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Asignatura : Análisis Numérico
Grupo : 6110
.::Tarea 1::.
Ejercicios Teóricos
1. Convertir los siguientes Números Binarios en forma decimal.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
11111110dos
1000000111dos
0.1010101dos
0.110110110dos
1.0110101dos
11.00100100001dos
2. Convertir los siguientes números decimales en forma binaria.
(a) 87
(b) 378
(c) 2388
3. Convertir los siguientes números decimales en fracciones binarias de la forma 0.d1 d2 d3 · · · dnBaseDos . Y si
fuese el caso, hacer las fracciones binarias periódicas si no fueran finitas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
7/16
13/16
23/32
75/128
1/10
1/3
1/7
1
1
+ 512
+ · · · y usar el
4. Probar que el desarrollo binario de 1/7 = 0.001dos , es equivalente a 17 = 18 + 64
Teorema de la Convergencia de una Serie Geométrica para justificar dicho desarrollo.
3
3
3
5. Probar que el desarrollo binario de 1/5 = 0.0011dos , es equivalente a 51 = 16
+ 256
+ 4096
+ · · · y usar el
Teorema de la Convergencia de una Serie Geométrica para justificar dicho desarrollo.
6. Tenemos un sistema de punto flotante F(2, 3, −1, 2), que significa un sistema binario, mantisa de 3 lugares
binarios y 4 exponentes (del -1 al 2). Pueden consultar el archivo SISNUM.pdf que envió la profesora.
(a) Mencionar el valor del underflow, el overflow, y la épsilon.
(b) ¿Cuántos flotantes hay?
(c) Graficar
7. Tenemos un sistema de punto flotante F(2, 4, −7, 8), que significa un sistema bianario,mantisa de 4 lugares
binarios y 16 exponentes (del -7 al 8). Pueden consultar el archivo SISNUM.pdf que envió la profesora.
(a) Mencionar el valor del underflow, el overflow, y la épsilon.
(b) ¿Cuántos flotantes hay?
8. En el sistema de punto flotante IEEE754 de doble precisión F(2, 52, −1023, 1024) . ¿Cuántos flotantes
hay?
Ayudante :
G. Aarón Espinosa Reyes
[email protected]
1
Profesora :
Claudia Durán
[email protected]
Asignatura : Análisis Numérico
Grupo : 6110
9. La diferencia entre x y f l(x) es llamada Error de Redondeo, el Error de Redondeo, depende del tamaño
de x. Si escribimos f l(x) = x(1 + δ) donde δ = δ(x) depende de x, demostrar que
(a) |δ| < 21 β 1−n ; en el caso del redondeo.
(b) −β 1−n < δ ≤ 0 ; en el caso del truncamiento.
En ambos casos, n es el número de dı́gitos en la mantisa.
10. La diferencia entre x y f l(x) es llamada Error de Redondeo, y el Máximo Error de Redondeo es denotado
por u.
Qr
Dado U = {1 + δ : |δ| ≤ u}, demuestra que: ∀(α1 α2 · · · αr−1 αr ) ∈ U r , ∃α ∈ U , tal que i=1 αi = αr
Z 1/4
Z 1/4 x3
x4
x2
2
+
dx = p̂
11. Completa el siguiente cálculo :
e dx ≈
1+x +
2!
3!
0
0
Por nuestros cursos de Cálculo, sabemos que ésta es una aproximación del término de la derecha, ambas
expresiones son números reales. Determina el tipo de error que se presenta en esta situación y compara
su resultado con el valor exacto p=0.2553074606
12. En cada uno de los siguientes casos, tenemos un número real y una estimación del mismo. Hallar el Error
Absoluto Ep , el Error Relativo Rp y determinar el número significtivo de cifras de la aproximación.
(a) p=2.71828182, p̂=2.7182
(b) q=98 350, q̂=98 000
(c) r=0.000068, r̂=0.000068
13. Considerando una aritmética de dı́gitos finitos...
(a) Consideremos los datos p1 = 1.414 y p2 = 0.09125 que vienen dados por una precisión de 4 cifras
significativas. Determinar el resultado adecuado en esta situación de la suma p1 + p2 y el producto
p1 p2 .
(b) Consideremos los datos p1 = 31.415 y p2 = 0.027182 que vienen dados por una precisión de 5 cifras
significativas. Determinar el resultado adecuado en esta situación de la suma p1 + p2 y el producto
p1 p2 .
Puedes basarte en el libro Burden.
14. La pérdida de cifras significativas se puede evitar a veces reordenando los términos de la función usando
una identidad concida del álgebra o la trigonometrı́a. Encuentra en cada uno de los siguientes casos, una
fórmula equivalente a la dada que evite la pérdida de cifras significativas
(a) ln(x + 1) − ln(x) para x ”grande”.
√
(b) x2 + 1 − x para x ”grande”.
