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Métodos Numéricos 2015
Ingenierı́a Electromecánica - Ingenierı́a Mecánica
Unidad No4 - Actividades de Aprendizaje
1. Para las funciones definidas por:
a) f(x) = ln(x) con x0 = 1, x1 = 1.1, x2 = 1.3, x3 = 1.4
b) f(x) = cos(x) con x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 1.0
c) f(x) = sen(ln(x)) con x0 = 2.0, x1 = 2.4, x2 = 2.6
1) Encuentre los polinomios de interpolación de Newton para las funciones anteriores, empleando los valores dados. Muestre paso a paso el desarrollo.
2) Construya los polinomios de interpolación de Lagrange. Muestre paso a paso el
desarrollo.
2.
a) Usando el método de interpolación de Lagrange encuentre el polinomio de segundo grado cuya gráfica contiene a los puntos (−2, 0), (0, 4) y (2, 0). Muestre el
procedimiento y grafique.
b) Usando el método de interpolación de Lagrange encuentre el polinomio de segundo
grado cuya gráfica contiene a los puntos (−4, −12), (−2, 0), (0, 4), (2, 0), (4, −4),
(6, 0) y (8, 12). Determine el grado del polinomio, grafique y compare con el polinomio de grado 2 del apartado anterior. Muestre paso a paso el procedimiento.
3.
a) Construya el polinomio de Taylor de grado n = 3 para aproximar a la función
f(x) = ex en x0 = 0. Grafique y determine el error de truncamiento.
b) Construya el polinomio de interpolación de Lagrange cuya gráfica contiene a los
puntos (x0 , y0) = (0, 1), (x1, y1) = (−0, 5 , e−0,5 ), (x2, y2) = (0,1, e0,1) y
(x3, y3) = (0,2, e0,2 ).
4. Considere la función dada por f(x) = x3
a) Encuentre el polinomio de Lagrange cuya gráfica contiene a los puntos (−1, f(−1)),
(0, f(0)), (1, f(1)) y (2, f(2)).
b) Encuentre el polinomio de Lagrange cuya gráfica contiene a los puntos (−2, −8),
(−1, −1), (0, 0), (1, 1) y (−2, −8).
c) ¿Qué grado tienen los polinomios en a) y b)? ¿Son iguales estos polinomios o no?
¿Cuántos puntos necesita para construir un polinomio de grado n?
5. Use integración numérica para resolver las siguientes integrales:
Z π
4
a)
e3xsen(2x) dx
0
3,5
b)
Z
1,6
c)
Z
1
d)
Z
3
1
x
√
dx
2
x −4
2x
dx
x2 − 4
x2e−x dx
0
1) Use la regla de Simpson 1/3
2) Use la regla de Simpson 3/8
Z 2
6. Calcule la integral
e2x sen(3x) dx
0
a) Usando la regla de Simpson 1/3 compuesta con n = 10 intervalos.
b) Usando la regla de Simpson 1/3 compuesta con n = 6 intervalos.
c) Calcule el error cometido en ambos casos. Muestre los cálculos con todos los detalles.
Z 2
7. Use la regla del trapecio para calcular numéricamente la integral
x2 dx
1
8.
a) Use la regla del Trapecio Múltiple para calcular la integral numérica
Z
10
ln(x) dx
1
usando 5 intervalos.
b) Obtenga la integral exacta y compare los resultados.
9.
a) Aplique la Regla de Simpson 1/3 para resolver la integral
Z
b
f(x) dx donde
a
f(x) = 0,2 + 25x − 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 para a = 0 y b = 0,8
b) Calcule la integral exacta y compare.
10.
a) Utilice la Regla de Simpson 1/3 con segmentos múltiples para n = 4 para resolver
la integral del ejercicio anterior.
b) Utilice la Regla de Simpson 1/3 con segmentos múltiples para n = 6 para resolver
la integral del ejercicio anterior.
c) Utilice la Regla de Simpson 3/8 para resolver la misma integral (n = 3).
d ) Utilice la Regla de Simpson 3/8 con segmentos múltiples para n = 6.
e) Compare los resultados con la integral exacta.
2
3
1
11. Si f(x) = (10 − x) 2 + 10 y su primitiva es F (x) = − (10 − x) 2 + 10x. Calcule la integral
3
numérica de f(x) sobre el intervalo [0, 10] usando:
a) Regla del Trapecio Múltiple con n = 10
b) Regla del Trapecio Múltiple con n = 5
c) Interpolación de Richardson para mejorar el resultado
2
d ) Compare los resultados de los tres item anteriores.
12. Use Extrapolación de Richarson para calcular las siguientes integrales. Use la Regla del
trapecio compuesta primero con 10 intervalos y luego con 5 intervalos intervalos. Muestre
paso a paso la aplicación del método y muestre los cálculos efectuados:
Z 1
a)
x2e−x dx
0
b)
Z
1,5
x2 ln(x) dx
1
13.
a) Use alguna combinación de métodos
numéricos para calcular la integral de la función
√
f(x) en el intervalo −4 6 x 6 2. Para su ayuda grafique la función.

1

 − x + 2 si −4 6 x 6 0
2
f(x) =

√

−x2 + 2 si 0 6 x 6 2
b) Obtenga la integral exacta para corroborar que los métodos numéricos fueron bien
aplicados.
14. Supongase que usted quiere calcular el área encerrada entre las curvas dadas por las
funciones: f1 (x) = 2x y f2 (x) = 0,5x2 entre los valores x0 = 0 y x1 = 4. ¿Existe algún
método numérico que le permita calcular el área en forma numérica? Si existe ¿Cuál es
ese método? ¿Cuál es el valor de la integral?
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