TRANSFORMADA DE MELLIN ( MT )
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TRANSFORMADA DE MELLIN ( MT )
Antes de considerar la transformada de Mellin, repasaremos brevemente la transformada
de Laplace y la de Fourier generalizada:
La definición de la transformada de Laplace de f(t) es la siguiente:
œs / Re(s)>k , de tal manera que e -ktAf(t) es absolutamente integrable.
Y la transformada inversa viene dada por esta expresión:
con a0ú / a>k , de tal manera que e -ktAf(t) es absolutamente integrable.
En estas expresiones, f(t) está extendida en el intervalo [0,4). Si no se extiende en este
intervalo, se toma la transformada de Laplace bilateral:
Muy relacionada con la transformada de Laplace bilateral se encuentra la transformada de
Fourier generalizada:
Supongamos que ek*t*Af(t) es absolutamente integrable en (- 4,4) œk>0.
Entonces, definimos estas expresiones:
Estas dos expresiones forman la transformada de Fourier generalizada de f.
La primera función está definida para Im(T)<-k, y la segunda, para Im (T )>k.
Ahora podemos definir la MT. Si t Re(s)-1Af(t) es absolutamente integrable en (0,4), la MT viene
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dada por:
La MT puede obtenerse a partir de la transformada de Fourier mediante un cambio de variables:
La primera integral corresponde a F+ y la segunda, a F- . Esto puede comprobarse efectuando estos
t=e- x
;
jT=s
cambios:
Comprobamos la primera afirmación:
Se deja al lector interesado la comprobación de la segunda afirmación.
La primera integral es una función analítica en la mitad derecha del plano Re(s)>s1.
La segunda integral es una función analítica en la mitad izquierda del plano Re(s)<s2, siendo s1<s2.
La transformada inversa de Mellin viene dada por:
Veamos un par de ejemplos sencillos:
Ejemplo 3.3: Cálculo de la MT de una función
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Sea
. Su MT es:
ya que t Re(s)-1Af(t) es absolutamente integrable para Re(s)>0.
Ejemplo 3.4: Cálculo de la MT de una función
Sea
Para Re(s)>0,
.
La convolución, en el caso de la transformada de Laplace, tiene la siguiente forma:
Pues bien, la convolución para la MT tiene el siguiente aspecto:
Supongamos que t Re(s)-1Af(t) y t Re(s)-1Ag(t) son absolutamente integrables en (0,4) y que:
f(t) : F(s)
;
g(t) : G(s)
;
h(t) : H(s)
Recordemos que h(t) es la convolución de las señales f(t) y g(t).
Entonces, t Re(s)-1Ah(t) es absolutamente integrable en (0,4) y H(s)=F(s)A G(s) .
Concluimos este apartado con un breve estudio de otras dos transformadas útiles en el
tratamiento de imágenes, especialmente para imágenes radiales. Se trata de la transformada de Abel
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( A"(f) ) y la transformada de Weyl ( W"(f) ):
Si f es absolutamente integrable, la existencia de A"(f) y W"(f) está asegurada.
Para " =n , un entero no negativo,
Además, A"(A$(f)) = A"+$(f) , y W"(W$(f))=W"+$(f) [ Re(" )>0 , Re($)>0 ]
Si, además f es continua, entonces A0(f)=f y W0(f)=f .
Ejemplo 3.5: Cálculo de la transformada de Abel de una función f
Para a = 0, se tiene que :
.
SÍNTESIS
* La MT puede obtenerse a partir de la transformada de Fourier mediante un cambio de variables.
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