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25 EJERCICIOS de RADICALES
4º ESO opc. B
RECORDAR:
• Definición de raíz n-ésima:
Consecuencia:
n
x
n
=x
a = x ⇔ xn = a
n
, y también
( x)
n
n
=x
• Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario:
• Simplificación de radicales/índice común:
• Propiedades de las raíces:
n
x m ⋅p =
n
x m = x m/n
xm
a · n b = n a·b
a na
=
b nb
n
( a)
n
mn
• Introducir/extraer factores:
n ⋅p
n
m
= n am
a = m·n a
x· n a = n x n ·a
Definición de raíz:
1.
Calcular mentalmente, sin usar calculadora:
9 =
0 =
0,25 =
5
2.
24
=
25 =
49 =
1
1
=
4
=
1=
16
=
4
9
25
100
0,09 =
0,0081 =
0,49 =
7
2
10
=
9
-10
6
=
=
=
Calcular mentalmente, sin usar calculadora:
3
38 =
3
3 64 =
27 =
3 1000 =
3
3- 8
-1 =
31 =
8
3 0,125 =
3.
100 =
3 1 =
125
3 0,027 =
3 1331 =
- 27 =
3 - 1000 =
3 - 64 =
125
3 0,001 =
3 64 =
1000
3 - 0,216 =
Calcular, aplicando la definición de raíz (no vale con calculadora), indicando el porqué (véase el ejemplo):
a)
3
− 8 = −2 pq ( −2) 3 = −8
b)
−8 =
c)
6
−1 =
Texto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. B
ALFONSO GONZÁLEZ
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
d)
5
− 32 =
e)
g)
6
26 =
h)
81
=
16
k)
⌢
0,1 =
n)
j)
−
4
m)
4.
4
5
81 =
f)
625
=
81
i)
3
27
=
64
315 =
l)
3
0,064 =
2,25 =
o)
52 =
⌢
2,7 =
Hallar el valor de k en cada caso:
a)
3
k =2
(Soluc: k=8)
b)
k
− 243 = −3
(Soluc: k=5)
c)
5
k =
d)
k
1,331 = 1,1
2
3
(Soluc: k=32/243)
(Soluc: k=3)
Potencias de exponente fraccionario:
5.
er
Utilizar la calculadora para hallar, con tres cifras decimales bien aproximadas (véase el 1 ejemplo):
a)
4
8 ≅ 1,682
b)
e)
5
− 15
f)
52
j)
i)
6
9
c)
6
25
d)
3
10
6
− 40
g)
4
23
h)
5
32
8
256
k)
3
64
5
6.
Hallar
7.
Calcular las siguientes potencias de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado (en
ambos casos no vale utilizar la calculadora):
3
3 con cuatro cifras decimales bien aproximadas, razonando el error cometido.
− Pasando a forma de raíz.
− Reemplazando la base por su descomposición en factores primos. (Véase el 1 ejemplo)
er
a) 4 1/ 2 =
1/4
c) 625
5/6
e) 64
=
=
( )
4 = 2 , o bien 41/ 2 = 22
1/ 2
=2
1/3
b) 125
2/3
d) 8
=
3/4
f) 81
=
=
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-2/3
g) 8
-1/3
=
h) 27
=
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 13: 11 (pasar a raíz); pág. 13: 10; pág. 23: 51 (pasar a potencia de exponente
fraccionario)
Radicales equivalentes. Simplificación de radicales:
8.
Simplificar los siguientes radicales, y comprobar el resultado con la calculadora cuando proceda (véase el 1
er
ejemplo):
a)
4
32 =
e)
6
8 =
i)
12
m)
q)
9.
32/2 = 3
8
b)
5
4
=
c)
9
27 =
d)
5
8
81 =
h)
12
4
x
15
2
f)
9
64 =
g)
=
j)
5
x
10
=
k)
a 4b 6 =
n)
3
=
o)
x 4 y8z4 =
r)
x
10
12
4/2
8
6
8
5
(x y )
2
2
2
=
9
=
l)
12
=
p)
6
1024 =
x
9
=
a 2b 4 =
10
a
8
=
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 13: 12; pág. 23: 47
Decir si los siguientes radicales son equivalentes (y comprobar después con la calculadora):
a)
5,
4
25 ,
b)
9,
3
27 ,
c)
2,
4
4,
6
6
125 ,
4
49 ,
5
8
625
243
8 , 8 16
(Soluc: SÍ)
(Soluc: NO)
(Soluc: SÍ)
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 13: 13; pág. 23: 46
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10. Reducir los siguientes radicales a índice común y ordenarlos de menor a mayor (y comprobar
el
resultado
con la calculadora):
b)
23 ,
15
72
5 , 5 73 ,
15
32
5,
a)
3
5
(Sol :
 Sol : 15 3 2 < 3 5 < 5 7 3 




