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Apuntes de Álgebra Lineal
Tema 1
Los números complejos
1.1.
Operaciones aritméticas con números complejos
La unidad imaginaria
Los números complejos aparecieron históricamente cuando los matemáticos aceptaron la
posibilidad de realizar operaciones aritméticas en las que interviniese una raíz cuadrada de
un número negativo. Al principio esto fué aceptado con mucha cautela solamente en aquellos
casos en los que dicha raíz cuadrada acababa siendo elevada al cuadrado, recuperándose así un
número “real”.
Estas manipulaciones aritméticas “formales” se pueden justificar aceptando un número
“imaginario”, denotado i y llamado unidad imaginaria, caracterizado por la propiedad de que
su cuadrado es igual a −1:
i2 = −1.
(1.1)
La introducción de este número i tiene unas enormes consecuencias que, sin duda fueron
insospechadas al principio, pero lo que sí estuvo claro desde el principio es que el número i no
sólo nos permite
calcular la raíz cuadrada de todo número real (para todo número real positivo a
√
√
2
se tiene: − a = a −1 = ai) sino que además nos permite calcular las soluciones de cualquier
ecuación de segundo grado, pues la fórmula
√
−b ± b2 − 4ac
x=
(1.2)
2a
deja de tener excepciones. En otras palabras: Al introducir una raíz del polinomio p( x ) = x2 + 1
se están obteniendo automáticamente dos raíces (posiblemente coincidentes) para todos los polinomios de
segundo grado con coeficientes reales.
Primera definición de los números complejos
i3 = −i,
i4 = 1,
i5 = i,
...
(1.3)
Así pues, vemos que si se quiere evaluar cualquier función polinómica, p(t) = a0 + a1 t +
· · · + an tn , en t = i el resultado siempre será una expresión de la forma
p(i ) = x + yi
1
Versión de 16 de octubre de 2015, 19:21 h.
La simple regla (1.1), junto con las demás reglas de la aritmética (propiedades de las operaciones), nos permite deducir que la unidad imaginaria debe cumplir también:
1.1. Operaciones con números complejos
Tema 1. Los números complejos
donde x está determinado por los coeficientes de grado par (y claramente es igual a la suma
alternada x = a0 − a2 + a4 − · · · ) y donde y está determinado por los coeficientes de grado
impar (y es igual a la suma alternada y = a1 − a3 + a5 − · · · ).
Ejercicio: Escribir las expresiones generales para el x y el y anteriores usando el símbolo de
sumatorio.
Según lo anterior, todo polinomio evaluado en i nos da como resultado un polinomio en i
de grado menor que dos (es decir, de grado uno o de grado cero). Esto nos lleva a una de las
posibles definiciones de los números complejos que es la siguiente:
Definición: Los números complejos son los polinomios de coeficientes reales y grado cero o
uno evaluados en una cantidad i, llamada unidad imaginaria, que tiene la propiedad i2 = −1.
Entre estos, los polinomios homogéneos de grado 1 se llaman imaginarios puros (mientras que
los homogéneos de grado cero son, por supuesto, los números rales).
Operaciones aritméticas con números complejos
Tratando a los números complejos como polinomios en i y teniendo en cuenta la propiedad
fundamental de la unidad imaginaria de tener cuadrado igual a −1, resulta sencillo realizar con
los números complejos las operaciones aritméticas de sumar, restar y multiplicar.
Ejemplo:
Dados
Ejercicio: ¿Qué valores han de tener los coeficientes a y b del número complejo a + bi para que
se cumpla ( a + bi )(3 + 4i ) = 1?
Además de estas operaciones, con un simple truco algebraico es también muy sencillo realizar la división de números complejos ya que, suponiendo que x e y no son ambos cero, el inverso
1
:
de x + yi es igual a x − yi multiplicado por el número real x2 +
y2
En efecto:
1
x − yi
.
= 2
x + yi
x + y2
(1.4)
( x + yi )( x − yi ) = x2 − (yi )2 = x2 + y2
(1.5)
o, también, por multiplicación directa,
( x + yi )( x − yi )
x2 − (yi )2
x 2 + y2
=
=
= 1.
( x + yi ) ( x − yi ) x2 +1 y2 =
x 2 + y2
x 2 + y2
x 2 + y2
Ejemplos:
(1) El inverso de i es −i. Comprobación:
i × (−i ) = −i2 = −(−1) = 1.
