INTRODUCCION A LOS VECTORES PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar el vector resultantede dos vectoresfuerza de 4 kp y 3 kp aplicaclosen un punto O y formando un iingulo de a) 90', ó) ó0". Aplicar el método del paralelogramo. Solución grAtica En cada uno de los casos se comienza dibujando los dos vectores OA y OB, de forma que sus módulos representen 4 kp y 3 kp a la escala elegida y formando los ángulos que dice el enunciado. Se constiuye el paralelogramo trazando BR paralela a OA y AR paralela a OB. La diagonal OR representa, en cada uno de los casos, el vector resultante de los dos dados. 4 (ó) (a) En (¿), midiendo OR con la escalaadoptada se obtiene 5 kp. El ángulo e, medido con un semiclrculo graduado, resulta de 37oEn (á), OR representa6,1 kp y el ángulo ¡ vale 25o. Solución snalitica (a) OARes un triángulorectángulo.EntoncesOR2 : 42 * 32: 25 y OR : 5 kp. .ARJ : 37o : :o,75 : y 7 : tg-r0,75(esdecir,ángulocuyatangenrees0,T5) rg " . 6j ; (r) LOAR :120o, Para calculai el módulo del vector resultanteOR, se aplica la ley o teoremadel coseno. ORz: OA2+ ARz-2(OA)(AR) cos l20o: 42 + 32-2(4X3X- O,5): 37 y OR: 6,1 kp. Para calcular a se aplica el teoremade los senos. 0.86Á sen d len " : sen 12@ o Deaquísena-0,43 y ¿:S€n-r0,43:25o. l- : : - t r AR ;? Nota. sen l20o : sen(1800- l20o) : sen 600,cos 120" -_-- cos (180o- l20o) : - cos ó0o. 2. Resolver el Problema I por el método del polígono vectorial. Solución gráfic¡ En amboscasossedibuja el v*tot OA que represe¡lte una fuerzade 4 kp. DesdeI selleva lR : 3 kp, formando con el anterior el ángulo correspondiente.Se traz¿ OR para completarel triángulo El vector OR es el resultantey su módulo es igual O a 5 kp en (¿) y 6,1 kp en (á). La resoluciónanalíticaes exactamenteigual a la del Problemal. 3. 4 (o) (b) Cuatro vectoresfuerza coplanariosestánaplicadosa un cuerpo en un punto O, como indica la Fig. (o), Hallar gráficamente su resultante. ló0 (b) Solución A partir de O se trazan los cuatro vectores,uno a continuaciónde otro, dG maneraque el origen de cada uno coincida con el extremo del anteridr, como se indica en ta Fig. (á). El vector R que une el origen del prinrr vector con el extremo del i¡ltimo es el vector resultante. Midiendo R en la escalautilizada se cncuentrael valor I 19 kp. El ángulo r, medido con un semicírculo lr¿duado, vale 37o.Por tanto, el módulo de X es l19 kp y su direcciónforma un ángulode 37ocon el semiejex ry¡rivo (o bien, un ángulo 0": 180"- a: l43o con el semieje.t positivo). INTRODUCCION 4, A IJOS VECTORES Hallar gráficamente las siguientes sumas y diferencias con los vectores A, B y c. a ) A+8 , b) A+ B+ C, c ) A- 8, d \ A +B - C . Solución Las.nperacionespedidasse observanen las Figs. (a) a (d). La Fig. (c) representata operaciónA - B : : A + (- B); es decir, para restarel vector B del A, se suma vectorialménte,{ con el opüestode B. A¡álog ame nte ,en (d) , s er epr es ent alaoper ac iónA+ B - C : A ¡ B +( - C ) , s i e n d o _ C e l v e c t o r o D u e s t o a l C . 