f)
c)
4
d)
3 , 6 16 ,
15
(Sol :
2 , 3 32 , 5 27
2,
3
3,
4
16 , 4 125 ,
6
243
6 <55 <44 = 2 <33
(Sol :
6
243 < 3 16 < 4 125
)
)
9
2 < 5 27 < 3 32
4,
5
5,
6
3
13
g)
4
31 y
h)
3
51 y 9 132650
)
i)
e)
3
6
3
− 10 y
4
8
(Sol :
3
-10 < 4 8
)
6
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 14: 16; pág. 23: 45
Operaciones con radicales:
11. Multiplicar los siguientes radicales de igual índice, y simplificar cuando sea posible (véase el 1er ejemplo):
a)
2 32 = 64 = 8
b)
2
15 =
c)
d)
3
3
2
3
9 =
8 =
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
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e)
f)
4 =
3
3
5 =
3
2
l)
m)  3 x 2 + 3 x + 1


12
6
h)
21
7 =
(Sol : 72 )
k)
7
)
x −1 =
n)  3 x 2 + 3 a

3
2
x + 3 a 

(
3
)
x −3a =
(Sol : 2 )
4 =
4
3
(Sol : x -1)
i) 4 3 · 2 27 =
2
(
50 =
g)
j)
137 =
137
(Sol : x - a )
7 =
12. Multiplicar
los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común, y simplificar
er
(véase el 1 ejemplo):
2 3 32 = 2
a)
3
2
4
8 =
c)
3
2
5
2 =
d)
3
9
6
3 =
e)
3
2
2
4
2 =
f)
4
a
3
6
a
6
210 = 6 213
(Sol :
=
5
8
3
4
10
7
5
49 =
)
243
)
)
(Sol :
12
a19
)
2 13 3 6
)
2 17 a18
)
(Sol :
4
28
15
2 11
a3 =
h)
12
12
(Sol : 7 )
13. Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el 1er ejemplo):
a)
32
2
=
32
= 16 = 4
2
)
12
(Sol :
2
6
213
(Sol :
8 =
3
4
12
(Sol :
g)
i)
25 = 6 23
(Sol :
b)
3
3
b)
8
=
2
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3
81
c)
3
=
(Sol : 1/ 2 )
=
154
m)
3
+ 23
-
144
4
9
3
e)
8
32
9
15
d)
2
l)
=
=
9
=
4
3
f)
16
3
(Sol : -5/3 )
=
2
n)
g)
256
(Sol : 16/27)
=
2
 3   3 3
−  + 
 2  2

 




2
=
729
33
h)
(Sol : 11 )
=
3
21
i)
(Sol :
=
3 /2
(Sol : 3 )
)
o)
2 7
1
2
125
j)
5
25 −
2
25 −
25
2
25
=
2
=
3
−4
512
k)
16
(Sol : 3 )
=
4
625
14. ¿Cómo podríamos comprobar rápidamente que
2 6
6 2
=
3 ? (no vale calculadora)
3
(Sol: multiplicando en cruz)
15. Operar
los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común (véase el 1
er
ejemplo):
8
a)
4
2
3
9
6
3
b)
2
c)
3
32
4
4
6
8
d)
23
=
4
=
=
=
2
=
4
4
26
2
= 4 25
(Sol :

