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GUIA DE CLASES Nº17:
PLANTEAMIENTO
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
Existen diversos tipos de problemas de planteamiento, sin embargo, en todos ellos es
conveniente:





Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.
Hacer un listado de incógnitas y datos.
Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.
Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere.
Comprobar la(s) solución(es).
EJEMPLOS
1.
Si al cuádruplo del antecesor de w se le suma el sucesor del sucesor de w y al resultado
se le resta el triple de w, resulta
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2(w + 1)
2(w – 1)
2(w – 6)
2(w + 6)
2w – 1
El número cuyo cuádruplo excede a 35 en lo mismo que 35 excede al triple del número,
es
A) 7
B) 8
C) 10
D) 35
E) 70
3.
Una regla se divide en dos partes, de tal forma que el trazo mayor es el cuádruplo del
trazo menor aumentado en 8 unidades. Si dicha regla mide 28 unidades, ¿cuánto mide
el trazo menor?
A) 2 unidades
B) 4 unidades
C) 8 unidades
D) 16 unidades
E) 24 unidades
PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un
a
a
número. La fracción
de un número x se calcula multiplicando
por x.
b
b
EJEMPLOS
1.
En un supermercado hay nueve decenas de empleados. Un tercio de ellos son
reponedores, cinco novenos atienden en el segundo piso y el resto son cajeros.
¿Cuántos empleados atienden en las cajas?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
10
12
18
30
36
El sueldo mensual de una persona es $ M. Si gasta las tres cuartas partes y de él y el
resto lo ahorra, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones representa el ahorro
trimestral de dicha persona, en pesos?
1
4
3
M– M
4
1
3M –
4
3 

3 M  M
4 

3
3M – M
4
A) M –
B)
C)
D)
E)
3.
Gabriel compra un sofá a crédito en $ 5B, pagando un sexto al contado y el resto en 25
cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
A) $
B) $
C) $
D) $
E) $
25B
6
B
6
B
25
B
30
B
150
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Un número A está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la
suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la
potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,
centésima...)
abc, de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2
Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistema
decimal un número de la forma xyz queda representado por x · 102 + y · 101 + z · 100
EJEMPLOS
1.
El número entero 3407 en notación ampliada es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
·
·
·
·
·
103
102
103
103
103
+ 4 · 101 · 7 · 100
+ 4 · 101 · 7 · 100
· 4 · 102 + 7 · 101
+ 4 · 102 + 7 · 100
+ 7 · 102 + 4 · 100
El desarrollo de 0,06078 en notación decimal posicional es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
·
·
·
·
·
10-2
10-2
10-1
10-2
10-1
+
+
+
+
+
7
7
7
7
7
·
·
·
·
·
10-4 + 8 · 10-5
10-3 + 8 · 10-4
10-4+8 · 10-5
10-4 + 8 · 10-6
10-3 · 8 · 10-5
El desarrollo de 867,93 en notación decimal posicional es
A)
B)
C)
D)
E)
8
8
8
8
8
·
·
·
·
·
103
102
102
102
103
+
+
+
+
+
6
6
6
6
6
·
·
·
·
·
102
101
101
101
102
+
+
+
+
+
7
7
7
7
7
·
·
·
·
·
101
100
100
100
100
+
+
+
+
+
9
9
9
9
9
·
·
·
·
·
100 + 3 · 10-1
10-2 + 3 · 10-1
10-1 + 3 · 10-2
10-1 + 3
10-1 + 3 · 10-2
PROBLEMAS DE TRABAJOS
Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo
b, la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el trabajo en conjunto
es
1 1 1
= +
x a b
OBSERVACIÓN:
La ecuación anterior se puede generalizar para n trabajadores (o máquinas).
EJEMPLOS
1.
Una máquina realiza un trabajo en 2 horas y otra máquina realiza el mismo trabajo en
3 horas, ¿Cuánto se demoran las dos máquinas trabajando simultáneamente en realizar
dicho trabajo?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5
3
2
2
2
horas
horas
horas 24 minutos
horas 4 minutos
horas
Una llave A llena un estanque vacío en 2 horas, en cambio una llave B lo llena en
6 horas y un desagüe C lo deja vacío en 3 horas. ¿En qué tiempo se llenará el
estanque, si estando vacío se abren ambas llaves y el desagüe simultáneamente?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
horas 24 minutos
horas
hora 36 minutos
hora 30 minutos
hora 12 minutos
Una llave puede llenar una piscina vacía en seis horas y otra llave la llena en dos horas
menos que la primera. Si se abren las dos llaves simultáneamente, ¿cuánto se demoran
en llenar la piscina vacía?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2
2
1
1
1
6
4
3
2
1
horas
horas
horas
horas
hora
Rodrigo puede realizar una tarea en 15 días, mientras que Nelson la puede hacer en el
triple de los días que emplearían si trabajaran los dos juntos. ¿En cuántos días
realizaría la tarea Nelson si trabajara solo?