4', I I I $/ {/ i/^ I I I :/ ul ri/ rl TI Jl' t (b, (c) (d) 5. Sabiendoque el módulo del vector resultanted-eotros dos, correspondientes a sendasfuerzasperpendiculares, es de 100kp, y que uno de ellosforma un ángulode 30. con dicha resultant.,tt"tt". esta fuerza. Solucién Se construyeun rectángulo de manera que la diagonal forme un ángulode 30ocon la horizontal y cuya longitud represente100kp. Tambiénsepuedeconstruirun triángulorectángulocuya hipó_ tenusa forme un ángulo de 3@ con la horizontal y cuya iongiiud r€presente100 kp. X: 100 x cos 30o: 100 x 0,8ó6: 86,6kp. 4 6. Sabiendo que el vector fuerza resultante de otros dos que for- man un ángulo recto es de l0 kp, y que uno de ellos es <ieó kp, calcular el otro. Solución Sea IZel vector fuerza buscado.Se construyeun rectángulode forma que uno de sus lados representaun vector fuerza det kp y su diagonal al de l0 kp, El otro lado representaráy. También se puedeconstruir un triángulo rect¿i{rgulo de manera que uno desus catetosrepres€nteal vector fuerzade 6 kp y su hipotenusa al de l0 kp. Yt: 10 2-62 : 100- 36: 64 Y: 8 k p . 7. y La velocidad de un bote-en agla en reposo es de 8 km/h. Sabiendo que la velocidad de la corriente del rio es de 4. km/h, hallar el ángulo que debe formar, óon la orilla, la ruta del bote para que alcance un punto de la otra orilla enfrente al de partida. Solución gnifica Escogiendouna escalaadecuada,s€ construyeel vector OA que representea la velocidadde 4 km/h de la corricnte del río. Se traza oN perpendicurara oA. sobre ésta se debe hailar gl vector resultante.con l como c€ntro se traza un arco de radio igual a g km/h, que corta a ON en R. Se une / con R y se completa el paralelogramoAB, I-a direcc-iónde oB es ra pedida. Midiendo el ánguroDoB se obtiene un valor de 6(F. Solución &nalftica cosLDOB : cosLOAR: 4/S : 0,j Por tanto, LDOB : cos-r 0.5 : 60p E-' - - A fl t. t t 'a I INTRODUCCIoN A, tos VECTORES y4 I .1 s. { 12 nucon una velocidsd Un barco navega hacia el norte nudosv dela marcaesde 5-de il;.;;L;e" f,uela velocidad v sentido i[i¿ál-i-"li".io.tt , cartoiattr módulo'dirección del barco' áJi-u."totvclocidadresultante Soloción rcspoctoa ti6ra' cs La vclocidadrcsultantcR del barco'condirigiü haciacl nu¿os tá ¿J ü;id"¡ d"-ú r" .ufi.'iüoi"-r ccstc' el hacia dirigirta nu¿os 5 de ia ;;;;" Módulodc.R: Vf + A' : 13nudos' cuy¿tangpnto l¡ dircccióndc R vionodcfinidapor e-lángulo :0,42, conlo qucc:23o' ;;:'t¡tt toult"ni" o dc 13nudosy.formaun án' ^ El vcctorvclocidad gulotl'iió ñ".ia cl ocstcmedidosa partir dcl nortc' 1 M¿todo dcl paralclo¡ramo MétoCo dcl triángulo velocidaddc con-^una 9. Un motoristase dirigc hacia el norte de 30 km/h soplando es vicnto Jit ;o'üÁ.-ñ";tocidád calcular la veücidad aparentedel viento obi;;í;t". servadaPor el motorista' Solución vclocico-n-una Cuandoel motoristasc dirigehaciacl norte rcp€cto a él cs de con viento dót il7rl-i"-"olo.¡¿"¿ ü;0 d"d velocidad'sumado 5Okm/h soplandota"t" ltur' Estcvector da.clvectorveocslo cl hacia km/h 30 dc cl ;;¿i;ü;;;;n motorista' al rcapccto con vicnto ¡ ¿a ñffi.