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TRAYECTOS: La Utilidad de los
parámetros para moverse y explorar.
Fuente Martos, Miguel de la 1
Resumen
Partiendo sólo de un conocimiento básico de GEOGEBRA, pretendemos trabajar
especialmente con el comando específico Curva[ <Expresión>, <Expresión>, <Parámetro>,
<Valor inicial>, <Valor final> ( o en la ventana 3D: Curva[ <Expresión>, <Expresión>,
<Expresión>, <Parámetro>, <Valor inicial>, <Valor final> ], que aporta grandes ventajas al
trabajo con trozos de curvas (o segmentos), al poder ser considerados como trayectos en los
que poder colocar con precisión y a nuestro interés puntos para poder hacer simulaciones,
comprobar o, en general, explorar.
1. Introducción
Una forma de obtener curvas con Geogebra, que no correspondan necesariamente a
gráficas de funciones, es a partir de la noción de lugar geométrico. Sin embargo los lugares
geométricos en Geogebra son objetos con los difícilmente podemos construir nuevas
herramientas, cosa que si es fácil si las construimos con el comando “Curva”; lo que nos
permitirá acceder rápidamente a la creación de ellas introduciendo o modificando los
parámetros iniciales de construcción. Esta razón nos llevará a usar formas paramétricas en
curvas que quizás podrían expresarse mejor en polares, como es el caso de las espirales.
Otra ventaja de las curvas creadas con el comando “Curva”, es la posibilidad de colocar
puntos en ellas fácilmente y con precisión, sin tener que usar un deslizador o el ratón. Así
el parámetro que las genera puede actuar en ocasiones como si fuese el tiempo y con
alguna modificación nos permitirá simular el movimiento de un punto por el trayecto como
si de un objeto físico se tratase.
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S.A.E.M Thales ( Córdoba)
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2. Contenidos
1) Trabajo básico con el comando CURVA .
a) Construcción de una espiral equiangular de n vueltas usando el comando Curva.
i)
Crear un deslizador para fijar el número de vueltas “nvueltas” que varíe, por
ejemplo, entre 1 y 8.
ii) Usar dos nuevos deslizadores numéricos para “a” (factor) y “b” (base) positivos
(“a” entre 0.01 y 5; “b” entre 0.01 y 2)
iii) Usar Curva[ a* bt *cos(t), a*bt sin(t), t, 0, nvueltas*2*π] para crear una espiral
logarítmica con los valores fijados de “nvueltas”, “factor” y “base”. Tener en
cuenta que los valores de los ángulos en la definición paramétrica son
considerados en radianes.
iv) Seleccionar la espiral y crear una nueva herramienta para obtener espirales a
partir del número e vueltas, el factor y la base. Probarla y quedarse con una
concreta.
v)
Crear un deslizador para variar un ángulo α entre 0º y nvueltas*(360º)
vi) Colocar un punto P en la espiral usando la barra de entradas y el nombre dado
por Geogebra a la espiral creada. Si este es c entonces usar c(α). Mover α para
mover el punto.
vii) Comprobar la propiedad que la caracteriza como equiangular. (Se necesitará usar
el comando tangente y medir el ángulo).
viii) Considerar cuatro puntos P1, P2, P3 y P4 sobre la espiral que disten 90º entre si:
P1=c(α), P2=c(α+90º), P3= c(α+180º) y P4= c(α+270º). Construir un rectángulo
a partir de las tangentes en P1, P2, P3 y P4 para comprobar que se mantiene la
proporción de este cuando nos movemos por la espiral.
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b) Crear una hélice en la ventana 3D, que apoye en el plano z=0 y que parta de una
altura, un radio y un número de vueltas dados. Hacer rodar un punto P (grueso) por la
hélice.
c) Dibujar una cicloide parametrizándola según el ángulo que ha girado la circunferencia
que la genera. Representar media cicloide invertida.
2) Moviéndose por un segmento.
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a) Un segmento en paramétricas. ¿Una única posibilidad?
No es en absoluto interesante crear una herramienta para crear segmentos en
paramétricas, ya que tenemos una herramienta básica de Geogebra que los crea;
aunque podemos echar una ojeada a diversas formas de interpolar puntos en el
segmento determinado por dos puntos A y B.
Si consideramos t  [0,1] , la expresión P=A+t*(B-A) produce un puntos entre A y
B en el segmento AB, obteniéndose A para t=0 y B para el caso t=1. Así el segmento
en paramétricas quedaría definido por Curva[x(A)*(1-t)+t*x(B), y(A)*(1-t)
+t*y(B),t,0,1]
Pero También P==A+t2*(B-A) también produce puntos alineados con A y B,
generando el segmento AB para 0≤t≤1. Solo que ahora el movimiento de P al variar t
no es lineal sino uniformemente acelerado de A a B. Esto proporciona o sugiere un
método para simular la caída libre de una bola en vertical o en general por un plano
inclinado donde no se considere el rozamiento. Bastará calcular el tiempo de caída
usando algunas fórmulas físicas básicas y en lugar de usarlo directamente como
parámetro, transformarlo en otro que varié en [0,1].
b) Simulación de la caída libre de una bola desde una altura h.
Usemos un punto grueso como bola y coloquémoslo en A=(0,h). El tiempo que tarda
la bola en llegar al suelo en caída libre es, según la física elemental tcaida 
2h / g
, por lo que creamos un deslizador tiempo: 0  tiempo  tcaida y colocamos la bola,
que va de A a O, en P=A+(tiempo/tcaida)2*(O-A).
Si activamos el rastro del punto que hace de bola,
conseguimos un efecto como si iluminásemos la
caída con luz estroboscópica.
c) Simulación de la caída libre de una bola por un plano inclinado.
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Ahora podemos abordar fácilmente la caída libre de una bola por un plano inclinado
que forma un ángulo α con la horizontal y de altura máxima h, teniendo en cuenta que
el tiempo de caída es, sin considerar rozamientos: tcaida

