + 1)(x 2 + 3)
3
1
1
+
log (x − 1) +
log (x + 1) −
log x 2 + 1
64
64
16
1
1
log x 2 + 3 + arctg (x)
+
32
8
−2 x
Estos ejemplos se han realizado con SageMath. Se pueden utilizar otros programas de cálculo
como WxMaxima.
Al escribir en un celda de WxMaxima
Matemáticas
de
U
to
f(x):=x^2/((x-1)*(x-2));
partfrac(f(x), x);
se obtiene como resultado (hay que pulsar Mayúsc+Enter)
x2
(x − 1)(x − 2)
1
4
−
+
+1
x −1 x −2
f (x) :=
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Tambien se pueden utilizar algunas páginas web, como www.wolframalpha.com, y teclear
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
(x^3-7)/(x^2-5x+6)
o también
z - Departam
e
che
n
án
fractions of
Integración mediante cambio de variable
Es un método consecuencia de la regla de la cadena. Sea h una función definida en algún
intervalo [a, b] de la que se desconoce cómo expresar su primitiva.
Si h es R-integrable, por
Rx
ejemplo, si h es continua, su primitiva es la función x −→ a h(t) dt, pero en muchos casos no
se sabe cómo escribir esta primitiva.
El método mediante cambio de variable consiste en encontrar funciones f y д tales que
h(t) = f (д(t)) · д 0(t) y que además f tenga una primitiva conocida F . En ese caso se tendrá
Z x
Z x
Z д(x)
0
h(t) dt =
f (д(t)) · д (t) dt =
f (u)du = F (д(x)) − F (д(a)).
a
a
д(a)
Esto dice que la primitiva buscada de h es la función F ◦ д. La comprobación de que todo esto
está correcto es la regla de la cadena:
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
integrate (x^3-7)/(x^2-5x+6) by partial fractions
(F ◦ д) 0 = (F 0 ◦ д) · д 0 = (f ◦ д) · д 0 = h.
Cálculo de primitivas — 10
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
−2 x
x −2
x −1
x −3
=
−
+
2
2
2
2
2
+ 1)(x + 1)(x + 3)
16 (x + 3)
8 (x + 1)
16 (x 2 + 3)2
3
1
1
+
−
+
2
64(x − 1)
32(x − 1)
64(x + 1)
z - Departam
e
che
n
án
(x −
Z
1)2 (x
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
z - Departam
e
che
n
án
Se suele resumir el cambio escribiendo la expresión de la función д como u = д(t), y de ahí el
nombre de cambio de variable, ya que aparece una nueva variable u que es función de la que ya
existe. Como u = д(t) entonces du = д 0(t)dt. Una vez que se decide qué función es д, la función
f ya queda determinada para que se cumpla h = (f ◦ д) · д 0. Por supuesto, el nombre de la
nueva variable es arbitrario: u,t, w o como se quiera llamar.
Este método se puede establecer formalmente en un resultado conocido como teorema de
cambio de variable o fórmula de sustitución.
Teorema (cambio de variable). Si f y д 0 son continuas, entonces
Z
д(x)
д(a)
f =
Z
a
x
(f ◦ д) · д , es decir,
0
Z
д(x)
д(a)
f (u) du =
Z
Demostración. Si F es una primitiva de f , entonces
Z
д(x)
д(a)
f (u) du = F (д(x)) − F (д(a)).
a
x
f (д(t)) · д 0(t) dt .
Por otra parte (F ◦ д) 0 = (F 0 ◦ д) · д 0 = (f ◦ д) · д 0 y así F ◦ д es una primitiva de (f ◦ д) · д 0, con
lo que se tiene
Z x
f (д(t)) · д 0(t) dt = (F ◦ д)(x) − (F ◦ д)(a) = F (д(x)) − F (д(a))
Matemáticas
de
U
to
a
y se termina la demostración.
Ejemplo. Calcular una primitiva de h(x) = sen5 x · cos x = (sen x)5 · cos x.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Lo habitual en este tipo de cálculos es sólo indicar cuál es la elección de la función д expresando
t = д(x). La función f queda determinada a partir de aquí. Para el ejemplo anterior se suele
decir “calcular una primitiva de sen5 x · cos x mediante el cambio t = sen x.”