 Sol :

3
)


27 
1
6
(Sol : 1)
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3
e)
72
(Sol : 6 7 )
=
7
9
f)
g)
(Sol : 3 9 )
=
3
3
5
16
=
(Sol : 10 8 )
=
(Sol : 6 ab )
2
ab
h)
3
ab
4
abc
i)
3 5
3
ab c
6
a3
3
a
2
3
4
j)
k)
6
4
3
m)
3
3
6
4

 Sol :


=
5· 125
25
(Sol :
=
2 ⋅ 3 ⋅ 12 2
18
4 · 3·12 2
2
54 · 12 27
12
q)
3
2
4
p)
(Sol : 6 )
=
8
12
o)
6
12
4
4
n)
(Sol : 1 a )
=
3
8
l)
a 

 Sol : 4

bc 5 

=
3
4 · 4 12
6
2 2
abc
625
=
(Sol :
6
3
)
6)
6
)
3 2
)
ab 2 c 3
)
(Sol :
=
abc 2 ⋅ 12 a3b5c 2
3
(Sol :
=
5
2
(Sol :
=




1
8
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 15: 18
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16. Simplificar (véanse los dos ejemplos):
a)
(a)
b)
( ab )
c)
( x)
d)
( 2)
( 2)
3
2
6
6
= 3 a12 = a12 / 3 = a 4
2
3
4
3
2
x 11
)
=
(Sol :
6
32
)
(Sol :
12
213
)
(Sol :
12
2 23
)
4
2
3
4
=
3
( 2) ( 2)
3
4
3
2
=
5
2
(
2
)
6
4
h)
ab 2
(Sol :
( 3)
( 3) ( 3)
g)
3
⋅3 x =
4
f)
(Sol :
=
( 2)
( 2)
2
e)
3
4
3
2
4

 Sol :


=
4
)
3
1
12
(Sol :
=
3
4
13
213




)
=42 = 2 = 8
6
6
i)
2
j)
12 =
k)
2
3
(Sol : 4 12 )
8




2 =

l)
3 4
x5x7 =
m)
3 4
x15 =
( Sol : 2 )
( Sol : x )
(Sol :
(Sol :
7
n)
3


o)


p)
( 2)
7
3

8 x  =

3
5 

8
5
( 5)
4
−8
3
4
(Sol :
=
( 2)
6
+ 24
( 2)
4
− 32
( 2)
2
+ 16 =
12
x5
)
2x
)
5 19
)
(Sol : 0 )
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( x)
q)
 3

r)
3
x 

4
( 2 ) ·( 8 )
( 4)
4
3
( )
3
12
2 35
)
(Sol : a 2 )
( 27 ) · 9 =
81·( 3 )
(Sol : 9 )
a2 · a3
( a) ·
3 3
a
3
4
3
3
3
u)
=
2
=
s)
t)
(Sol :
3
4
3
3
( Sol : x )
=
6
3
5
(Sol : 9 )
=
3
15
27
17. Introducir convenientemente factores y simplificar (véase el 1er ejemplo):
a)
2 2=
b)
2 3=
c)
2
2 2 ·2 =
3
3 2=
e)
3
2
=
(Sol :
=
(Sol :
27
f)
3
g)
6
3
12
4
3
i)
ab
)
15
)
5=
c
ab
j)
2/3
3=
5
h)
8
(Sol : 6 )
=
2
d)
23 =
3
=

 Sol :

ac 

b 
3 7=
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k)
3c
2a
(Sol :
=
2a
6ac
(Sol :
4
)
)
l)
x x =
m)
2· 3 2 =
n)
2 2 2 =
(Sol :
8
27
)
o)
33 3 3 =
(Sol :
4
27
)
p)
2· 2 · 4 2 =
3
q)
(Sol :
3
4)
(Sol : 2 )
2 2· 2 =
(Sol :
r)
x3
2
)
3