(2) El inverso de 1 + 2i es 51 (1 − 2i ). Comprobación:
(1 + 2i ) × 51 (1 − 2i ) = 15 (1 + 2i − 2i − 4i2 ) = 15 (1 + 4) = 1.
Ejercicio:
Dados los números complejos z = 2 − 2i, w = 3 +
2
π
4 i,
u = 3i, calcular:
Tema 1. Los números complejos
1.1. Operaciones con números complejos
1. z + w,
3. w + u,
5. zu,
2. z + u,
4. zw,
6. wu,
7. z4 ,
8.
z
,
w
9.
w
,
z
10.
z
.
u
Parte real y parte imaginaria de un número complejo
Dado un número complejo z = x + yi se llama parte real de z al coeficiente de grado cero, x,
y parte imaginaria al de grado 1, y, escribiéndose:
Re(z) = x,
Im(z) = y.
Ejercicio: Calcular la parte real y la parte imaginaria del producto ( x + yi )(u + vi ) de dos
números complejos.
Definición alternativa de los números complejos
El resultado del último ejercicio puede utilizarse para dar una definición alternativa de los
números complejos. Los números complejos pueden definirse como los pares ordenados ( x, y)
de números reales sometidos a las siguientes operaciones de sumar (y restar) y multiplicación
por un número real (operaciones que son iguales a las de los vectores del plano):
( x, y) + (u, v) = ( x + u, y + v)
(1.6)
λ( x, y) = (λx, λy),
(1.7)
y además sujetos a esta (¿extraña?) regla de multiplicación:
( x, y) · (u, v) = ( xu − yv , xv + yu)
(1.8)
De la definición (1.6) de suma de complejos se deduce que que todo número complejo se
puede expresar de la forma
( x, y) = ( x, 0) + (0, y).
Además, es fácil comprobar que las operaciones aritméticas de los números reales x se corresponden con las de los complejos de la forma ( x, 0), es decir:
( a, 0) + (b, 0) = ( a + b, 0); ( a, 0)(b, 0) = ( ab, 0); ( a, 0)/(b, 0) = ( a/b, 0).
Esto nos permite identificar cada número real x con el complejo ( x, 0), es decir:
x ≡ ( x, 0)
Si, además, denotamos por i al número complejo (0, 1),
i ≡ (0, 1),
entonces es un sencillo ejercicio, apoyándose en las definiciones (1.6), (1.7) y (1.8), demostrar lo
siguiente:
1. i2 = −1.
2. Para todo número complejo se tiene ( x, y) = x + yi.
3. Las coordenadas de los puntos del plano establecen una correspondencia entre los puntos
del plano y los números complejos en la cual los puntos del eje x se corresponden con
los números reales y los del eje y con los complejos de la forma (0, y) = yi llamados
imaginarios puros. Además, en esta correspondencia las operaciones de suma de vectores
y de multiplicación de un vector por un número real se corresponden con las mismas
operaciones realizadas sobre los números complejos.
3
1.2. Conceptos geométricos
1.2.
Tema 1. Los números complejos
Conceptos geométricos asociados con los números complejos.
La representación geométrica de los números reales en la recta nos permite relacionar (e
incluso identificar) las propiedades aritméticas de los números con las propiedades geométricas
de la recta. Por ejemplo “valor absoluto” tiene la interpretación geométrica de “distancia al
origen”. Igualmente, la representación geométrica de los números complejos en el plano, nos
permite tanto interpretar geométricamente las propiedades aritméticas como deducir conceptos
y propiedades algebraicas de los números complejos a partir de los conceptos geométricos del
plano.
Significado geométrico del producto de números complejos
Ya que los números complejos tienen como representación geométrica los puntos del plano
coordenado, y dado que la suma tiene una clara interpretación geométrica (complección del
paralelogramo) podemos preguntarnos si la multiplicación de números complejos tiene también
alguna interpretación geométrica sencilla.
Ejercicios: (a) Multiplicar un número complejo x + yi por un número real λ transforma el
punto ( x, y) mediante una homotecia de razón λ.
(b) Multiplicar un número complejo x + yi por la unidad imaginaria i transforma el punto
( x, y) mediante un giro (en sentido positivo, es decir, antihorario) de noventa grados.
