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Tema 5. Movimiento Ondulatorio
PROBLEMAS
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CUESTIONES Y PROBLEMAS
1. Una partícula oscila por la acción de un resorte cuyo movimiento es: 𝑥𝑥 = 7𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(3𝑡𝑡 + 1), 𝑥𝑥 medido en cm.
Determinar: a) velocidad máxima de la partícula, b) instantes en los que la velocidad se hace máxima. Sol: 21
cm/s; 0.19 s, 1.24 s, 2.28 s.
2. Un muelle, de 40 cm de longitud natural, se encuentra en posición vertical con su extremo superior fijado
al techo. Al poner una masa de 50 g en su extremo inferior, se observa que la longitud del muelle es de 45
cm. A continuación, desplazamos la masa 6 cm hacia abajo, con respecto a la posición de equilibrio, y luego la
soltamos. Calcular: a) la constante elástica del muelle y la frecuencia del movimiento, b) posición, velocidad y
aceleración de la partícula en función del tiempo, c) velocidad, aceleración y fuerza cuando la partícula se
encuentra subiendo a 2 cm por encima de la posición de equilibrio. Sol: 9.8 N/m, 2.23 Hz;
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0.06 cos 14t, -0.84·sen 14t, -11.76·cos 14t; -0.79 m/s, 3.38 m/s , 0.194 N.
3. Un resorte horizontal tienen una constante recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte se coloca
una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a
continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:
a) El periodo de la oscilación. Sol: T=0.78 s
b) La ecuación del M.A.S. Sol: x=0.2·sen (8t+π/2)
c) El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el
origen. Sol: los que cumplan 8t+π/2=7π/6+2kπ
d) Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s)
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instante(s). Sol: -1.38 m/s; 6.4 m/s ; 0.72 J; 0.24 J; 0.96 J.
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4. Un bloque de 2 kg de masa está unido a un resorte de constante elástica k = 10 N/m. Si en el instante
inicial el resorte está sin deformar, y la velocidad del bloque es de 10 m/s, calcular: a) la máxima deformación
del resorte, b) la fuerza que ejerce el resorte para la deformación anterior, c) el trabajo realizado entre la
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posición x0 = 0 y x1 = 0.1 m. d) el periodo del movimiento armónico. Sol: 141.4 m; -1.41 N; -5.10 J; 88.9 s.
5. Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un
movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm
del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:
a) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
b) Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante.
c) Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.
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Sol: 0.2·cos(12t+𝜋𝜋/3), -2.4·sen(12t+𝜋𝜋/3), -28.8·cos(12t+𝜋𝜋/3); 0.216 J, 0.648 J, 0.864 J; t= 𝜋𝜋 (n - )/12.
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6. Una partícula de 200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple
siendo la frecuencia angular 100 rad/s. Sabiendo que en el instante t=0, la posición inicial −0.5√3 𝑐𝑐𝑐𝑐 y la
velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s:
a)
Escribir la ecuación del MAS (en su forma seno). Sol: x=0.01·sen (100t-π/3).
b) Deducir la fórmula del periodo de la oscilación de una masa 𝑚𝑚 unida a un muelle de
constante k.
c) Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento. Sol: 2000 N/m,
E=0.1 J.
d) ¿Para qué valores de 𝑥𝑥 y 𝑡𝑡 la energía potencial es máxima? ¿Y mínima? Sol: Máxima:
100t=(2n+1) 𝜋𝜋/2+ 𝜋𝜋/3 con x=±0.01; Mínima: 100t= 𝜋𝜋/3+n𝜋𝜋 con x=0.