3

4 2 2 =

(Sol : 4 )
3 33 3
s)
3
3 =
(Sol
: 3)
2
t)
3

3
 3 3 3 =


(Sol :
3
u)
3
81
( 3)
18
313
)
3
3
3 3
=
9
(Sol : 9 )
3
3
2 2
v)
23 2 2
16
4
=
8
(Sol :
w)
(
)
2
)
3
3
2
2 2
4
2
2
=
(Sol : 2 )
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EJERCICIOS de RAÍCES 4º ESO opc. B
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I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
x)
x 3 y
=
y
x
4
(Sol :
−2000
3
y)
6
)
x/y
=
3 2
(Sol : -10 )
z)
(ab)
3
2
a
(
3
a b
3 3
3
=
3
 Sol : 12


)
=
3
( 5)
3
6
311
)
2
3
125
5



3
(Sol :
β)
7
b
8
a
α)
3
2
=
25
 Sol : 3 5 4 


γ)
ab 8ab 4a 2b 2 =
=
3
3
a
·
a
( )
3
3
a
3
·
2
a
δ)
(Sol : 2ab)
 Sol : 3 a13 




ε)
(
125
)
3
5 5 · 3 25
=
 Sol : 12 5 41 




ζ)
2 32
4 2
( 2)
8
2
=
 Sol : 24 2 25 




Texto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
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ALFONSO GONZÁLEZ
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 14: 15; pág. 23: 48 (sencillos); pág. 15: 19; pág. 23: 50 (más elaborados)
18. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene el mismo resultado:
− Operando, teniendo en cuenta las propiedades de las raíces (Resultado como un único radical).
− Pasando a potencia de exponente fraccionario, y aplicando a continuación las propiedades de las
potencias.
a)
1
242 =
2
 Sol : 1 
4

2 
3
b)
a2
=
a a

 Sol :

3
c)



a7
)
a
a2 a3
=
a2
a
(Sol :
d)
5
1
6
6
23 2 2 =
(Sol : 4 8 )
19. Extraer factores, y simplificar cuando proceda (véase el 1er ejemplo):
a)
8 = 23 =
22 2 = 2 2
b)
18 =
g) 128 =
c)
98 =
h)
162 =
d)
32 =
i)
200 =
e)
60 =
j)
12 =
f)
72 =
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k)
27 =
l)
48 =
β)
2 ab
=
 Sol : 8b6


75 =
m)
11 2 19
3
3
4a 2 b 

(Sol : 2 2 )
γ)
5
64 =
δ)
3
16x =
5
n) 108 =
o)
4
3
5
3 5 =
(Sol : 15
p)
6
4
3
75
)
28x
ε)
5
=
75y 3
80 =
2

 Sol : 2x

5y

(Sol : 2 5 )
4
3
q)
11 132
ζ)
2592 =
132
(Sol : 6
r)
5
3
12
7x
3y




=
)
(Sol :
33 / 6
)
(Sol :
11 / 11
279936 =
396
η)
(Sol : 66636 )=
(Sol : 4 2 )
10
s) 
2  =


t)
5
3
3a 2
ϑ)
500 =
)
a


3
 Sol :
2


=
4
(Sol : 5 4 )
3
11 132
ι)
u)
3
(Sol : 2x1324x )
4
3
32x =
(Sol : 44 )
v)
1936 =
w)
3,24 =
x)
529 =
(Sol : 23 )
y)
676 =
(Sol : 26 )
z)
3
2
3
(Sol :
3 /6
)
(Sol : 5
5 /2
(Sol : 1,825
)
κ) 25 +
=
4
λ)
7
)
12 · 3 · 50 =
128a b =
 Sol : 4b 2

