Examen Parcial II Matemáticas Avanzadas de la Física Semestre 2015I Profs.: Lucía Medina Gómez [email protected] Ricardo Mendez Fragoso [email protected] Ayudante: Jimmy Hernández Morales [email protected] Fecha de entrega Lunes 27 de octubre 1) Demostrar que 𝐽! 𝑥 y 𝐽!! 𝑥 son ortogonales, donde 𝐽! 𝑥 se refiere a la ! ! función Bessel de primer tipo. 2) La superficie de un esfera conductora hueca de radio interno a está dividida en un número par de segmentos iguales y distribuidos alrededor de la superficie en un ángulo α (los segmentos parece como los meridianos de la superficie de la Tierra), donde el eje z es la línea de intersección común para todos ellos. Los segmentos tienen un potencial fijo y alternante de ±𝑉! . a) Representar el potencial dentro de la esfera para el caso general de 2n segmentos, como una serie, y calcular los coeficientes de la serie y determinar cuales de ellos son cero. Para los términos distintos de cero mostrar los coeficientes como una integral sobre 𝑐𝑜𝑠𝜗. b) Para el caso especial de n=1 (dos hemisferios) determinar explícitamente el potencial desarrollando la serie hasta ℓ𝓁 = 3 (ℓ𝓁 se refiere al grado del Polinomio de Legendre). 3) Una partícula de masa m está contenida en un cilindro de radio R y altura H. La partícula está descrita por la función de onda que satisface la ecuación de onda de Schrödinger ℏ ! − ∇ 𝜓 𝜌, 𝜑, 𝑧 = 𝐸𝜓 𝜌, 𝜑, 𝑧 2𝑚 Donde la función de onda tiende a cero sobre la superficie del cilindro. Encontrar a energía mas baja permitida (punto cero). 4) Una partícula de masa m bajo la influencia de un potencial 𝑉 𝑥 , se puede describir mediante la ecuación unidimensional independiente del tiempo de Schrödinger dada por ℏ ! − ∇ 𝜓 𝑥 + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥 2𝑚 Resolver la ecuación de onda para el caso 𝑉 𝑥 = 𝑘𝑥 ! . (Hacer el cambio de ! variable 𝜉 = !" ! ℏ! ! 𝑥= !! ! ℏ ! 𝑥 y 𝜀 = ℏ!).