Se trata pues de transformar una función con primitiva desconocida en otra con primitiva
conocida haciendo un cambio adecuado t = д(x), donde t es una nueva variable. Si el cambio
es adecuado, la función original se transforma en una función de una nueva variable t cuya
primitiva se sabe calcular. A veces el cambio t = д(x) se expresa mediante su función inversa
x = д−1 (t). Por último, la nueva variable se cambia por la original en el resultado final.
No es fácil la elección de la función д (y por tanto de la función f ) que hagan posible el cálculo
de la primitiva. Sin embargo es posible estudiar varias técnicas que ayudan a la elección del
cambio apropiado.
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Por último, como t = д(x) = sen x, se tiene
Z
sen6 x
sen5 x · cos x dx =
+ C.
6
z - Departam
e
che
n
án
Se elige д(x) = sen x y f (x) = x 5 . Entonces se tiene h(x) = f (д(x)) · д 0(x). Llamando t = д(x)
se tiene dt = д 0(x)dx y
Z
Z
Z
t6
5
0
sen x · cos x dx =
f (д(x)) · д (x) dx =
f (t) dt =
+ C.
6
Cálculo de primitivas — 11
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
ya que t 2 = x − 5 y así dx = 2tdt. Luego
!
Z p
Z
t5
5t 3
2
x x − 5 dx =
(t + 5) · t · 2t dt = 2
+
+C
5
3
2
=
(x − 5)3/2 (3x + 10) + C
15
deshaciendo el cambio, es decir, cambiando t por su valor t = (x − 5)1/2 .
p
Ejemplo. Haciendo t = x (equivalentemente, t 2 = x y 2tdt = dx) se tiene
Z
Z
Z
p
dx
2 dt
2t dt
=
=
2
log(t
+
1)
+
C
=
2
log(
x +1) + C.
p =
t2 + t
t +1
x+ x
Ejemplo. Algo similar, como t = log x no funciona para hacer el cálculo de
Z
Z t
dx
e dt
=
= ...
log x
t
Matemáticas
de
U
to
ya que no se obtiene una función con primitiva conocida. Para esta integral no es fácil saber si
hay algún cambio que la transforme en una función con primitiva conocida.
Ejemplo. Mediante el cambio x = sen t (así dx = cos tdt) se tiene
Z
Z
Z
Z
x2
1 − cos 2t
sen2 t
2
dt
cos t dt =
sen t dt =
dx =
p
p
2
1 − x2
1 − sen2 t
1 sen 2t =
t−
+C
2
2
!
q
1
2
=
arcsen x − x 1 − x + C
2
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Z
sen x 2 dx
no se conoce ningún cambio que funcione (es una función elemental cuya primitiva no es
elemental)
Ejemplo. Haciendo e x = t (así e x dx = tdx = dt) se tiene
Z x
Z
Z
e − 3e 2x
t − 3t 2 dt
1 − 3t
dx =
=
dt
x
1+e
1+t t
1+t
= 4 log(t + 1) − 3(t + 1) + C
= 4 log(e x + 1) − 3(e x + 1) + C
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Ejemplo. Para el cálculo de
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Estos ejemplos muestran que la dificultad está en saber cuál es el cambio que funciona, aquel
que permite calcular la primitiva de una función. Una vez que se conoce que cierto cambio sí
Cálculo de primitivas — 12
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
p
Ejemplo. Haciendo t = x − 5 se tiene
Z p
Z
x x − 5 dx =
(t 2 + 5) · t · 2t dt
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
En los siguientes apartados aparecen cambios que se deben conocer para calcular la primitiva.
Se suelen clasificar y estudiar según sean las funciones que aparecen en la integral.
Por definición, una función racional en α es una función cociente de polinomios
R(α) =
P(α)
.
Q(α)
Una función racional en las variables α, β,. . . es un cociente de funciones polinómicas
R(α, β, . . .) =
P(α, β, . . .)
.
Q(α, β, . . .)
Por ejemplo, una función racional en sen x y cos x es
R(sen x, cos x) =
sen2 x + cos x + sen x cos x + 2
.
cos2 x + 4
Matemáticas
de
U
to
Se dice que una función racional R(α, β) es par en α si R(−α, β) = R(α, β). Se dice que es impar
en α si R(−α, β) = −R(α, β). De forma análoga se define par o impar en β.
