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La transformada de Kelvin
En el que se aprende a tener paciencia
)
14 de mayo de 2015.
Miramos a la transformada de Kelvin (corresponde al ejercicio 11, p. 87, en
el libro de L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2.a ed., AMS, 2010).
Dada 𝑢 : R𝑛 ∖ {0} → R su transformada de Kelvin es la función 𝒦(𝑢) = 𝑢
¯:
𝑛
R ∖ {0} → R definida por
𝑢
¯(𝑥) = 𝑢(¯
𝑥)|¯
𝑥|
𝑛−2
=
𝑢(¯
𝑥)
𝑛−2 ,
|𝑥|
2
donde 𝑥
¯ = 𝑥/|𝑥| . Resulta que si 𝑢 es armónica, entonces 𝒦(𝑢) también lo es.
Las cuentas que presentamos son elementales pero largas y pueden llevar a
error.
2−𝑛
Paso 1. Calculamos las derivadas de |𝑥|
.
Recordando que
𝜕 |𝑥|
𝑥𝑖
−1
= 𝑥𝑖 |𝑥| ,
=
𝜕𝑥𝑖
|𝑥|
tenemos
𝑎
𝜕 |𝑥|
𝑎−2
= 𝑎𝑥𝑖 |𝑥|
,
𝜕𝑥𝑖
2−𝑛
𝜕 |𝑥|
𝜕𝑥𝑖
−𝑛
= (2 − 𝑛) 𝑥𝑖 |𝑥|
,
(1)
2−𝑛
𝜕 2 |𝑥|
𝜕𝑥2𝑖
= (2 − 𝑛) |𝑥|
2−𝑛
Δ|𝑥|
−𝑛
= (2 − 𝑛) 𝑛 |𝑥|
−𝑛−2
+ (2 − 𝑛)(−𝑛) 𝑥2𝑖 |𝑥|
−𝑛
−𝑛
+ (2 − 𝑛)(−𝑛)|𝑥|
,
= 0.
(2)
2
Paso 2. Encontramos las derivadas de la función 𝑥 → 𝑥
¯ = 𝑥/|𝑥| , y para
simplificar ponemos
2
𝑦 = |𝑥| ,
de modo que
𝑥
¯ = 𝑥𝑦 −1 ,
y tengamos en cuenta que:
2
𝜕𝑦
𝜕 |𝑥|
=
= 2𝑥𝑖 ,
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝜕 𝑦𝑎
= 2𝑎𝑥𝑖 𝑦 𝑎−1 .
𝜕𝑥𝑖
Entonces:
𝜕𝑥
¯𝑖
= 𝛿𝑖𝑗 𝑦 −1 − 2𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑦 −2 ,
𝜕𝑥𝑗
𝜕2𝑥
¯𝑖
= −𝛿𝑖𝑗 2𝑥𝑗 𝑦 −2 − 2𝛿𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑦 −2 − 2𝑥𝑖 𝑦 −2 + 8𝑥𝑖 𝑥2𝑗 𝑦 −3
𝜕𝑥2𝑗
(3)
= −4𝛿𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑦 −2 − 2𝑥𝑖 𝑦 −2 + 8𝑥𝑖 𝑥2𝑗 𝑦 −3 ,
Δ¯
𝑥𝑖 = −4𝑥𝑖 𝑦 −2 − 2𝑛𝑥𝑖 𝑦 −2 + 8𝑥𝑖 𝑦 −2 = −2(𝑛 − 2)𝑥𝑖 𝑦 −2 .
(4)
Paso 3. Dadas 𝑔 : 𝐴 → 𝐵 y 𝑓 : 𝐵 → R, con 𝐴, 𝐵 ⊂ R𝑛 , queremos encontrar
Δℎ (el laplaciano de ℎ), donde
ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔.
Poniendo 𝑧 = 𝑔(𝑥), tenemos:
X 𝜕 𝑓 𝜕 𝑔𝑗
𝜕ℎ
=
,
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧𝑗 𝜕𝑥𝑖
𝑗
(5)
𝜕 2 ℎ X 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑔𝑗 𝜕 𝑔𝑘 X 𝜕 𝑓 𝜕 2 𝑔𝑗
=
,
+
𝜕𝑥2𝑖
𝜕𝑧𝑗 𝑧𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧𝑗 𝜕𝑥2𝑖
𝑗
𝑗𝑘
X 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑔𝑗 𝜕 𝑔𝑘 X 𝜕 𝑓
Δℎ =
+
Δ𝑔𝑗 .
𝜕𝑧𝑗 𝑧𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧𝑗
𝑗
(6)
𝑖𝑗𝑘
Paso 4. Especializamos el paso 3 al caso ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑔(𝑥) = 𝑥
¯, y 𝑓 = 𝑢.
