La transformada de Kelvin

La transformada de Kelvin
En el que se aprende a tener paciencia
)
14 de mayo de 2015.
Miramos a la transformada de Kelvin (corresponde al ejercicio 11, p. 87, en
el libro de L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2.a ed., AMS, 2010).
Dada 𝑒 : R𝑛 βˆ– {0} β†’ R su transformada de Kelvin es la función 𝒦(𝑒) = 𝑒
¯:
𝑛
R βˆ– {0} β†’ R definida por
𝑒
¯(π‘₯) = 𝑒(¯
π‘₯)|¯
π‘₯|
π‘›βˆ’2
=
𝑒(¯
π‘₯)
π‘›βˆ’2 ,
|π‘₯|
2
donde π‘₯
¯ = π‘₯/|π‘₯| . Resulta que si 𝑒 es armónica, entonces 𝒦(𝑒) también lo es.
Las cuentas que presentamos son elementales pero largas y pueden llevar a
error.
2βˆ’π‘›
Paso 1. Calculamos las derivadas de |π‘₯|
.
Recordando que
πœ• |π‘₯|
π‘₯𝑖
βˆ’1
= π‘₯𝑖 |π‘₯| ,
=
πœ•π‘₯𝑖
|π‘₯|
tenemos
π‘Ž
πœ• |π‘₯|
π‘Žβˆ’2
= π‘Žπ‘₯𝑖 |π‘₯|
,
πœ•π‘₯𝑖
2βˆ’π‘›
πœ• |π‘₯|
πœ•π‘₯𝑖
βˆ’π‘›
= (2 βˆ’ 𝑛) π‘₯𝑖 |π‘₯|
,
(1)
2βˆ’π‘›
πœ• 2 |π‘₯|
πœ•π‘₯2𝑖
= (2 βˆ’ 𝑛) |π‘₯|
2βˆ’π‘›
Ξ”|π‘₯|
βˆ’π‘›
= (2 βˆ’ 𝑛) 𝑛 |π‘₯|
βˆ’π‘›βˆ’2
+ (2 βˆ’ 𝑛)(βˆ’π‘›) π‘₯2𝑖 |π‘₯|
βˆ’π‘›
βˆ’π‘›
+ (2 βˆ’ 𝑛)(βˆ’π‘›)|π‘₯|
,
= 0.
(2)
2
Paso 2. Encontramos las derivadas de la función π‘₯ β†’ π‘₯
¯ = π‘₯/|π‘₯| , y para
simplificar ponemos
2
𝑦 = |π‘₯| ,
de modo que
π‘₯
¯ = π‘₯𝑦 βˆ’1 ,
y tengamos en cuenta que:
2
πœ•π‘¦
πœ• |π‘₯|
=
= 2π‘₯𝑖 ,
πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘₯𝑖
πœ• π‘¦π‘Ž
= 2π‘Žπ‘₯𝑖 𝑦 π‘Žβˆ’1 .
πœ•π‘₯𝑖
Entonces:
πœ•π‘₯
¯π‘–
= 𝛿𝑖𝑗 𝑦 βˆ’1 βˆ’ 2π‘₯𝑖 π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2 ,
πœ•π‘₯𝑗
πœ•2π‘₯
¯π‘–
= βˆ’π›Ώπ‘–π‘— 2π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2 βˆ’ 2𝛿𝑖𝑗 π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2 βˆ’ 2π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2 + 8π‘₯𝑖 π‘₯2𝑗 𝑦 βˆ’3
πœ•π‘₯2𝑗
(3)
= βˆ’4𝛿𝑖𝑗 π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2 βˆ’ 2π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2 + 8π‘₯𝑖 π‘₯2𝑗 𝑦 βˆ’3 ,
Ξ”¯
π‘₯𝑖 = βˆ’4π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2 βˆ’ 2𝑛π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2 + 8π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2 = βˆ’2(𝑛 βˆ’ 2)π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2 .
(4)
Paso 3. Dadas 𝑔 : 𝐴 β†’ 𝐡 y 𝑓 : 𝐡 β†’ R, con 𝐴, 𝐡 βŠ‚ R𝑛 , queremos encontrar
Ξ”β„Ž (el laplaciano de β„Ž), donde
β„Ž = 𝑓 ∘ 𝑔.
Poniendo 𝑧 = 𝑔(π‘₯), tenemos:
X πœ• 𝑓 πœ• 𝑔𝑗
πœ•β„Ž
=
,
πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘§π‘— πœ•π‘₯𝑖
𝑗
(5)
πœ• 2 β„Ž X πœ• 2 𝑓 πœ• 𝑔𝑗 πœ• π‘”π‘˜ X πœ• 𝑓 πœ• 2 𝑔𝑗
=
,
+
πœ•π‘₯2𝑖
πœ•π‘§π‘— π‘§π‘˜ πœ•π‘₯𝑖 πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘§π‘— πœ•π‘₯2𝑖
𝑗
π‘—π‘˜
X πœ• 2 𝑓 πœ• 𝑔𝑗 πœ• π‘”π‘˜ X πœ• 𝑓
Ξ”β„Ž =
+
Δ𝑔𝑗 .
πœ•π‘§π‘— π‘§π‘˜ πœ•π‘₯𝑖 πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘§π‘—
𝑗
(6)
π‘–π‘—π‘˜
Paso 4. Especializamos el paso 3 al caso β„Ž = 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑔(π‘₯) = π‘₯
¯, y 𝑓 = 𝑒.