A)
B)
C)
D)
E)
5
10
15
30
32
días
días
días
días
días
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes
indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,
según corresponda:
Edad pasada
(hace b años)
Edad actual
Edad futura
(dentro de c años)
x–b
y–b
x
y
x+c
y+c
EJEMPLOS
1.
La edad de una persona será c años dentro de a años ¿Cuántos años tenía hace b
años?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si al triple de la edad que tengo se resta mi edad aumentada en 8 años, tendría
28 años. ¿Qué edad tengo?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
c+a–b
a+c+b
a+c–b
c – (a + b)
c–b
14
16
18
20
22
años
años
años
años
años
Un padre tiene x años y su hijo y años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será
el cuádruplo de la edad de su hijo?
A)
B)
C)
D)
E)
4y  x
3
4x  y
3
x  4y
3
x  3y
2
4xy
3
PROBLEMAS DE MÓVILES
Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula:
Donde
s = vt
s = recorrido
v = rapidez
t = tiempo
EJEMPLOS
1.
Un ciclista sale de Santiago y otro de Temuco, distantes 720 km, uno hacia el otro. El
km
km
primero viaja a 40
y el segundo a 30
. Si ambos partes a las 7 am, ¿qué
h
h
distancia los separa a las 10:00 am., de ese mismo día?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
510
530
580
610
650
km
km
km
km
km
Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto, y en la misma dirección.
Uno viaja con una rapidez de 60
km
km
, y el otro viaja a 100
. Transcurridas
h
h
4 horas, ¿cuál será la distancia que los separa?
A) 40 km
B) 80 km
C) 120 km
D) 160 km
E) 200 km
3.
Dos automóviles parten desde la Plaza de Armas a la misma hora en sentidos opuestos.
km
La rapidez de uno de ellos es 10
menor que la del otro. Sabiendo que al cabo de
h
3 horas se encuentran a 510 km de distancia, ¿cuál es la rapidez del automóvil más
rápido?
A) 60
B) 70
C) 80
D) 90
E) 95
km
h
km
h
km
h
km
h
km
h
PROBLEMAS DE MEZCLAS
Para este tipo de problemas podemos considerar el siguiente planteamiento general:
Si n objetos, que valen c, se componen de x objetos que valen a cada uno, y n – x objetos
que valen b cada uno, la ecuación que permite encontrar x es: ax + b(n – x) = c.
EJEMPLOS
1.
De 1.200 personas que asistieron al circo, la mitad eran niños, un cuarto eran de la
tercera edad y el resto eran adultos menores de 65 años. Si las entradas de niños
costaban $ 1.000, las de la tercera edad $ 500, ¿cuánto pagaron los adultos menores
de 65 años, si lo recaudado fue de $ 1.350.000?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
$
$
$
$
$
500
1.000
1.500
2.000
2.500
En una alcancía hay un total de 400 monedas de $ 100 y $ 500. Si en total hay
$ 160.000, entre ambas monedas ¿cuál es el número de monedas de $ 100?
A)
B)
C)
D)
E)
100
150
200
250
300
GUIA DE EJERCICIOS Nº17:
PLANTEAMIENTO
1.
Al escribir en lenguaje algebraico “el cuadrado de la diferencia entre el triple de a y el
doble de b” resulta
A)
B)
C)
D)
E)
2.
“El cuadrado del triple de h, es siete unidades menor que n”, se expresa como
A)
B)
C)
D)
E)
3.
3a – 2b2
(3a – b2)
(3a – 2b)2
b2 – 3a
a3 – b2
(3h)2 = n – 7
(3h)2 – 7 = n
3h2 + 7 = n
3h2 – 7 = n
(3h)2 = 7n
La edad de un padre es a años y de su hijo b años. ¿Hace cuántos años la edad del
padre era el triple de la edad del hijo?
3b  a
2
a + 2b
B)
3
a  2b
C)
2
3b + a
D)
2
3b  a
E)
3
A)
4.