ñ;ünrc i. i, ti ,)i n : Vlo + so : 58km/h' Y a :3 l o ' t ga: 3 0 /5 0 :0 ,6 de58km/h conunavclocidad El vientosopla,aparentemente' a partir contados oeste el rta"ii v ii; ¿,ie"io'¿e f"-;;á;';; delsu¡. !i" 1:, il que Descomponerun v@tor fuerzade I 000 kp sus en horizontal la con 53o foirn"-ui ¿ngulode vertical y horizontal' componetttes 1t Sotución r0. {¡ tit 1 :: 't F, horizontar componcnte : I ffiü,'r|il) : 602kp verrical cómponente Método " : iffiñlrrrrü: Tsukp l; 'I ii :t t!; :l tl 'l l,i Ii ,'l fi ; :. \¡ .1 11 ll. dcl Paralclogamo Método dcl triángulo Un muchachotira de unacuerdaatadaa un cuer;-;;; ;;" fuerzade 20 kp. La cuerdaformaun ánculode 30ocon el suelo.Hallar el valor de ta el cuerpo' iu.'á qu. tiendea elevaiverticalmente Sohclóo L¿ fuc¡zaquetiendea moverel cuerpoa lo-largo Método dcl triln¡ulo r*iffiS icl sr-rlc cs la componente horizontal F'' I'zfllclzz qrx rrcodc a elevarlo verticalmente cs la componcntc rtftrc¿l Fr. kP x co s 3 0P:20 kP x 0'E 6ó F ,:8 F¡ : úkP x sta W : frkP x 0'5S - l 7'3 kP l0'0kP INTRODUCCION, A LOS VECTORES 12. Un bloque prismático de peso W : 300 kp se apoya sin rozamiento en un plano inclinado 25o con la horizontal, a) Hallar las componentesde ll' normal y paralela al plano. b) 1',Qué fuerza F. paralela al plano será necesarioaplicar al cuerpo para que asciendapor la rampa? Solución a) Se descompone el vector I/ en dos F, y F, normal y paralela al plano, respectivamente. F, : componente de |tl normal al plano .= ll'cos 25o : 300 kp x 0,9063 :272kp . F,.: componente de W paralela al plano ll/ sen 25o =, 300 kp x 0,4226: 127 kp hacia abajo b) Ft : - Fz == 127 kp hacia arriba : r3. Hallar la mínima fuerzaF, paralelaa un plano inclinado sin rozamiento, de 18 m de longitud, que es necesario apficar a un cuerpo de peso l{ :90Q kp, para arrastrarlo sobre él hasta una plataforma situada a 5 m del suelo. Solución Se descomponeel vector fuerza de 900 kp en dos: una normal y otra paralelaal plano. Por tanto, rr :900 kp x sen a:90o kp r 5/18 : : 250 kp es la que empujaal cuerpohaciaabajo,y la fuerza buscadaserá F" =. - n --- 250 kp hacia arriba. 14. Hallar la resultantede los cinco vectoresfuerza coplanarios ( 1 9 . 1 5 . 1 6 , I l , 1 2 k p ) a p l i c a d o sa u n cuerpo en un punto ,4, como indica la Fig. (a). ü mi - ll cos 30.* Descomposicitin dc lts fucrz¡s dc 15, i6 y | | kp c n s us C Om ponc nt( '\l l or i /ontf,l ¡ - v c r tr c r l Solución r) t\ Cada fuerza se descompone en sus componentes horizontal y vertical. (La fuerz¿ de l9 kp, que es horizontal y con sentido hacia la derecha, no tiene componenle-yer{ical l-a ft¡crza de l2 kp que actúa a lo largo de la vertical y con sentido hacia abajo no tiene componentc horizontal.) Las componentes horizontales con sentido hacia la derecha se considcran positivas y hacia la izquierda negativas. Las verticales hacia arriba se toman positivas y hacia abajo negarivas. 