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ENCUENTRO # 12
TEMA:Factorizaciones
CONTENIDOS:
1. Factor común
2. Factor común por Agrupamiento
3. Diferencia de cuadrados
4. Suma o Diferencia de Cubos
Ejercicio Reto
aa+1 +1
1. Si aa = 2, el valor de aa
A)2
B)4
B)8
2. Si A × B =
A)18xy 2
9x2 yz
y
y3
2y 3
B) x4
es:
D)16
B×C =
18yz
,
x3
2
B) 9x
y2 z
E)64
cuál es
C
?
A
2
D)18x yz
Definición:
Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el productor indicado
de sus factores; éstos se presentan en forma más simple.
1. Factor Común
Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.
Ejemplo 1.1. Factoriza: x6 − x5 + x2 .
Solución: Para encontrar el factor común se toma la letra que se repite y de menor
exponente (para nuestro caso x2 ), después cada uno de los términos de la expresión
algebraica se divide entre el factor común:
x6
x2
−
x5
= −x3
x2
x2
=1
x2
Los resultados se expresan de la siguiente manera:
x6 − x5 + x2 = x2 (x4 − x3 + 1).
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Ejemplo 1.2. Factoriza: 16a6 b7 c − 12a5 b2 c3 + 20a3 b1 0.
Solución: Se busca el factor común de los coeficientes, que es el máximo común divisor
de ellos y también se busca el factor común de los literales:
Factor común literal = a3 b2
MCD(16, 12, 20) = 4
Se realizan las divisiones término a término y el resultado de la factorización es:
16a6 b7 c − 12a5 b2 c3 + 20a3 b1 0 = 4a3 b2 (4a3 b5 c − 3a2 c3 + 5b8 ).
Ejemplo 1.3. Realiza la factorización de la expresión: 18x2 − 12x + 54.
Solución: El máximo común de los coeficientes es 6 y no existe un factor común literal,
por tanto, la expresión tiene sólo un factor común numérico y se expresa como:
18x2 − 12x + 54 = 6(3x2 − 2x + 9).
Ejemplo 1.4. Factoriza: (2a − 3b)2 (5a − 7b)3 − (2a − 3b)3 (5a − 7b)2 .
Solución: En esta expresión el factor común está compuesto por binomios, por consiguiente, se toma de cada uno de ellos el de menor exponente y se realiza la factorización
de la siguiente manera:
(2a − 3b)2 (5a − 7b)3 − (2a − 3b)3 (5a − 7b)2 = (2a − 3b)2 (5a − 7b)2 [(5a − 7b) − (2a − 3b)] .
Se reducen los términos semejantes del último factor:
(2a − 3b)2 (5a − 7b)3 − (2a − 3b)3 (5a − 7b)2 = (2a − 3b)2 (5a − 7b)2 [5a − 7b − 2a + 3b]
= (2a − 3b)2 (5a − 7b)2 [3a − 4b]
Finalmente el resultado de la factorización es: (2a − 3b)2 (5a − 7b)2 (3a − 4b).
Ejercicios Propuestos
Factoriza las siguientes expresiones:
1. a2 + a
4. 18x5 + 30x4
2. a3 b2 − 2a3 b
5. 48x2 − 12x3 − 24x4
3. a4 + a3 − a2
6. 25b2 + 35b4 − 45b5
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7. 11ax − 121a2 x + 33a3
17. 12m2 n + 24m3 n2 − 36m4 n + 48m5 n4
8. 9a5 b − 12a2 b3 + 15ab2 − 18a3 b4
18. 3a2 b + 6a3 b2 − 5a4 b3 + 8a5 b4 + 4a6 b5
9. 9x2 + 6x + 3
19. 16x3 y 2 − 8x4 y − 24x2 y − 40x2 y 3
20. 100a2 b3 c − 150ab2 c2 + 50ab3 c3 −
200abc2
10. 4x4 − 8x3 + 12x2
11. 6x2 − 6xy − 6x
21. 93a3 x2 y − 62a2 x3 y 2 − 124a2 x
12. 14x2 y 2 − 28x3 + 56x4
22. 6x(3x − 1)2 + 2x2 (1 − 3x)2
13. 34ax2 + 51a2 y − 68ay 2
23. 9(x + 1) − 3(x + 1)2
14. 55m2 n3 x + 110m2 n3 x2 − 220m3 y 3
24. x2 (x + 2) − x(x + 2)
15. 25x7 − 10x5 + 15x3 − 5x2
25. 4x2 (2x − 5)2 + 8x2 (2x − 5)
16. 9a2 − 12ab + 15a3 b2 − 24ab3
26. (2x − 1)(x + 4) − (2x − 1)(3x + 1)
2. Factor Común por Agrupación de Términos
Se agrupan los términos que tengan algún factor en común de tal modo que la expresión
restante pueda factorizarse como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 2.1. Factoriza am + bm + a2 + ab.