α)
=
3
(Sol : 30 2 )
2a 2 b 

µ) 5
3 5
81a b c =
(Sol : 3ab
3
3b 2 c
)
3
3
2
3
4
=
81
5

 Sol :
3

3

2

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36 + 27
2
ν)
2
=
(Sol : 45 )
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 14: 14; pág. 23: 49 y 52 a, b,
c, d, e, h
20. Sumar los siguientes radicales, reduciéndolos previamente a radicales semejantes (véase el 1er ejemplo):
a)
2 + 8 + 18 - 32 = 2 + 23 + 3 2 2 - 25 = 2 + 2 2 + 3 2 - 22 2 = 2 + 2 2 + 3 2 - 4 2 = 2 2
FACTORIZAMOS
RADICANDOS
b)
5 +
c)
24 − 5 6 + 486 =
d)
3
45 + 180 −
g)
(Soluc: 6 6 )
(Soluc: - 3 2 )
54 − 2 3 16 =
(Soluc: - 6 3 )
(Soluc: 3 3 + 5 )
75 − 20 − 12 + 45 =
2 2 +
( 2)
4
3
+ 2 ·
4
2−48 =
h) 2 8 + 5 72 − 7 18 −
i) 5 2 + 3 2 − 2 3
50 =
6 =
j) 5 6 256 − 2 3 16 − 3 128 =
k)
SUMAMOS
RADICALES
SEMEJANTES
(Soluc: 6 5 )
80 =
e) 27 3 − 5 27 − 9 12 =
f)
EXTRAEMOS
FACTORES
32 + 2 3 − 8 + 2 − 2 12 =
(Soluc: 2 4 8 )
(Soluc: 8 2 )
(Soluc: 2 2 )
(Soluc: 2
3
2 )
(Soluc: 3 2 - 2 3 )
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l) 3 24 − 1 54 + 150 =
(Soluc: 10 6 )
3
m) 5 2 + 4 8 + 3 1 8 + 2 3 2 +
n)
20 −
1
5 +
45 =
5
o) 2 108 − 75 − 27 − 12 − 3 =
p) 128 + 5 12 − 2 18 − 3 27 − 2 =
1
q) 2 6 +
24 −
4
r)
54 =
=
4
s)
2
18
+
3
t)
1
2
u)
=
75
+3
1
− 4 12 =
16
v)
5
12
w)
−
(Soluc: 24 5 )
5
(Soluc:
(Soluc:
3 )
2+ 3 )
(Soluc: 6 )
10
(Soluc: 5 5 )
2
(Soluc: 8 2 )
5
3
(Soluc: 5 1 )
2 2
=
8
3
(Soluc: 35 2 )
2
45
5 +
1
50 =
=
6
50a − 18a =
x) 5 3 + 27 − 4 3 − 300 =
4
(Soluc: − 31 3 )
4
(Soluc: − 1 5 )
2 3
(Soluc: 2 2a )
(Soluc: − 17 3 )
2
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y)
3 −
2 27
+
5 243
3
z) 6
6
4−
1
3
(Soluc: 4 3 )
=
9
3
16 − 3
9
8 +5
3
2
=
27
(Soluc: 4
α) 2
4
2 8
− 4 +2
81
4
3
5
+ 2 3 81 − 6 9 −
64
4
3
2 )
4
2 )
32 =
(Soluc: 11
3
β)
3
3
3=
(Soluc: 4 3 3 )
γ) 2 3 16 + 2 3 2 − 2 3 128 + 3 2 =
3
3
27
(Soluc:
3
2 )
δ) 3 3 40 − 3 3 5 + 5 3 320 − 3 3 1080 + 3 135 =
2
2
2
2
8
(Soluc: 4
3
5 )
(Soluc: 2
3
3 )
ε) 1 3 81 − 3 3 + 3 24 − 3 3 =
2
ζ)
8
9x + 9 − 4x + 4 =
η) a a −
a3
=
(Soluc:
x +1 )
(Soluc: 2a a )
3
3