Para el significado geométrico del porducto de un número complejo x + yi por un número
complejo a + bi, ver el ejercicio al final de la sección “Módulo y Argumento” y también la
segunda consecuencia de la fórmula de Euler.
Módulo y Argumento
Igual que para los números reales, se define el módulo de un número complejo x + yi como
la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto ( x, y) que lo representa en el plano.
Por el Teorema de Pitágoras,
q
| x + yi | = x2 + y2 .
Además del módulo, en el plano existe otra cantidad geométrica asociada con cada número
complejo x + yi: La dirección del vector ( x, y) medida por sus cosenos directores1
cos θ = p
x
x2
+ y2
sen θ = p
,
y
x2
+ y2
(1.9)
donde θ es el ángulo que el vector ( x, y) forma con el semieje positivo de las x, es decir, θ es la
coordenada angular de las coordenadas polares del plano.
1 Este término, hoy día casi en desuso, se refiere a los cosenos de los dos ángulos α , α que el vector forma con los
x
y
semiejes positivos. Como los ejes son perpendiculares, basta conocer el ángulo α x que el vector forma con el semieje
positivo de las x, siendo los cosenos directores:
`1 = cos α x ,
`2 = cos αy = sen α x .
4
Tema 1. Los números complejos
1.2. Conceptos geométricos
Definición: El argumento, θ = arg(z), de un número complejo z = x + yi es el único número
real módulo 2π determinado por las ecuaciones (1.9).
En resumen: módulo y argumento de un número complejo x + yi no son más que las coordenadas polares (r, θ ) del punto con coordenadas cartesianas ( x, y) que lo representa en el plano.
Dicho de otra forma:
(
(
| x + yi | = r,
x = r cos θ
que escribir
Es lo mismo escribir
arg( x + yi ) = θ.
y = r sen θ
La característica más importante del argumento de un número complejo es el hecho de que
su representación numérica sólo está definida salvo un número entero de vueltas completas. En
otras palabras, si θ es un número que representa el argumento del número complejo z, también
θ + 2kπ (para cualquier entero k) representa el argumento de z.
Ejercicio: Demostrar que al multiplicar un número complejo x + yi por un número complejo
a + bi se transforma el punto ( x, y) mediante un giro de ángulo igual al argumento de a + bi y
una homotecia de razón igual al módulo de a + bi.
El conjugado y su relación con el módulo y con el inverso
Definición: Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi, y se denota z̄, al número
complejo que tiene la misma parte real que z y parte imaginaria cambiada de signo:
z̄ = x − yi
La principal propiedad del conjugado (y la principal razón por la que se hace esta definición)
es la ecuación (1.5) según la cual el producto de un complejo por su conjugado es igual al
cuadrado de su módulo:
zz̄ = |z|2 .
(1.10)
La primera aplicación del conjugado es el cálculo del inverso, que, como se demostró más
arriba está dado por la ecuación (1.4), que ahora podemos escribir:
1
z̄
= 2.
z
|z|
(1.11)
Una inmediata consecuencia de esta fórmula es la “fórmula de la división de complejos”
z
zw̄
=
.
w
| w |2
La segunda aplicación del conjugado es su relación con las partes real e imaginaria de un
número complejo:
z + z̄ = 2Re(z) , z − z̄ = 2iIm(z),
lo que nos da las fórmulas
Re(z) =
z + z̄
,
2
Im(z) =
Los complejos de módulo 1
5
z − z̄
.
2i
1.3. Raíces complejas de polinomios reales
Tema 1. Los números complejos
Los números complejos de módulo 1 (que constituyen la circunferencia unidad del plano complejo, es decir, la circunferencia de centro
cero y radio 1) son de la forma cos θ + i sen θ. Evidentemente, por la
ecuación (1.11), estos son precisamente los números para los que su inverso es su conjugado, así que tenemos las siguientes tres propiedades
equivalentes:
|z| = 1 si y sólo si z = cos θ + i sen θ
1.3.
z−1 = z̄. (1.12)
si y sólo si
i
z= x+ yi
y = SenHΘ L
Θ
x = CosHΘ L
-1
1
-i
Raíces complejas de polinomios reales
Una importantísima aplicación del conjugado es la demostración de que las raíces complejas
que pueda tener un polinomio de coeficientes reales aparecen siempre en parejas conjugadas
z, z̄. Esto es consecuencia de las siguientes propiedades del conjugado que el estudiante debe
comprobar por sí mismo:
1. Al cambiar de signo dos veces a la parte imaginaria, se queda como estaba, por tanto: El
conjugado del conjugado es el número de partida:
z̄¯ = z.
2. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados:
z + w = z̄ + w̄.
3. El conjugado de un producto (o potencia) es el producto (o potencia) de los conjugados:
(b) z2 = z̄2 .
(a) zw = z̄w̄ ,
4. El conjugado de un número real es él mismo:
z = z̄
si y sólo si
Im(z) = 0.
Usando esas propiedades es ahora un cálculo inmediato el demostrar:
Proposición: Si p( x ) es un polinomio de coeficientes reales y z es un número complejo,
entonces
p(z) = p(z̄).
(1.13)
Demostración:
p ( z ) = a0 + a1 z + a1 z2 + · · · + a n z n
= ā0 + a1 z + an z2 + · · · + an zn
(por la propiedad 2.)
= ā0 + ā1 z̄ + ān z2 + · · · + ān zn
(por la propiedad 3 (a).)
n
(por la propiedad 3 (b).)
2
= ā0 + ā1 z̄ + ān z̄ + · · · + ān z̄
= a0 + a1 z̄ + an z̄2 + · · · + an z̄n = p(z̄).
(por la propiedad 1.)
Corolario: Si p( x ) es un polinomio de coeficientes reales y z es una raíz de p( x ) entonces z̄
también lo es: p(z̄) = p(z) = 0̄ = 0.
Otra cosa que se deduce de las propiedades del conjugado, combinadas con la ecuación
(1.10), es el hecho de que el módulo de un producto es igual al producto de los módulos:
| z w | = | z | | w |.
En efecto: |z w|2 = (zw)zw = zwz̄w̄ = zz̄ ww̄ = |z|2 |w|2 .
6
Tema 1. Los números complejos
1.4.
1.4. La fórmula de Euler
La fórmula de Euler
La fórmula de Euler establece, mediante el uso de los números complejos, una relación
insospechada entre la función exponencial y las funciones trigonométricas.
La función exponencial
La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fundamental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula:
ex =
∞
∑
n =0
xn
= 1 + x + 12 x2 + 16 x3 + · · ·
n!
(1.14)
Esta fórmula, que no es más que la serie de Taylor de la función exponencial, se explica y se
demuestra en los cursos de cálculo infinitesimal y aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y
de motivación. En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize lo antes posible
con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme
importancia en muchas asignaturas de la carrera.
De la función exponencial a la fórmula de Euler
Si en la serie de Taylor (1.14) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro,
x = iθ, entonces, debido a que in = ±1 para n par e in = ±i para n impar, todos los términos con
potencias pares de x son números reales y los de las impares, imaginarios. En consecuencia la
suma se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una con todos los términos
reales y la otra con todos los términos imaginarios:
eiθ =
∞
(iθ )n
= 1 + 21 (iθ )2 + · · · + iθ + 61 (iθ )3 + · · ·
n!
n =0
= 1 − 21 θ 2 + · · · + i θ − 16 θ 3 + · · · .
∑
En la última expresión, cada suma entre paréntesis es una serie de potencias real y su suma es
un número real, lo que significa que eiθ es igual a un número complejo de la forma a + bi. Se
demuestra en los cursos de Cálculo que el primer paréntesis es la serie de Taylor de la función
coseno y que el segundo es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la
conclusión de que los números reales a y b que cumplen e1θ = a + bi son a = cos θ y b = sen θ;
es decir:
eiθ = cos θ + i sen θ.
Esta fórmula se conoce como fórmula de Euler y es de gran importancia en las aplicaciones
de los números complejos. Su demostración se basa únicamente en la ecuación i2 = −1 y en las
series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas
sencillas de deducirla sin recurrir a las series de Taylor.
Deducciones elementales de la fórmula de Euler
Primera:
Consideremos la función
f (t) = cos t + i sen t.
7
(1.15)
1.4. La fórmula de Euler
Tema 1. Los números complejos
Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial.
Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
f 0 (t) = − sen t + i cos t = i2 sen t + i cos t = i (i sen t + cos t) = i f (t).
