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Integracion numérica
• En el proceso de integración el valor de
1
MÉTODO DE NEWTON-COTES (método
trapezoidal o del trapecio)
DONDE:
NOTA:
h= 𝑋1 − 𝑋0
Ejemplo 1. Método trapezoidal
Resultados Integral
analítica
b) 47.5
c) 90
d) 1
Trabajo en clase hacer
inciso c y d
numéricamente y hacer
inciso b c y d
analiticamente
INCISO C
RESPUESTAS
Resultados
Integral
analítica
b) 47.5
c) 90
d) 1
PROBLEMA METODO DEL TRAPECIO. (TRABAJO EN CLASE)
Obtenga también el resultado
analítico de la integral
El gran error en el resultado
numérico es debido a que la
función es un polinomio de grado
5, el cual estamos aproximando
por un polinomio de grado 1
LA REGLA DEL TRAPECIO DE APLICACIÓN MULTIPLE
REGLA DEL TRAPECIO
MULTIPLE
h=
𝑏−𝑎
𝑛
Donde
Xi+1= Xi +h
PROBLEMA. REGLA DE TRAPECIO
MULTIPLE, trabajo en clase
. Con n igual a 2, (dos intervalos)
h=
Si se hace LA INTEGRAL ANALITICAMENTE se encuentra
• 𝐴 = 𝜋𝑟 2
Donde :
Xi+1= Xi +h
X0=0 ; X1=0.4
I=
ℎ
2
𝑏−𝑎
𝑛
𝑓 𝑋0 + 𝑓 𝑋1
+
ℎ
2
𝑓 𝑋1 + 𝑓 𝑋2 =
I=1.0688
; X2=0.8
0.4
0.4
(0.2+2.456)+ (2.456+0.232)
2
2
TRABAJO EN CLASE. EVALUE LA INTEGRAL ENTRE LOS
MISMO VALORES a y b, USANDO n=4, n=6 y n=8
Respuesta
n=4 ,
I= 1.4848;
n=6, I=1.5703 ; n=8, I=1.6008
TRABAJO EN CLASE/ TAREA
1.
TRAPECIO MULTIPLE
respuesta
N=2 I=12.269
N=4 I=12.386
PROGRAMA
OCTAVE/MATLAB PARA
TRAPECIO MULTIPLE
2
MÉTODO DE SIMPSON 1/3
EL NUMERO DE
INTERVALOS “n” DEBE
SER PAR, ES DECIR 2,4,6,
etc
EJEMPLO 2. METODO
DE SIMPSON
2
-2
Método de Simpson 1/3 de aplicación múltiple
EL NUMERO DE
INTERVALOS “n” DEBE
SER PAR, ES DECIR 2,4,6,
etc
TRABAJO EN CLASE
PARA 4 intervalos, n=4,
Respuesta
I=1.6234
tenemos de X0 a X4
PARA 2 intervalos, n=2,
tenemos de X0 a X2
PROGRAMA OCTAVE/MATLAB DE
METODO DE SIMPSON 1/3, PARA
CALCULAR INTEGRALES NUMERICA,
EL NUMERO DE INTERVALOS DEBE SER
PAR.
EL PROGRAMA COMPLETO VIENE EN
LA PAGINA como simpson.m
TRABAJO EN CLASE 2/ TAREA. MÉTODO DE SIMPSON 1/3
• Evalue las siguientes integrales usando el método de Simpson 1/3,
multiple con n=2,4,6.
• Hacer también la integral analítica
N=2, I=12.432 ; n=4,
I=12.425; n=6, I=12.425
N=2, I=2056 ; n=4,
I=2056; n=6, I=2056
En éste método usamos 4 puntos, es
decir tres intervalos MÍNIMO
TRABAJO EN CLASE /TAREA
Trapecio
analítica = 1104
N=1, I=5280
n=2, I=2634
n=4, I=1516.9
Simpson
N=2, I=1752
N=4, I=1144.5
Trapecio
Analítica = 98.427
n=4, I=112.26
Simpson
N=4, I=99.45
TAMBIEN ES CONOCIDO COMO
GAUSS-LEGENDRE (libro CHAPRA)
3
CUADRATURA DE
GAUSS PARA 2
PUNTOS
2/3
ENTONCES SE ELIGE
Cuadratura de
Gauss 2 puntos
z=
2𝑥−(𝑎+𝑏)
𝑏−𝑎
CUADRATURA DE GAUS PARA
MAS DE DOS PUNTOS
Cuadratura de Gauss
para “n” puntos
z=
EJEMPLO 3
2𝑥−(𝑎+𝑏)
𝑏−𝑎
despejando “x”
5
x= (𝑧 + 1)
2
EJEMPLO 4. CUADRATURA DE GAUSS
Integracion analítica
0.7213337
x=
2.3
2
𝑒
𝑒
− 2.3𝑧+0.7 2 /8
2.3𝑧+0.7
2
− 2.3𝑧+0.7 2 /8
dz
dzdz
𝑑𝑥 =
2.3
𝑑𝑧
2
1
−1
+
𝑒
− 2.3𝑧+0.7 2 /8
dz
1
−1
𝑒
− 2.3𝑧+0.7 2 /8
dz
EJEMPLO 5. CUADRATURA DE GAUSS (trabajo en clase)
ENCUENTRE TAMBIEN SU SOLUCIÓN ANALITICA
Trabajo en clase 1
• 1.- Evalue la integral de la función siguiente, usando el método de cuadratura
de Gauss para dos puntos. En los límites de 0 a 0.8. El resultado analítico de
la integral es 1.640533
RESULTADO
TAREA
TRABAJO/TAREA
n
2
3
4
5
6
Integral
1.5
3.1875
2.189781
2.671698
2.411356