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 15: 17; pág. 23: 52 f, g
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RECORDAR LAS IGUALDADES NOTABLES:
(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
(A − B) 2 = A 2 − 2AB + B 2
(A + B)(A − B) = A 2 − B 2
21. Calcular, dando el resultado lo más simplificado posible (véanse los ejemplos):
a) 2 2
(
)
2
=
(Soluc: 8)
(
)
2
=
(Soluc: 45)
b) 3 5
c)
(5 + 3 )
(
d) 1 + 2
)
2
2
= 52 + 2·5· 3 +
( 3)
2
= 25+10 3 +3 = 28+10 3
(Soluc: 3 + 2 2 )
=
e)
(
2+ 3
)
2
=
(Soluc: 5 + 2 6 )
f)
(
3− 2
)
2
=
(Soluc: 5 − 2 6 )
g)
(
2 +1
h)
(
3+ 2
i)
( 2 + 3 ) (3 − 3 ) = 2·3 − 2
j)
(1 + 2 )(1 − 8 ) =
(
)(
)
2 −1 =
)(
(Soluc: 1)
)
3− 2 =
)(
(Soluc: 1)
3 +3 3 − 3
3 = 6 − 2 3 +3 3 − 3 = 3+ 3
(Soluc: −3 − 2 )
)
k) 2 − 3 1 + 12 =
(Soluc: −4 + 3 3 )
l) 2 3 ⋅ 3 2 =
(Soluc: 6 6 )
m) 2 8 ⋅ 8 2 =
(Soluc: 64)
n) 3 6 ⋅ 2 3 =
(Soluc: 18 2 )
o) 2 15 ⋅ 3 15 =
(Soluc: 90 )
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(
p) 5 3
)
2
(
(Soluc: 75)
)
2
=
(Soluc: 28 + 10 3 )
(5 − 3 )
2
=
(Soluc: 28 − 10 3 )
q) 5 + 3
r)
=
(
)(
)
t)
(
5+ 3
)
2
=
(Soluc: 8 + 2 15 )
u)
(
5− 3
)
2
=
(Soluc: 8 − 2 15 )
(
)
=
(Soluc: 37 + 20 3 )
s) 5 + 3 5 − 3 =
v) 2 3 + 5
2
(
)
(
)(
w) 3 2 + 2 3
2
(Soluc: 22)
(Soluc: 30 + 12 6 )
=
)
x) 2 3 + 3 2 2 3 − 3 2 =
y)
2
(
(
)
(Soluc: 2 − 4 2 )
3=
(Soluc: 2 3 − 3 )
2−4 =
z) 2 − 3
)
(
(Soluc: − 6)
)(
)
α) 3 2 + 2 2 3 − 6 =
(Soluc: 4 6 − 2 3 )
(
β) 2 5 − 5
γ)
(
)
5=
2 −3 3
)(
(Soluc: 10 − 5 5 )
)
2+5 3 =
(Soluc: −43 + 2 6 )
δ)
(3
2 −4
ε) 2 35
(
)
2
=
(Soluc: 34 - 24 2 )
35 =
)(
(Soluc: 70 )
)
ζ) 2 8 + 3 2 3 8 − 2 2 =
(Soluc: 56)
(
)(
)
η) 2 5 − 5 2 2 5 + 5 2 =
(Soluc: − 30)
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(
)(
)
θ) 2 5 − 5 2 3 2 + 2 =
(Soluc: −30 + 6 10 + 4 5 − 10 2 )
ι)
(2
)(
)
27 − 3 1 + 3 =
(
)(
+
3
3
5
1
(Soluc:
)
)
κ) 3 8 − 4 2 2 2 − 5 8 =
(Soluc: − 32)
λ)
(
) +(
2
6+ 5
6− 5
)
2
=
(Soluc: 22)
µ)
(
) (
2
6 + 5
6 − 5
)
2
=
(Soluc: 1)
ν)
(
7+ 3
) (5 −
)
2
(
21 =
)(
)
ξ) 3 8 + 2 2 2 8 − 3 2 =
(Soluc: 16)
(
ο) 2 3 − 3 2
π)
(
)
2
2+ 3− 5
=
)(
(Soluc: 30 − 12 6 )
)
3− 2 =
2