Por ejemplo,
• R(sen x, cos x) = sen2 x + cos x es par en sen x, pero no es ni par ni impar en cos x. Es par
en sen x puesto que si se cambia sen x por − sen x, el valor de R no cambia.
• R(sen x, cos x) = sen x cos2 x es impar en sen x y par en cos x. Es impar en sen x ya que si
se cambia sen x por − sen x, el valor de R cambia de signo.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
• R(sen x, cos x) = sen x + cos x no es ni par ni impar en ambos. No es ni par ni impar en
sen x pues al cambiar sen x por − sen x el valor de R ni se mantiene ni cambia de signo.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Z
f
g
R x p1 /q1 ,x p2 /q2 , ... dx
donde R es una función racional y p1 /q 1 ,p2 /q 2 son racionales. Para el cálculo de su primitiva se
hace el cambio
x = tm
Z
dx
donde m = mcm{q 1 ,q 2 , ...}. Un ejemplo de este tipo es el ya visto al calcular
p .
x+ x
Z
dx
Ejemplo. Para calcular
se hace el cambio x = t 6 . Así dx = 6t 5dt y se tiene
p
p
3
x + x
Z
dx
p
p
3
x + x
6t 5dt
t 3dt
1 =
=
t2 − t + 1 −
dt
=
6
3
2
t +t
t +1
t +1
p
p
p
p
3
6
6
= 2 x −3 x +6 x −6 log x +1 + C
Z
Z
Z
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Son expresiones racionales del tipo
z - Departam
e
che
n
án
Funciones racionales de potencias racionales de x.
Cálculo de primitivas — 13
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
funciona, la mecánica del cálculo es sencilla. Por este motivo se suelen estudiar ciertos tipos de
funciones y aprender cuáles son los cambios de variables que permiten calcular sus primitivas.
ax + b
.
cx + d
Son expresiones racionales del tipo
Z
! p1 /q1
! p2 /q2 


ax
+
b
ax
+
b
R x,
,
, ... dx
cx + d
cx + d


donde R es una función racional y p1 /q 1 ,p2 /q 2 son racionales. Se hace el cambio
ax + b
= tm
cx + d
donde m = mcm{q 1 ,q 2 , ...}.
Por ejemplo, haciendo el cambio x + 2 = t 6 se tiene dx = 6t 5dt y así
Z
(x + 2)2 − x + 2
=
Z
(t 6 − 2)6t 5dt
=6
t4 − t3
Z
t 8 − 2t 2
dt
t −1
Matemáticas
de
U
to
p
3
xdx
p
que es una integral racional.
Funciones racionales de irracionales cuadráticas
Son de la forma
Z
" q
#
2
R x, ax + bx + c dx
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Para transformarlas en integrales racionales se debe hacer el cambio:
p
p
• ax 2 + bx + c = a x + t si a > 0
p
p
• ax 2 + bx + c = xt + c si c > 0
p
• Si a,c < 0 se escribe ax 2 +bx +c = a(x −r 1 )(x −r 2 ) y se hace el cambio ax 2 + bx + c = t(x −r 1 ).
z - Departam
e
che
n
án
También pueden convertirse en integrales trigonométricas en los siguientes casos:
R f p
g
•
R x, a 2 − x 2 dx se hace x = a sen t o x = a cos t
R f p
g
•
R x, a 2 + x 2 dx se hace x = a tg t
R f p
g
•
R x, x 2 − a 2 dx se hace x = cosa t
p
Ejemplo: si se hace 1 + x + x 2 = x + t, entonces
t2 − 1
,
1 − 2t
2(t 2 + t + 1)
dt,
(1 − 2t)2
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
donde R es una función racional, a,b,c números reales y a , 0.
x=
dx =
Cálculo de primitivas — 14
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Funciones racionales de potencias racionales de
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
Z
m
y se tiene una integral racional
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Ejemplo: haciendo el cambio x = 2 tg t, dx = 2dt/ cos2 t se tiene
dx
p
ya que
4 + x2
=
Z
1 + sen t 1
sen t dt
= log
= log
+
cos t
cos t
cos t
cos t
r
!
q
x+
x2
2
*
= log
+1 +
+ C = log 4 + x + x + C 0
2
2
,
-
Z
1 + sen t dt
= log
cos t
cos t
Matemáticas
de
U
to
como se verá más adelante, en el apartado de primitivas de funciones racionales en sen x y
cos x.