1
2h
sen ( )
g
Aunque ahora avanzaremos algo y dejaremos rodar la bola que cae.
3) Cayendo por las secantes de una circunferencia.
Ahora no será difícil
comprobar una propiedad
no muy conocida de la
circunferencia referente a
la caída libre y sin
rozamientos siguiendo sus
cuerdas. Lo haremos
dejando caer
simultáneamente dos bolas
(puntos gruesos) por dos
cuerdas diferentes. Ahora sí
que nos será útil un botón
que provoque
simultáneamente las dos
caídas.
4) Cayendo sobre un muelle.
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Abordaremos ahora la simulación de la caída sobre un muelle de una bola (esfera) más
ancha que él. Para no complicar demasiado la situación supondremos una esfera que
cuando llega al muelle penetra la mitad del radio en él. Además no consideraremos el
efecto que la elasticidad del muelle produce en la caída y elevación (rebote) de la
esfera.
5) Cayendo por una cicloide invertida. La cicloide es tautócrona.
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Por último simularemos la propiedad de la cicloide descubierta por Christiaan
Huygens en el siglo XVII. El tiempo de descenso hasta el punto más bajo no depende
del punto donde se inicie este en la curva y por tanto dos cuerpos que rueden lanzados
desde distinta altura llegan al mismo tiempo al punto más bajo.
Ahora no nos sirve la estrategia seguida anteriormente para caídas siguiendo trayectos
rectos. Debemos recurrir a la física y al cálculo integral para determinar el tiempo que
de caída entre dos puntos que corresponden a distintos valores del ángulo t
Si lanzamos una bola desde un punto de la cicloide generada por una circunferencia de
radio R, fijado con t=a, el tiempo que tarde en llegar a otro punto de t= es
T 2
R
g
cos(  / 2)
 
 2  arcsen( cos(a / 2) , lo que despejando nos da una expresión de la


nueva posición β según el tiempo T transcurrido:
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
  2 arccos  cos( T
2


g
).cos( a / 2) , lo que nos permite calcular las posiciones
R

de ambas bolas según un deslizador que varía el tiempo linealmente desde 0 a

R
,
g
que es el tiempo que todos los cuerpos tarden en llegar al punto más bajo.
Agradecimientos
Agradecemos al la Consejería de Educación Cultura y Deporte de la Junta de
Andalucía, a la Universidad de Córdoba y al Centro del Profesorado “Luisa Revuelta” de
Córdoba las ayudas prestadas, sin las cuales no hubiese sido posible la celebración de estas
Jornadas.
Referencias

HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J. Y SAIDON, L. (2009). “Manual en Castellano de
Geogebra para la versión 3.2” (http://www.geogebra.org/help/docues.pdf)

LOSADA LISTE, R. (2009) “Materiales del curso virtual del ITE :GeoGebra en la
enseñanza de las Matemáticas” (http://geogebra.es/cvg/index.html)

ECUACIONES Y DEMOSTRACIONES DE LAS PROPIEDADES DE LA CICLOIEI, en
http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat/geometriahoy/experimentosgeo
m/ecua.htm

http://wiki.geogebra.org/es/
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i
Contiene algunas erratas numéricas fácilmente detectables.