Un obrero hace un trabajo en 6 horas, y en conjunto con otro, lo ejecutan en cuatro
horas. ¿Cuánto tardaría el segundo obrero en hacer el trabajo por sí solo?
A) 8 horas
B) 9 horas
C) 10 horas
D) 11 horas
E) 12 horas
5.
Entre Carlos y Alberto reunieron 1.200 dólares para una campaña de la UDI. Si Carlos
reunió 300 dólares más que el doble de lo reunido por Alberto, ¿cuántos dólares reunió
este último?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
900
750
600
300
250
Kafka gana $ m mensual y gasta $ s semestral. ¿Cuántos pesos logra ahorrar en un
trimestre?
s
2
3m + s
2
s
3m –
2
3m  s
2
3s
m–
2
A) 3m +
B)
C)
D)
E)
7.
Ely pintó ayer 16 m2 de la pieza de su hija y hoy pintó el resto, que corresponde a tres
quintos del total. ¿Cuál es la superficie total a pintar?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
16
24
32
36
40
m2
m2
m2
m2
m2
El enunciado: “A un número w se le resta su quíntuplo y este resultado se divide por el
cubo del doble de z”, se escribe
A)
B)
C)
D)
E)
(w – 5w) : (2z)3
w – 5w : (2z)3
(w – 5w) : 2z3
w – zw : 2z3
(w – z) : (2z)3
2
9.
La edad de María es el triple de la edad de Rosa. Hace 5 años, María tenía el quíntuplo
de la edad que tenía Rosa. ¿Cuál es la edad de María?
A)
B)
C)
D)
E)
10.
10
15
20
25
30
años.
años.
años.
años.
años.
La suma de tres números consecutivos es -60, ¿Cuál es el sucesor del número mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
-22
-21
-20
-19
-18
11. Si 7x + 2 = -5, entonces el cuádruplo de x es
A) -4
B) -2
C) -1
D) 2
E) 4
12.
Si 4 · 3 · (x + 3) = 72, entonces x es divisor de
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
Ninguna de ellas.
13. ¿En cuántos dieciseisavos es mayor
1
1
que ?
2
4
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
3
14. En una reunión se observa que los dos tercios son varones, los tres quintos de las
mujeres son casadas y hay 14 solteras. Entonces, la quinta parte de los varones es
A)
4
B) 12
C) 14
D) 21
E) 105
15. A una función de cine asistieron en total 600 personas, entre adultos y niños. Si el valor
de la entrada de un adulto, es de $ 2.000 y la de un niño $ 1.500. ¿Cuántos adultos
asistieron a la función, si la recaudación fue de $1.100.000?
A)
B)
C)
D)
E)
100
200
300
400
500
16. Hace 4 años la edad de A era la mitad de la edad que tenía B. Si dentro de 8 años A
tendrá la edad actual de B, ¿cuál es la edad de B?
A)
B)
C)
D)
E)
8
16
18
20
24
años.
años.
años.
años.
años.
17. Los tres hermanos Eriksen se reparten $ 300.000 de tal forma, que el mayor recibe
el doble del segundo, y éste, la tercera parte del menor de ellos, ¿Cuánto recibe este
último?
A)
B)
C)
D)
E)
$
1.000
$
2.000
$
5.000
$ 15.000
$ 150.000
18. El dígito de las decenas de un número de dos cifras es igual al antecesor del dígito de
las unidades. Si el dígito de las unidades es n, entonces la expresión que representa el
sucesor del doble del número es
A)
B)
C)
D)
E)
22n
22n
22n
22n
22n
–
–
–
–
–
19
20
21
22
23
4
19. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 16, donde el dígito de las
centenas excede en 2 al dígito de las unidades y éste último es el sucesor del dígito x
de las decenas. ¿Qué ecuación permite hallar este número?
A)
B)
C)
D)
E)
3x + 3 = 16
(x – 3) + x + (x – 1) = 16
(x + 3) + x + (x + 1 ) = 16
100 (x + 3) + 10 x + (x + 1 ) = 16
100 (x – 3) + 10 x + (x – 1) = 16
20. Para realizar la Fiesta de Gala de un cuarto medio se reparte los gastos en partes
iguales entre los apoderados. Si cada apoderado aporta $ 8.000 faltan $ 40.000 para
cancelar los gastos y si cada apoderado aporta $ 10.000 sobran $ 20.000, entonces
¿cuánto es el gasto total de la Fiesta de Gala?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
240.000
260.000
280.000
300.000
320.000
21. La edad actual de Andrea es la mitad de la de Beatriz, y hace 10 años la edad de
Andrea era los tres séptimos de la edad que tenía Beatriz. ¿Cuánto suman sus edades
actuales?