ρ)  5 − 1  =


2


Racionalización:
22. Racionalizar denominadores, y simplificar (véase el 1er ejemplo):
a)
2
=
3
b)
1
5
2 3
3 3
=
=
2 3
3
(Soluc:
5 )
5
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(Soluc:
=
36
5
5
c)
)
2 3
5
d)
=
(Soluc:
5 )
3
(Soluc:
6 )
3
(Soluc:
6 )
2
3 5
e)
2
=
3
f)
3
=
2
g) 2 − 2 =
(Soluc: 2 7 − 14 )
7
7
1
2
h) 2 + 2 =
+
(Soluc:
)
2
i)
4
(Soluc: 2 6 )
=
3
6
j)
1
27
k)
=
3
=
(Soluc:
3 )
9
(Soluc:
3)
2
2 3
l) 12 =
8
(Soluc: 3 2 )
m) 2 − 4 =
(Soluc: 1 − 2 2 )
n) 15 3 =
(Soluc: 3 15 )
2
3 2
2 5
o)
3 +3
2 3
=
3
3
(Soluc: 1 + 3 )
2
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p) −2 7 =
(Soluc: − 14 )
7
7 2
11
q)
(Soluc:
=
12
33 )
6
3


r)  1  =


(
)
2
s) 1 +
t)
2)
4
(Soluc:
2 
2 +1
2
(
1− 1− 2
)
(Soluc: 2 + 2 2 )
2
=
(Soluc: 2 − 2 )
2
81 +
81
4
u)
9)
2
(Soluc:
=
5
2
v)
2
−
5
=
(Soluc: 8 5 )
25
125
3


w)  1  =


(Soluc:
3 
15
x)
2




y)
15 

2 
5+ 5
10
z) 2 6 =
6 2
=
3
=
(Soluc:
3 )
9
30
)
15
(Soluc:
50 + 10 5 )
10
(Soluc:
3)
3
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α) 3 10 =
15 )
5
(Soluc:
5 6
=
(Soluc:
x
2 x
32
x
x+
β)
)
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 23: 53
23. Racionalizar denominadores, y simplificar (veáse el 1er ejemplo):
3
1
a)
3
=
3
2
3
b)
5
6
2
2
3
22
2
3
3
=
4
2
5
=
(Soluc:
27 )
=
(Soluc: 4 2 )
8
10
d)
4
3
5
5
128
5
=
(Soluc: 5 5 8 )
2
3
5
15
3
(Soluc:
=
9
10
15
=
243
=
)
2
27
5
3
h)
5
5
(Soluc:
3
g)
5
15
5 )
=
5
10
f)
4
3
125
3
5
(Soluc: 2
=
25
e)
i)
3
3
=
9
8
c)
2
22
(Soluc:
39
15
)
3 11 )
6
(Soluc: 5 6 15 )
15
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3
j)
5
2
k)
5
(Soluc:
=
3
3
4
10
8)
243 )
6
(Soluc:
=
2)
64
x
x
+
3
x
2
(Soluc:
=
x +3 x )
(Soluc:
=
5
a
a
6
2
a
2
6
·
2
a a
4 2
3
3
·
2
o)
)
3
66
33
6
9
1 2
1
3
(Soluc:
=
)
0
1
7
=
49
(Soluc:
7
5
3 )
3
x
q)
(Soluc:
=
4
m)
p)
10
2
l)
n)
(Soluc:
=
9
)
24. Racionalizar denominadores, y simplificar (véase el ejemplo):
( )(1 + 3 )
(1 − 3 )(1 + 3 )
a) 1 + 2 = 1 + 2
1− 3
b)
9
7 − 3
=
c) 4( 5 + 2) =
=
1+ 3 + 2 + 2 3
1−
( 3)
2
=
1+ 3 + 2 + 6
1− 3
=−
1+ 3 + 2 + 6
2
(Soluc: 9 7 + 9 3 )
4
4
(Soluc: 7 + 3 5 )
5 −1
Texto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital siempre y
cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del autor
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ALFONSO GONZÁLEZ
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d) 3( 7 + 1) =
(Soluc: 5 − 7 )
7 +2
e)
3 +1
3 −1
f)
1+ 2
2− 2
=
(Soluc: 2 + 3 )
=
(Soluc: 2 + 3 2 )
2
g) 5 − 7 3 =
(Soluc: − 13 + 6 3 )
1+ 3
h) 2 + 2 =
(Soluc:
2 )
1+ 2
i) 3 2 − 2 3 =
6+ 6
j)
7
7− 7
k)
3 + 2
l)
2 +1
3 2 −2
m)
(Soluc: 7 + 7 )
=
4
3
3 + 2
(Soluc: 4 2 − 3 3 )
5
5
6
=
6
(Soluc: 4 3 − 4 2 )
(Soluc: 4 + 5 2 )
7 14
=
=
(Soluc: 3 − 6 )
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7
=
(Soluc: 7 + 7 2 )
2 2
o) 2 3 − 5 =
3 −2
(Soluc: 4 + 3 )
n)
8 −2
p)
1+ 3
1− 3
q)
(Soluc: −2 − 3 )
=
5 +2 3
(Soluc: 16 + 5 15 )
17 17
=
2 5− 3
r) 3 2 − 4 =
3 2+4
(Soluc: 17 − 12 2 )
s) 2 8 − 3 2 =
2 8 +3 2
t)
4+3 2
2 2 +3
u)
12 − 5 3
2 3 −3
 2 + 8 

