SEGUNDO EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II FILA A
04/12/2015
SEGUNDO EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II
Ejercicio 1º. (2,5 puntos) Considera la función polinómica f : R R
3
FILA A
que viene dada por la expresión:
2
f (x ) ax bx cx d
Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un extremo local en el punto de abscisa x = 0, que
(1, 0) es punto de inflexión de la gráfica de y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es -3.
SOLUC:
a = 1 b = -3 c = 0
d=2
Ejercicio 2º.- Sea la función f : R R definida por f ( x ) x 2 | x |
a) (1 punto) Estudia la derivabilidad de f y calcula su función derivada.
b) (1 punto) Determina los intervalos de monotonía de f y calcula los extremos relativos de f
(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)
c) (0,5 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f.
SOLUC:
a) La función es derivable en R – {0}
b) Crece: (-1/2, 0) U (1/2, ∞)
Su función derivada es
2x 1 si x 0
f ' (x)
2x 1 si x 0
Decrece: (-∞, -1/2) U (0, 1/2). MÁXIMO relativo: (0, 0) mínimos en: (-1/2, -1/4) y (1/2, -1/4)
Ejercicio 3º.- (2,5 puntos)
Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de
la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor
volumen posible.
SOLUC: Función a optimiza: volumen de la caja V ( x ) 60 x 2 4 x3 siendo x la longitud de uno de los lados de la base
Las dimensiones de la caja son: 10 cm x 10 cm x 20 cm
Ejercicio 4º.- (2,5 puntos) Determina a y b sabiendo que b > 0 y que la función f : R R
definida
como:
a cos( x ) 2 x
b
f ( x) 2
a Ln ( x 1)
x 1
si
x0
si
x0
es derivable.
SOLUC:
a=b=2
2
Ejercicio 5º.- Sea la función f : ( 0 , ) R
definida por: f ( x ) ln( x 3 x )
a) (1,5 puntos) Determina, si existen, el punto o los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la
gráfica es paralela a la recta de ecuación x – 2y + 1 = 0.
b) (1 punto) Halla la ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (perpendicular) a la gráfica de f en
el punto de abscisa x = 3.
SOLUC: a) Existe sólo un punto y es (3, lu18)
b) Recta tangente: y 1 x 3 ln 18
2
2
Recta normal: y 2 x 6 ln 8
04/12/2015
SEGUNDO EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II
Ejercicio 1º.-
Sea la función d definida por f ( x )
FILA B
ex
para x ≠ 1
x 1
a) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas de f.
b) (1 punto) Estudia y calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos
relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de la función f.
c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f.
SOLUC: a) AV: Hay una x = 1
AH: Hay una por la izquierda y = 1 (el eje de abscisas)
b) Crece: (2, ω) Decrece: (-ω, 1) U (1, 2). Hay un mínimo en (2, e2)
AO: No hay
Ejercicio 2º.- (2,5 puntos) Halla los valores a, b y c sabiendo que la gráfica de la función:
ax 2 b
f ( x)
xc
tiene una asíntota vertical en x = 1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de
abscisa x = 3.
SOLUC:
a=2 b=6
Ejercicio 3º.-
Sea la función continua f : R R definida por:
x 2 k
f ( x) e x 1
x 2
si
x 0
si
x 0
a) (1,25 puntos) Determina el valor de la constante k.
b) (1,25 puntos) Halla la ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (perpendicular) a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
SOLUC: a) k = 1
b) Recta tangente: y = 2x – 3 + e
Recta normal: y 1 x 1 e
2
2
ax 2 bx 1 cos(x )
es finito y vale uno, calcula los
x 0
sen (x 2 )
Ejercicio 4º.- (2,5 puntos) Sabiendo que lim
valores de a y b.
SOLUC:
a = 1/2 b = 0
Ejercicio 5º.- (2,5 puntos) Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El
terreno debe tener 180 000 m2 para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el
terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita
vallado?
SOLUC: Función a optimiza: longitud de la valla que rodea el terreno
L( x ) x
360000 siendo x la longitud del lado del terreno paralelo al
x
río
Las dimensiones del terreno son: 600 m el lado paralelo al río y 300 m el lado perpendicular al río
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