(1.16)
Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades
f 0 (t)
= i,
f (t)
f (0) = 1 ,
de donde, integrando de 0 a θ,
Z θ 0
f (t)
0
f (t)
dt =
Z θ
0
i dt ,
[ln f (t)]0θ = i [t]0θ ,
ln f (θ ) = iθ ,
f (θ ) = eiθ ,
es decir:
eiθ = cos θ + i sen θ.
Segunda:
La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación.
Consideremos la función
cos t + i sen t
f (t) =
.
(1.17)
eit
Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es
cero. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
(− sen t + i cos t)eit − (cos t + i sen t)ieit
− sen t + i cos t − (i cos t − sen t)
=
it
it
e e
eit
− sen t + i cos t − i cos t + sen t
=
= 0.
eit
f 0 (t) =
(1.18)
Puesto que f (t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero
i sen 0
f (0) = cos 0+
= 1+1i·0 = 1, luego f (t) = 1 para todo t, o sea:
ei0
cos t + i sen t
= 1.
eit
(1.19)
que es equivalente a la fórmula de Euler.
La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad
p(z̄) = p(z)
(1.20)
del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p(z) es un polinomio, sino también cuando es
una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial:
ez = ez̄ .
(1.21)
No vamos a demostrar la propiedad (1.20) para todas las funciones analíticas, pero sí queremos
remarcar que la demostración de (1.21) a partir de la fórmula (1.14) que define a la función
exponencial es exactamente igual que la demostración de la propiedad (1.20) de los polinomios.
Podemos, pues, usar la propiedad (1.21) de la función exponencial para deducir la fórmula de
Euler como veremos a continuación.
8
Tema 1. Los números complejos
1.4. La fórmula de Euler
Tercera:
Suponiendo conocida la ecuación (1.21), se deduce que para todo número complejo de la
forma eiθ su conjugado es igual a su inverso y por tanto, según zz̄ = |z|2 , eiθ tiene módulo igual
a 1:
eiθ = eiθ = e−iθ por tanto: |eiθ | = 1.
En consecuencia, existe una función α(θ ) tal que
eiθ = cos α(θ ) + i sen α(θ ).
Derivando ambos miembros de esta igualdad se deduce que la derivada de α es constante e
igual a 1. Puesto que α(0) = 0, deducimos que α es la función identidad: α(θ ) = θ y por tanto
eiθ = cos θ + i sen θ.
Cartel de anuncio de una conferencia de matemáticas en la
Universidad de Santiago de Compostela en 2012
Una identidad famosa
Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene
al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = −1 y sen π = 0. Entonces se obtiene:
eπi = −1 ,
que se puede reescribir como:
eπi + 1 = 0.
Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas
están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar,
multiplicar y elevar a una potencia).
Ejercicio: Deducir la ecuación (1.21) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado en considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro.
9
1.5. Consecuencias de la fórmula de Euler
1.5.
Tema 1. Los números complejos
Consecuencias de la fórmula de Euler
Los complejos de módulo 1
La primera consecuencia de la fórmula de Euler es que los complejos de módulo 1 son
precisamente los de la forma
z = eiθ .
Significado geométrico de la multiplicación de números complejos
La segunda consecuencia de la fórmula de Euler es la interpretación geométrica del producto
de números complejos: El producto de dos números complejos tiene por módulo el producto de los
módulos y tiene por argumento la suma de los argumentos.
Seno y coseno de un ángulo suma
Gracias a la fórmula de Euler podemos deducir de forma rápida y sencilla las fórmulas trigonométricas de adición de ángulos que tanto cuesta recordar. Si queremos escribir las fórmulas
del seno y coseno de α + β no tenemos más que aplicar la fórmula de Euler a ambos miembros
de la igualdad:
ei(α+ β) = eiα eiβ
con lo que se obtiene:
cos(α + β) + i sen(α + β) = cos α + i sen α
cos β + i sen β
Desarrollando el miembro de la derecha se obtiene:
cos(α + β) + i sen(α + β) = cos α cos β − sen α sen β + i sen α cos β + cos α sen β
e igualando las partes reales e imaginarias tenemos las buscadas fórmulas de adición:
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β.
De estas fórmulas se deducen fácilmente las correspondientes a la tangente de un ángulo
suma, así como las del seno coseno y tangente de un ángulo doble y de un ángulo mitad.