v) 
2− 2
5+ 3
(Soluc: 1/7)
=
(Soluc: 2 )
=
(Soluc: 2 + 3 3 )
2
=
(Soluc: 4 + 3 2 )
=
(Soluc: 4 + 15 )
x) 3 5 − 4 =
5 −2
(Soluc: 7 + 2 5 )
w)
5− 3
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y)
24 − 13 3
2 2
z)
(Soluc: −2 + 3 3 )
=
2 3 −3
(Soluc: 2 6 + 4 )
=
3 − 2
α) 4 − 6 =
(Soluc: 1 + 6 )
β) 2 − 8 =
2+ 2
(Soluc: 4 − 3 2 )
6 −2
δ)
ε)
ξ)
η)
9+4 3
(
3 4− 3
2+4
2− 2
(Soluc: 3 2 + 5 )
=
2 8 +3 2
17− 9 3
3 3 −5
)
39
2 8 −3 2
2 3 −3
+
(Soluc: 48 + 25 3 )
=
=
2 3 +3
θ)
)
(Soluc:
3
2
γ) − 3 − 1 =
1− 3
+
12
(Soluc: 1/7)
=
(Soluc: 7)
3
−
9
3
=
(Soluc: 2)
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ι)
3 2 −2
3 2 +2
+
6 12
=
(Soluc: 11/7)
7 6
Ejercicios libro ed. Editex: pág. 23: 54 (expresión binomial radical en el denom.); pág. 16: 20; pág. 23: 55 y 56 (los tres
casos)
25. ¿V o F? Razonar algebraicamente la respuesta:
a) 5/ + 3 = 1 + 3
5/
(Soluc: F)
b) 5/ + 3 = 3
5/
(Soluc: F)
c) 2 + 3 = 1 + 3
2
2
(Soluc: V)
d) 5/ + 2 + 3 = 1 + 2 + 3
5/
(Soluc: F)
e) 3 + 6 2 = 1 + 2 2
3
(Soluc: V)
f) 4 + 14 5 = 2 + 7 5
6
3
(Soluc: V)
g)
h)
(
2+ 3
)
2
=2+3 = 5
16 + 9 = 4 + 3 = 7
(Soluc: F)
(Soluc: F)
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