A) 40 años
B) 70 años
C) 80 años
D) 120 años
E) 140 años
22. En una prueba de 60 preguntas, Sergio no omite ninguna. Si la quinta parte de las
preguntas que respondió correctamente es igual al número de las que respondió
incorrectamente, entonces ¿cuántas preguntas respondió correctamente?
A)
B)
C)
D)
E)
60
50
40
20
10
5
23. Las Edades de Sebastián, Belén y Fernando suman 60 años. Si Belén tiene 2 años más
que Sebastián y la suma de ambos excede en 16 años a la edad de Fernando, entonces
¿cuántos años tiene Belén?
A)
B)
C)
D)
E)
24
22
21
20
18
24. Para realizar un mismo trabajo en conjunto, los obreros Juan y Pedro demoran 30 días,
en cambio Pedro e Iván en conjunto 24 días y, a su vez Juan e Iván en conjunto
20 días. Si trabajaran los tres juntos, entonces ¿cuántos días demorarían para realizar
el mismo trabajo?
A)
B)
C)
D)
E)
8
10
12
14
16
días
días
días
días
días
25. Alex compró 4 tarros de duraznos y 3 botellas de vino blanco, cancelando en total $ w.
3d
Si el tarro de durazno cuesta $
, entonces ¿cuánto cuestan dos botellas de vino
4
blanco?
A) $
B) $
C) $
D) $
E) $
(w  3 d)
3
2(3d  w)
3
(w + 3 d)
3
2(w + 3 d)
3
2(w  3d)
3
26. Se puede determinar la diferencia de edades entre Ana y María respectivamente, si:
(1) La edad de Ana es tres veces la edad de María.
(2) Hace 5 años Ana tenía la edad actual de María.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
6
27. A una obra de teatro asisten 800 personas, de las cuales 200 ocupan galería y el resto
platea. Se puede determinar el número de mujeres que ingresan a platea, si:
1
de las mujeres.
3
(2) Del total de asistentes a la obra, 250 son hombres.
(1) De los que ingresan a platea, los hombres son
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
28. Un químico es el doble de rápido que su ayudante en realizar una prueba. ¿Cuánto
demora el ayudante en realizar, él solo la prueba?
(1) Juntos demoran 40 minutos.
(2) Hay 35 pruebas que corregir.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas
Cada una por sí sola, (1) y (2)
Se requiere información adicional
29. Dos autos, separados por 100 km, parten al mismo tiempo a encontrarse. ¿Cuánto
tiempo demoran en juntarse?
(1) Uno tiene el doble de rapidez que el otro.
km
(2) La rapidez del más lento es 30
.
h
A)
B)
C)
D)
E)
30.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Se puede determinar el tiempo que emplea Iván en realizar un trabajo si:
(1) Rodrigo emplea 10 horas en realizar el mismo trabajo.
(2) Iván emplea el triple del tiempo que emplean Iván y Rodrigo juntos en realizar el
mismo trabajo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un
a
a
número. La fracción
de un número x se calcula multiplicando
por x.
b
b
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Un número A está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la
suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la
potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,
centésima...)
abc, de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2
Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistema
decimal un número de la forma xyz queda representado por x · 102 + y · 101 + z · 100
PROBLEMAS DE TRABAJOS
Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo
b, la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el trabajo en conjunto
es
1 1 1
= +
x a b
OBSERVACIÓN:
La ecuación anterior se puede generalizar para n trabajadores (o máquinas).
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes
indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,
según corresponda:
Edad pasada
(hace b años)
Edad actual
Edad futura
(dentro de c años)
x–b
y–b
x
y
x+c
y+c
PROBLEMAS DE MÓVILES
CLAVES
Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula:
Donde
s = recorrido
v = rapidez
t = tiempo
1. C
11. A
21. D
2. A
12. C
22. B
3. A
13. B
23. D
4. E
14. C
24. E
5
D
15. D
25. E
6. C
16. D
26. B
7. E
17. E
27. A
8. A
18. A
28. A
valen a cada uno, y n – x objetos que valen b cada uno, la
9. E
19. C
29. C
ecuación que permite encontrar x es: ax + b(n – x) = c.
10. E
20. C
30. C
s = vt
PROBLEMAS DE MEZCLAS
Para este tipo de problemas podemos considerar el siguiente
planteamiento general:
Si n objetos, que valen c, se componen de x objetos que