Solución: Se agrupan los términos y de los primeros se factoriza m y de los segundos
a.
am + bm + a2 + ab = (am + bm) + (a2 + ab) = m(a + b) + a(a + b)
La última expresión se vuelve a factorizar tomando como factor común el binomio a + b
y se obtiene como resultado:
am + bm + a2 + ab = (a + b)(m + a).
Ejemplo 2.2. ¿Cuál es el resultado de factorizar 6ax + 3a2 − 4bx − 2ab?
Solución: Se agrupan los términos y se buscan los respectivos factores comunes para
cada uno podemos factorizarlos y obtener como resultado:
6ax+3a2 −4bx−2ab = (6ax+3a2 )+(−4bx−2ab) = 3a(2x+a)−2b(2x+a) = (2x+a)(3a−2b).
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Ejemplo 2.3. Factoriza 6a2 x + 4ab + 2a − 3abx − 2b2 + b.
Solución: Se repiten los mismos pasos anteriores y se obtiene:
6a2 x + 4ab + 2a − 3abx − 2b2 + b = (6a2 x + 4ab + 2a) + (−3abx − 2b2 + b)
= 2a(3ax + 2b + 1) − b(3ax + 2b + 1)
= (2a − b)(3ax + 2b + 1).
Ejercicios Propuestos
Factoriza las siguientes expresiones:
1. m2 + mn + mx + nx
11. bm2 + by 2 − cm2 − cy 2
2. 3x2 − 1 − x2 + 3x
12. x3 − 15 − 5x + 3x2
3. ax − bx + ay − by
13. 3bz − by − 9mz + 3my
4. 2y 3 − 6ay 2 − y + 3a
14. a3 + a2 + a + 1
5. am − 2bm − 3an + 6bn
15. 1 + 2a − 3a2 − 6a3
6. 4a2 x − 5a2 y + 15by − 12bx
16. 3x3 − 7x2 + 3x − 7
7. m2 p2 − 3np2 + m2 z 2 − 3nz 2
17. 4a − 1 − 4ab + b
8. 5m2 n + 5mp2 + n2 p2 + mn3
18. 18m3 + 12m2 − 15m − 10
9. 3a − 2b − 2by 4 + 3ay 4
19. x2 yz − xz 2 m + xy 2 m − yzm2
20. p3 t3 + mn2 p2 t + m2 npt2 + m3 n3
10. 2mx4 + 3nx4 10m + 15n
3. Diferencia de Cuadrados
La diferencia de cuadrados es de la forma a2 − b2 y su factorización es:
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Lo que da como resultado el producto de binomios conjugados.
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Ejemplo 3.1. Factoriza la expresión: x2 − 9.
Solución: Se extrae la raíz cuadrada del primer y segundo términos; los resultados se
acomodan como se indica en la fórmula.
√
√
x2 = x
9=3
Finalmente, la factorización es: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
Ejemplo 3.2. Factoriza:
16 2
x
9
−
1
.
25
Solución: Se aplica la fórmula y se obtiene el resultado:
16 2
1
1
4
x −
=
x−
9
25
3
5
1
4
.
x+
3
5
Ejemplo 3.3. ¿Cuál es el resultado de factorizar x2a−4 − y 6b .
Solución: Se expresan los exponentes de la siguiente manera:
x2(a−2) − y 2(3b)
Se extraen las raíces cuadradas de ambos términos:
q
√
a−2
2(a−2)
x
=x
y 2(3b) = y 3b
Finalmente, se obtiene:
x2a−4 − y 6b = (xa−2 − y 3b)(xa−2 + y 3b).
Ejemplo 3.4. Factoriza la expresión: (2x + 3)2 − (x − 1)2 .