(c) cos2 (x) − sen2 (x) para x ≈
q
1+cos(x)
(d)
para x≈ π
2
Ayudante :
G. Aarón Espinosa Reyes
[email protected]
π
4
2
Profesora :
Claudia Durán
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Asignatura : Análisis Numérico
Grupo : 6110
15. Evaluación Polinomial.
Sean
P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1
Q(x) = ((x − 3) + 3) − 1
R(x) = (x − 1)3
(a) Usando aritmética en punto flotante con cuatro cifras y redondeo, calcular P (2.72), Q(2.72) y R(2.72).
En el cálculo de P (x) suponer que (2.72)3 = 20.12 y (2.72)2 = 7.398
(b) Usando aritmética en punto flotante con cuatro cifras y redondeo, calcular P (0.975), Q(0.975) y
R(0.975).
En el cálculo de P (x) suponer que (0.975)3 = 0.9268 y (0.975)2 = 0.9506
16. Usando aritmética en punto flotante, con tres cifras y redondeo, calcular las siguientes sumas (sumando
en el orden que se indica).
P6
1
(a)
k=1 3k
(b)
P6
1
k=1 37−k
17. Discute la propagación de los errores en las siguientes operaciones.
(a) La suma de tres números : p + q + r = (p̂ + p ) + (q̂ + q ) + (r̂ + r )
(b) El cociente de dos números :
p
q
=
p̂+p
q̂+q
(c) El producto de tres números : pqr = (p̂ + p )(q̂ + q )(r̂ + r )
18. Dados los desarrollos de Taylor
1
2
3
4
1−h = 1 + h + h + h + o(h )
2
4
cos(h) = 1 − h2! + h4! + o(h4 )
Determina el orden de aproximación de su suma y su producto.
19. Dados los desarrollos de Taylor
3
4
2
eh = 1 + h + h2! + h3! + h4! + o(h5 )
3
sen(h) = h − h3! + o(h5 )
Determina el orden de aproximación de su suma y su producto.
20. La Fórmula mejorada para la Resolución de las Ecuaciones de Segundo Grado Supongamos que a 6= 0 y
que b2 − 4ac > 0 y consideremos la ecuación ax2 + bx + c = 0. Sus raı́ces pueden calcularse mediante la
conocida fórmula
√
√
b2 −4ac
b2 −4ac
(i) x1 = −b+ 2a
y x2 = −b− 2a
Pruebe que éstas raı́ces pueden calcularse mediante las fórmulas equivalentes
(ii)x1 = b+√−2c
y x2 = b−√−2c
b2√
−4ac
b2 −4ac
Cuando |b| ≈ b2 − 4ac hay que proceder con cuidado para evitar la pérdida de precisión por cancelación.
Si b > 0, entonces x1 deberı́a ser calculado usando (ii) y x2 deberı́a ser calculado usando (i); mientras que
si b < 0, entonces x1 deberı́a ser calculado usando (i) y x2 deberı́a ser calculado usando (ii).
21. Use la fórmula adecuada para calcular x1 y x2 , tal como se explica en el ejercicio anterior, para hallar las
raı́ces de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
(a) x2 − 1000.001x + 1 = 0
(b) x2 − 10000.0001x + 1 = 0
(c) x2 − 100000.00001x + 1 = 0
(d) x2 − 1000000.000001x + 1 = 0
Ayudante :
G. Aarón Espinosa Reyes
[email protected]
3
Profesora :
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Asignatura : Análisis Numérico
Grupo : 6110
Prácticas en Software
22. Programar en MatLab los programas que calculen
(a) El underflow
(b) El overflow
(c) La épsilon
(d) Mantisa del computador
23. Programar en MatLab los programas que calculen
(a) xn , n ∈ N
√
(b) x
(c) xm , 0 < m < 1
(d) sen x
(e) cos x
(f) arcsin x
(g) arccos x
(h) arctan x
(i) ln x
(j) ex
Deben hacerse con los algoritmos vistos en clase.
24. Programar en MatLab usando los resultados de los ejercicios 20 y 21, un algoritmo y un programa que
calcule las raı́ces de una ecuación
√ cuadrática en todas las situaciones posibles, incluyendo los casos problemáticos cuando en que |b| ≈ b2 − 4ac.
25. Programar en MatLab el cambio de bases (por ejemplo de base 2 a base 5) que se practicó en clase. El
dato de entrada podrı́a tener decimales.
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Bibliografı́a sugerida
Bibliografı́a Principal:
1. Análisis Numérico, Richard L. Burden, J. Douglas.
2. Métodos Numéricos con MatLab, John H. Mathews.
3. SISNUM.pdf enviado por la profesora Claudia (A. A. Olmos - CÁLCULO NUMÉRICO - Sistemas
Numéricos y Errores)
Bibliografı́a complementaria
4. Elementary Numerical Analysis , Samuel D.Conte .
5. Bibliografı́a sugerida por el alumno.
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5
Profesora :
Claudia Durán
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