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TEMA 2: CONTRASTE DE HIPÓTESIS
1.- HIPÓTESIS Y TIPOS DE HIPÓTESIS
Hipótesis estadística: Supuesto o conjetura sobre alguna característica de la
población, θ.
Contrastar una hipótesis estadísticamente es un proceso de decisión mediante el
cual se trata de juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es compatible con
la evidencia proporcionada por una muestra obtenida a partir de ella.
- Hipótesis nula, H0
- Hipótesis alternativa H1 ó HA
Tipos de hipótesis:
- Hipótesis simples
-
Hipótesis compuestas
o Unidireccionales
o Bidireccionales
Otra de las clasificaciones es la que distingue entre:
- Hipótesis individuales
- Hipótesis conjunta
Elementos
-Espacio muestral S
S0 Región de aceptación
S1 Región crítica o de rechazo
-
Realización muestral x = (x1, x2,...xT),
-
Estadístico w(x) = w(x1, x2,...xT)
-1-
-
Estadístico del contraste d(w(x),θ)
o La región crítica vendrá dada por:
- Si H0 es simple
S1 = { x : d(w(x), θ) ≥ ε } θ = θ0
- Si H0 es compuesta
S1 = { x : d(w(x), θ) ≥ ε } θ ∈ Θo
Etapas de un contraste
1. Planteamiento de la hipótesis nula H0 y de la hipótesis alternativa H1 .
2. Decisión acerca de un estadístico , esto es, la determinación de w(x).
3.División del espacio muestral en dos regiones no solapadas: región crítica y
región de aceptación.
4. Cálculo del valor del estadístico de contraste para la muestra utilizada.
5. Resolución del contraste y decisión.
2.- TIPOS DE ERRORES
DECISIÓN
CATEGORÍA DE LA HIPÓTESIS
CIERTA
FALSA
ACEPTAR
CORRECTA
ERROR TIPO II
RECHAZAR
ERROR TIPO I
CORRECTA
-Tamaño de error tipo I
α = Prob {x ∈ S1 / θ ∈ Θo }
-
Tamaño de error tipo II
β = Prob { x ∈ So / θ ∈ Θ1 }
-2-
3.- POTENCIA DE LOS CONTRASTES
La potencia de un contraste se define como la probabilidad de rechazar la
hipótesis nula cuando es falsa.
p(θ)= Prob { x ∈ S1 / θ = θ1} = 1 - Prob { x ∈ So / θ = θ1} = 1 - β
Función de potencia:
p(θ) = Prob { x ∈ S1, θ ∈ Θ }
Contraste uniformemente más potente (UMP) de tamaño α es un contraste de
máxima potencia frente a cada alternativa puntual contenida en H1
4.- CONTRASTE ÓPTIMO EN EL MARCO DE UNA HIPÓTESIS
SIMPLE FRENTE A ALTERNATIVA SIMPLE
Ho: θ = θo
H1: θ = θ1
TEOREMA: Sea δ* el contraste cuya región crítica viene dada por :
S1 = {x:
f ( x,θ 1 ) a
> }
f ( x ,θ 0 ) b
entonces δ* es el contraste óptimo en el sentido de que para cualquier otro contraste δ se
cumple que :
aα (δ * ) + bβ (δ * ) ≤ aα (δ ) + bβ (δ )
Un contraste es un procedimiento en dos etapas:
1.- Determinación de las combinaciones admisibles de los dos tipos de error. En el caso
simple versus simple esta cuestión queda resuelta con la aplicación del lema de NeymanPearson.
2.- Selección de una de estas combinaciones admisibles.
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5.- CONTRASTE ÓPTIMO EN EL MARCO DE UNA HIPÓTESIS
SIMPLE FRENTE A ALTERNATIVA COMPUESTA
a) HIPÓTESIS NULA SIMPLE VERSUS ALTERNATIVA COMPUESTA
UNILATERAL.
Ho:θ = θ 0 frente a H1: θ > θ 0 o su dual H1: θ < θ 0 .
-Contraste UMP
- Razón de verosimilitud monótona en el estadístico w(x) si para cualquier
par de valores θ 1 y θ 2 , pertenecientes al espacio paramétrico Θ y con
θ 1 < θ 2 , la razón
f ( x, θ 2 )
depende de x solamente a través del estadístico
f ( x, θ 1 )
y es una función no decreciente del mismo. Situados en este contexto, el
teorema de Karlin Rubin permite definir el contraste UMP.
TEOREMA DE KARLIN RUBIN:
Sea { f(x, θ ), θ ∈ Θ} una familia con razón de verosimilitud monótona en
w(x) y sea c una constante tal que:
α = Prob {w(x) ≥ c | Ho }
entonces el contraste cuya región crítica es w(x) > c es el contraste UMP
de tamaño α, para verificar Ho: θ = θ 0 frente a H1: θ > θ 0 .
-Contraste localmente UMP
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b) HIPÓTESIS NULA SIMPLE VERSUS ALTERNATIVA COMPUESTA
BILATERAL.
Ho:θ
= θ0
H1: θ ≠ θ 0
- Contraste insesgado UMP.
Un contraste es insesgado si la hipótesis nula se rechaza más a menudo cuando
es falsa que cuando es cierta.
6.- CONTRASTE ÓPTIMO EN EL MARCO DE UNA HIPÓTESIS
COMPUESTA FRENTE A ALTERNATIVA COMPUESTA
Estimadores suficientes ------------- Contrastes similares
Un estadístico se dice que es suficiente para θ si la distribución de la muestra x
dado el valor de w(x) no depende de θ . w(x) es un estadístico suficiente de θ si el ratio
f(x, θ )/f(w(x), θ ) no depende de θ .
Un contraste similar es aquel que satisface que la probabilidad de rechazar H 0
cuando esta sea cierta no depende del valor tomado por los parámetros nuisance
•
Contraste UMP similar es el de mayor potencia de entre todos los
similares
•
7.-
LUMP similares.
PROCEDIMIENTOS
DE
CONTRASTE
ÓPTIMOS.
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ASINTÓTICAMENTE
- Función de potencia asintótica que denotaremos por π (θ )y que se define como
el límite, cuando el tamaño muestral (T) tiende a infinito, de las funciones de potencia que
pueden obtenerse para T ≥ 1; esto es:
π (θ ) = lim p(θ )
Τ→ ∞
− Contraste consistente: diremos que un contraste de tamaño α es consistente
cuando:
π (θ )= 1 θ ∈ Θ1
-
Contraste local uniformemente más potente: es aquel con una mayor potencia
local
-
Contraste es asintóticamente óptimo de tamaño α, cuando es consistente y es
local UMP dentro de todos los contrastes de tamaño α.
BIBLIOGRAÍA
AZNAR, A. (2002): Curso de Econometría. Copycenter.
CASELLA, G. y BERGER, R.L.
(1990): Statistical Inference. Belmont:
Wadsworth and Brooks.
CHOU, Y. (1989): Statistical Análisis for Business and Economics. Elsevier.
HENKEL, R.E. (1976): Tests of Significance. Save University Paper.
LEAMER, E.E. (1983): Busquedas de especificación. Bilbao: Desclee de
Brouwer.
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