3) Las componentes horizontales se surnan por separado algebraicamentei se hace lo mismo con las com- ponentes verticales y se obtienen dos componentes resultantes(EF" y lFv), que forman un ángulo rccto. La resultante de EF, y EFu es R. 4) l,as componentes horizontales y verticales de los cinco v€ctores fuerzas son las sisuientes: _-I I l 'I tl io . INTRODUCCION A LOS VECTORES ; !t .ti Componente vertical Componente horizontal 19kp l5 kp 16kp ll kp l2 kp a) b\ c) d) e) 19,0 7,5 15cos 6@ -: - 16c os 45o: - 11, 3 - ll cos 30o: - 9,5 0'0 ! F, : * 5, 7k p - 0'0 15sen600 : 13,0 I 1,3 16sen45o: ll sen30o: - 5,5 -t 2,0 XFy : -¡ 6,3 ¡O Módulode R : l'tr¡;f + (lF,r - lG¡¡ + (ós,' : 8,9kp Zh ^ : yts0 EE :ffi6.8 kp : t,z dedonde0:50o' La resultantees una fuerza de 8,9 kp formando un ángulo de 5(P con la direccióndel ejc. ut. Un telescopio que mira hacia una estrella fija situada en la vertical del lugar pres€nta una inclinación de 20,5 segundos con dicha vertical, Debido al movimiento orbital de la tierra, el telescopio está animado de una velocidad de 29,76 kmls, formando un ángulo recto con la dirección de la estrella. De estos datos, deducir la velocidad de la luz. N Solución Seanc : velocidadde la luz y v : velocidaddel telescopio. La inclinacióndcl telescopiodebesertal que el tiempo t invertido por la luz en recorrerla distanciaBC (t : BC lc) sa igual al que empleael telescopioen recorrerla distanciaAC (t : AC lv). Por t^r*o, BClc : AClv, obien, ACIBC : tg ¿ : v/c, y de aquf' c: v _ 29, 79k m , \ : 3x l05k m / s tEn, s - : e, e4"¡ g- o Este método fue utilizado por Bradley en 1728,para determina¡ la velocidadde la luz. El ángulode 20,5" recibióel nombre dc ángulo de aberración. Nota. [,os senosy tangentesde ángulosmuy pequeñosse pue' de¡ considerarigualesy con un valor numérico igual al á¡gulo expresadoen radianes. 8,5" : h,5" x ,m I i l\ .- - f#9 : e.e4 x ro-rrad d t\ \r\\ INTRODUCCION A LOS VECTORES \ PROBLEMAS PROPUESTOS t6. Hallar la resultantede dos fuerzasde 80 y 100 kp, cuyaslíneasde acción forman un ángulo de ó0o. Sol. R : 156 kp y c : 34ocon la fuerza de g0 kp. 17. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzasde l@ kp cuyaslíneasde acción forman un ángulo de 1200.Há:lar.rha fuerza que sea capaz de.a) remplazaral sistómaie fuerzasdado, á) equilibrar el sistemade fuerzasdado. sol. a) ResultanteR : I00 kp formando 600con cada una de rasfuerzas, á) Equilibrante E : 100kp opuestaa la resultante. 6./ Prob. ló Prob. 17 tt. Un hombre anda 50 m hacia el este;a continuación,30 m hacia el sur; después,20 m hacia el oeste,y fiaalmente, l0 m haciael norte. Determinarel vectoÍ desplazamientodeJé ;i;"."t;h" pu.ti¿u ul á" lrii¡dd". -' .SoL 36 m formando un ángulo de 34o sur, contadosa partir del este. . 19. Hallar el vector suma de los cuatro desplazamientos siguientes:ó0 m norte, 30 m oeite, 40-m en una dirccción que forma 6@ con el norte contadoshacia el oes1e,50 m en una diiécción qu" io.r*-ió[ ;; ;i:;--contadoshacia el oeste.Resolverel problemag¡áficamentey por el método analíticó de tas componirri;-. sol. 96,8 m formando un ángulo de 67,1ocon el norte y contadoshacia el oeste. 