El conjugado de una exponencial
De la fórmula de Euler se deduce también la siguiente propiedad del conjugado: Para todo
número complejo z,
ez = ez̄
(1.22)
Demostración:
Sea z = x + yi. Entonces:
e x+yi = e x eyi = e x eyi = e x (cos y + i sen y) = e x (cos y − i sen y) = e x e−yi = e x−yi = e x+yi
10
Tema 1. Los números complejos
1.5. Consecuencias de la fórmula de Euler
Potencias y raíces enésimas
Elevar un número complejo a un exponente entero no tiene más dificultad que la de multiplicar ese número complejo por sí mismo varias veces. Sin embargo, gracias a la fórmula de
Euler, podemos hacerlo de una forma mucho más rápida y sencilla que además sirve para elevar
un complejo a cualquier exponente real aunque no sea entero.
Lo primero que hacemos es expresar el número en forma módulo-argumental, es decir, si
nos dan el número z = x + yi, ponemos
z = reiθ
Teorema de Moivre.
r=
calculando
√
zz̄ =
q
x2 + y2 , θ = arg(z).
Si z = reiθ entonces
z p = r p eipθ .
Corolario:
(1.23)
Cálculo de una raíz n-ésima de un número complejo.
Si z es un número complejo y su módulo es r y su argumento θ (z = r eiθ ), el número
√
complejo de módulo n r y de argumento nθ es una raíz n-ésima de z:
√
n
θ
r ei n
n
= z.
Este resultado es la base para el cálculo de todas las raíces n-ésimas de cualquier número
complejo. Lo único que nos falta ahora es saber que todo número complejo tiene exactamente n
raíces n-ésimas distintas.
Raíces cuadradas
Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas reales de signos opuestos. Todo número real negativo tiene dos raíces cuadradas que son imaginarios puros opuestos. Veamos ahora
cómo se calculan las dos raíces cuadradas de un número complejo cualquiera:
En principio, por las leyes de los exponentes, una raíz cuadrada se puede obtener elevando
al exponente 21 . Según la fórmula de Moivre,
√
1
z = z 2 = reiθ
12
1
= r 2 eiθ
21
=
√
θ
r · ei 2 .
Sin embargo, debido a que un número real α representa el mismo argumento que el número
α + 2π, resulta que el doble de α y el doble de α + π representan el mismo argumento. Esto
implica que, aunque 2θ y 2θ + π pueden representar argumentos distintos, sus dobles representan
siempre el mismo argumento: 2 2θ = θ es el mismo argumento que 2( 2θ + π ) = θ + 2π. Por tanto
θ
θ
ei 2 y ei( 2 +π ) son dos números complejos distintos que tienen el mismo cuadrado:
θ
ei 2
2
2
θ
= eiθ = ei(θ +2π ) = ei( 2 +π ) .
En resumen, todo número complejo x + yi = reiθ tiene dos raíces cuadradas que pueden escribirse de las dos formas siguientes:
√ θ
± r ei 2
o bien:
√
11
θ
r ei 2 ,
√
θ
r ei ( 2 +π ) .
1.5. Consecuencias de la fórmula de Euler
Tema 1. Los números complejos
Raíces cúbicas
Los mismos principios usados para calcular las raíces cuadradas nos permiten calcular las
raíces cúbicas:
√
√ θ
1
3
reiθ = reiθ 3 = 3 r ei 3 .
Igual que antes, debido a que un número real θ representa el mismo argumento que el número
θ + 2π y que el número θ + 4π, resulta que el triple de α representa el mismo argumento que
el triple de α + 2π/3 y que el triple de α + 4π/3, con lo cual θ no sólo es el argumento triple
θ
4π
de 3θ sino también el argumento triple de 3θ + 2π
3 y el argumento triple de 3 + 3 . Así, los tres
números
θ
θ
2π
θ
4π
,
+
,
+
3
3
3
3
3
representan tres argumentos distintos pero cuyo triple es el mismo argumento en los tres casos.
Por tanto, los tres números complejos
θ
θ
ei ( 3 +
ei 3 ,
2π )
3
θ
ei ( 3 +
,
4π )
3
son tres raíces cúbicas distintas de eiθ y podemos decir: Todo número complejo x + yi = reiθ tiene
tres raíces cúbicas que pueden escribirse de la forma siguiente:
√
3
θ
r ei 3 ,
√
3
θ
r ei ( 3 +
2π )
3
,
√
3
θ
r ei ( 3 +
4π )
3
.