Reemplazando en (5) y usando (3),
X 𝜕𝑢 𝜕𝑥
X 𝜕𝑢
𝜕ℎ
¯𝑗
𝛿𝑖𝑗 𝑦 −1 − 2𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑦 −2
=
=
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑗
𝑖
𝑗
𝑗
𝑗
X 𝜕𝑢
𝜕 𝑢 −1
=
𝑦 − 2𝑥𝑖 𝑦 −2
𝑥𝑗 .
𝜕𝑧𝑖
𝜕𝑧𝑗
𝑗
(7)
Reemplazando en (6):
X 𝜕2𝑢 𝜕 𝑥
¯𝑗 𝜕 𝑥
¯𝑘 X 𝜕 𝑢
+
Δ¯
𝑥𝑗
𝜕𝑧𝑗 𝑧𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧𝑗
𝑗
𝑖𝑗𝑘
!
X 𝜕2𝑢 X 𝜕 𝑥
X 𝜕𝑢
¯𝑗 𝜕 𝑥
¯𝑘
=
+
Δ¯
𝑥𝑗 .
𝜕𝑧𝑗 𝑧𝑘
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧𝑗
𝑗
𝑖
Δℎ =
(8)
𝑗𝑘
Usando (3):
X
X 𝜕𝑥
¯𝑘
¯𝑗 𝜕 𝑥
=
(𝛿𝑖𝑗 𝑦 −1 − 2𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑦 −2 )(𝛿𝑖𝑘 𝑦 −1 − 2𝑥𝑖 𝑥𝑘 𝑦 −2 )
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
X
= 𝛿𝑗𝑘 𝑦 −2 − 4𝑥𝑗 𝑥𝑘 𝑦 −3 + 4𝑥𝑗 𝑥𝑘 𝑦 −4
𝑥2𝑖
(9)
𝑖
= 𝛿𝑗𝑘 𝑦
−2
.
Usando (4):
X 𝜕𝑢
X 𝜕𝑢
Δ¯
𝑥𝑗 =
(−2(𝑛 − 2) 𝑥𝑗 𝑦 −2 )
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
= −2(𝑛 − 2) 𝑦
2
−2
X 𝜕𝑢
𝑥𝑗 .
𝜕𝑧𝑗
𝑗
(10)
Reemplazando (9) y (10) en (8) y usando que 𝑢 es armónica,
Δℎ = 𝑦 −2 Δ𝑢 − 2(𝑛 − 2) 𝑦 −2
= −2(𝑛 − 2) 𝑦 −2
X 𝜕𝑢
𝑥𝑗
𝜕𝑧𝑗
𝑗
(11)
X 𝜕𝑢
𝑥𝑗 .
𝜕𝑧𝑗
𝑗
Paso 5. Recordemos que hemos definido
2
𝑦 = |𝑥| ,
ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔,
𝑓 = 𝑢,
2
𝑔(𝑥) = 𝑥
¯ = 𝑥/|𝑥| = 𝑥𝑦 −1 .
Como
Δ(𝜙𝜓) = 𝜓 Δ𝜙 + 2 ∇𝜙 · ∇𝜓 + 𝜙 Δ𝜓,
tenemos
ä
Ä
2−𝑛
2−𝑛
2−𝑛
2−𝑛
Δ¯
𝑢 = Δ ℎ × |𝑥|
= |𝑥|
Δℎ + 2 ∇ℎ · ∇|𝑥|
+ ℎ Δ|𝑥|
,
y usando (11), (7), (1) y (2),
Δ¯
𝑢 = −2|𝑥|
+2
2−𝑛
(𝑛 − 2) 𝑦 −2
X 𝜕𝑢
𝑥𝑗
𝜕𝑧𝑗
𝑗
X 𝜕𝑢
X
𝜕𝑢
−𝑛
−𝑛
𝑦 −1 (2 − 𝑛)𝑥𝑖 |𝑥| − 2
2𝑥𝑖 𝑦 −2
𝑥𝑗 (2 − 𝑛)𝑥𝑖 |𝑥|
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑖
𝑗
𝑖
𝑖𝑗
+0
= −2(𝑛 − 2) |𝑥|
−𝑛−2
X 𝜕𝑢
𝑥𝑗
𝜕𝑧𝑗
𝑗
X 𝜕𝑢
𝑥𝑖
𝜕𝑧𝑖
𝑖
X 𝜕𝑢
−𝑛−2
𝑥𝑗 ,
− 4 (2 − 𝑛) |𝑥|
𝜕𝑧𝑗
𝑗
+ 2 (2 − 𝑛) |𝑥|
−𝑛−2
de modo que 𝑢
¯ es armónica.
!
3