La transformada de Kelvin En el que se aprende a tener paciencia ) 14 de mayo de 2015. Miramos a la transformada de Kelvin (corresponde al ejercicio 11, p. 87, en el libro de L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2.a ed., AMS, 2010). Dada π’ : Rπ β {0} β R su transformada de Kelvin es la función π¦(π’) = π’ ¯: π R β {0} β R definida por π’ ¯(π₯) = π’(¯ π₯)|¯ π₯| πβ2 = π’(¯ π₯) πβ2 , |π₯| 2 donde π₯ ¯ = π₯/|π₯| . Resulta que si π’ es armónica, entonces π¦(π’) también lo es. Las cuentas que presentamos son elementales pero largas y pueden llevar a error. 2βπ Paso 1. Calculamos las derivadas de |π₯| . Recordando que π |π₯| π₯π β1 = π₯π |π₯| , = ππ₯π |π₯| tenemos π π |π₯| πβ2 = ππ₯π |π₯| , ππ₯π 2βπ π |π₯| ππ₯π βπ = (2 β π) π₯π |π₯| , (1) 2βπ π 2 |π₯| ππ₯2π = (2 β π) |π₯| 2βπ Ξ|π₯| βπ = (2 β π) π |π₯| βπβ2 + (2 β π)(βπ) π₯2π |π₯| βπ βπ + (2 β π)(βπ)|π₯| , = 0. (2) 2 Paso 2. Encontramos las derivadas de la función π₯ β π₯ ¯ = π₯/|π₯| , y para simplificar ponemos 2 π¦ = |π₯| , de modo que π₯ ¯ = π₯π¦ β1 , y tengamos en cuenta que: 2 ππ¦ π |π₯| = = 2π₯π , ππ₯π ππ₯π π π¦π = 2ππ₯π π¦ πβ1 . ππ₯π Entonces: ππ₯ ¯π = πΏππ π¦ β1 β 2π₯π π₯π π¦ β2 , ππ₯π π2π₯ ¯π = βπΏππ 2π₯π π¦ β2 β 2πΏππ π₯π π¦ β2 β 2π₯π π¦ β2 + 8π₯π π₯2π π¦ β3 ππ₯2π (3) = β4πΏππ π₯π π¦ β2 β 2π₯π π¦ β2 + 8π₯π π₯2π π¦ β3 , Ξ¯ π₯π = β4π₯π π¦ β2 β 2ππ₯π π¦ β2 + 8π₯π π¦ β2 = β2(π β 2)π₯π π¦ β2 . (4) Paso 3. Dadas π : π΄ β π΅ y π : π΅ β R, con π΄, π΅ β Rπ , queremos encontrar Ξβ (el laplaciano de β), donde β = π β π. Poniendo π§ = π(π₯), tenemos: X π π π ππ πβ = , ππ₯π ππ§π ππ₯π π (5) π 2 β X π 2 π π ππ π ππ X π π π 2 ππ = , + ππ₯2π ππ§π π§π ππ₯π ππ₯π ππ§π ππ₯2π π ππ X π 2 π π ππ π ππ X π π Ξβ = + Ξππ . ππ§π π§π ππ₯π ππ₯π ππ§π π (6) πππ Paso 4. Especializamos el paso 3 al caso β = π β π, π(π₯) = π₯ ¯, y π = π’. Reemplazando en (5) y usando (3), X ππ’ ππ₯ X ππ’ πβ ¯π πΏππ π¦ β1 β 2π₯π π₯π π¦ β2 = = ππ₯π ππ§ ππ₯ ππ§ π π π π π X ππ’ π π’ β1 = π¦ β 2π₯π π¦ β2 π₯π . ππ§π ππ§π π (7) Reemplazando en (6): X π2π’ π π₯ ¯π π π₯ ¯π X π π’ + Ξ¯ π₯π ππ§π π§π ππ₯π ππ₯π ππ§π π πππ ! X π2π’ X π π₯ X ππ’ ¯π π π₯ ¯π = + Ξ¯ π₯π . ππ§π π§π ππ₯π ππ₯π ππ§π π π Ξβ = (8) ππ Usando (3): X X ππ₯ ¯π ¯π π π₯ = (πΏππ π¦ β1 β 2π₯π π₯π π¦ β2 )(πΏππ π¦ β1 β 2π₯π π₯π π¦ β2 ) ππ₯ ππ₯ π π π π X = πΏππ π¦ β2 β 4π₯π π₯π π¦ β3 + 4π₯π π₯π π¦ β4 π₯2π (9) π = πΏππ π¦ β2 . Usando (4): X ππ’ X ππ’ Ξ¯ π₯π = (β2(π β 2) π₯π π¦ β2 ) ππ§ ππ§ π π π π = β2(π β 2) π¦ 2 β2 X ππ’ π₯π . ππ§π π (10) Reemplazando (9) y (10) en (8) y usando que π’ es armónica, Ξβ = π¦ β2 Ξπ’ β 2(π β 2) π¦ β2 = β2(π β 2) π¦ β2 X ππ’ π₯π ππ§π π (11) X ππ’ π₯π . ππ§π π Paso 5. Recordemos que hemos definido 2 π¦ = |π₯| , β = π β π, π = π’, 2 π(π₯) = π₯ ¯ = π₯/|π₯| = π₯π¦ β1 . Como Ξ(ππ) = π Ξπ + 2 βπ · βπ + π Ξπ, tenemos ä Ä 2βπ 2βπ 2βπ 2βπ Ξ¯ π’ = Ξ β × |π₯| = |π₯| Ξβ + 2 ββ · β|π₯| + β Ξ|π₯| , y usando (11), (7), (1) y (2), Ξ¯ π’ = β2|π₯| +2 2βπ (π β 2) π¦ β2 X ππ’ π₯π ππ§π π X ππ’ X ππ’ βπ βπ π¦ β1 (2 β π)π₯π |π₯| β 2 2π₯π π¦ β2 π₯π (2 β π)π₯π |π₯| ππ§ ππ§ π π π ππ +0 = β2(π β 2) |π₯| βπβ2 X ππ’ π₯π ππ§π π X ππ’ π₯π ππ§π π X ππ’ βπβ2 π₯π , β 4 (2 β π) |π₯| ππ§π π + 2 (2 β π) |π₯| βπβ2 de modo que π’ ¯ es armónica. ! 3
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