Ejemplo: haciendo el cambio x = sen t, dx = cos(t)dt se tiene
Z q
1 − x 2 dx =
Z
cos2 (t)dt =
Z
1 + cos 2t
dt
2
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
que tiene primitiva elemental.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Z
R [ax ] dx
y basta hacer el cambio ax = t para convertirlas en integrales racionales. Por ejemplo
Z
e x − 3e 2x
dx =
1 + ex
Z
1 − 3t
dt
1+t
después de hacer el cambio e x = t,dx = dt/t.
Funciones racionales en sen x y cos x
Son integrales del tipo
Z
R [sen x, cos x] dx
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Son integrales del tipo
z - Departam
e
che
n
án
Funciones de tipo exponencial
y se pueden convertir en integrales racionales con alguno de los siguientes cambios:
Cálculo de primitivas — 15
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
2(t 2 + t + 1)dt
! 2
!
t2 − 1
t −1
1+
+ t (1 − 2t)2
1 − 2t
1 − 2t
dx
=
p
(1 + x) 1 + x + x 2
Z
z - Departam
e
che
n
án
Z
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
• Si R [sen x, cos x] dx es impar en cos x se hace sen x = t
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
• Si R [sen x, cos x] dx es par en sen x, cos x se hace tg x = t
• En cualquier caso funciona el cambio tg
ninguno de los otros, y se tiene
sen x =
x
2
= t. Este se aplica sólo cuando no es posible
2 tg x2
2 sen x2 cos x2
2t
=
=
x
x
x
sen2 2 + cos2 2
1 + t2
1 + tg2 2
cos2
cos x =
cos2
x
2
x
2
− sen2
+ sen2
x
2
x
2
1 − tg2
=
1 + tg2
x = 2 arctg t, dx =
x
2
x
2
=
1 − t2
1 + t2
2t
1 + t2
Matemáticas
de
U
to
Ejemplo: mediante el cambio sen x = t, se tiene cos x dx = dt, cos x =
Z
dx
=
cos x
Z
dt
=
1 − t2
p
= log p
Ejemplo: para hacer
1+t
1−t
Z
dt
1
=
(1 + t)(1 − t)
2
1 − t 2 y así
dt
1
−
1+t
2
Z
dt
1−t
1 + sen x 1+t +
*
= log
= log p
2
cos x
, 1−t -
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Z
sen3 x
cos x dx
+ 2 cos2 x sen x
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
se pueden utilizar los cuatro cambios mencionados. Eligiendo el primero, sen x = t, cos xdx = dt
se tiene
Z
Z
Z
cos x dx
dt
dt
=
=
3
2
3
2
sen x + 2 cos x sen x
t + 2(1 − t )t
2t − t 3
que es racional con raíces reales simples.
Producto de senos y cosenos
Son integrales del tipo
Z
sen mx cos nx dx .
Para realizar el cálculo se transforman utilizando algunas relaciones trigonométricas. Como
al sumar se obtiene
sen(A + B) = sen A cos B + sen B cos A
sen(A − B) = sen A cos B − sen B cos A
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Z
p
sen(A + B) + sen(A − B) = 2 sen A cos B
Cálculo de primitivas — 16
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
• Si R [sen x, cos x] dx es impar en sen x se hace cos x = t
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
y así
Z
[sen(A + B) + sen(A − B)]
De forma análoga,
cos(A + B) = cos A cos B − sen A sen B
cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B
y al sumar y al restar se obtiene
y por tanto
cos(A + B) + cos(A − B) = 2 cos A cos B
cos(A + B) − cos(A − B) = −2 sen A sen B
Z
1
cos A cos B =
[cos(A + B) + cos(A − B)]
2
Z
Z
1
sen A sen B =
[− cos(A + B) + cos(A − B)]
2
Z
Matemáticas
de
U
to
Ejemplos:
Z
Z
− cos 7x
cos x
1
+
+C
sen 3x cos 4x dx =
[sen 7x + sen(−x)] dx =
2
14
2
Z
Z
1
sen 2x
x
2
cos x dx =
+ +C
[cos 2x + cos 0] dx =
2
4
2
Z
Z
1
− sen 2x
x
sen2 x dx =
+ +C
[− cos 2x + cos 0] dx =
2
4
2
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Cálculo de primitivas — 17
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
1
sen A cos B =
2
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Z