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7. Una masa suspendida de un muelle vertical, realiza un movimiento vibratorio armónico con una amplitud
de 10 cm y una frecuencia de 0.5 Hz. Se empieza a contar el tiempo en el instante en que la masa está 5 cm
por encima de su posición de equilibrio y bajando.
a)
Obtener su ecuación de movimiento. Sol: 0.1·cos (𝜋𝜋t+ 𝜋𝜋/3).
b)
¿En qué instantes alcanza la máxima elongación negativa? Sol: 2/3 +2n s.
c)
¿En qué instantes pasa por la posición de equilibrio? Sol: n+1/6 s.
d) ¿Cuáles son los tres primeros instantes en los que la velocidad es la mitad de la velocidad
máxima? 0.5, 0.833, 1.5 s.
8. Un cuerpo de 200 gramos unido a un resorte horizontal oscila sin rozamiento sobre una mesa, a lo largo
del eje 𝑥𝑥, con una frecuencia angular ω =8 rad/s. En el instante t=0 el alargamiento del resorte es de 4 cm
respecto de la posición de equilibrio y el cuerpo lleva una velocidad de -20 cm/s. Determinar:
a) la amplitud y la fase inicial del M.A.S.
b) la constante elástica del resorte y la energía mecánica del sistema
c) Los tres primeros instantes en lo que el resorte pasa por la posición de equilibrio
Sol: 0.04717 m, 32°; 12.8 N/m, 0.0142 J; 0.1265, 0.5192, 0.9119 s.
9. La ecuación de una onda, expresada en unidades del SI, viene dada por 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)= 2 sen (2.5𝑥𝑥 -4𝑡𝑡), calcula su
velocidad
de
propagación,
su
longitud
de
onda,
su
frecuencia
y
su
periodo.
Sol: 1.6 m/s; 2.51 m; 2/𝜋𝜋 Hz; 𝜋𝜋/2 s.
10. Moviendo de arriba abajo uno de los extremos de una cuerda tensa horizontal con un movimiento
armónico de 50 Hz de frecuencia y 1 cm de amplitud se generan ondas que se propagan por la cuerda.
Sabiendo que la longitud de la cuerda es de 10 m, su masa 1 kg y que las ondas tardan en llegar al otro
extremo 1 s, determinar la longitud de onda, la ecuación de la onda y la tensión de la cuerda. Sol: 0.2 m;
𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 0.01·sen(10𝜋𝜋x-100𝜋𝜋t); T=10 N.
11. En una cuerda se produce una onda armónica transversal. El movimiento es continuo y se repite 5 veces
por segundo. La amplitud del movimiento es 0.5 m. Calcular: a) la ecuación de movimiento ondulatorio
producido por un punto cualquiera de la cuerda si su densidad es de 0.25 kg/m y sufre una tensión de 10 N,
b) la elongación, velocidad y aceleración de la partícula a un punto situado a 1 m del origen a los 10 s de
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haberse iniciado el movimiento. Sol: 0.5·sen (4.97x-10 𝜋𝜋t); -0.49 m, 3.38 m/s, -481.4 m/s .
12. Se produce una explosión en el aire, que libera una energía de 5000 J en una centésima de segundo. Si la
onda originada tiene una longitud de onda de 50 cm y la velocidad de propagación es de 330 m/s. Calcular: a)
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frecuencia de la onda, b) intensidad de la onda a 50 m de la explosión. Sol: 660 Hz; 15.92 W/m .
13. Dos fuentes sonoras oscilan en con la misma amplitud y con una frecuencia de 100 Hz. En un punto
situado a 5 m de una de ellas y a 5.85 m de la otra, la amplitud del sonido procedente de cada fuente
separadamente es A. a) ¿Cuál es la diferencia de fase de las ondas procedentes de ambas fuentes en dicho
punto? b) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? Sol: 𝜋𝜋/2; 1.41 A.
14. Dos focos emiten simultáneamente ondas de la misma frecuencia e igual a 425 Hz, siendo la velocidad del
sonido en el aire igual a 340 m/s. Si colocamos un aparato registrador de sonido a x1 = 100 m del primer foco
y a x2 = 101.2 m del segundo. ¿Se registrará sonido en el aparato? Sol: No.
15. Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle horizontal elástico de constante 𝑘𝑘 = 43.2 N/m y
describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t = 0 se
encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la derecha (alejándose de su posición de equilibrio),
determine: a) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. b) la velocidad en
el instante inicial (justifique su signo). b) Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial. c) Los 3
primeros instantes de tiempo en los que la partícula pasa por el origen. Sol: x(t)=0.2·sen(12t+π/6),
v(t)=2.4·cos(12t+π/6), a(t)=-28.8·sen(12t+π/6); 0.216 J, 0.649 J, 0.864 J; 0.0873 s, 0.349 s, 0.611 s.
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16. Dos altavoces pequeños, A y B, son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas sinusoidales
puras en fase. Si la velocidad del sonido es de 350 m/s, a) ¿para qué frecuencias se presenta interferencia
constructiva en el punto P? b) ¿E interferencia destructiva? c) Si la frecuencia de A fuera de 500 Hz y la de B
1000 Hz, ¿qué clase de interferencia habrá entre estas dos ondas? i) interferencia constructiva en varios
puntos, incluyendo el punto P, y destructiva en varios otros puntos; ii) interferencia destructiva en varios
puntos, incluyendo el punto P, y constructiva en varios otros puntos; iii) ni i) ni ii). Razone su respuesta.
Sol: 1002.8·n Hz; (2n+a)·501.4 Hz; iii) No se formarían interferencias estables.
17. Una onda estacionaria tiene por ecuación: 𝑦𝑦 = 10 sen(𝜋𝜋𝜋𝜋/6) cos(10𝜋𝜋t), donde 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 se miden en cm y t en
segundos. Calcular: a) La amplitud y velocidad de las ondas componentes, b) distancia entre nodo-nodo y
nodo-antinodo, c) velocidad de una partícula situada en el punto x=3 cm en cualquier instante. Sol: 5 cm, 60
cm/s; 6 cm, 3 cm.
18. Una onda estacionaria sobre una cuerda tiene por ecuación 𝑦𝑦 = 0.02 sen (𝜋𝜋𝜋𝜋)·cos(40𝜋𝜋t), donde 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 se
miden en metros y t en segundo. a) Escribir las funciones de onda para dos trenes de ondas que al
superponerse producirán la onda estacionaria anterior. b) Calcular la distancia que existe entre dos nodos
consecutivos, c) Determinar la velocidad de un segmento de la cuerda situado en el punto 𝑥𝑥=1 en cualquier
instante. Sol: 0.01·sen (𝜋𝜋x+40 𝜋𝜋t), 0.01·sen (𝜋𝜋x-40𝜋𝜋t); 1 m; 0.
19. En un extremo de una cuerda tensa horizontal de 5 m se provoca una perturbación perpendicular a la
dirección de la cuerda, cuya elongación es de 8 cm cuando han transcurrido 0.5 s desde su comienzo. Se
observa que la onda tarda en llegar al otro extremo 2 s y la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1.5 m.
a) ¿Qué tipo de movimiento y de onda se ha generado en la cuerda?, b) ¿Cuál es la frecuencia y amplitud de
la onda?, c) ¿Cuál es la velocidad en un punto situado a 1 m del origen de la onda, al cabo de 0.6 s de iniciado
el movimiento?, d) ¿Qué desfase existe entre dos puntos separados una distancia de 2 m?
Sol: Onda armónica; 5/3 Hz, 0.094 m; 0.484 m/s; 8π/3 rad rad.
20. Un observador nota que la frecuencia emitida por el silbato de la locomotora de un tren cambia de 2900 a
2600 Hz cuando pasa por su posición. ¿Cuál es la velocidad del tren si la del sonido es de 340 m/s?
Sol: 18.55 m/s.