(1.24)
Raíces cúbicas de la unidad
Un caso especialmente importante (porque de él se pueden deducir las raíces cúbicas de
cualquier número complejo) es el de las tres raíces cúbicas del número 1. Según lo anterior las
tres raíces cúbicas de 1 son (poniendo en (1.24) r = 1 y θ = 0):
2π
3
ei0 = 1 , ei
, ei
4π
3
es decir, los puntos del círculo unitario complejo correspondientes a los ángulos de 0◦ , 120◦ y
240◦ , los cuales determinan el triángulo equilátero que tiene centro en el origen y un vértice en
z = 1.
Las tres raíces cúbicas de un número complejo z cualquiera se pueden obtener multiplicando una raíz
cúbica particular de z por las tres raíces cúbicas de la unidad.
Raíces enésimas de la unidad y su uso para expresar las n raíces enésimas de un número
complejo
En general, dado un número entero positivo n, todo número complejo z = reiθ tiene n raíces
√ θ
n-ésimas que son el resultado de multiplicar una particular, n r ei n , por las n raíces n-ésimas de
la unidad:
ei0 = 1 , ei
2π
n
, ei
4π
n
, ei
6π
n
, . . . ei
2( n −1) π
n
que son los puntos del círculo unitario complejo que determinan el polígono regular de n lados
que tiene un vértice en z = 1. Así, las n raíces n-ésimas de z = r eiθ se pueden expresar como:
√
n
2( n −1) π θ
2π
4π
6π
r ei n · 1 , ei n , ei n , ei n , . . . ei n
12
Tema 1. Los números complejos
1.6.
1.6. El Teorema Fundamental del Álgebra
El Teorema Fundamental del Álgebra
Según se dijo en la sección en que se introdujo la unidad imaginaria i, la introducción de una
raíz para el polinomio x2 + 1 conlleva la introducción de raíces para todos los polinomios de
segundo grado sin excepción. Es más: sabemos calcular la fórmula de la ecuación de segundo
grado incluso cuando a, b y c son números complejos, así que lo que acabamos de decir se
extiende a todos los polinomios de segundo grado con coeficientes complejos.
Uno de los éxitos más notables de la extensión de los números reales mediante la incorporación de una “imaginaria” solución de la ecuación x2 + 1 = 0 es que esto no sólo conlleva la
introducción de raíces para todos los polinomios de segundo grado sin excepción sino también
para todos los polinomios de grado superior al segundo, de forma que se cumple el famoso:
Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio no nulo de grado n con coeficientes complejos
tiene exactamente n raíces contando sus multiplicidades.
Este teorema tiene varios enunciados equivalentes; por ejemplo:
Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio p( x ) de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz.
o este otro, que claramente implica el anterior y que se deduce de él por la regla de Rufini:
Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio p( x ) de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos admite una factorización de la forma
p( x ) = q( x )( x − z)
donde z es un número complejo y q( x ) es un polinomio de grado n − 1.
o este, que claramente implica el anterior y que se deduce de él por inducción:
Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio p( x ) de grado n con coeficientes complejos
tiene una única factorización en factores de primer grado de la forma
p ( x ) = a n ( x − z1 ) · · · ( x − z n )
donde an es el coeficiente principal de p( x ) y z1 ,. . . , zn son números complejos no necesariamente distintos.
finalmente, una última forma de enunciar este teorema, donde la expresión “polinomio irreducible” significa “polinomio que no se puede expresar como producto de polinomios de menor
grado”:
Teorema Fundamental del Álgebra: Los únicos polinomios complejos irreducibles son los de grado
menor que 2.
Polinomios reales irreducibles
Hay una consecuencia del teorema fundamental del álgebra que marca la introducción de
los números complejos como uno de esos grandes avances que tienen consecuencias significativas incluso en el ámbito más restringido del que surgieron. El siguiente resultado se refiere
únicamente a los números reales pero no hubiera sido posible descubrirlo sin haber salido del
ámbito de los números reales al ámbito mayor de los números complejos:
Para los polinomios de coeficientes reales, los polinomios irreducibles son los de grado menor que 2 y
aquellos de grado 2, p( x ) = ax2 + bx + c, que tienen discriminante, ∆ = b2 − 4ac, negativo.
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“polinomio
irreducible”
significa
“polinomio
que no se
puede
expresar como
producto de
polinomios de
menor grado”