20. Dad oslosve c t or es Ay By el OP, MP, PN,NM. ,5 ¿¡/.OP: A + B, M P: par alelogr am ooM P N , e x p r e s a r l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e n f u n c i ó n deAyB: B, PN: _A, NM : _B 21. SiendoCM una medianadel-triángulo,rf BC y CM: * A. zy MB: gidosen funciónde c y p: CB, AM, MA, AB: CA. p, AB: 29, C A : t _ ^ So/. CB: a + 9, AM : B, M A- - p, expresarlos siguientes segmentos dirig. Dados los vectoresA : 80 m/s orientado hacia el norte y I : 60 m/s hacia el este,hallar el vector diferencia A - B. : Sol. 100m/s, a 37ocon el norte contadoj haciael oeste. Pro b. 20 E- : Prob. 2l Prob. X2 I Capftulo I Introducción a los vectores NA MAGNITUD ESCALAR es aquellaquc solo tienc módulo, como por-ejemplo,cl tiempo,el vo. t--'-hil;, la masay la densidadde los cuerpos,el-trabajo,la.cantidadde dinero, etc' sGsrunanpor los métodbsordinariosdel álgebra;por ejemplo:2 s * 5 s : 7 s. tbs escalares y UNA MAGNITUD VECTORIAL es aquellaque, ademásde módulo, poseedirccción sentido.Por cjemplo: -ii " Vn avión que vuela a una distanciade 160 km hacia el sur. El desplazamiento: qu€ navega-e20 nudoshacia cl este' Un.barco veioc¡dad: la 2i l¡ In ¡rrrtot Una fuerzaae tO tp aplicadaa un cuerposegúnla verticaly con sentidohacia arriba. Una magnitud vectorial se representapor medio de una flechaa una cierta escala.La Longitud de la flechaiepresentael móduló óel vecior -desplazamiento,velocidad,fúeúr,, etc.-. La lfnca etc.-, y el sentidoesel indicado sobrela queseéncuentraesla direccióndel vector--desplazamiento, por la flecha Los vectoress€ suman por métodos gcométricos. EL VECTOR RESULTANTE de un sistemaesun v€ctorúnico queproducelos mismosefectosquetodos los dados. EL VECTOR EQUILIBRANTE de un sistemadado es un vector único capazde.compensarla acción Tiene el mismomódulo y direcciónque el vector de todos los vectores,actuandosimultáneamente. pero contrario. sentido resultante, dCdOSVCCTOTES DEL PARALELOGRAMO PARA LA SUMA VECTORIAL. LA TESUITANTC METODO ---;y;direcciones forman un ángulo se repres€ntapor un vector cuya direcciónes la diagonaldel p"i"trtog."nro formado con loivectores dadosy cuyo origen coincidecon el común de ambos. DEL POLIGONO PARA LA SUMA VECTORIAL. Estemétodode hallar el vectbr resul-METODO t"nt. consisteen dibujar, a escala,y a partir de un punto cualquiera,cadauno de los vectorcsdados, de forma que el origende uno de elloscoincidacon el extremodel anterior. El ordenen que sevan tomando lbs vectoréses arbitrario. I-a longitud del segmentoque une el punto de partida con el extremodel último vector es el módulo, tanto del vector resultantecomo del equilibrante. El vector resultantetiene por origen el punto de partida y Por extremoel del último vector. El vector equilibrantetiene por oiigen él extremodel último vector y Por extremo,el punto de partida. SUSTRACCIONDE VECTORES.Pararestarel vectorI delvectorI bastacon sumar,geométricamente, el vector ,{ con el opuestoal 8; es decir, I - fi : A + (- B)' COMPONENTE DE UN VECTOR segúnuna direcciónes la proyeccióndel vector sobredicha dirección. Por ejemplo,la componenteñorizontalde un vectoressu proyecciónsobrela direcciónhori' del mismo zontal. Toáo vector se puide considerarcomo el resultantede dos o más componentes es igual al vector original. En general,lo más cómodoes desel vector suma de las cómponentes, entre segúndos direccio¡esperpendiculares o componentes componerun vectoren susproyecclones sl, cüandose trate de problemasen el plano, y en tres, si es en el espacio.
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