21. Un delfín común (Delphinus delphis) y un cachalote común (Physeter macrocephalus) se desplazan el
uno hacia el otro en el mar Mediterráneo. El delfín se desplaza a 50 km/h y el cachalote a 20 km/h. El delfín
emite una señal de sonar a 1000 Hz. Las ondas de sonar viajan a 5470 km/h.
a) ¿Cuál es la frecuencia detectada por el cachalote? Sol: 1013 Hz
b) La señal emitida por el delfín se refleja en el cachalote y es detectada por el primero. ¿Cuál es la
frecuencia detectada por el delfín? Sol: 1026 Hz.
22. Un tren de alta velocidad viaja a 44.7 m/s cuando, de repente, el conductor hace sonar la bocina. La
frecuencia de la bocina es de 415 Hz. La velocidad del sonido es de 340 m/s. a) ¿Cuál es la frecuencia y la
longitud de onda del sonido, percibida por una persona que espera en un cruce cuando el tren se aproxima a
él? b) ¿Y cuando el tren se aleja? Sol: 477.8 Hz; 366.8 Hz.
23. Un automóvil se mueve hacia la izquierda con una
Automóvil
Camión
velocidad de 30 m/s. En dirección contraria (rebasado
suficientemente el punto de cruce) va un camión a una
velocidad de 21 m/s, con una superficie reflectora en su parte posterior. El automóvil emite un bocinazo con
una frecuencia de 1000 Hz. Determinar: a) ¿cuál es la frecuencia de las ondas percibidas por el observador?
b) ¿cuál es la frecuencia de las ondas que llegan a la superficie reflectora del camión? c) ¿Cuál es la frecuencia
de las ondas percibidas por el observador después que las ondas se han reflejado en el camión? d) ¿cuál es la
frecuencia de las ondas percibidas por el conductor del coche, después de la reflexión del camión? Dato:
suponemos que la velocidad del sonido es de 340 m/s. Sol: 918.92 Hz, 862.16 Hz, 812.01 Hz, 740.36 Hz.
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24. Una fuente estacionaria emite una onda sonora de 5000 Hz. Un objeto se acerca a la fuente estacionaria a
3.5 m/s. ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada en el objeto que es percibida por la fuente estacionaria?
Sol: 5104 Hz.
25. Una sirena de 420 Hz gira atada al extremo de una cuerda de 2 m de longitud a razón de 300 rpm. ¿Qué
intervalo de frecuencias percibe un observador situado en el plano de rotación de la sirena y alejado de ésta?
Velocidad del sonido: 340 m/s. Sol: 354.5-515.2 Hz.
26. El nivel sonoro de una persona gritando en las proximidades de nuestro oído es de 80 dB. Calcular el
número de personas que serían necesarias para que, gritando en las proximidades de una lámpara de
incandescencia de 100 W de consumo, la mantuviesen encendida, suponiendo que toda la energía acústica
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que atraviesa en 1 s a 1 m , fuese transformada adecuadamente en energía eléctrica. Sol: 10 personas.
-2
2
27. Un altavoz genera en un concierto de rock 10 W/m a 20 m a una frecuencia de 1 kH. Suponiendo que la
energía del cantante se extienda uniformemente en todas direcciones, (a) ¿cuál es el nivel de intensidad a 20
m? (b) ¿Cuál es la potencia acústica total generada por el cantante? (c) ¿A qué distancia alcanzará la
intensidad el umbral de dolor de 120 dB? (d) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 30 m? Sol: a) 100 dB,
b) 50.26 W, c) 2 m, d) 96.47 dB.
28. Considere el modelo idealizado en el que un pájaro (considerado como una fuente puntual) emite una
potencia sonora constante, cuya intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al ave.
¿Cuántos decibelios bajará el nivel de intensidad del sonido si nos alejamos al doble de la distancia del ave?
Sol: 6 dB.