Solución: Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos:
q
q
(2x + 3)2 = 2x + 3
(x − 1)2 = x − 1
se sustituyen las raíces obtenidas en la fórmula:
(2x + 3)2 − (x − 1)2 = [(2x + 3) + (x − 1)] [(2x + 3) − (x − 1)]
Se reducen los términos semejantes de cada uno de los factores y se obtiene como
resultado:
(2x + 3)2 − (x − 1)2 = (2x + 3 + x − 1)(2x + 3 − x + 1)
= (3x + 2)(x + 4)
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Ejercicios Propuestos
Factoriza las siguientes expresiones:
1. x2 − 1
11. x6 − 36
21. 1 − x2a
2. x2 − 49
12. 16a4 b6 − c6
22. −n8x+2y + m6x−4y
3. 81 − x2
13. x2 −
1
4
23. 16x6a − 49y 2b
4. 16x2 − 9
14. x2 −
4
81
24. (x − 1)2 − (y − 3)2
5. a4 − b4
15. x2 −
16
49
25. (2x + 1)2 − (y + 5)2
6. x4 − 64
16. x4 −
1
16
26. (x − 1)2 − 16y 2
7. 100 − 16x2
17. 49x2 −
8. 36x2 − 1
18. x6a − y 4b
28. −(x+2y)2 +16(x+y)2
9. 4 − 25x2
19. a2x+6 − 9b6y
29. 25(4x−3)2 −9(2x+1)2
20. m4a+8 − 25
30. 49x4 − 4(x2 − 3x)2
10. 4a4 − 9b2 c2
16
25
27. 4(3x − 2)2 − 9(x − 1)2
4. Suma o Diferencia de Cubos
Dadas las expresiones de la forma: a3 +b3 y a3 −b3 , para factorizarlas es necesario extraer
la raíz cúbica del primer y segundo términos, para después sustituir los resultados en
las respectivas fórmulas.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Ejemplo 4.1. Factoriza: 27x3 + 8.
Solución: Se extrae la raíz cúbica de ambos términos:
√
√
3
3
27x3 = 3x
8=2
se sustituye en su fórmula respectiva, se desarrollan los exponentes y se obtiene:
27x3 + 8 =(3x + 2) (3x)2 − (3x)(2) + (2)2
=(3x + 2)(9x2 − 6x + 4)
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Ejemplo 4.2. Factoriza: m6 − 216.
Solución: Se extraen las raíces cúbicas de los términos y se sustituye en la fórmula
para obtener:
m6 − 216 =(m2 − 6) (m2 )2 + (m2 )(6) + (6)2
=(m2 − 6)(m4 + 6m1 + 36)
Ejemplo 4.3. Factoriza: x15 + 64y 3.
Solución: Se realiza el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores para
obtener:
x15 + 64y 3 =(x5 + 4y) (x5 )2 − (x5 )(4y) + (4y)2
=(x5 + 4y)(x10 − 4x5 y + 16y 2 )
Ejemplo 4.4. Factoriza la siguiente expresión: (x + y)3 + (x − y)3 .
Solución: Se extrae la raíz cúbica de los términos y se sustituyen en la respectiva
fórmula:
q
q
3
3
(x + y)3 = x + y
(x − y)3 = x − y
Al aplicar la factorización de la suma de cubos, desarrollar y simplificar se obtiene:
(x + y)3 + (x − y)3 = ((x + y) + (x − y)) (x + y)2 − (x + y)(x − y) + (x − y)2
= (x + y + x − y)(x2 + 2xy + y 2 − x2 + y 2 + x2 − 2xy + y 2)
= 2x(x2 + 3y 2 )
Ejemplo 4.5. Factoriza la siguiente expresión: x − y.
Solución: Se obtienen las raíces cúbicas de los elementos:
√
3
√
3
x
y
Se aplica la factorización para una diferencia de cubos y el resultado es:
√
√ √
√
√ 3
y ( 3 x)2 − ( 3 x)( 3 y) + ( 3 y)2
q
√
√ √
√
3
= ( 3 x − 3 y)( x2 + 3 xy + 3 y 2)
x−y =
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√
3
x−
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Ejemplo 4.6. Factoriza la expresión: 8a 2 + 27b 5 .
Solución: Las raíces cúbicas son:
q
3
3
2
8a = 2a
3
(2)(3)
= 2a
q
3
1
2
6
6
2
27b 5 = 3b (5)(3) = 3b 5
Se sustituyen las raíces en la fórmula y la factorización es:
3
2
6
5
h
2
5
1
ih
2
8a + 27b = 2a + 3b
h
i 1
2
= 2a 2 + 3b 5
2a
1
2
2
− 2a
1
1
2
2
3b
2
5
+ 3b
2
5
2 i
4
4a − 6a 2 b 5 + 9b 5
Ejercicios Propuestos
Factoriza las siguientes expresiones:
1. 8x3 − 1
13. a6 + 125b12
2. x3 + 27
14. 8x6 + 729
3. 8x3 + y 3
15. 27m6 + 343n9
4. 27a3 − b3
16. x 3 + y 3
5. 8a3 + 27b6
17. a 4 − 8b 4
6. 64a3 − 729
18. x 3 + 125y 2
7. 512 − 27a9
19. x3a+3 − y 6a
8. x6 − 8y 12
20. (x + 2y)3 − (2x − y)3
9. 1 − 216m3
21. (x − y)3 + 8y 3
1
1
3
3
3
9
10. a3 − 125
22. 27m3 − (3m + 2n)3
11. 27m3 + 64n9
23. (a + b)3 − (2a + 3b)3
12. 343x3 − 512y 6
24.
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8
x
2
+
y 3
3
+
x
3
−
y 3
2
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