Reemplazando en (5) y usando (3),
X πœ•π‘’ πœ•π‘₯
X πœ•π‘’
πœ•β„Ž
¯π‘—
𝛿𝑖𝑗 𝑦 βˆ’1 βˆ’ 2π‘₯𝑖 π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2
=
=
πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘§
πœ•π‘₯
πœ•π‘§
𝑗
𝑖
𝑗
𝑗
𝑗
X πœ•π‘’
πœ• 𝑒 βˆ’1
=
𝑦 βˆ’ 2π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2
π‘₯𝑗 .
πœ•π‘§π‘–
πœ•π‘§π‘—
𝑗
(7)
Reemplazando en (6):
X πœ•2𝑒 πœ• π‘₯
¯π‘— πœ• π‘₯
¯π‘˜ X πœ• 𝑒
+
Ξ”¯
π‘₯𝑗
πœ•π‘§π‘— π‘§π‘˜ πœ•π‘₯𝑖 πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘§π‘—
𝑗
π‘–π‘—π‘˜
!
X πœ•2𝑒 X πœ• π‘₯
X πœ•π‘’
¯π‘— πœ• π‘₯
¯π‘˜
=
+
Ξ”¯
π‘₯𝑗 .
πœ•π‘§π‘— π‘§π‘˜
πœ•π‘₯𝑖 πœ•π‘₯𝑖
πœ•π‘§π‘—
𝑗
𝑖
Ξ”β„Ž =
(8)
π‘—π‘˜
Usando (3):
X
X πœ•π‘₯
¯π‘˜
¯π‘— πœ• π‘₯
=
(𝛿𝑖𝑗 𝑦 βˆ’1 βˆ’ 2π‘₯𝑖 π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2 )(π›Ώπ‘–π‘˜ 𝑦 βˆ’1 βˆ’ 2π‘₯𝑖 π‘₯π‘˜ 𝑦 βˆ’2 )
πœ•π‘₯
πœ•π‘₯
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
X
= π›Ώπ‘—π‘˜ 𝑦 βˆ’2 βˆ’ 4π‘₯𝑗 π‘₯π‘˜ 𝑦 βˆ’3 + 4π‘₯𝑗 π‘₯π‘˜ 𝑦 βˆ’4
π‘₯2𝑖
(9)
𝑖
= π›Ώπ‘—π‘˜ 𝑦
βˆ’2
.
Usando (4):
X πœ•π‘’
X πœ•π‘’
Ξ”¯
π‘₯𝑗 =
(βˆ’2(𝑛 βˆ’ 2) π‘₯𝑗 𝑦 βˆ’2 )
πœ•π‘§
πœ•π‘§
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
= βˆ’2(𝑛 βˆ’ 2) 𝑦
2
βˆ’2
X πœ•π‘’
π‘₯𝑗 .
πœ•π‘§π‘—
𝑗
(10)
Reemplazando (9) y (10) en (8) y usando que 𝑒 es armónica,
Ξ”β„Ž = 𝑦 βˆ’2 Δ𝑒 βˆ’ 2(𝑛 βˆ’ 2) 𝑦 βˆ’2
= βˆ’2(𝑛 βˆ’ 2) 𝑦 βˆ’2
X πœ•π‘’
π‘₯𝑗
πœ•π‘§π‘—
𝑗
(11)
X πœ•π‘’
π‘₯𝑗 .
πœ•π‘§π‘—
𝑗
Paso 5. Recordemos que hemos definido
2
𝑦 = |π‘₯| ,
β„Ž = 𝑓 ∘ 𝑔,
𝑓 = 𝑒,
2
𝑔(π‘₯) = π‘₯
¯ = π‘₯/|π‘₯| = π‘₯𝑦 βˆ’1 .
Como
Ξ”(πœ™πœ“) = πœ“ Ξ”πœ™ + 2 βˆ‡πœ™ · βˆ‡πœ“ + πœ™ Ξ”πœ“,
tenemos
ä
Ä
2βˆ’π‘›
2βˆ’π‘›
2βˆ’π‘›
2βˆ’π‘›
Ξ”¯
𝑒 = Ξ” β„Ž × |π‘₯|
= |π‘₯|
Ξ”β„Ž + 2 βˆ‡β„Ž · βˆ‡|π‘₯|
+ β„Ž Ξ”|π‘₯|
,
y usando (11), (7), (1) y (2),
Ξ”¯
𝑒 = βˆ’2|π‘₯|
+2
2βˆ’π‘›
(𝑛 βˆ’ 2) 𝑦 βˆ’2
X πœ•π‘’
π‘₯𝑗
πœ•π‘§π‘—
𝑗
X πœ•π‘’
X
πœ•π‘’
βˆ’π‘›
βˆ’π‘›
𝑦 βˆ’1 (2 βˆ’ 𝑛)π‘₯𝑖 |π‘₯| βˆ’ 2
2π‘₯𝑖 𝑦 βˆ’2
π‘₯𝑗 (2 βˆ’ 𝑛)π‘₯𝑖 |π‘₯|
πœ•π‘§
πœ•π‘§
𝑖
𝑗
𝑖
𝑖𝑗
+0
= βˆ’2(𝑛 βˆ’ 2) |π‘₯|
βˆ’π‘›βˆ’2
X πœ•π‘’
π‘₯𝑗
πœ•π‘§π‘—
𝑗
X πœ•π‘’
π‘₯𝑖
πœ•π‘§π‘–
𝑖
X πœ•π‘’
βˆ’π‘›βˆ’2
π‘₯𝑗 ,
βˆ’ 4 (2 βˆ’ 𝑛) |π‘₯|
πœ•π‘§π‘—
𝑗
+ 2 (2 βˆ’ 𝑛) |π‘₯|
βˆ’π‘›βˆ’2
de modo que 𝑒
¯ es armónica.
!
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