29. a) Calcular en decibelios el nivel sonoro percibido en las proximidades de una persona hablando en voz
baja. Dato: la intensidad es 100 veces mayor que la intensidad umbral. b) A 10 m de distancia la sonoridad de
una sirena de un barco es de 60 dB y el valor umbral de la intensidad para la frecuencia es de
-12
2
10 W/m . Calcular la sonoridad a un kilómetro de distancia. Sol: a) 20 dB, b) 20 dB.
30. En un campo de futbol hay 10000 espectadores que gritan, en un momento de emoción, la palabra “gol”.
Si emplean 2 s en su grito y la sonoridad a la misma distancia de cada emisor es 80 dB, determinar la energía
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-4
transmitida por el aire a través de 1 cm . Sol: 2·10 J.
31. a) Supongamos que la amplitud de un movimiento armónico simple se duplica. ¿Cómo variarán las
siguientes magnitudes: frecuencia, periodo, velocidad y energía total? b) Un ciclista se mueve hacia un
peatón con una velocidad de 20 m/s. Su bocina emite ondas sonoras de 300 Hz, ¿qué frecuencia tienen las
ondas percibidas por el peatón? Considerar que la velocidad del sonido es de 340 m/s. Sol: 318.75 Hz.
32. Un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle se desplaza mediante un movimiento armónico simple. La
gráfica muestra la variación de la velocidad del disco frente al tiempo. a) Calcular y representar la energía
total del sistema frente al tiempo. b) Deducir la ecuación del desplazamiento x(t) del cuerpo. c) Determinar la
ecuación de la velocidad de dicho cuerpo. d) Calcular la aceleración para t=0 y t=0.75 s. Sol: 0.1 J (constante
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con el tiempo); v(t) = cos (4πt); o m/s , -4π·sen (4πt).
V (cm/s)
100
-100
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Tiempo (s)
33. Un objeto describe un m.a.s., siendo los puntos extremos de su trayectoria P1(-1,5) y P2(3,2), coordenadas
expresadas en metros. Sabiendo que inicialmente se encuentra en P2 y que su aceleración máxima es de
2
𝜋𝜋 2 m/s , determinar: a) ecuación de la elongación en función del tiempo, b) posición del móvil al cabo de
1 segundo, c) ecuación de la velocidad en función del tiempo y d) la velocidad del móvil al cabo de 1.5
segundos. Sol: x(t)=2.5·cos (1.987t); -1.01 m (a la izquierda de la posición de equilibrio); v(t)=-4.97·sen
(1.987t); 0.797 m/s.
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34. Un barco que se encuentra en reposo está equipado con un sonar que envía pulsos sonoros de 40 MHz. El
barco recibe estos pulsos, que han sido reflejados por un submarino que se encuentra directamente debajo,
con un retraso de tiempo de 80 ms y una frecuencia de 39.958 MHz. Si la velocidad del sonido en agua de
mar es de 5544 km/h, calcular a) la profundidad a la que se encuentra el submarino y b) su velocidad vertical.
Sol: 61.6 m; 0.809 m/s.
35. Una boya marítima oscila con un movimiento armónico simple generado por el paso de las olas, habiendo
desde el punto más alto, al más bajo, un total de 1 m. Se observa que cada 10 segundos, la boya pasa por su
punto de máxima altura. Sabiendo que en el instante inicial se encontraba a 0.4 m por encima de su posición
de equilibrio, y estaba subiendo: a) Escriba la ecuación que describa el movimiento de la boya en forma de
coseno. b) Calcule los 4 primeros instantes de tiempo en los que la boya alcanza una altura de 0.3 m por
encima de la horizontal, identificando si sube o baja. Sol: x(t)=0.5·cos (0.2πt+5.64); 2.5 s (bajando), 9.56 s
(subiendo), 12.5 s (bajando), 19.56 s (subiendo).
36. Un camión se acerca, viajando en la misma dirección, pero sentido opuesto, a un coche de policía que se
encuentra en movimiento. El policía emite una señal de radar de 9 GHz, percibiendo una variación en la señal
de 8400 Hz respecto de la que emitió. Si el policía circula a 20 km/h, ¿a qué velocidad se desplaza el camión?
Interprete el signo de la variación percibida. Sol: 134.44 m/s, la variación es positiva, ya que la frecuencia
percibida será mayor que la emitida porque se están acercando.
37. Un oscilador se desplaza con un movimiento armónico simple, pasando por su posición de equilibrio cada
5 segundos. Si inicialmente se encuentra subiendo, a 0.3 m de su posición de equilibrio, y su velocidad
máxima en valor absoluto es de π/10 m/s: a) Escriba la ecuación que describa el movimiento del oscilador en
forma de coseno. b) Demuestre que, para la ecuación anterior, la partícula está subiendo en t=0. c) Calcule
los 4 primeros instantes de tiempo en los que el oscilador alcanza una altura de 0.05 m por encima de la
horizontal, identificando si sube o baja. Sol: x(t)=0.5·cos(0.2πt-0.9273); c(t=0)+2.5 m/s > 0; 3.82 s (bajando),
9.14 s (subiendo), 13.82 s (bajando), 19.14 s (subiendo).
38. Un ave y un observador se desplazan en sentidos opuestos alejándose. El ave, que emite un sonido de
frecuencia 1000 Hz, vuela dirigiéndose hacia un acantilado con velocidad constante de 30 m/s. Determine la
velocidad del observador si la diferencia de frecuencias que percibe, entre la emitida directamente por el ave,
y la onda que le llega reflejada en el acantilado es de 167 Hz. Sol: 20.75 m/s.
39. Una onda transversal en un hilo tiene 𝑣𝑣 = 12 m/s y amplitud 𝐴𝐴 = 0,05 m con longitud de onda de 0.8 m.
Las ondas viajan en el sentido positivo de 𝑥𝑥 y en el momento inicial, el extremo 𝑥𝑥 = 0 tiene un
desplazamiento positivo de 0.01 y se mueve hacia abajo. Calcule: a) Función de onda asociada. b)
Desplazamiento transversal del punto 𝑥𝑥 = 0.25, para 0.1 s. c) Tres primeros tiempos para que la partícula en
𝑥𝑥 = 0.25 pase por la posición de equilibrio. Sol: y(t)=0.05·sen(2.5πx-30πt+2.94); 0.049 m; 0.0189 , 0.052 s,
0.085 s.
40. Una partícula vibra con una velocidad máxima de 2.199 m/s en la vertical del suelo. Cuando se ata a ella
una cuerda de 10 m, cuyo peso es de 4.9 N y que soporta una tensión de 10 N, el movimiento se propaga con
una longitud de onda de 2.02 m. Suponiendo que la partícula, en el instante inicial, se encuentra 2.5 cm por
encima de la posición de equilibrio y bajando, calcule: a) la ecuación del movimiento vibratorio en forma de
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿), b) demuestre que la ecuación anterior cumple con la condición de que la partícula
esté bajando, c) la ecuación de la onda generada en la forma 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑦𝑦0 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝛿𝛿), y d) los dos
primeros instantes de tiempo necesarios, mayores que cero, para que el punto en 𝑥𝑥 = 0 alcance su
aceleración máxima. Sol: y(t)=0.05·sen(14πt+5π/6); v(t=0)<0; y(x,t)=0.05·sen(14πt-3.11x+5π/6); 0.048 s,
0.119 s.
41. Un alumno se mueve a lo largo de un pasillo llevando un diapasón que vibra a 512 Hz. El sonido se refleja
en una pared del pasillo perpendicular a la dirección con la que avanza del alumno, de manera que éste
percibe una diferencia (en valor absoluto) entre la frecuencia emitida y la percibida de 4 Hz. Calcule la
velocidad con la que se desplaza el alumno si: a) se acerca a la pared, y b) se aleja de la pared. Sol: 1.322 m/s;
1.333 m/s.
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